中考数学九年级寒假尖子班专题讲义

《全等三角形及三角形全等的条件》【知识精讲】全等三角形是研究图形的重要工具，掌握好全等三角形的内容是进一步学习四边形、圆的重要基础。

本讲内容是了解全等三角形的概念及性质（对应边相等、对应角相等），能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；掌握三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式.重视探究两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的部分条件时，两个三角形是否全等的过程.比如：(1) 满足一个条件⎩⎨⎧一角对应相等 一边对应相等 )2()1( (2) 满足两个条件⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧角对应相等②一边及这条边所对的一个角对应相等①一边及与这边相邻的一边、一角对应相等两角对应相等两边对应相等 )3()2()1((3) 满足三个条件⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧对边对应相等②两角和其中一个角的应相等①两角和它们的夹边对两角及一边对应相等的角对应相等②两边及其中一边所对等①两边及其夹角对应相两边及一角对应相等三角对应相等三边对应相等)4()3()2()1( 再如探究直角三角形全等条件的过程：由于直角三角形隐含了直角的条件，那么思考判定直角三角形全等的条件能否缩减为两个？(1) 两边对应相等⎩⎨⎧(?))SAS 等一直角边、斜边对应相两直角边对应相等（(2) 两锐角对应相等（×）(3) 一边一锐角对应相等（ASA 或AAS ）【典例剖析】1．如图，把△ABC 绕C 点顺时针旋转35°，得到△A ’B ’C ，A ’B ’交AC 于点D ，若∠A ’DC=90°,则∠A = °。

2．如图，已知△ABC 的六个元素，则甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 只有乙 D 只有丙3．如图，AB=AC ，AE=AD ，BD=CE ，求证：△AEB ≌ △ ADC 。

b ac a c c a 丙72︒50︒乙50︒甲50︒C BA 50︒72︒58︒4．如图，已知三角形的两边长分别为5和7，求第三边的中线长x的取值范围.5．如图(1)，△ABC中，BC=AC，△CDE中，CE=CD，现把两个三角形的C点重合，且使∠BCA=∠ECD，连接BE，AD. 求证：BE=AD.若将△DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗？为什么？【王牌例题】1．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠E，∠C＝∠D，BC＝DE，M为CD中点，求证：AM ⊥CD2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，直线l经过顶点C，过A，B两点分别作l的垂线AE，BF，E，F为垂足。

初三数学寒假培优提高班讲义（1）————圆（1）1、如图，⊙O 的半径是10cm ，弦AB 的长是12cm ，OC 是⊙O 的半径且OC AB ，垂足为D ，CD =__________cm.2、Rt △ABC ，∠A=90°，AB=6，AC=8，以A 为圆心，AB 为半径的圆交BC 于D ，求弦BD 的长。

3、在半径为5cm 的圆内，有两条平行弦长分别为6cm,8cm,则这两条平行弦之间的距离是多少？4、矩形ABCD 中，AB =5，BC =12，如果分别以A、C 为圆心的两圆相切，点D 在圆C 内，点B 在圆C 外，那么圆A 的半径r 的取值范围是5、 已知半径分别是17cm 和10cm ，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB 的长是16cm ，求圆心距0102的长.图5-2图5-16、（2005年上海中考）已知：如图6，圆O 是△ABC 的外接圆，圆心O 在这个三角形的高CD 上，E 、F 分别是边AC 和BC 的中点，求证：四边形CEDF 是菱形.7、（2006年上海中考）本市新建的滴水湖是圆形人工湖．为测量该湖的半径，小杰和小丽沿湖边选取A ，B ，C 三根木柱，使得A ，B 之间的距离与A ，C 之间的距离相等，并测得BC 长为240米，A 到BC 的距离为5米，如图5所示．请你帮他们求出滴水湖的半径．8、（2008年上海中考）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图7所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．（1）请你帮助小王在图8中把图形补画完整；（2）由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i 是坡面CE 的坡度），求r 的值．E F D B A O C 图7OC A 图89、（2004年上海中考）在△ ABC 中, ∠ BAC=90°,AB=AC=2 2 ,圆A 的半径为1,如图5所示,若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x,△AOC 的面积为y,（1）求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域;（2）以点O 为圆心,BO 长为半径作圆O,求当圆O 与圆A 相切时,△AOC 的面积.压轴题练习1、（2008年上海中考）已知24AB AD ==，，90DAB ∠=，AD BC ∥（如图13）．E 是射线BC 上的动点（点E 与点B 不重合），M 是线段DE 的中点．（1）设BE x =，ABM △的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域； （2）如果以线段AB 为直径的圆与以线段DE 为直径的圆外切，求线段BE 的长； （3）联结BD ，交线段AM 于点N ，如果以A N D ，，为顶点的三角形与BME △相似，求线段BE 的长．BAD MEC图13BA D C备用图B C O2.已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ． （1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．做好国有粮食企业廉政风险防控工作的思考ABF DEMNC近期，在开展党的群众路线教育实践活动中，我们带着拟定的专题“如何推进国有粮食企业廉政风险防控工作”，深入基层调研走访，着力查找问题的主要表现，分析产生问题的原因，探求解决问题的办法。

个性化教学辅导教案学生姓名年级九年级学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题圆的有关概念教学目标1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2．探索并掌握垂径定理及其推论．3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4．知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．教学过程教师活动学生活动1．圆的基本概念：在同一平面内，线段OA绕它固定的一个端点_______形成的图形叫做圆，_______叫做圆心，_______叫做半径．圆上任意两点间的_______叫做圆弧；在同圆或等圆中，能够_______的弧叫做等弧．2．圆的有关性质：(1)对称性：圆是中心对称图形，_______是它的对称中心；圆也是轴对称图形，_______都是它的对称轴．(2)圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别_______．(3)垂径定理：垂直于弦的直径_______弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径________于弦，且平分这条弦所对的两条弧．3．圆心角和圆周角：(1)圆心角：顶点在_______的角叫做圆心角；圆心角的度数_______它所对的弧的度数．圆周角：顶点在圆上，两边都与圆_______的角叫做圆周角．1．如图，CD是⊙A．AE＝BE2．如图，在⊙O中，弦AB∥CD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数为( ) A．20°B．40° C．50° D．80°3．如图，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A、B，点A的坐标为(0，3)，M 是第三象限内弧OB BMO＝120°，则⊙C的半径长为( )取线，上一点，OD⊥AC，教学目标：1、理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等孤的概念．2、探索并掌握垂径定理及其推论．3、探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论．4、知道三角形的外心，并能画任意三角形的外接圆．目标分解：【掌握圆的有关概念和计算】①知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性．②通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素．③利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和说理．④探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征．⑤掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理．⑥了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念．⑦掌握圆内接四边形的性质知识点梳理：1.圆的有关概念和性质(1) 圆的有关概念①圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点为圆心，定长为半径．②弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．③弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径．（2）圆的有关性质①圆是轴对称图形；其对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心为圆心．②垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．③弧、弦、圆心角的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角是直角；90”的圆周角所对的弦是直径．④三角形的内心和外心ⓐ：确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆．ⓑ：三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．ⓒ：三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心2.与圆有关的角（1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角。

初中数学九年级寒假尖子班专题讲义导言初中九年级寒假尖子班专题讲义旨在为学生提供全面系统的数学知识，帮助他们在寒假期间巩固和拓展数学基础，为高中数学研究打下坚实的基础。

课程目标- 深入研究数学的重要概念和方法；- 培养学生的数学思维和问题解决能力；- 掌握九年级数学的重点知识和技能。

课程安排单元一：代数与函数- 知识点：- 代数运算规律- 一元一次方程与一元一次不等式- 线性函数与二元一次方程组- 练和应用：- 解一元一次方程和不等式- 解二元一次方程组- 理解线性函数在实际问题中的应用单元二：数与式- 知识点：- 数的整数指数与实数指数幂- 实数的开方与乘方运算- 练和应用：- 计算数的整数指数与实数指数幂- 计算实数的开方与乘方运算- 解决实际问题中的数与式的计算和应用单元三：几何与观察- 知识点：- 平面图形的性质和判断- 空间图形的性质和判断- 练和应用：- 分析和判断平面图形的性质- 分析和判断空间图形的性质- 解决几何问题和观察问题单元四：概率与统计- 知识点：- 事件的概率与频率- 数据的收集与整理- 练和应用：- 计算事件的概率与频率- 收集和整理数据- 进行简单的统计分析和推断研究方法与建议- 积极参与课堂讲解和练，与同学合作研究；- 多做题和练，通过实践巩固和加深理解；- 提前预和复教材内容，保持研究的连贯性；- 请及时向老师提问和寻求帮助，解决研究中的困难。

结语初中数学九年级寒假尖子班专题讲义将为学生提供高质量的数学学习资源，帮助他们在寒假期间提升数学水平，为顺利完成初中数学学业奠定坚实基础。

希望学生们能够积极参与学习，取得优异的成绩！。

F九年级数学寒假尖子生培优教程(4)--圆、锐角三角函数综合1.⊙O 的内接等腰△ABC 中，AB=AC ，半径是5㎝，圆心O 到BC 的距离为3㎝，则腰长是________。

hw02-022.如图，⊙A 与y 轴相切于原点O ，平行于x 轴的直线交A 于M 、N 两点，若点M 的坐标是(-4，-2)，则点N 的坐标是________. hw02-123.如图,在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=6,BC=8, ⊙O 为的内切圆，点D 是斜边AB 的中点，则tan ∠ODA=______.hw06-074.如图,在平面直角坐标系xOy 中，⊙P 与y 轴相切于点C ，⊙P 的半径为4，直线y=x 被截得的弦AB 长为4P 的坐标为. ________ hw07-145.如图，⊙P 在第一象限，半径为3,动点A 沿着⊙P 运动一周，在 点A 运动的同时，作点A 关于原点O 的对称点B ，再以AB 为底边作等腰三角形△ABC ，点C 在第二象限，且sinA=45,点C 随点A 运动所形成的图形的面积为 ．cn02-106.如图，两个半径相等的直角扇形的圆心分别在对方圆弧上，半径AE 、CF 交于点G ，半径BE 、CD 交于点H ，且C 是 AB的中点，若扇形的半径为4，则图中四边形EGCH 的面积为__________平方单位。

cn02-087. 如图, 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，∠C ＝60°，AC=10,将BC 向BA 方向翻折过去，使点C 落在BA 上的点C ’，折痕为BE ，则AE 的长度为 .8.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，点G 是重心，过点G作矩形GECF ，当GF ：GE=1：2时，则∠B 的正切值是.9. 如图, 在△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 、BC于点D 、E ，BC 的延长线与⊙O 的切线AF 交于点F 。

考试内容考试要求层次A B C三角形了解三角形的有关概念；了解三角形的稳定性；会按边和角对三角形进行分类；理解三角形的内角和、外角和及三边关系；会画三角形的主要线段；知道三角形的内心、外心和重心会用尺规作给定条件的三角形；掌握三角形内角和定理及推论；会按要求解决三角形的边、角的计算问题；能用三角形的内心、外心的知识解决简单问题；会证明三角形的中位线定理，并会应用三角形中位线性质解决有关冋题等腰三角形和直角三角形了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题全等三角形了解全等三角形的概念，了解相似三角形与全等三角形之间的关系掌握两个三角形全等的条件和性质；会应用全等三角形的性质与判定解决有关冋题会运用全等三角形的知识和方法解决有关问题勾股定理及其逆定理已知直角三角形的两边长，会求第三边长会用勾股定理及其逆定理解决简单问题相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决一些实际问题锐角三角函数了解锐角三角函数（si nA，cos A，tan A）；知道30 ,45，60角的三角函数值由某个角的一个三角函数值，会求这个角的其余两个三角函数值；会计算含有30 , 45，60角的三角函数式的值淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题解直角三角形知道解直角三角形的含义会解直角三角形；能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题能综合运用直角三角形的性质解决有关问题博领先中考培优课程J比---- 7--厂工八_初三寒假•第1讲•提高班•教师版1一、等腰三角形①等腰三角形的两大特性.AAA图形7A2/_ _ACH=DE+DFCH=DE-DF V三角形特殊三甬形之等髅三角形与直角三甬形全等三角形相似三角形特性等腰三角形中的三线合一”底所在直线上的点到两腰的距离与腰上的高的关系图形^45°^6°三边1 ：1： 1i：i： 72i：i：J3「丫1仆•如之比j 1 •21*1*2、直角三角形1直角三角形的边角关系.①.直角三角形的两锐角互余. ②.三边满足勾股定理. ③.边角间满足锐角三角函数.初三寒假•第1讲•提高班•教师版领先中考培优课程2 •特殊直角三角形3 •直角三角形中的特殊线.四•全等三角形全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等.全等三角形的判定：⑴ SSS;⑵SAS :⑶ASA :⑷AAS :⑸HL .初三寒假•第1讲•提高班•教师版45在证明图形的线或角关系时，通常需要将全等与图形变换(旋转、平移、轴对称等)相结合 五•相似三角形 相似三角形的性质：⑴ 相似三角形的对应角相等，对应边成比例，其比值称为相似比. ⑵相似三角形对应高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 相似三角形的判定： ⑴ ⑵ ⑶ ⑷(2)在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4, 0)，点B 的坐标为(4 ,10)，点C 在y 轴上，且厶ABC 是直角三角形，则满足条件的C 点的坐标为 ________________ .(2010顺义一模) 淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅导、补习、家教资料都有！领先中考培优课程护平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似; 两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； 三边对应成比例，两三角形相似.r rB□ a □ rA□ □ t初三寒假•第1讲•提高班•教师版1~~-w —V - --------------------------------- —AEEEBCCBB CC CBB ⑷AAEEAEAEBCBBDCDB模块 特殊三角形夯实基础C.8D.9C (9)【例1】(1 )如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知 两格点，如果C 也是图中的格点，且使得 △ABC 为等腰三角形 个数是( )A.6B.7C D(10)本讲只针对三角形中的重要考点来编写的，侧重于等腰三 由于相似三角形在中考中考察的分值较少，而且简单， ，不对学生做太高要求 设计一种“系列探究” ，使得每一讲有 本讲的探究是：由“直角三角形斜边中线”引发的“几何最 (1) ___ E ⑵【编写思路】由于三角形的知识点非常多 角形、直角三角形、全等三角形和相似三角形， 所以本讲也只是针对相似中的重要模型进行复习另外，我们在每一讲中，针对当前考试的热点和难点个复习亮点，为我们第一轮复习锦上添花 值问题” •B C(8)AAA相似三角形的基本模型：A 、B 是 则点 C 的(3)已知：如图，在厶ABC中，B 连接DE交BC于F •求证：DF EF •(4)如图所示，在△ ABC中，BC=6, E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE于D，点Q在CE上且BQ平分/ CBP,1设BP=y , PE=X.当CQ=— CE时，y与x之间的函数关系式2是 _____________ .【解析】(1) C,两圆一垂”(2)( 0, 0),( 0, 10),( 0, 2),( 0, 8).两垂一圆”确定四个点之后，用勾股求得；(3 )证明：过D点作AC的平行线交BC于点G ,贝B= / ACB= / BGD ; ••• BD=DG = CE;易证ADFG ◎△ EFC ; • DF = EF.注：本题方法很多，还可以过D作BC平行线，或过E作AB的平行线，由平行线截等腰三角形”得新等腰三角形•(4) y= —+6;提示：延长BQ与射线EF相交，由平行线加角平分线"得到等腰三角形•【例2】(1)如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按A B C D A滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按B C D A B滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) (2010宣武一模)A. 2B. 4 —C.D. 1(2)如图，在△ ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=2，点A、C 分别在x 轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是( )A • 2.2 2B • 2.5 C. 2.6 D . 6(2010西城二模)ACB，点D在AB边上，点E在AC边的延长线上，且BD CE ,(2012海淀期中)以下探究主题为：几何最值问题【探究1】如图，△ ABC为等边三角形，边长毛1領先中考培优课程A第8题图6轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中, 点B 到原点的最大距离是 __________________ .【探究2】如图，在厶ABC 中，/ C=90° AC=4, BC=3,点A 、C 分别在x 轴、 y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点的最小距离是 _____________ .【探究 3】 如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90° / B=30° CB=3^3 ,点D 是平面上一点且 CD=2，点P 为线段 AB 上一动点，当 △ABC 绕点C 任意旋转时，在旋转过程中线段 DP 长度的最大值为 _______ ，最小值为 ________ .A ，如右图1,取AC 中点D ，连结OD 、BD ,B 三点共线时，OB 的值最大； 探究1 : 2+2 3，方法同上，取 AC 中点D ，连结 BD ，当O 、D 、B 三点共线时，OB 的值最大；探究2:如右图2,取AC 中点D ，连结OD 、BD , D 、B三点共线时，OB 的值最小，最小值为 .13【解析】 半, （1） C ,由 直角三角形斜边中线等于斜边的一半 ”可知 :是M 的轨迹围成一个半径为 1的圆； BM 、CM 、 CM 、AM 均等于FQ 的一探究3: MBC 绕点C 旋转”等价于CD 绕点C 旋转”，如下图PD 最大，当PD = | PC-CD |时，PD 最小.如图2，当P 与B 重合，PD 取最大值为 3. 3 图3,当CP 丄AB 时，PD 取最小值为3,32 .21连结CP ,PD=PC+CD ）时，2，如图1B图3【点评】动线段最值的求法一般可总结为两种方法（仅供参考） ：（1）将动线段作为一个三角形的一边，且另两边为定值，但是形状可变化，如下左图，内共线”值最小（已知AB 、BP 为定值，求动线段 AP 的最大或最小值） P 是线段BC 上的动点，求线段外共线”值 最大， （2）如下右图，垂线段最短，端点处最大（已知点 小值）•AP 的最大或最(2) D 、 2淘宝搜索店铺名：优能教育在线，小学、初中、高中全套课外辅补家教资料都有!图28初三寒假•第1讲•提高班•教师版- - -------- ―哎APBC夯实基础EPMMNBBD D能力提升7■ .kP 2 AP 2P l由全等三角形面积相 由八”字模型倒角证得APC EPC 120 PA+PC+PE=BE ， ⑥. 60)，将线段BC 绕点B 逆时针旋转60。

九年级数学寒假培优教程（3）----建模思想在解题中的应用【模型一】一线三等角问题1：如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF 的顶点E 与△ABC 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图1，当点Q 在线段AC 上，当AP=4，BP=8时，求P 、Q 两点间的距离；（2）如图2，当点Q 在线段CA 的延长线上，若BP=2a ，CQ=9a ，求PE ：EQ 的值，并直接写出△EPQ 的面积 (用含a 的代数式表示)．图1 图2【变式】：如图，已知抛物线y ＝12x 2＋bx ＋c 交x 轴正半轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，－4）． （1）求b 、c 的值；（2）若M 为AB 中点，∠PMQ 在AB 的同侧以M 为中心旋转，且∠PMQ =45°，MP 交x 轴于点D ，MQ 交y 轴于点E ，设AD 的长为m （m >0），BE 的长为n ，求n 和m 之间的函数关系式；（3）当m ，n 为何值时，∠PMQ 的边经过抛物线与x 轴的另一个交点．【巩固】如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠1=∠B=∠C．（1）由题设条件，请写出三个正确结论：（要求不再添加其他字母和辅助线，找结论过程中添加的字母和辅助线不能出现在结论中，不必证明答：结论一：；结论二：；结论三：．（2）若∠B=45°，BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），①求CE的最大值；②若△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．（注意：在第（2）的求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明【模型二】抛物线中的有关线段最值问题问题2：如图，已知抛物线y ＝12x 2-2x -4交x 轴正半轴于点A 点，交y 轴于点C ．若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点（点P 不与点A 、点C 重合），过点P 作y 轴的平行线l 与直线AC 交于点Q ， （1） 求当点P 在何位置时，线段PQ 有最大值，最大值是多少？ （2） 求△APC 面积的最大值（3） 求点P 到直线AC 的距离最大值。

三角形的概念和全等三角形【回顾与思考】三角形⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩三角形的概念及表示三角形的基本要素及基本性质三边的关系,三内角的关系三角形的高,中线,角平分线三角形全等的表示及特征三角形的全等探索三角形全等的条件三角形全等的应用知识点:三角形，三角形的角平分线，中线，高线，三角形三边间的不等关系，三角形的内角和，三角形的分类，全等形，全等三角形及其性质，三角形全等判定大纲要求1．了解全等形，全等三角形的概念和性质，逆命题和逆定理的概念，理解三角形，三角形的顶点，边，内角，外角，角平分线，中线和高线，线段中垂线等概念。

2．理解三角形的任意两边之和大于第三边的性质，掌握三角形的内角和定理，三角形的外角等于不相邻的两内角的和；三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角的性质；3．理解全等三角形的概念和性质。

掌握全等三角形的判定公理及其推论，并能应用他们进行简单的证明和计算。

4．学会演绎推理的方法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握寓丁几何证明中的分析，综合，转化等数学思想。

考查重点与常见题型1.三角形三边关系，三角形内外角性质，多为选择题，填空题；2.论证三角形全等，线段的倍分，常见的多为解答题【例题经典】三角形内角和定理的证明例1．如图所示，把图（1）中的∠1撕下来，拼成如图（2）所示的图形，从中你能得到什么结论？请你证明你所得到的结论．点证：此题是让学生动手拼接，把∠1移至∠2，已知a∥b，根据两直线平行，•同旁内角互补，得到“三角形三内角的和等于180°”的结论，由于此题剪拼的方法很多，证明的方法也很多，注意对学生的引导．变式训练：将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（） A．仍是直角三角形 B．不可能是直角三角形C．是锐角三角形 D．是钝角三角形探索三角形全等的条件例2．如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN．其中正确的结论是_________．解析：由∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF可判定△AEB≌△AFC，从而得∠EAB=∠FAC．∴∠1=∠2，又可证出△AEM≌△AFN．依此类推得①、②、③点评：注意已知条件与隐含条件相结合．变式训练：（★)已知AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD全等三角形的应用例3．如图所示，A、D、F、B在同一直线上，AD=BF，AE=BC，且AE∥BC．求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．【解析】（1）因为AE∥BC，所以∠A=∠B．又因AD=BF，所以AF=AD+DF=BF+FD=BD，又因AE=BC，所以△AEF≌△BCD．（2）因为△AEF≌△BCD，所以∠EFA=∠CDB，所以EF∥CD．【点评】根据平行寻求全等的条件，由三角形全等的性质证两直线平行．例4.如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α的度数为．答案：80°提高训练：公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.等腰三角形【回顾与思考】等腰三角形60⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎪⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪︒⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩等边对等角性质三线合一腰与底边不等的等腰三角形等角对等边判定定义三边相等性质三角都相等有一个角等于的等腰等边三角形三角形判定三边都相等(或三角都相等)的三角形 〖知识点〗等腰三角形、等腰三角形的性质和判定、等边三角形、等边三角形的性质 和判定、轴对称、轴对称图形 〖大纲要求〗1．理解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的两底角相等、等腰三角形三线合一等性质，掌握两个角相等的三角形是等腰三角形等判定定理，并能运用它们进行简单的证明和计算；2．理解等边三角形的概念，掌握等边三角形的各角都是60°等性质，掌握三个角都相等的三角形或一个角是60°的等腰三角形都是等边三角形等判定，能运用它们进行简单的证明和计算；3．了解轴对称及轴对称图形的概念，会判断轴对称图形。

初三数学寒假讲义目录第一讲中考一轮复习之数与式 (2)第二讲中考一轮复习之不等式与方程 (8)第三讲中考一轮复习之分式方程与二次方程 (16)第四讲中考第一轮复习之一次函数与反比例题函数 (26)第五讲中考一轮复习之解三角形 (35)第六讲中考一轮复习之多边形与四边形 (46)第七讲中考一轮复习之二次函数 (59)第八讲中考一轮复习之圆 (68)第九讲中考一轮复习之相似三角形 (80)第一讲 中考一轮复习之数与式板块一 实数的计算1．相关概念：（1）有理数与无理数统称为实数，实数与数轴上的点之间有着一一对应关系。

、2π-、…………，等都是无理数。

（2）相反数：若a 与b 是互为相反数，则 ，反之亦然。

（3）绝对值：（a ＞0） a ＝ （a ＝0） （a ＜0）（4）当a ≠0时，a 的倒数为 ，若ab 互为倒数，则 （5）科学记数法：科学记数法的一般形式是10(110)≤n a a ⨯< （6）平方根：若2x a =，则x ＝ ，x 叫做a 的平方根。

立方根：若3x a =，则x a 的立方根。

（7）⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥⎩⎨⎧）（二次根式时，分式有意义，当分式多项式单项式整式代数式0a a 0____B B A（8）a a =2，a a =2)(，a a =33，a a =33)(b a b a ⋅=⋅，ba ba =，a a a =1，b a ba ba --=+1 （9）⎩⎨⎧<-≥=0,0,a a a a a ，⎩⎨⎧<-≥-=-ba ab ba b a b a ,,（10）)0(10≠=a a （11）)0(1≠=-a a a pp（11）特殊角的三角函数值：30°：sin 30°= ， cos 30°= ，tan 30°= ,45°：sin 45°= ， cos 45°= ，tan 45°= ，例题1：8的立方根为（ ）A.2B.±2C.4D.±4变式练习1：1.如图，数轴上点P 所表示的实数可能是（） AB.2.如图，数轴上A B 、两点分别对应实数a b 、，则下列结论正确的是（ ） A ．0a b +> B ．0a b -> C ．0ab >； D ．||||0a b ->．例题2：一生物老师在显微镜下发现，某种植物的细胞直径约为0.000000195米，将该数据用科学计数法表示为_______________米。