在不等式证明中的妙用泰勒公式

高等数学之泰勒公式的应用问题方法总结
应用泰勒公式来求函数极限和求证明题经常出现在考研题中。

利用泰勒公式求极限是求极限的一种常用方法，这种方法可以减少求极限的计算量。

另外可以利用泰勒公式来证明不等式，如果要证明的不等式中，函数函数的二阶或二阶以上的导数，这时我们可以考虑通过泰勒公式证明不等式。

泰勒公式的应用：
（1）把函数f（x）展开成n阶的麦克劳林公式；
（2）求函数f（x）的n阶导数；
（3）利用泰勒公式求极限；
（4）利用泰勒公式求证明题。

题型一：利用泰勒公式求极限；
利用泰勒公式在于要把函数展开到x的几次方，一般对于分子和分母有一个能确定次数，则可以把另一个展开到相同次数即可。

例1：
分析：本题可以先确定分母展开的次数，ln(1-x)至少展开到二阶，确定了分母的次数后，分子的次数也就可以确定了。

解：
题型二：利用泰勒公式求证明题
例2：
证明：
备注：利用泰勒公式求极限和求证明题是考研中经常考的知识点。

浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。

泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。

本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。

关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。

利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。

当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。

例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。

解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。

24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。

个应用泰勒公式在证明不等式中的几个应用摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。

特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。

本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词：泰勒公式；偏导数；不等式 引言泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。

泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。

泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。

但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：定理1[1]设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+⋅⋅⋅+ ()()0nf x n!0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =()(1)(1)!n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即()f x = ()0f +()0'f x +()02!f''2x +⋅⋅⋅+()()0!nf n nx +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。

泰勒公式在不等式证明中的应用作者：孟丽君来源：《文理导航》2017年第02期【摘要】泰勒公式在数学分析里有着重要的地位，并且可以给一些高数题目的求解带来便利。

本文介绍了泰勒公式在一般不等式、积分不等式、导数不等式方面的应用，总结出泰勒公式在证明一般不等式、积分不等式、导数不等式的思路。

【关键词】泰勒公式；不等式一、引言多项式函数是各类函数中最简单的函数，泰勒公式建立了一般函数与多项式函数的联系。

研究泰勒公式，对于我们解决许多数学题目有重要意义。

泰勒公式的重要结论如下：定理1 若函数f（x）在点x0存在直至n阶导数，则有f（x）=Tn（x）+o（（x-x0）n）（1）其中Tn（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2+…+（x-x0）n为泰勒多项式，而o （（x-x0）n）为佩亚诺型余项，（1）式为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。

定理2 若函数f（x）在[a，b]存在直至n阶连续导函数，在（a，b）存在n+1阶导函数，则对任意给定的x，x0∈[a，b]，至少存在一点ξ∈（a，b），使得f（x）=Tn（x）+（x-x0）n+1 （2）其中Tn（x）同定理1相同为泰勒多项式，而（x-x0）n+1为拉格朗日余项，（2）式为带有拉格朗日余项的泰勒公式。

一些文献对泰勒公式的应用，如求函数的近似值、求函数的极限、求函数在某点的高阶导数值等，本文着重介绍泰勒公式在证明不等式中的应用，帮助学生系统掌握这部分知识。

二、在证明一般不等式方面的应用泰勒公式在证明一般不等式的题目类型条件约束较低，一般题目中函数只要二阶或二阶以上可导，就可以考虑使用泰勒公式。

例1（哈尔滨工业大学，北京科技大学）设f（x）在[a，b]上二阶可微，f″（x）∀a≤x1kif（xi）证明：因f（x）在[a，b]上二阶可微，从而f（x）用泰勒公式展开到二阶f（x）=f（x0）+f′（x0）（x-x0）+（x-x0）2泰勒公式证明题目的时候要选择恰当的x，x0，本题中选择x=xi，x0=kixi从而上式为：f（xi）=f（kixi）+f′（kixi）（xi-kixi）+（xi-kixi）2将ki乘上式两端，然后n个不等式相加，得出：kif（xi）kif（xi）由已知条件ki=1，可以得出：[kif′（kixi）（xi-kixi）]=f′（kixi）[kixi-ki（kixi）]=0从而kif（xi）（上接第44页）例2（北京师范大学）设f（x）有二阶导数，f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]，试证：f″（x）≥0证明：因f（x）有二阶导数，从而f（x-h），f（x+h）用泰勒公式展开到二阶f（x-h）=f（x）-f′（x）h+h2+o（h2）f（x+h）=f（x）+f′（x）h+h2+o（h2）上面两式相加并除以2，得出[f（x-h）+f（x+h）]=f（x）+h2+o（h2）由已知条件f（x）≤[f（x-h）+f（x+h）]上式可以得出h2+o（h2）≥0⇒+≥0令h→0取极限得出f″（x）≥0通过例1，例2可以总结出用泰勒公式证明一般不等式的解题思路：（1）按照已知条件，通常条件的最高阶数为泰勒公式展开的最高阶数；（2）泰勒公式展开后要选择适合的，关于的选择需要一定解题经验，应该加强这方面的积累；（3）根据已知条件对泰勒展式进行适当缩放。

泰 勒 公 式 及 其 应 用杨东京 160701153（淮阴师范学院数学科学学院，江苏 淮安 223300）［摘 要］泰勒公式是数学分析中重要的公式，在解题中有着重要的作用。

本文介绍了泰勒公式及其余项定义，归纳总结了泰勒公式在近似计算中的应用，利用泰勒公式判断敛散性及求极限，利用泰勒公式求函数的高阶导数，泰勒公式在无穷小中的应用，泰勒公式在不等式证明中的应用。

［关键词］泰勒公式 余项 极限 不等式一、引 言多项式是函数中最简单的一种,对于一些较复杂的函数,为了便于研究,往往希望用多项式表示函数.为了更好更方便的研究一些复杂的函数,我们寻求更广泛的、更高精度的近似公式来表示,这就引入了泰勒公式.二、泰勒公式的定义定理：若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有即),)(()()(0n n x x o x T x f -+=))(()(!)()(!2)())(()()(000)(200000n n n x x o x x n x f x x x f''x x x f'x f x f -+-++-+-+=此式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，)()()(x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如))((0n x x o -的余项称为佩亚诺型余项。

三、泰勒公式的应用泰勒公式是一种非常开放的数学公式, 从而在解决数学计算及推理某些重要结论方面有很重要的应用, 现分别归纳总结此公式用以解决实际数学计算中的重要作用及其应用范围。

现分别在本文中在以下几个大的方面去逐一分析泰勒公式本身在以下几个具体问题的应用:（一）用泰勒公式研究函数的极值、凸凹性例 1 (极值的第二充分条件)设 f(x)在 x0的某邻域 U(x0;δ)内一阶可导。

在 x=x0处二阶可导。

且 f'(x0)=0, f''(x0)≠0.(1)若 f''(x0)＜0，则 f(x)于 x0处取得极大值。

泰勒(taylor)公式在不等式证明中的应用
礼节介绍
1、泰勒公式是由美国数学家乔治·布莱尔·泰勒于1815年发明的，它是一种用来分析函数在某一点处的切线和曲线抛物线的数学工具，从而可以估计函数类型和特征。

2、泰勒公式可以用于函数无穷小展开式的应用，它可以解决许多函数的不等式证明、微积分和科学计算等问题。

3、泰勒公式的主要用在不等式证明中，它可以帮助数学家分析函数的某个特定点处的变化情况，从而推导出函数的不等式，有效地证明这个不等式。

4、使用泰勒公式证明不等式的步骤是:
(1)通过求解函数的导数来理解函数某点处的变化情况；
(2)求解函数在某处的切线；
(3)使用抛物线来拟合函数；
(4)使用推到出的抛物线上的不等式来表述函数中的不等式；
(5)最后，需要对不等式进行证明。

5、由于泰勒公式对函数分析和验证都有极大的帮助，它广泛应用于统计学、总体估计、微分方程、函数优化等多个领域中。

此外，它也可以为有效管理和校验一些数值问题提供有力的帮手，也是数学科学领域中数值分析的有力工具。

在不等式证明中的妙用泰勒公式
不等式的证明包括了比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法等。

1、比较法
包含比差和比商两种方法。

2、综合法
证明不等式时，从命题的未知条件启程，利用公理、定理、法则等，逐步推论出与证明的命题的方法称作综合法，综合法又叫做承发推证法或因导果法。

3、分析法
证明不等式时，从待证命题启程，分析并使其设立的充分条件，利用未知的一些基本原理，逐步积极探索，最后将命题设立的条件归咎于一个已经证明过的定理、直观事实或题设的条件，这种证明的方法称作分析法，它就是执果索因的方法。

4、放缩法
证明不等式时，有时根据须要把须要证明的不等式的值适度压缩或增大，并使其化繁为简，化难为易，达至证明的目的，这种方法称作阿提斯鲁夫尔谷法。

5、数学归纳法
用数学归纳法证明不等式，必须特别注意两步一结论。

在证明第二步时，一般多用到比较法、放缩法和分析法。

6、反证法
证明不等式时，首先假设要证明的命题的反面成立，把它作为条件和其他条件结合在一起，利用已知定义、定理、公理等基本原理逐步推证出一个与命题的条件或已证明的'定理或公认的简单事实相矛盾的结论，以此说明原假设的结论不成立，从而肯定原命题的结论成立的方法称为反证法。

不管就是以上哪一种方法，都就是我们须要掌控的方法。

泰勒中值定理在不等式证明中的应用
严永仙
【期刊名称】《浙江科技学院学报》
【年(卷),期】2010(022)003
【摘要】从不等式的特点出发,应用实际范例给出了泰勒公式中展开点选取的几种情况:区间的中点,已知区间的两端点,函数的极值点或最值点,已知区间的任意点.同时对各种情况的运用范围和特点作了说明,以便更好地运用泰勒中值定理证明不等式.
【总页数】6页(P164-169)
【作者】严永仙
【作者单位】浙江科技学院,理学院,杭州,310023
【正文语种】中文
【中图分类】O172
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