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泰勒公式证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：泰勒公式是微积分中非常重要的公式之一，它被广泛应用于求解函数在某一点处的近似值。

泰勒公式的证明涉及到数学分析的基本原理和技巧，在这篇文章中，我们将为大家详细介绍泰勒公式的证明过程。

我们来回顾一下泰勒公式的表达式。

对于一个连续可导的函数f(x)，在某点a处的泰勒展开式可以表示为：f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... + f^(n)(a)(x-a)^n/n! + R_n(x)其中f(a)表示函数在点a处的函数值，f'(a)表示函数在点a处的导数，f''(a)表示函数在点a处的二阶导数，以此类推。

R_n(x)为余项，表示当n趋向于无穷大时的极限值。

现在，我们来证明泰勒公式。

我们假设函数f(x)在区间[a,b]上具有n+1阶连续导数。

根据拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a,b)，使得f(b)可以表示为：其中R_n(b)为余项，表示f(b)和泰勒展开式之间的误差。

我们可以将R_n(b)表示为：R_n(b) = f^(n+1)(ξ)(b-a)^(n+1)/(n+1)!接下来，我们定义一个新的函数g(x) = f(x) - T_n(x)，其中T_n(x)表示的是f(x)的n阶泰勒展开式，即：我们可以计算g(x)在点b处的导数g^(n+1)(b)：由于f(x)具有(n+1)阶连续导数，可以得到g^(n+1)(b) = 0，即g(x)在点b处的(n+1)阶导数为零。

根据罗尔定理，存在点ξ'∈(a,b)，使得g'(ξ') = 0。

接下来，我们来证明ξ'等于ξ。

根据注脚法，设h(ξ) = f(b) -T_n(b)，我们可以得到：我们可以将h(ξ)的泰勒展开式表示为：由于h^(n+1)(ξ') = 0，我们得到h(ξ) = O((ξ - ξ')^(n+1))。

泰勒公式的证明及应用work Information Technology Company.2020YEAR摘要：泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，是一种非常重要的数学工具。

它集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。

本文通过对泰勒公式的证明方法进行介绍，归纳整理其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用，从而进一步加深对泰勒公式的认识。

关键词：泰勒公式，佩亚诺余项，拉格朗日余项，验证，应用绪论随着近代微积分的发展，许多数学家都致力于相关问题的研究，尤其是泰勒，麦克劳林、费马等人作出了具有代表性的工作。

泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的。

泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f ，设它在点0x 存在直到n 阶的导数，由这些导数构成一个n 次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!n n n f x f x f x T x f x x x x x x x n '''=+-+-++-称为函数f 在点0x 处的泰勒多项式，若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(()),n n f x T x x x ο=+-即()200000000()()()()()()()()(()).2!!n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο'''=+-+-++-+- 称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，且有很高的精确度，在微积分的各个方面都有重要的应用。

泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!•(x-x.)^3+……+f(n) (x.)/n!•(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!•(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。

（注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。

）证明：我们知道f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+α（根据拉格朗日中值定理导出的有限增量定理有limΔx→0 f(x.+Δx)-f(x.)=f'(x.)Δx），其中误差α是在limΔx→0 即limx→x.的前提下才趋向于0，所以在近似计算中往往不够精确；于是我们需要一个能够足够精确的且能估计出误差的多项式： P(x)=A0+A1(x-x.)+A2(x-x.)^2+……+An(x-x.)^n来近似地表示函数f(x)且要写出其误差f(x)-P(x)的具体表达式。

设函数P(x)满足P(x.)=f(x.),P'(x.)=f'(x.),P''(x.)=f''(x.),……,P(n)(x.)=f(n)(x.),于是可以依次求出A0、A1、A2、……、An。

显然，P(x.)=A0,所以A0=f(x.)；P'(x.)=A1,A1=f'(x.)；P''(x.)=2!A2,A2=f''(x.)/2!……P(n) (x.)=n!An,An=f(n)(x.)/n!。

至此，多项的各项系数都已求出，得：P(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!•(x-x.)^2+……+f(n)(x.)/n!•(x-x.)^n.接下来就要求误差的具体表达式了。

泰勒公式详解范文泰勒公式是数学中非常重要的一种展开方法，它能将一个函数在其中一点的附近展开成一个无穷级数。

这个无穷级数称为泰勒级数。

泰勒公式的应用非常广泛，对于求函数的近似值、证明函数的性质、研究函数的变化等都有很大的帮助。

在本文中，我将详细介绍泰勒公式的原理、展开形式以及应用。

一、泰勒公式的原理泰勒公式是基于函数的光滑性原理建立的。

如果一个函数在其中一点附近有足够多的导数存在，那么该函数在该点附近能够用一个无穷级数来表示。

泰勒公式的原理可以用下面的数学表达式来表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...其中，f(x)是要展开的函数，a是展开点，f'(a)、f''(a)、f'''(a)等表示在a点处的一阶、二阶、三阶导数。

展开后的级数中的每一项都包含了函数在该点附近的其中一阶导数。

二、泰勒公式的展开形式根据泰勒公式的原理，我们可以得到几种不同的展开形式。

具体展开的形式取决于我们希望展开到多少项以及展开点的选择。

下面是一些常见的泰勒公式展开形式：1.泰勒一阶展开（线性近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)2.泰勒二阶展开（二次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!3.泰勒三阶展开（三次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!4.泰勒四阶展开（四次近似）f(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+f''''(a)(x-a)^4/4!根据需要，我们可以选择展开到任意阶数，展开点的选择也可以根据实际情况来定。

三、柯西中值定理上面已经指出，如果连续曲线AB 上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线，那么这段弧上至少有一点C ，使曲线在点C 处的切线平行于弦AB ．设曲线AB 由参数方程⎩⎨⎧==)(),(x f Y x g X （b x a ≤≤） 表示，其中x 为参数，那么点)(Y X ，处的切线斜率为)(')('x g x f dX dY =弦AB 的斜率为)()()()(a g b g a f b f --假定点C 对应于参数ξ=x ，曲线上点C 处的切线与弦AB 平行可表示为)(')(')()()()(ξξF f a F b F a f b f =-- 柯西中值定理 如果函数)(x f ，)(x g 满足 （１）在闭区间][b a ，上连续；（２）在开区间)(b a ，内可导，且0)('≠x g ． 则在开区间)(b a ，内至少存在一点ξ，使得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 证 根据结论，引进辅助函数)()]()([)()]()([)(x f a g b g x g a f b f x ---=ϕ)(x ϕ在][b a ，上连续，在)(b a ，内可导，且)()(b a ϕϕ=，由罗尔定理知，至少存在一点)(b a ，∈ξ，使得0)('=ξϕ，即)(')]()([)(')]()([ξξf a g b g g a f b f -=-由0)('≠x g ，可知0)()(0)('≠-≠a g b g g ，ξ，由上式可得)(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- 显然，如取x x g =)(，柯西中值定理即为拉格朗日中值定理，拉格朗日中值定理中如果加上条件)()(b f a f =，则为罗尔定理．可见上面三个中值定理，柯西中值定理的结论最一般，拉格朗日中值定理次之，罗尔定理最特殊．例４ 设函数]1,0[)( C x f ∈，在)1,0( 内可导，证明至少存在一点)10( ，∈ξ，使得)]0()1([2)('f f f -=ξξ．证 将上式改写为ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 考虑到ξξ=x x 在是22处的导数，取2)(x x g =，且当)1,0( ∈x 时，0)('≠x g ，对)()(x g x f ，在]1,0[ 上应用柯西中值定理，有ξξ2)('01)0()1(f f f =-- 即)]0()1([2)('f f f -=ξξ第六节 泰勒公式不论是进行近似计算还是理论分析，我们总希望用一些简单的函数来逼近复杂函数，用简单函数逼近（近似表示）复杂函数是数学中的一种基本思想方法。

一．摘要 (3)前言 (3)二、泰勒公式极其极其证明........................ (3)（一）带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (3)（二）带有拉格朗日型余项的泰勒公式 (4)（三）带有柯西型余项的泰勒公式 (5)（四）积分型泰勒公式 (6)（五）二元函数的泰勒公式 (7)三、泰勒公式的若干应用 (8)（一）利用泰勒公式求极限 (8)（二）利用泰勒公式求高阶导数 (9)（三）利用泰勒公式判断敛散性 (10)（四）利用泰勒公式证明中值定理 (12)（五）利用泰勒公式证明不等式 (13)（六）利用泰勒公式求近似和值误差估计 (15)（七）利用泰勒公式研究函数的极值 (16)四、我对泰勒公式的认识 (16)参考文献 (17)英文翻译 (17)Taylor公式的证明及应用【摘要】数学中的著名的公式都是一古典的数学问题，它们在数学，化学与物理领域都有很广泛的运用。

在现代数学中Taylor公式有着重要地位，它对计算极限，敛散性的判断，不等式的证明、中值问题及高阶导的计算以及近似值的计算等方面都有很大的作用。

在本文中，我将谈到关于公式的几种形式及其证明方法并对以上几个方面进一步的运用，和我对几者之间的一些联系和差异的看法。

并通过具体事例进行具体的说明相关运用方法 【关键词】泰勒公式 佩亚诺余项 拉格朗日余项 极限 级数1、常见Taylor 公式定义及其证明我们通常所见的Taylor 公式有皮亚诺型、拉格朗日型、柯西型与积分型，还有常用的二元函数的Taylor 公式和高阶函数的Taylor 公式。

定义：设函数存在n 阶导数，由这些导数构成n 次多项式，称为函数在该点处的泰勒多项式各项系数称为泰勒系数。

1.1首先是带皮亚诺型余项的Taylor 公式：若函数f 在点0x 存在且有n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x =+ο-即"'200000()()()()()()2!f x f x f x f x x x x x =+-+-+⋯()00()()!n n f x x x n +-0(())n x x +ο-. (2) 其中()n T x 是由这些导数构造的一个n 次多项式，"()'20000000()()()()()()()()2!!n n n f x f x T x f x f x x x x x x x n =+-+-+⋯+- （3）称为函数f 在点0x 处的Taylor 多项式，()n T x 的各项系数()0()!k f x k (1,2,,)k n =⋯称为Taylor 系数。

第15节 泰勒公式知识与方法用简单函数逼近复杂函数是数学中的一种基本思想方法，泰勒公式就是利用多项式函数来逼近其他函数所得到的一个基本定理.1.泰勒公式：设函数()f x 在0x 处存在n 阶导数，则()()()()()()()()()00000020()2n nnf x f x f x f x x x x n x x x x x o ''=++-++-+--！！，其中，()()0n f x 是函数()f x 在0x 处的n 阶导数值，()()0no x x -是皮亚诺余项，它表示0x x →时，()0nx x -的高阶无穷小.2.麦克劳林公式：当0x =时，泰勒公式变成()()()()()()()2"00002!nnn f f f x f f x x x o x n '=+++++！，这个公式叫做麦克劳林公式，它是泰勒公式的特例.下面列出几个常见的麦克劳林公式：（1）23126xx x e x =++++； （2）()2311ln 123x x x x +=-+-；（3）356sin 120x x x x +=--； （4）242o 412c s x x x+=--；（5）3523tan 15x x x x =+++.3.泰勒公式在高中数学中的应用：（1）构造不等式用于放缩：例如，我们在上面的麦克劳林公式（1）中将右侧保留到一次项，其余全部丢掉，就可以得到一个常用的切线放缩不等式1x e x ≥+，若保留到二次项，则可以得到()20211xe x x x ≥+-<≤+；类似地，还可以得到()ln 1x x +≤，()()21ln 102x x x x +-≥≥，()()21ln 1102x x x x +≤--<≤，in 0()s x x x ≤≥，3in )0(s 6x x x x ≥-≥，2cos 12xx ≥-等不等式.（2）近似计算：泰勒公式展开的阶数越高，计算的精度越高，但计算复杂度也随之升高，我们可以通过选择恰当的展开阶数，来达到我们需要的计算精度.4.提醒：在高考数学中，我们放缩时使用的以泰勒公式为背景的不等式，绝大多数都是一阶的，也就是切线放缩；典型例题【例1】已知函数()()ln af x x a x=-+∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1a =，证明：1x f x e ⎛⎫⎪⎭>- ⎝.【解析】33sin sinx 0x x ax x ax >-⇔--<，设()()3sin 0f x x ax x x =-->，则()213cos f x ax x '=--，()6f x ax sinx ''=-+，()6cos f x a x '''=-+，注意到()00f =，所以有端点效应，而()()000f f '''==，所以()0610f a '''=-+≤，故16a ≥，此时，()3sin 6x f x x x ≤--，设()()3sin 06x g x x x x =-->，则()21cos 2x g x x '=--，()sin g x x x ''=-+，()1cos 0g x x =-+''≤'，所以()g x ''在()0,+∞上，又()00g ''=，所以()0g x ''<，从而()g x '在()0,+∞上，因为()00g '=，所以()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上，易求得()00g =，所以()0g x <恒成立，因为()()f x g x ≤，所以()0f x <，即3sin 0x ax x --<，满足题意，故实数a 的取值范围是1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【例2】若当0x >时，3sin x x ax >-恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】根据泰勒展式，356120x x sinx x =-+-，，所以当0x >时，3sin 6x x x >-， 从而要使3sin x x ax >-，只需336x x x ax -≥-，故3106a x ⎛⎫ ⎪⎝⎭->，所以16a ≥.【答案】16a ≥【例3】（2021·新课标Ⅰ卷）设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c ，则（ ） A.a b c << B.b c a << C.b a c << D.c a b <<【解析】解法1：根据泰勒展开式，()2311ln 123x x x x +=-+-，所以23311220.010.010.010.020.00010.01233a ⎛⎫⎪⎝≈⨯-⨯+⨯=-+⨯⎭，2331180.020.020.020.020.00020.01233b ≈-⨯+⨯=-+⨯，设()11f x x =+，则()()12112f x x -'=+，()()32114f x x ''=-+，()()52318f x x -'''=+，所以()00f =，()120f '=，()140f ''=-，()038f '''=，从而()()()()()()()()()2323230000111000026262816f f f f f x f f x x x f f x x x x x x ''''''''''''=++++≈+++=-+故()2331110.040.040.040.040.020.000240.012816c f =≈⨯-⨯+⨯=-+⨯，比较a 、b 、c 的近似表达式容易发现a c b >>.解法2：22ln1.01ln1.01ln1.0201ln1.02a b ===>=，所以选项A 、D 错误， 此时观察选项B 、C 知只需比较a 和c 的大小即可，设()()232ln 1134x f x x x +=-+<<，则21.0432ln1.01 1.0412ln1.041 1.044a c f+-===，()()()21303x x f x x --'=>+，所以()f x 在()1,3上，所以()1.0410f f >=，即0a c ->，故a c >，选B.解法3：22ln1.01ln1.01ln1.0201ln1.02a b ===>=，所以选项A 、D 错误， 此时观察选项B 、C 知只需比较a 和c 的大小即可，注意到()2ln1.01 1.0412ln 10.01140.011a c -==++⨯，设()()2ln 1141f x x x =++，[]0,0.01x ∈，则()()()214121214114x x f x x x x x ⎡⎤++⎣⎦'=++++，当[]0,0.01x ∈时， ()()2211420x xx x +-+=-≤，所以()22114x x≤++，从而114x x +≤+，故()0f x '≥，当且仅当0x =时取等号， 从而()f x 在[]0,0.01上，所以()()0.0100f f >=，即0a c ->，所以a c >，选B.解法4：设()()(2ln 100).01f x x x =+≤≤，()()(0ln 12)0.01g x x x =+≤≤，()()14100.01h x x x =+≤≤，则显然()f x 、()g x 、()h x 在[]0,0.01上都，且()()()0000f g h ===，()21f x x '=+，()212g x x '=+，()14h x x'=+00.01x <≤时，12141x x x +>+＋， 所以()()()f x h x g x '''>>，即三个函数在]0,0.01上的增长速率是()f x 最大，()h x 居中，()g x 最小，而()0.01a f =，()0.01b g =，()0.01c h =，所以必然有b c a <<. 【答案】B强化训练1.（★★★★）若关于x 的不等式11ln ln x ae x a --≥-恒成立，则正实数a 的取值范围是________. 【解析】解法1：1ln 1ln 11ln ln 1ln ln ln 1ln x a x x a e x a e e x a e a x a --+--≥-⇔⋅->-⇔+->, 两端同时加x 得：ln 1ln 1ln x a e a x x +-+-≥+，即ln 1ln ln 1ln x a x e x a x e +-++-≥+①， 设()()x f x e x x =+∈R ，则不等式①即为()()ln 1ln f x a f x +-≥， 显然()f x 在R 上，所以ln 1ln x a x +-≥，从而ln ln 1a x x ≥-+，注意到ln 1x x ≤-，当且仅当1x =时取等号，所以ln 1110x x x x -+≤--+=，即()ln 10max x x -+=，因为ln ln 1a x x >-＋，所以ln 0a ≥，从而1a ≥.解法2：111ln ln 1ln ln 0x x ae x a ae x a --->-⇔--+≥，首先取1x =得到1ln 0a a -+≥，从而1a ≥，其次，当1a ≥时，因为1x e x ≥+，所以1x e x -≥，又ln 1x x ≤-，所以()()11ln ln 11ln ln 0x ae x a ax x a a x a ---+≥---+=-+≥，故a 的取值范围是[)1,+∞. 【答案】[)1,+∞2.（★★★★）若当0x >时，2210x ax ax e ++-<恒成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】解法1：()2222221101x x xe ax ax e a x x e a x x-++-<⇔+<-⇔<+，设()()2210x e f x x x x -=>+，则()a f x <恒成立，()()()22222121x x e x f x x x -++'=+， 设()()()2221210x g x x e x x =-++>，则()()224422x g x x x e '=+-+，()()22820xg x x e''=+>，所以()g x '在()0,+∞上，又()010g '=>，所以()0g x '>，故()g x 在()0,+∞上，因为()00g =，所以()0g x >恒成立，从而()0f x '>，故()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()22200012lim lim lim 221x xx x x e e f x x x x +++→→→-===++，所以2a ≤. 解法2：2222101xxax ax e e ax ax ++-<⇔>++，由泰勒展开式，23126xx x e x =++++，所以当0x >时，212xx e x >++，故22122x e x x >++，从而要使221x e ax ax >++，只需221221x x ax ax +>++＋，所以2a ≤. 【答案】(],2-∞3.（★★★★★）若当0x ≥时，2cos x e ax x -≥-恒成立，则实数a 的取值范围是________. 【解析】解法1：显然当0x =时，不等式2cos x e ax x ->-对任意的实数a 都成立，当0x >时，cos 22cos cos 2x x xe x e ax x ax e x a x+--≥-⇔≤+-⇔≤，设()()cos 20x e x f x x x+-=>，则()()()22sin cos 21sin cos 2x x x e x x e x x e x x x f x x x ---+---+'==，设()()()1sin cos 20x g x x e x x x x =---+>，则()()()sin cos sin cos 0x x g x xe x x x x x e x '=-++=->， 所以()g x 在()0,+∞上，又()00g =，所以()0g x >，故()0f x '>，从而()f x 在()0,+∞上，由洛必达法则，()000cos 2sin lim lim lim 11x x x x x e x e xf x x +++→→→+--===，因为()a f x ≤恒成立，所以1a ≤.解法2：2cos cos 2x x e ax x e x ax -≥-⇔+≥+，由泰勒公式，23126xx x e x =++++，24cos 124x xx =-+-，所以当0x ≥时，212xx e x ≥++，2cos 12x x ≥-，从而22cos 11222x x x e x x x ≥+++-=++，要使cos 2x x e ax ≥++，只需22x ax ≥+＋，从而()10a x -≤，故1a ≤. 【答案】(],1-∞。

泰勒公式(提高班) 授课题目：§ 3.3泰勒公式教学目的与要求：1.掌握函数在指定点的泰勒公式；2•了解泰勒公式在求极限及证明命题中的应用教学重点与难点：重点：几个常用函数的泰勒公式难点：泰勒公式的证明讲授内容：对于一些较复杂的函数，为了便于研究，往往希望用一些简单的函数来近似表达. 由于用多项式表示的函数，只要对自变量进行有限次加、减、乘三种算术运算，便能求出它的函数值来，因此我们经常用多项式来近似表达函数。

在微分的应用中已经知道，当X很小时，有如下的近似等式：e x1 x , ln( 1 x) ： x .这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子. 显然.在x二0处这些一次多项式及其一阶导数的值，分别等于被近似表达的函数及其导数的相应值.但是这种近似表达式还存在着不足之处：首先是精确度不高，它所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小；其次是用它来作近似计算时，不能具体估算出误差大小.因此，对于精确度要求较高且需要估计误差的时候，就必须用高次多项式来近似表达函数，同时给出误差公式.于是提出如下的问题：设函数f(x)在含有X。

的开区间内具有直到(n • 1)阶导数，试找出一个关于(x - x0)的n次多项式P n(x) =a。

a i(x-X。

)a2(x-X。

)2a n(x-x°)n(1)来近似表达f(x)，要求p n(x)与f(x)之差是比(x-x0)n高阶的无穷小，并给出误差f (x) - p n(x)的具体表达式.下面我们来讨论这个问题. 假设P n(x)在X。

处的函数值及它的直到n阶导数在X。

处的值依次与f(X。

), f(X。

)，…,f (n)(X g)相等，即满足P n(X。

)= f(X。

), P n(X。

)= f(X。

),按这些等式来确定多项式 ⑴的系数a o ’a^a ?,…a ..为此，对(1)式求各阶导数，然后分 别代人以上等式，得a o =f(x o )，1 a^ f (x o )，2!a 2=f ”(x o ),,n!a n =f (n)(X o )，11 即得a ° = f (x o ) , a 1 = f "(x o ) , a 2= — f "(x o )，…，a n = — f ⑺(x o ).⑵ 2!n!将求得的系数a o , a 1 ,a 2^' a n 代入(1)式，有P n (X)二 f(X °) f(X °)(X - X o )f("(X -X。