19泰勒公式在证明不等式中的几个应用

本科生实践教学活动周实践教学成果成果形式：论文成果名称：泰勒公式及其应用****：***学号： **********专业：信息与计算科学班级：计科1301****：***完成时间：2014年7月20日泰勒公式及其应用摘要在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义、内容，并介绍了泰勒公式的10个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒公式的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式佩亚诺余项拉格朗日余项应用目录序言 (1)一、泰勒公式 (1)（一）定义 (1)（二）余项 (1)1.佩亚诺(Peano）余项 (1)2.施勒米尔希-罗什(Schlomilch-Roche）余项 (2)3.拉格朗日（Lagrange）余项 (2)4.柯西（Cauchy）余项 (2)5.积分余项 (2)（三）推导过程 (2)1.展开式 (2)2.余项 (3)二、泰勒公式的应用 (5)（一）实例 (5)1.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (5)2.利用泰勒公式进行近似值计算 (6)3.利用泰勒公式求极限 (6)4.利用泰勒公式证明不等式 (7)5.利用泰勒公式判断级数的敛散性 (8)6.利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (9)7.利用泰勒公式判断函数的极值 (9)8.利用泰勒公式求初等函数的幂级数展开式 (10)9.利用泰勒公式进行近似计算 (10)10.利用泰勒公式解经济学问题 (11)三、实践总结 (12)参考文献 (13)序言在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容，由于在分析和研究数学问题中它有着重要作用，所以成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作为数学系的学生，我认为掌握泰勒公式及其应用是非常有必要的。

本文将从泰勒公式的内容和泰勒公式的应用两方面入手。

对于泰勒公式的内容，具体研究泰勒公式的定义、表达形式、推导过程；对于泰勒公式的应用，本文是以实例的形式出现，从十个方面介绍泰勒公式的应用。

浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。

泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。

本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。

关键词：泰勒公式 求极限 不等式 行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。

利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。

当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。

例1 求2240cos limx x x e x -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。

解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+-441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112limlim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x ex-→-解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可。

24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x →-+=112=-带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。

泰勒公式及其应用佟梅(渤海大学数学系辽宁锦州121000 中国)摘要：数学是一门很重要的学科，许多的数学家研究出了各种定理、公式，并且都证实了它们的正确性，应用这些定理公式解决了许多疑难问题，泰勒公式就是其一。

泰勒公式是数学分析中的一个重要公式，它在解决分析中的问题时应用广泛、灵活，也是解决各种数学问题的一个强有力的工具之一，本文对泰勒公式进行了简单的介绍，重点介绍了它的各种应用，作了一个较系统和规律性的分析综述。

首先，介绍了泰勒定理及其几种表示形式的泰勒公式，在后面的应用中会应用到。

其次，就是本文的重点——泰勒公式的应用，介绍了九个方面，主要包括：研究级数和广义积分的敛散性、利用泰勒公式求极限、近似计算和误差估计、确定和比较无穷小的阶、证明不等式等等，通过许多的例题分析，体现出了泰勒公式在解决数学问题时的重要性和简洁性。

关键词：泰勒公式，极限，误差估计，敛散性，不等式。

Taylor’s formula and its applicationTong Mei(Department of Mathematics Bohai University，Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract:Mathematics is a very important discipline. Many mathematicians studied all kinds of theorem and formula, proved their correctness, and applied them to solve a number of difficult problems. Taylor formula is one of them.Taylor’s formula is a important formula in mathematical analysis. It can be used widely and conveniently to solve the problems in analysis. In addition, it is one of powerful tools to solve all kinds of mathematics problems. This article provides a simple introdu ction to Taylor’s formula, emphasizes its various applications, and makes a systematic and inerratic analysis summary. Firstly, this article introduces the Taylor theorem and some Taylor’s formula of different _expression forms, which will be applied later. Next, it is the emphasis of this article -- the application of Taylor’s formula. Here nine aspects are introduced: studying the convergence and divergence of series and the improper integral, using the Taylor’s formnla to calculate limit, the approximate calculation and error estimate, determining and comparing the order of infinitesimals, the application in theorem proof, proving inequality, and so on. Through many example analysis, the importance and conciseness of Taylor’s formula in solving mathematic s questions are well illustrated.Key Words: Taylor’s formula; limit; error estimate ;convergent or divergent; inequality.前言对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达，多项式就是非常简单的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算就能计算出函数值，因此我们希望用多项式来近似表达函数，本文将介绍近似计算理论分析的一个重要内容——泰勒公式，并重点研究它的广泛应用。

泰勒公式泰勒(Tayloy)公式是微积分中的一个重要公式，也是进行数学理论研究与计算的重要的工具，但大多数的高等数学教材中，对泰勒公式应用的介绍都较少，导致学生难以掌握泰勒公式及其应用技巧。

由于低次多项式不能精确地表示函数并进行近似计算，在遇到一些精度要求较高，需要进行误差估计的情况时，就需要用高次多项式来近似表示函数并给出相应的误差公式。

泰勒公式是数学分析中一个重要的偏方程，因此在数学中有很高的地位。

泰勒公式教学方法泰勒公式是高等数学微分学教学中的重点和难点，其教学方法一直吸引着广大数学教师研究。

但是泰勒中值定理和泰勒公式比较抽象深奥，真的会让大部分同学感到困惑不解。

虽然他们已经充分预习，认真听讲，但还是会感到一头雾水，满腹疑问。

困难、无知、不理解是学生学习泰勒公式后的主要感受。

作为一个传道授业解惑的老师，我一直希望改变这种现象，希望泰勒公式给学生留下最深的印象是好的、有用的、实用的。

所以这门课的教学需要老师投入更多的精力去设计自己的教学方法和教学思路。

例：设函数f（x）在x=x0处存在二阶导数，试证：等式右端是一个二次多项式加一个高阶无穷小项。

我们回顾一下它的证明。

通过上节课的知识，我们只需要用一次洛必达法则和导数的定义就证明了这个结论。

但是，我们并不是第一次用多项式来表示一般的函数了，在第二章学习微分的时候，我们知道，如果函数f（x）在x=x0处可微，则f（x）=f（x0）+f忆（x0）（x-x0）+o（x-x0）。

这说明如果函数f（x）在x0处有一阶导数，则f（x）等于一个一次的多项式加x-x0的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有二阶导数，则f（x）等于一个二次的多项式加（x-x0）2的高阶无穷小；如果函数f（x）在x0处有三阶导数呢，大家猜想，我们会得到什么结论？到了这里，学生会自然而然地想到：如果函数f（x）在x0处有三阶导数，那么f（x）就等于一个三次的多项式加（x-x0）3的高阶无穷小。

泰勒公式的证明与应用编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（泰勒公式的证明与应用）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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本科生毕业论文（设计）册学院专业班级学生指导教师论文编号目录中文摘要、关键词 (Ⅱ)绪论 (1)一、泰勒简介 (1)二、泰勒公式的证明 (2)2.1带有佩亚诺型余项的泰勒公式 (2)2。

2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (3)2.3几种常见函数的展开式 (4)三、泰勒公式应用 (5)3。

1应用泰勒公式求极限 (5)3.2利用泰勒公式证明不等式……………………………………(7)3。

3 利用泰勒公式判断级数、积分的敛散性 (11)3。

4利用泰勒公式证明根的唯一存在性 (13)3。

5 利用泰勒公式证明函数极值 (14)3。

6利用泰勒公式近似计算求值 (14)3。

6.1 对函数的近似计算 (14)3。

6.2求高阶导数在某些点的数值 (16)3.6。

3求行列式的值 (17)参考文献 (20)英文摘要、关键词 (Ⅲ)泰勒公式的证明与应用摘要本文主要介绍了泰勒公式及其常见的几个函数展开式。

在微积分学中，泰勒定理,是给出了一个近似k次可微函数，通过给定k—阶泰勒多项式点周围。

对于解析函数在某一点的泰勒多项式是有限阶泰勒级数，这完全决定在一些点附近的函数。

泰勒公式的初衷也就是用多项式来近似表示函数在某一点周围的情况,从而可以将复杂的函数在定义域内某一具体点展成我们熟悉的多项式,也即用一个多项式函数去逼近原函数,将误差控制在我们需要的范围内，从而更加有利于我们简化计算、思维方式,从而得到我们想要的答案来解决问题。

1、绪论泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。

作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结。

由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明。

使我们对泰勒公式有了更深一层的理解,怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识。

只要在解题训练中注意分析,研究题设条件及其形式特点,并把握上述处理规则,就能比较好地掌握利用泰勒公式解题的技巧。

2、布鲁克·泰勒简介布鲁克·泰勒（1685年8月18日出生于英格兰密德萨斯埃德蒙顿，1731年11月30日逝世于伦敦）是一名英国数学家，他主要以泰勒公式和泰勒级数出名。

他的母校为剑桥大学圣约翰学院。

进入大学之前，他一直在家里读书，他的全家尤其是他的父亲都喜欢音乐和艺术，并且经常在家里招待艺术家。

这对泰勒一生的工作造成了极大的影响，这从他的俩个主要科学研究课题：弦振动问题及透视画法就可以看出来。

1701年布鲁克·泰勒进入剑桥大学圣约翰学院，1709年他获得法学学士、1714年获得法学博士学位。

他也学习数学。

1708年他获得了“振荡中心”问题的一个解决方法，但是这个解法直到1714年才被发表。

因此导致约翰·白努利与他争谁首先得到解法的问题。

他1715年发表的《Methodus Incrementorum Directa et Inversa》为高等数学添加了一个新的分支，今天这个方法被称为有限差分方法。

除其它许多用途外他用这个方法来确定一个振动弦的运动。

他是第一个成功地使用物理效应来阐明这个运动的人。

在同一著作中他还提出了著名的泰勒公式。

直到1772年约瑟夫·路易斯·拉格朗日才认识到这个公式的重要性并称之为“导数计算的基础”（le principal fondement du calcul différentiel）。

泰勒公式及其应用江爱珍 B09010108 通信一班摘要：本文简单介绍了泰勒公式，并从六个方面来简要地介绍了其广泛的应用，分别是等式与不等式的证明、极限的计算、近似计算和误差估计，求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值，判断级数的敛散性.关键词：泰勒公式，极限，近似计算和误差估计，极值，展开式，行列式，敛散性引言：泰勒公式是高等数学极其重要的内容，是函数展开的重要工具它可以使较为复杂的函数用简单的多项式函数来表示，更简便的解决数学问题。

本文将用例题来说明泰勒公式的应用的几个方面，并对解题方法做出总结。

一、泰勒公式的介绍18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在其著作《正 的和反的增量方法》中，提出了著名定理——泰勒定理。

泰勒公式有如下两种定义：定义1]1[若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有'''200000()()()()()()1!2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+()000()()(())!n n nfx x x o x x n +-+- （1）这里))((0nx x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成)(!)0(!2)0(!1)0()0()()(2'''nnn x o xn fx f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则''()'20000000()()()()()()()...()()2!!n nn f x fx f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n fR x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f在0x 的泰勒公式.当0x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)...()2!!n nn f ff x f f x x x R x n =+++++称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式：12)!1(!!21+++++++=n xnxxn en xxx eθ .)()!12()1(!5!3sin 221253++++-+-+-=n n nxo n xxxx x .24622cos 1(1)()2!4!6!(2)!nnnxxxxx o xn =-+-++-+ .)(1)1(32)1ln(1132++++-+-+-=+n n nxo n xxxx x .)(1112nn x o x x x x+++++=- .二、 泰勒公式的应用1.应用泰勒公式证明例1．证明 e x i x ixsin cos += 证明：将cosx ，sinx 在x=0点泰勒展开有：cosx=∑∞=-02)!2()1(n nnn x sinx=∑∞=++-012)!12()1(n n nn x又cosx=∑∞=-02)!2()1(n n n n x =∑∞=022)!2(n n nn xi=∑∞=02)!2()(n nn ixisinx=∑∞=++-012)!12()1(n n n n ix=∑∞=++012)!12()(n n n ix所以 cosx+sinx=∑∞=02)!2()(n n n ix +∑∞=++012)!12()(n n n ix =∑∞=0!)(n nn ix =e ix ,证毕。

泰勒公式在证明不等式中的几个应用摘 要：泰勒公式作为一种重要的数学工具，无论对科研还是在证明、计算等方面，它都起着很重要的作用。

特别在高等数学范畴内，灵活运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩等是解决不等式证明问题的常用方法与思想。

本文主要通过对各类典型不等式证明问题的分析处理，归纳了用泰勒公式来证明有关定积分不等式问题、含有初等函数与幂函数的不等式和一般不等式问题，以及泰勒公式在一元函数、二元函数不等式中的推广、证明与应用.关键词：泰勒公式；偏导数；不等式引言泰勒公式是高等数学中的重点，也是一个难点，它贯穿于高等数学的始终。

泰勒公式的重点就在于使用一个n 次多项式()n p x ,去逼近一个已知的函数()f x ，而且这种逼近有很好的性质：()n p x 与()f x 在x 点具有相同的直到阶n 的导数]31[-.所以泰勒公式能很好的集中体现高等数学中的“逼近”这一思想精髓。

泰勒公式的难点就在于它的理论性比较强，一般很难接受，更不用说应用了。

但泰勒公式无论在科研领域还是在证明、计算应用等方面，它都起着很重要的作用.文献[3-6]介绍了运用泰勒公式，对不等式问题进行分析、构造、转化、放缩是解决不等式证明问题的常用方法与基本思想.本文拟在前面文献研究的基础上通过举例归纳，总结泰勒公式在证明不等式中的应用方法. 1 泰勒公式知识的回顾：定理1[1]设函数()f x 在点0x 处的某邻域内具有1n +阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x ，在0x 与x 之间至少存在一点ξ，使得：()f x =()0f x +()0'f x 0(x -x )+()0f''x 2!02(x -x )+⋅⋅⋅+ ()()0nf x n!0n (x -x )+()n R x ， 其中()n R x =()(1)(1)!n f n ξ++称为余项，上式称为n 阶泰勒公式；若0x =0，则上述的泰勒公式称为麦克劳林公式，即()f x = ()0f +()0'f x +()02!f''2x +⋅⋅⋅+()()0!nf n nx +0()n x . 2 泰勒公式在证明不等式中的应用不等式是高等数学和近代数学分析的重要内容之一，它反映了各变量之间很重要的一种关系即他们之间的大小关系。

泰勒公式及其应用姓名 刘雷 学号 200725020221 指导老师：王春生阜阳师范学院信息工程学院数学系数学与应用数学专业2007级2班,[摘 要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式, 泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆，本文针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,函数的凸凹性，拐点 ,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值.中间值[关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；凸凹性；拐点；;展开式;近似计算;行列式.1 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学方面问题的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用，本文主要叙述其应用，通过大量的例题进行讲解说明。

2 知识点定义2.1 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有()f x =0()f x +'0()1!f x （x-0x ）+''0()2!f x (x-20)x +……+()0()!n f x n （x-0)n x +((o x -0))n x (1)这里((o x -0))n x 为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式.当0x =0时,（1）式变成, ()f x =(0)f +'(0)1!f x+''2(0)2!f x +……()(0)!n nf x n +()n o x 称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式，定义2.2 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则 , ()f x = 0()f x +'0()f x (x -0)x +''0()(2!f x x -20)x +……+()0()(!n f x x n -0)n x +()n R x , （ 2 ） 这里()n R x 为拉格朗日余项(1)10()()()(1)!n n n f R x x x n &=,其中&在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式.当x =0时,（2）式变成''()'2(0)(0)()(0)(0)......()2!!n n n f f f x f f x x x R x n =称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式： 2+1= 1+ + + . . . .+ + 2!!(+1)!n x xn x x e e x x n n α352+12+2sin = + ...+ (1)+ ()3!5!(2+1)!n nn x x x x x o x n -24622cos =1 + +....+ (1) + ()2!4!6!(2)!n n n x x x x x o x n . 23ln(1)23x x x x +=-++…1()nn n x n-+(-1)+o x 2(1)(1)12mm m x x x -+=+m +!…+(1)(1)nm m m n x n - !()n +o x21=1+ + + ... + +()1n n x x x o x x. 3 泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算,有时可用某项的泰勒展开式来代替该项,使得原来函数的极限转化为类似多项式有理式的极限,就能简捷地求出.例 3.1求极限1sin 2limsin cos xx xx x x x xe →0---- .分析：此为0型极限,若用罗比达法求解，则很麻烦,这时可将cos x 和sinx,xe分别用泰勒展开式代替,则可简化此比式.解： 由1sin 2xx x x e---=233331()())2626x x o o x x x x x ++++-1-x-(x-+=34333()()6126o o x xxx x ++=+,3233sin cos ()(1())62x x x o x o x x x x -x =-+--+33()3o xx =+于是1sin 2limsin cos xx x x x x x x e →0----3333()162()3o o x x x x +==+， 3.2 利用泰勒公式证明不等式例3.2 在[a,b]上f(x)>0，且()0nx f<，试证明2max ()()baa x bf x f x dx b a <<<∫- 证明： 任取[p,q]⊂[a,b]，对任意x ∈[p,q]，利用泰勒公式及其条件()0nx f<可得 ()()f p f x =+()x ´ƒ22()()(2p x p fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()p x -（1）()()f q f x =+()x ´ƒ222()()(2q x q fξ-+-x)!<ƒ(x)+()x ´ƒ()q x - （2）（1）×()q x -(2)+×()x p -得()p ƒ()q x -+()()f q x p -()()f x q p <-所以有 ()()q p f p q x ∫[-()()f q x p +-]()qp x dx dx <(q-p)∫ƒ 即()()()()2qp f p f q q p x dx +-<∫ƒ （3） 设c ∈[a,b]，使 ()c ƒ=max ()a x bx <<ƒ 根据（3）及()x ƒ >0得()()()b c ba a c x dx x dx x dx∫ƒ=∫ƒ+∫ƒ()()2f a f c +>+()()()2f c f b b c +- ()()()()()()222f c f c f c c a b c b a >-+-=- 即 2max ()()ba a x bf x f x dx b a<<<∫-3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3.3 5dx+∞判断广义积分∫的收敛性。

第一章 绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用. 泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.第二章 泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n 次多项式来逼近函数f .而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()f x 的n 次泰勒多项式()n P x 和余项0()[()]n n R x o x x =-组成，我们来详细讨论它们. 当n =1时，有1000()()()()P x f x f x x x '=+-，是()y f x =的曲线在点00(,())x f x 处的切线（方程），称为曲线()y f x =在点00(,())x f x 的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似. 当n =2时，有2020000()()()()()()2!f x P x f x f x x x x x '''=+-+-， 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 的“二次切线”，也称曲线()y f x =在点00(,())x f x 的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())n o x x -，仅表示余项是比0()n x x -（当0x x →时）高阶的无穷小.如33sin ()6x x x o x =-+，表示当0x →时，sin x 用36x x -近似，误差（余项）是比3x 高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!n n f x x n ξ++-+（ξ也可以写成00()x x x θ+-）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究. 1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数, 则对此邻域内的点x ,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+-当00x =时, 上式称为麦克劳林(Maclaurin )公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++++<<+（2）带有拉格朗日(Lagrange )型余项的泰勒公式如果函数()f x 在点0x 的某邻域内具有1n +阶导数, 则对此邻域内的点x , 有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!n n n n f x f x f f x f x f x x x x x x x x x n n ξ++'''=+-+-++-+-+(ξ介于0x 与x 之间）第三章 泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限. 例1 求224cos limx x x ex -→-分析：此题分母为4x ，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单. 解： 因为2211()2!x e x x o x =+++ 将x 换成22x -有222222211()()(())22!22x x x x eo -=+-+-+-又244cos 1()2!4!x x x o x =-++所以 24442111cos ()()()2484x x ex o x o x --=-+- 441()12x o x =-+ 故2442441()cos 112lim lim 12x x x x o x x e x x -→∞→∞-+-==- 例2 求极限2240cos limsin x x x e x-→-.解： 因为分母的次数为4，所以只要把cos x ，22x e -展开到x 的4次幂即可.24411cos 1()2!4!x x x o x =-++ 22224211()()22!2x x x eo x -=-+-+故 2240cos limsin x x x e x-→-444011()()4!8lim x x o x x→-+= 112=- 带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具 ,运用得当会使求函数的极限变得十分简单. 2.2利用泰勒公式进行近似计算例1 用x e 的10次泰勒多项式求e 的近似值i ，并估计误差. 解：在x e 的泰勒公式中取1,10x n ==,则有111112!3!10!e ≈+++++2.718281801=由于e 的精确度值e 2.718281801=，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!x e d x ξ==<≈⨯. 必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x 不能远离0x ，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x +的泰勒多项式中令x =1，取它的前10项计算ln 2的近似值，得到111111111ln 212345678910≈-+-+-+-+-=0.645 634 92…而ln 2=0.693 147 28…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xx x x+=+--- 23223221()232232n n nx x x x x x x x o x n n ⎡⎤⎡⎤=-+--------+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦352122()3521n nx x x x o x n -⎡⎤=+++++⎢⎥-⎣⎦， 令1,3x =只取前两项便有3111ln 22()333⎡⎤≈+=⎢⎥⎣⎦0.69135…,取前四项则可达到3571111111ln 22()()()3335373⎡⎤≈+++⎢⎥⎣⎦=0.693 124 75…,效果比前面好得多.例2 当x 很小时，推出331111x x x x +-⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭的简单的近似公式. 解： 当x 很小时，111133331122111111x x x x x x x x +-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭2224[1][1]3(1)3(1)3(1)x x xx x x ≈+--=--- 43x≈2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，01lim ()1x f x ≤≤=-，试求存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '=. 又21111()()()()()()2!f f x f x f x x x x x η'''=+-+- 21()1()2!f x x η''=-+-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，不令0x =和1x =，有211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+- 所以21112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<当1112x <≤时，2128x -≥，而当1112x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()f ξ''中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下. 若对于某个值a ，按参数h 算出的近似值1()a h 可以展开成231123()a h a c h c h c h =++++（*）（这里先不管i c 的具体形式），那么按参数2h 算出的近似值1()2h a 就是231123111()2248h a a c h c h c h =++++ (**)1()a h 和1()2ha 与准确值a 的误差都是()o h 阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21ha a h a h a d h d h -==+++-也就是说，对两个()o h 阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()o h 阶的近似值2()a h .这样的过程就称为外推.若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()a h 出发再次外推，22343344()()2()41ha a h a h a e h e h -==+++-，得到3()o h 阶的近似值3()a h .这样的过程可以进行1k -步，直到11112()()2()()21k k k k k k ha a h a h a o h -----==+-， 满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例 1 单位圆的内接正n 边形的面积可以表示为1()sin(2)2S h h hπ=， 这里1h n=,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!h h S h h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦246123c h c h c h π=++++因此，其内接正2n 边形的面积可以表示为351()()()23!5!h h h S h h πππ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦24612314c h c h c h π=++++，用它们作为π的近似值，误差都是()o h 量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123h hS S h S S h h S h S --==+- 那么通过简单的计算就可以知道4623()S h d h d h π=+++2h 项被消掉了！也就是说，用()S h 近似表示π，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()y f x =上的点(,())x f x 到直线y ax b =+的距离在x →+∞或x →-∞时趋于零，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.当0a =时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线的充分必要条件为lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=如果y ax b =+是曲线()y f x =的渐近线，则()()lim 0x f x ax b x →+∞-+=（或()()lim 0x f x ax b x→-∞-+=）. 因此首先有()lim x f x a x →+∞=（或()lim x f x a x→-∞=）. 其次，再由lim [()()]0x f x ax b →+∞-+=（或lim [()()]0x f x ax b →-∞-+=）可得 lim [()]x b f x ax →+∞=-（或lim [()]x b f x ax →-∞=-） 反之，如果由以上两式确定了a 和b ，那么y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线.中至少有一个成立，则称直线y ax b =+是曲线()y f x =的一条渐近线，当0a =时，称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.而如果()f x 在x 趋于某个定值a 时趋于+∞或-∞，即成立lim ()x f x →∞=±∞则称直线x a =是()f x 的一条垂直渐近线.注意，如果上面的极限对于x →∞成立，则说明直线y ax b =+关于曲线()y f x =在x →+∞和x →-∞两个方向上都是渐近线.除上述情况外，如果当x a +→或a -时，()f x 趋于+∞或-∞，即lim ()x a f x +→=±∞或lim ()x a f x -→=±∞，则称直线x a =是曲线()y f x =的一条垂直渐近线.例1 求 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程. 解： 设 2(1)3(1)x y x -=+的渐近线方程为y ax b =+，则由定义 2(1)1lim lim 3(1)3x x y x a x x x →∞→∞-===+ 2(1)lim[]3(1)x x b ax x →∞-=-+ 2(1)1l i m []3(1)3x x x x →∞-=-+ =131lim 131x x x →∞-+=-+ 由此13x y =-为曲线y =2(1)3(1)x x -+的渐近线方程。