第一章傅里叶光学基础解析
- 格式：ppt
- 大小：1.21 MB
- 文档页数：50
下载文档原格式
合集下载
衍射及傅里叶光学的数理基础
的分布图叫做 f（x）的振幅频谱，而 cn 的辐角 n 随 的分布图叫
做 f（x）的位相频谱。由上式可得出：
cn
cn cn
1 2
an2 bn2
n
arctan
bn an
6
锯齿波及其振幅频谱
锯齿波表示为: f x x f x 2 f x
求傅里叶系数
1
a0
2
xdx 2
2
g(r, ) 0 0 G(,)exp[ j2 rcos( )]dd
26
当二元函数具有圆对称性时，可表示为 g(r,) gR (r) ，可得：
2
G(,) 0 r gR (r) 0 exp[ j2 r cos( )]d dr
利用性质
2 0
exp(
j
xcos )d
2 J0 (x)
，并令
右图为矩形函数的频谱图。定义 F() 的主瓣宽度为矩形函数的频 带宽度，由图可知， rect(ax) 的频
带宽度 w=2a。
F() 1 a
3a 2a a
a
(b)
u
2a 3a
12
高斯函数的傅里叶变换：
f (x) exp( x2 )
F() exp( x2 )exp( j2 x)dx
exp(2 ) exp[ (x ju)2 ]dx
2
§2.3 傅里叶变换的 基本概念及运算
2.3.1 傅里叶级数及频谱的概念
3
1 傅里叶级数的定义
设 f（x）是周期为 T 的周期函数，满足狄里赫利条件，
于是 f（x）可展开为傅里叶级数：
f
(x)
a0 2
n 1
an
cos
2 nx
傅立叶光学习题解答及参考答案
第一章 傅里叶分析部份习题解答及参考答案[1-1] 试分别写出图X1－1中所示图形的函数表达式。
图X1-1 习题[1-1]各函数图形解：(a)−∧L x x a 0 (b) () ∧−−L x b a L x a 2rect(c) ()x L x a sgn 2rect (d) x L x cos 2rect[1-2] 试证明下列各式。
(1) += 21comb 21comb x x- (2) ()()x i e x x x πcomb comb 2comb +=(3)()()()x x N x N ππsin sin lim comb ∞→= (4) ()()xx x πωδωsin lim ∞→=(5)()()∫∞∞−=ωωπδd cos 21x x (6)()ωπδωd 21∫∞∞−±=x i e x解：(1)原式左端∑∑∞−∞=∞−∞=+−−=−−=m n m x n x 12121δδ 令()1−=m n=−+=∑∞−∞=m m x 21δ右端 (2)()∑∑∞−∞=∞−∞=−=−= n n n x n x x 2222comb δδ n 2只取偶数()()∑∞−∞=−=m m x x δcomb()()πδδππm m x e m x e x m im m x i cos 2comb ∑∑∞−∞=∞−∞=−=−=当=m 奇数时，()()0comb comb =+xi ex x π；当=m 偶数时，令n m 2=，则12 cos =x π，并且有： ()()()∑∞−∞=−=+n n x x x 22e comb comb xi δπ 得证。
(3)由公式(1-8-7)知：()∑∞−∞=−=n nxex π2i comb上式可视为等比级数求和，其前N 项之和为：()()()()()x Nx e e e e e e e e q q a S x i x i x i Nx i Nx i Nx i x i Nx i N N ππππππππππsin sin 1111221=−−=−−=−−=−−−−−− 所以 ()()()x Nx S x N N N ππsin sin limlim comb ∞→∞→==得证。
傅 立 叶 光 学1-4
x Nx=Δ x· x= B x
Bx · x =1
应用光学 基本观点：光是能量的 射线
物光 电磁波
信光 光是信号 的载体
基本定理：费玛原理
光波的电磁场 理论
线性系统理论
成像、象差理论 基本内容：
光学系统设计
光的传播及 光与物质 作用
光学信息处理
四、信息光学的基本内容
1、光信号的频谱分析（F输，但解码 只能在像面上
4、信号的质量 音质：输出电流 I（t） （在时间域 内） 频域宽则音质好
1.22 像质：空域内分辨率高（分辨角 D
小），像质好，清晰，色调丰富（层 次丰富，在白与黑之间）
5、信号分析：将空间或时间函数变换为频域 内的频谱函数
卷积宽度为被卷函数宽度之和五卷积运算规律六脉冲函数的卷积fxrectxa?ax?0xx?1xx1x0xhx1dxcombdhxdx光栅宽为d光栅透过率0x1xdxgxrect????01xxxx1gxddxxrectcombd??25相关correlation两函数或信号相似程度一互相关图解时不需折叠其它运算与卷积一致1定义fxgx??f???d????dxfxgg??????????2相关与卷积的关系fxgx若即gx为实偶函数fxgxfxxgg???gxxg??fxx??3图解法x???????为坐标变换与卷积不一样不需翻转折叠????平移1平移g??0023xfx??????gg相乘逐点积分二自相关1定义2特点2特点xy????fxyffrffxydd??fxy???????????1xxx3x0ffffffffffffffrrxrrrxrr??????复函数的厄米性2为实函数时模在原点最大3应用otf
（第四章）
2、用光学信号的频谱被成像光学系统所改变 的观点来评价光学系统的成像质量 （第五章）
傅里叶光学第1章 傅里叶分析
x, y x, ydxdy 0,0
x, y 是检验函数；要求检验函数是连续的、在一个有限区间
外为零，并具有所有阶的连续导数。
1、一些常用函数
✓ 函数的常用性质
a) 筛选性质
x x0, y y0 x, y dxdy x0, y0
b) 对称性
(x) (x)
c) 比例变化性质 d) 与其他函数的乘积
(x
x0 )
1
|
|
(x
x0
)
(
x
x0 b
)
b
(x
x0 )
f (x, y) (x x0, y y0 ) f (x0, y0 ) (x x0, y y0 )
1、一些常用函数
1、一些常用函数
✓二维情况
Байду номын сангаас
(x n, y m) comb xcomb y
n m
n
m
(x
na,
y
mb)
1 ab
comb
x a
comb
y b
应用
常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
9）梳状函数( Comb function)
✓一维情况 沿x轴间隔为1的无穷个脉冲函数的和 沿x轴间隔为的无穷个脉冲函数的和
Comb(x) (x n)
n
Comb(x
n
)
第1章 傅里叶光学基础
(21)
(8) 矩 (moment) g(x,y)的(k,l g(x,y)的(k,l )阶矩定义为 M k, l = ∫∫∞- ∞ g(x,y)xk yl dxdy 将逆变换表达式( 代入上式， 将逆变换表达式(2)代入上式，得到
M k, l=∫∫∞-∞G(u,v)dudv∫∫∞-∞xkylexp[i2π(ux+vy)]dxdy G(u,v)du [i2π x+v
傅里叶-贝塞尔变换 傅里叶 贝塞尔变换 设函数g(r,θ) = g(r) 具有圆对称， 具有圆对称， 函数 θ 傅里叶-贝塞尔变换为 傅里叶 贝塞尔变换为 G(ρ) = B {g(r)} ρ = 2π ∫∞org(r)Jo(2πρr)dr g(r)J π r)dr π 其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为 傅里叶 贝塞尔逆变换为 g(r) = B-1 {G(ρ)} ρ = 2π ∫∞o ρ G(ρ)Jo(2πρr)dρ π ρ J π r)dρ
第一章
傅里叶光学基础
第一章 傅里叶光学基础
1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质
1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件 傅里叶变换可表为 复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为 G(u,v) = F {g(x,y)} = ∫∫∞- ∞g(x,y)exp[-i2π(ux+vy)]dxdy g(x,y)exp[x+vy)]dxdy (1) 为变换函数或像函数 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。 为原函数， 为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为 式的逆变换 式的逆变换为 g(x,y) = F -1{G(u,v) } = ∫∫∞- ∞G(u,v)exp[i2π(ux+vy)]dudv (2) exp[i2 x+vy)]du
傅里叶光学基础
(x0 ,y0 )是对称中心
一维情况 二维情况
rect(x/a) rect(x/a) 1 0 0 x0 x x x0
rect(x rect(x,y)
y0
a b
y
20
第一章 §1.1 常用函数
矩形函数
光学意义 一维矩形函数 单缝 二维矩形函数 矩孔
的 的
透过率函数
透过率函数
21
一维情况
x x0 rect a
附录
2
sinc2 函数
2 2
sin (πx) sinc ( x) = [sinc( x)] = (πx) 2
sinc (x) sinc2(x) 表示: 表示:
1
a =1
光 学 意 义
单缝衍射花样
的
0 -1 1
光强分布
x
34
第一章 数学基础 §1.1 常用函数
课堂练习 (二)
1, ∧(x / 2) , ) 2, ∧(2x) , )
Sgn(x Sgn(x) = 2 Step (x) - 1 (x 请加以证明
作业之一
15
第一章 §1.1 常用函数
符号函数的性质
符号函数
与函数相乘
f( x ) 0 - f( x ) x > x0 x = x0 x < x0
Sgn( x-x0 ) f(x)=
作用
代表 变号 x < x0 函数 f(x)变符号
四,三角形函数 Triangle Function tri(x/a)
x ≤ a 其它
x x 1 , ∧ = 定义: 定义: a a 一维) (一维) 0,
原型
a>0
特点: 特点:
信息光学chap1傅里叶分析
a
0
x2 + y2 circ a
1.1.7 高斯函数
Gaussian Function
Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数,即 各阶导数均连续.
Gaus(x)
x
0
二维情形:
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
1.1.8复指数函数 Complex exponential function
Aexp(j)=Acos + jAsin
w = 2p
A 0 对于简谐振动， = 2p t
：振子的位相角
推广到二维：
Aexp[j 2p (fxx+fyy)]
注意
以上定义的函数，其宗量均无量纲。在处理实际 问题时，要根据所取的单位采用适当的缩放因子。 例: 以 rect(x) 代表单缝。若x单位为cm，则 rect(x) 代表宽度为1cm 的单缝。若x单位为mm， 则 rect(x/10) 代表宽度为1cm 的单缝。
当n=k，二者定义域和值域都一样。左边＝右边。 证毕。 例题2：写出下图函数g (x)的表达式。
g(x)
1
………
b 0 x0
……….
x
写出第一个δ函数的表达形式: 写出第n个δ函数的表达形式:
d ( x - x0 )
d ( x - x0 - nb)
0
写出g(x)的表达形式:
n -
d (x - x
一维矩形函数定义
x - x0 1 x - x0 1, rect ( ) a 2 a 0, 其它
《傅里叶光学》课件
傅里叶光学在图像处理领域的应用，如图像滤波 、增强、识别等。
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
傅里叶光学基础01
专题：傅里叶光学基础Fundamentals of Fourier Optics§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念§1.2 光波的傅里叶分析§1.3 平面波角谱理论§1.4 透镜的傅里叶变换§1.5 光阿贝成像原理§1.6 光全息术傅里叶光学：研究以光作为载波，实现信息传递、变换、记录和再现的问题。
§1.1 数学基础知识和傅里叶变换的基本概念一、一些常用函数在现代光学中，常用各种非初等函数和特殊函数来描述光场的分布。
常用函数定义图形表示应用阶跃函数1 x0step(x )1step( ) 2 0x x1x0 x 0直边（或刀口）的透过率符号函数1 0xsgn(x) 0 x 01 x 0孔径的一半嵌有相位板的复振幅透过率矩形函数xrect( )ax1 1/ 2a0 else狭缝或矩孔的透过率常用函数定义图形表示应用三角形函数| x|x1 x 1( ) aa0 else光瞳为矩形的非相干成像系统的光学传递函数狭缝或矩孔的sinc函数x sin( x/ a )sinc( )a x/ a 夫琅禾费衍射图样高斯函数2x xGaus( ) expa a 激光器发出的高斯光束x y2 2circ( )r圆域函数圆孔的透过率2 21 x y r0 else二、傅里叶级数的定义一个周期性函数g(x) ，周期为T（频率f = 1/T ），在满足狄里赫利条件（函数在一个周期内只有有限个极值点和第一类不连续点），可以展开为三傅里叶系数角傅里叶级数:ag x a nfx b nfx()cos(2)sin(2)n n2n1在[-T/2, T/2]区间逐项积分：a aT2T2T2T2g x dx dx a nfx dx b nfx dx T()cos(2)sin(2)00(1) nn2 2T2T2T2T2n1因此有：2T2a g(x)dx 02TT将公式(1)两端同乘以cos(2πmfx)，并利用三角函数的正交性：0,for m n0, sin(mx)sin(nx)dx cos(mx)cos(nx)dx,for m n ,sin(mx)cos(nx)dx0,for any m and n for m n for m n逐项积分：aT2T2g(x)cos(2mfx)dx cos(2mfx)dxT2T2= 02= 0T2T2a cos(2nfx)cos(2mfx)dxb sin(2nfx)cos(2mfx)dxn T n T22 n1(m n)T2aa nfx dx Tcos(2)n2n T222T2a g(x)cos(2nfx)dxn TT2系数：2T/2直流分量a g(x)dx0/2TT2T/2余弦分量的幅度a g(x)cos2nfx dxn TT/22T/2正弦分量的幅度b g(x)s in2nfx dxn TT/2用傅里叶级数展开表示矩形周期函数ag x a nfx b nfx ()cos2sin2n n2n1f 周期信号可分解为直流，基波( )和f nf各次谐波( )的线性组合。
傅里叶光学-1
2 f x x 2 f y y 2 f z z
U ( x, y, z , t ) Re{U 0 exp( jt jk r )} Re{U 0 exp( jk r jt )}
U ( x, y) U 0 exp[ j 2 ( f x x f y y)]
--Nyquist判据
满足Nyquist判据条件下抽样函数的复原： 1 通过低通滤波系统的复原
Gs ( f x , f y ) H ( f x , f y ) G( f x , f y )
2
g ( x, y)
(SW)
---二维带限函数的最小抽样点数
2 Ly 2 Lx SW 16 Lx Ly Bx By 1 (2 Bx ) 1 (2 By )
Transform of rect(x)
rect( x) sinc( )
G( ) 1e
2
1 2
j 2 x
e dx j 2
j
1 2
1 2
e j e j sin G ( ) sinc j 2
相似性定理证明
x FT f b
x f exp( 2jx )dx b
b f exp 2j bd
b F ( b )
相移定理证明
FT f x x0 f x x0 exp j 2 x dx
f h( ) exp j 2 d exp j 2 x d
f H exp j 2 d
H f exp j 2 d
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
n -
d ( x - n ) d ( - n) comb( )
0
p/2
注意：曲线下面积:
S f ( x)dx
-
在缩放前后的变化
常用函数
注意：1.函数在时域和空域各代表什么物理对象 2. 一维向二维扩展，各代表什么物理对象
一. 阶跃函数 Step Function
定义: Step(x)=
Step(x) x 0 x 代表：开关, 无穷大半平面屏
{
1 , x>0 1/2, x=0 0, x<0
数学基础
常用函数 —变形
f(x)
x
f(x- x0) x0 x
f(x/a) x
f(-x) x
bf(x) -f(-x) x x
平移
(原点移至x0)
比例缩放
折叠
镜像对称
取反
与f(x)关于x轴 镜像对称
倍乘
y方向幅度变 化
a>1, 在x方向展宽a倍 与f(x)关于y轴 a<1, 在x方向压缩a倍
常用函数—变形
-1
0
1
x
二维sinc函数: sinc(x)sinc(y)
sinc2(0)=1, S = 1 与sinc(x)相比,曲线形状不同, 但曲线下面积相同
常用函数 (续)
六、高斯函数 Gaussian Function Gaus(x) = exp(-px2) Gaus(0) = 1 S=1 是非常平滑的函数，即 各阶导数均连续。
五.sinc函数(续) Sinc函数的重要性:
• 数学上sinc函数和rect函 数互为傅里叶变换 • 物理上，单一矩形脉冲 rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花 样是sinc函数
附: sinc2函数 sinc2(x)=[sinc(x)]2
sin2(px) (px)2
sinc (x) sinc2(x) 1
信息光学的研究方法和用途
光学+信息科学方法！
• 将信息科学中的线性系统理论引入光学 • 把光学成像系统看成一种二维的图像信号的 传输、变换和处理系统由空间域扩展到空间 频率域，对光学成像系统进行空间频谱分析 • 光学成像系统的单一成像功能扩展到二维信 息处理 • 二维信号（图像）的各种运算方法，图像处 理与识别技术，高密度信息存储的光学方法， 三维面形测量，全息散斑干涉技术（特点）
对于简谐振动，q = 2pn t
q
q：振子的位相角
推广到二维：
Aexp[j 2p (ux+vy)]
九、 d -函数 的阵列--梳状函数 comb(x)
定义:
comb( x)
n -
d ( x - n)
n为整数
表示沿 x 轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列。 例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅。 间隔为 的脉冲系列:
例: f(x)={ x, 0
先折叠
-x) -1 0
0<x<1 其它
0
f(x) 1x
求 f(-2x+4)
解： f(-2x+4)= f[-2(x-2)]，包含折叠、压缩、平移
再压缩
f(-2x)
最后平移
f[-2(x-2)]
x
-1/2 0
x
0
3/2
x
练习：f(x)={cos(x), |x|p/2
0 其它
sinc(x) 1 -1 1
x - x0 标准型 : sinc ( ) a
1
a+x0 x
0
x
特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x
x0 -a+x0
曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3…)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2
常用函数
Gaus(x)
x
0
二维情形:
Gaus(x)Gaus(y)=exp[- p(x2+y2)] 可代表单模激光束的光强分布
常用函数 (续)
七、圆域函数 Circular Function
1, 2 2 定义: circ(r) = circ( x y ) 0,
circ函数是不可分离变量的二元函数
rect(x - x0/a)
0
x0 a
x
x - x0 rect ( ) a
y
a
x0, y0
b x
0
a
x - x0 y - y0 rect ( ) rect ( ) a b
常用函数 (续)
四、三角形函数 Triangle Function
x - x0 1 - x , x 1 x - x0 , 1 原型 : tri( x) , 标准型 : tri( ) a a 其它 0, 0,
tri(x) -1 0 1 1 x 1 -a+x0 x0 x a+x0
x - x0 1 a 其它
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
又写成：L(x) 要关注它和矩形函数的关系 （两个相同矩形函数的卷积）
常用函数 (续)
五、sinc函数
sin( px) 原型 : sinc ( x) , px
1
0
常用函数 (续)
二. 符号函数 Signum
定义: Sgn(x)=
{
1 , x>0 0, x=0 -1, x<0
与 Step函数的关系: Sgn(x)=2 Step (x)-1
原型
1 0 Sgn(x) x
-1
代表“p”相移器、反相器
常用函数 (续)
三.矩形函数 Rectangle Function 定义
x2 y 2 1 其它
描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率
1 y
0
x
a 0
x2 y2 circ a
常用函数 (续)
八、复指数函数 Complex exponential function
Aexp(jq)=Acosq +jAsinq
w = 2pn
A 0
x - x0 1 1 x - x0 1, x 1, rect( x) ) a 2 2 , 标准型 : rect( a 其它 0, 其它 0,
原型特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数
1 -1/2 rect(x) x 0 1/2
快门; 单缝, 矩孔,区域限定
求 f(-x/2+p/4)
常用函数—变形
f(x)={ cos(x), |x|p/2 0 其它 求 f (-x/2+p/4)
-p/2 f(x) x
0
p/2
解： f(-x/2+p/4)= f[- (x- p/2)/2]，包含折叠、扩展、平移 先折叠， 偶函数折叠后不变 再扩展, 最后平移
-p/2 f(-x) x