高三数学第一轮复习 函数与方程课件 新人教B版

(2)依题意，函数f(x)＝2tx2＋(2－5t)x＋3的两个零点α，β满
足0<α<1<β<2，且函数f(x)过点(0,3)，
f1＝2t＋2－5t＋3<0 则必有f2＝8t＋4－10t＋3>0
，解得35<t<72.
【拓展演练2】 (1)若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数 值用二分法计算，其参考数据如下：
解析：(1)由于f(1.4375)＝0.162>0， f(1.40625)＝－0.054<0， 且|1.40625－1.4375|＝0.03125<0.1，所以由二分法可知其 根在区间(1.40625,1.4375)上，故选C. (2)g(x)的零点在(0， 21 )内，而f(x)＝4x－1的零点为x＝ 14 ， 故选A.
又f(x)在[－4，－
3π＋2 4
]上递增，在[－
3π＋2 4
，－2]上递
减，
所以f(x)在[－4，－2]上恒大于0，
故函数f(x)＝4sin(2x＋1)－x在区间[－4，－2]上无零点，
故选A.
(2)函数f(x)的零点个数，即为方程f(x)＝0的根的个数．
x≤0 由x2＋2x－3＝0
或x－>02＋ln x＝0
(2)(改编)若关于x的方程2tx2＋(2－5t)x＋3＝0的两实根
α，β满足0<α<1<β<2，则实数t的取值范围是____________．
解析：(1)因为函数f(x)＝2x－
2 x
－a在区间(1,2)是增函数，则
由条件可知f(1)f(2)<0，
所以(2－2－a)(4－1－a)<0，

依题意得
m>0 g(4)<0
解得- 19 <m<0.
13
m<0
或 g(4)>0,
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考点4 二分法的应用
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用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1,1.5］内的一 个零点(精确度0.1). 【分析】依据二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤.
【解析】由于f(1)=1-1-1=-1<0, f(1.5)=3.375-1.5-1=0.875>0, ∴f(x)在区间［1,1.5］上存在零点, 取区间［1,1.5］作为计算的初始区间,
以函数为载体考查方程根的个数的判断,以及求参数的范
围,将是重点考查的问题.
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名师伴你行
1.一般地，如果函数y=f(x)在实数a处的
值 等于零 ，即 f(a)=0 ，则a叫做这个函数的零点.
2.函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 实数根 ，
就是函数y=f(x)的图象与x轴交点的 横坐标 ,即方程
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【解析】在同一坐标系 中画出y=lnx与y=6-2x的图 象如图所示, 由图已知两图 象只有一个交点,故函数y= lnx+2x-6只有一个零点.
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考点3 零点性质的应用
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（1）若函数f(x)=ax2-x-1有且仅有一个零点，求实数 a的值； （2）若函数f(x)=|4x-x2|+a有4个零点，求实数a的取 值范围. 【分析】 (1)二次项系数含有字母,需分类讨论. (2)利用函数图象求解.
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【解析】 (1)若a=0,则f(x)=-x-1,
令f(x)=0,即-x-1=0,得x=-1,故符合题意;

2.(教材例题改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(
A.0 B.1
x
)
D.3
C.2
1 解析 由 f′(x)＝e ＋3＞0， 所以 f(x)在 R 上单调递增， 又 f(－1)＝ －3<0， f(0)＝1>0， e 因此函数 f(x)有且只有一个零点.
答案 B
3.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(
诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数f(x)＝lg x的零点是(1，0).( ) ) (2)图象连续的函数y＝f(x)(x∈D)在区间(a，b)⊆D内有零点，则f(a)· f(b)<0.( (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.( )
(4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，恒有h(x)<f(x)<g(x).(
答案
1 ，1 3
考点一
函数零点的判断与求解(多维探究) 判断函数零点所在的区间
)
命题角度1
6 【例 1－1】(1)已知函数 f(x)＝x －log2x， 在下列区间中， 包含 f(x)零点的区间是( A.(0，1) C.(2，4) (2)设函数 y＝x3 与 B.(1，2) D.(4，＋∞)
上的增减性 增长速度 图象的变化
值的比较
越来越快
越来越慢
相对平稳
随n值变化 而各有不同
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表 y轴 平行 为与______ 现为与_____ x轴 平行
存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax
[常用结论与微点提醒] 1.若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点.函数的零 点不是一个“点”，而是方程 f(x)＝0 的实根. 2.函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件. a 3.“对勾”函数模型 f(x)＝x＋x (a>0)在区间(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增， 在区间(－ a，0)和(0， a)上单调递减.

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对点练 1(1)(2024·山西临汾模拟)函数 f(x)＝log8x－31x的零点所在的区间是(
)
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
(2)已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a>0，且 a≠1)．当 2<a<3<b<4 时，函数 f(x)的零点 x0
A．(0,1)
B．(1,2)
C．(2,3)(2)设函数 f(x)＝13x－ln x，则函数 y＝f(x)( ) A．在区间1e，1，(1，e)内均有零点 B．在区间1e，1(1，e)内均无零点 C．在区间1e，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D．在区间1e，1内无零点，在区间(1，e)内有零点
Δ<0
__无__交__点____ ____无______
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常/用/结/论 1．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点； (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．对于函数来说， 零点有与 x 轴相切的零点． 2．f(a)f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．
01 理清教材 强基固本 02 重难题型 全线突破 03 限时跟踪检测
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理清教材 强基固本
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一 函数零点 1．定义：对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把满足___f(_x_)＝__0___的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D) 的零点．