2018年八年级升九年级数学 暑假衔接班讲义 第4讲 等腰三角形(无答案) 沪科版

中考数学深度复习讲义——等腰三角形♦考点聚焦1.等腰三角形的判定与性质.2.等边三角形的判定与性质.3.运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题.♦备考后法1.运用三角形不等关系，结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中髙、边、角的计算问题，并要注意分类讨论.2.要正确辨析等腰三角形的判定与性质.3.能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合解决实际问题.♦识记巩固1.等腰三角形的性质定理及推论： _____________________________ ・2.等腰三角形的判定定理及推论： _____________________________ ・识记巩固参考答案：1.等腰三介形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三和形的顶用平分线平分底边并且垂直于底边（三线合一）；等边三角形的各有都相等，且每个角都等于60° .2.如果一个三角形的两角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.在直角三角形中，如果一个锐角等于30° ,那么它所对的直角边等于斜边的一半.♦典例解析例1 （浙江衢州，23, 10分）\ABC是一张等腰肓角三介形纸板，ZC = RtZ, AC = BC = 2.要在这张纸板中剪出一个尽可能人的正方形，有甲、乙两种剪法（如图1）,比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由.图1中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的止方形而积为按照甲种剪法，在余下的山DE 和A3DF 小，分别剪取止方形，得到两个相同的止方形，称为第2次剪取，并记这法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的血•积和 为Ss （如图⑶；继续操作下去…则第10次剪取吋，510= ___________ . 求笫10次剪取后，余下的所有小三角形的血积和.【答案】⑴解法1：如图甲，由题意得AE = DE = EC,即EC = 1,S 涉形CF“=1・如图乙设MN = x,则由题意，得AM =MQ = PN = NB = MN = x,/. 3x = 2V2,解得x =・•・甲种剪法所得的正方形的面积更大说明：图甲可另解为：由题意得.点D 、E 、F 分别为AB 、AC. BC 的中点,S 正方形CFDE = 人肚=1解法2：如图甲，由题意得AE = DE = EC,即EC 二1如图乙，设MN =x,则由题意得AM =MQ = QP = PN = NB = MN =x 3x = 25/2,解得兀=2^^3 又 vl>^,gp£C> W3•I 甲种剪法所得的正方形的面积更大（第23题）两个正方形血积和为S?（如图2）,则S?二 ______ :再在余下的四个三角形屮，用同样的方•I S 正方形PMWQ2V28 - 9 > XVI （第23题图1）⑶解法1：探索规律可知：'（ 1 1 1 A i剩余二角形的面积和为：2-（S1+S? ------ S]o ）二2- ] ---- 1 - 1 -- 1—百——、2 4 2 丿 2解法2：由题意可知，第一次剪取后剩余三角形面积和为2-5, =1=5,第二次剪取后剩余三角形面积和为= 1 -丄=丄=&■ 2 2第三次剪取后剩余三角形面积和为S 2-S.=^-^ = ^ = S 3第十次剪取后剩余三角形面积和为59-5I0 = 510 = —2 如图，AABC 中，E, F 分别是AB, AC 上的点.①AD 平分ZBAC ；②DE 丄AB, DF 丄AC ； ③AD 丄EF.以此三个屮的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②③；①③ ②；②③①.（1） 试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；（2） 请证明你认为正确的命题.解析 （1）①②亠③正确；①③二②错误；②③=＞（D 正确.（2）先证①（D=＞③，如图1.TAD 平分ZBAC, DE 丄AB, DF 丄AC,・・・DE=DF, ZAED=ZAFD=90° .在 RtAAED 和 RtAAFD 中，jDE = DF,[AD = AD,AAAED^AAFD （HL ）・⑶ Sio = +/.AE=AF.•••△AEF是等腰三角形，・・・AD丄EF.再证②③二•①.A图1 图2 图3方法一：如图2, DE丄AB, EF丄AD, DF丄AC.易证△ DEH^ADAE, ADFH^ADAF..DE DH PH DF• •DE^ADDH, DF2=DH AD..\DE2=DF2, ・・DE=DF, ・・AD 平分ZBAC・方法二：如图3,取AD的中点0,连结E0, F0・•・・DE丄AB, DF丄AC,・・・0E, OF分别是RtAADE, RtAADF斜边上的中线.A0E=-AD, OF=-AD.2 2即0点到A, E, D, F的距离相等.・・・A, E, D, F四点在以0为圆心，丄AD为半径的圆上，AD是直径，EF是的弦，2而 EF 丄AD, /. AD 平分EDF ,即ED = DF .・•・ZDAE=ZDAF,即AD平分ZBAC・点评本题是义务教育课程标准实验教科书数学（人教版）八年级上第111页拓广探索题的变式与拓展，该例在教材中多次以不同形式出现，八年级（上）（人教版）第150 页第13题，第158页第11题.因此，在九年级的学习过程中一定要重视教材中的典型例题，习题，想一想这些题还可以进行怎样的变式，与前后的知识与方法有什么联系，还可以得到什么结论等.这样可以不断提高自己的综合解题能力.真题一、选择题1.（浙江省舟山，7, 3分）如图，边长为4的等边△初C中，加为中位线，则四边形处切的面积为（）（A） 2^3 （B） 3侖（C） 4^3 （D）胡B C（第7颗）【答案】B2.（四川南充市，10, 3分）如图，ZABC和/CDE均为等腰直角三角形，点B, C, D在一条直线上，点M是AE的屮点，下列结论：®tanZAEC=——：②S』ABG+S』O）E MS^CE:③甌丄DM;④BM=DM.正确结论的个数是（）CD（A） 1 个（B） 2 个（C） 3 个・（D） 4 个【答案】D3.（浙江义乌，10, 3分）如图，和△初^都是等腰直角三角形，Z丽庐90° ,四边形力宓是平行四边形，连结必交初于点尸，连结血交CE予曲G,连结处：下列结论中：①C&BD；②△应力是等腰直角三角形；③ZAD庆乙AEB；④CD・AhEF.・CG；一定正确的结论有E的中点，DE DE 丄 D.13 垂足为点E,则DE 等于（13 13 13A. 1个B ・2个 C. 3个 D. 4个【答案】D 4. （台湾全区，30）如图（十三），'ABC 中，以“为圆心，旋长为半径画弧，分别交疋、AB于〃、E 两点,并连接而、旋.若Z 朋30。

八年级升九年级数学暑假班讲义八年级升九年级数学暑假班讲义第一讲一，三角形边与角1,角与角内角，外角1）三个内角之和_________________________2）三角形外角等于____________________，大于任何一个_________________________ 2, 边与边任何两边之和__________________，任何两边之差____________________即，若三角形两边分别是,,a b ，第三边为 c ，则____________________3, 边与角____________________，___________________二，三角形中的重要线段1.中线, 性质：________________________2. 高，________________________________3. 角平分线, __________________________三，全等三角形1，全等的判定方法___________，___________，___________， ___________2，全等的性质_________________________________________________________四，三角形分类1，按角分______三角形三角形_______三角形斜三角形_______三角形2，按边分不等边三角形三角形____________三角形_____三角形____________三角形五，特殊三角形1，直角三角形性质：1）_________________________2）_________________________3）_________________________4）_________________________2，等腰三角形1，认识等腰三角形各部分名称：底边，腰底角，顶角表示方法：______________________重要线段：三线合一总结等腰三角形性质：__________________________________________________________________特殊的等腰三角形：1）等边三角形2）等腰直角三角形练习一：1.若等腰三角形一个顶角为50°则这个三角形其余两角度数为________.2.已知等腰三角形一个内角的度数为30°,那么它底角的度数是________．3.若三角形一个外角为80°,则它底角度数为________．4．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是________．5.等腰三角形一内角为70°,则它腰上的高与底边的夹角为________．6.若某等腰三角形两边长为2cm，3cm，则这个三角形周长为________.7. 若某等腰三角形两边长为3cm，6cm，则这个三角形周长为________.8. 若某直角三角形两边长为3cm，4cm，则这个三角形周长为________.等腰三角形判定：____________________________________________证明线段相等的问题可用方法：首选方法证明三角形全等如果两条线段可以放到一个三角形中的话，可以转化为证明包含这两条线段的三角形是等腰三角形即可练习二：1,若点,D E 在ABC ?边BC 上，,,AD AE BD EC ==求证：ABC ?是等腰三角形2.把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分是什么图形，试说明理由。

第1讲、整式的运算【典型例题练习】考点一：同底数幂的运算例1、若2x =3，4y =5，则2x －2y 的值为（ ） A. 53 B. －2 C. 35 D. 56 考点二：积的乘方、单项式、多项式的乘法例2、计算()4323b a --的结果是（ ）A. 12881b aB. 7612b aC. 7612b a -D. 12881b a - 例3、下列计算正确的是（ ）A. 325a b ab +=B. 325()a a =C. 32()()a a a -÷-=- D. 3253(2)6x x x -=-例4、用正三角形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二个图案开始，每个图案都比上一个图案多一个正六边形和两个正三角形，则第n 个图案中正三角形的个数为（用含n 的代数式表示）__ ___个.例5、已知：32a b +=，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 . 考点三：平方差公式、完全平方公式 例6、已知9ab =，3a b -=-，则223a ab b ++=___ _ _.例7、先化简，再求值：代数式22()()()2a b a b a b a +-++-，其中133a b ==-，.【模拟试题】一、选择题1. 多项式322431x x y xy -+-的项数、次数分别是（ ）A. 3、4B. 4、4C. 3、3D. 4、32. 下列各式计算正确的是（ ）A. 4442x x x +=B. ()aa a x x x -⋅-= C. ()325x x = D. ()326x y x y = 3. ()2a b --等于（ ）A. 22a b +B. 22a b -C. 222a ab b ++D. 222a ab b -+4. 下列多项式的乘法中可用平方差公式计算的是（ ）A.（1+x ）（x+1）B. 1122a b b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C.（－a+b ）（a －b ）D. ()()22x y y x -+5. 下列各式计算结果与245a a -+相同的是（ ）A. ()221a -+B. ()221a ++C. ()221a +-D. ()221a --6. 若()()232y y y my n +-=++，则m 、n 的值分别为（ ） A. 5m =，6n = B. 1m =，6n =- C. 1m =，6n = D. 5m =，6n =-7. 一个长方体的长、宽、高分别是34a -、2a 、a ，它的体积等于（ ）A. 3234a a -B. 2aC. 3268a a -D. 268a a - 8. 一个三项式与一个二项式相乘，在合并同类项之前，积的项数是（ ）A. 三项B. 四项C. 五项D. 六项9. ()2a a b c -+-与()2a a ab ac --+的关系是（ ）A. 相等B. 互为相反数C. 前式是后式的a -倍D. 前式是后式的a 倍10. 下列各式的计算中不正确的个数是（ ）（1）10101010=÷- （2）1000)72(1004=⨯⋅- （3）（－0.1）0÷3)21(--=8 （4）（－10）－4÷（－4)101-=－1 A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个二、沉着冷静耐心填 11. 单项式23m n -的系数是 ，次数是 . 12. ()()23342a b ab -÷= .13. 若A=2x y -，4B x y =-，则2A B -= .14. ()()3223m m -++= .15. 2005200440.25⨯= .16. 若23n x =，则6n x = .17. 要使()()22321ax x x x ---的展开式中不含3x 项，则a = .18. 若10m n +=，24mn =，则22m n += .三、神机妙算用心做19. 当x=－3时，代数式538ax bx cx ++-的值为6，试求当x=3时，538ax bx cx ++- 的值.。

等腰三角形重难点易错点解析题面：下列说法正确的是( )A.两腰相等的三角形是等腰三角形B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一C.“等边对等角”和 “等角对等边”都是等腰三角形的性质D.等腰三角形的外角中一定有钝角等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一等腰三角形的判定：等角对等边金题精讲题一题面：已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．CBD题二题面：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．题三题面：已知：如图，AB =AC ，CE ⊥BC ，BD ⊥BC .过点A 的直线DE 交BD 于D ，交CE 于E . 求证：AD =AE .B题四题面：如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ．B C思维拓展题面：如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB ＝15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根． HOB讲义参考答案重难点易错点解析答案：D金题精讲题一答案：略题二答案：30°，75°，75°或150°，15°，15°题三答案：略题四答案：略思维拓展答案：5。