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fT
t
0
2
fT
t
0
a0 2
an
n 1
cosnt
bn
sinnt
引进复数形式：
cosnt eint e int , sin nt eint e int
2
2i
5
级数化为：
a0
2
n 1
an
e in t
e int 2
bn
e in t
e int 2i
a0 an ibn eint an ibn e int
lim
T
fT
t
f
t
8
例 矩形脉冲函数为
1 t 1
f t 0 t 1
如图所示:
f (t)
1
-1
O
1
t
9
现以f (t)为基础构造一周期为T的周期函数fT(t), 令T=4, 则
f4 t f t 4n , n
2
T
2
4
2
,
n
n
n
2
f4(t)
t -1 1 3
T=4
10
则
cn
1 T
2 n 1
2
2
令c0
a0 2
,cn
an
ibn 2
,dn
an
ibn 2
,则c0
1 T
T2
T 2 fT t dt
cn
1 T
T T
2
2 fT
t
cosnt
i
sinnt dt
1 T
T 2 f t T e intdt
T 2
dn
1 T
T T
2
2 fT
t
cosnt
i sinnt dt
1 T
T T
2
f
f8 t f t 8n , n
2
T
2
8
4
,
n
n
n
4
f8(t)
-1 1
7
t
T=8
14
则
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 8
4
4 f8
t e jntdt
1 8
1 e jntdt
1
1
1
e jnt
1 e jn e jn
8jn
1 8jn
1 sin n 4 n
1 4
设fT
t 为T
周期函数，在 T2
,T 2
上满足Dirichlet条件,
则 fT t 可展开为Fourier级数:
积分变换
Fourier变换
Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分
(周期趋于无穷时的极限形式)
1
§1 Fourier积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间
变化的周期函数fT(t)打交道. 例如:
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
2
t
T
e intdt
cn
n 1, 2,L cn cn
6
合并为：
cn
1 T
T2
f , 1,2,L
级数化为： cneint
n
1 T
n
T2
f T 2 T
e ind eint
cn F n fT t 的离散频谱；
cn fT t 的离散振幅频谱； argcn fT t 的离散相位频谱； n .
sinc n
n
0, 1, 2,
15
则在T=8时,
cn
1 4
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
8
n
4
, 再将cn以竖线标在频率图上
w
16
如果再将周期增加一倍, 令T=16, 可计算出
cn
1 8
sinc
n
n
0, 1, 2,
n
n
n
2
16
n
8
,
再将cn以竖线标在频率图上
w
17
一般地, 对于周期T
若以fT t 描述某种信号，则cn 可以刻画fT t 的特征频率。
7
对任何一个非周期函数f (t)都可以看成是由某个周期 函数fT(t)当T时转化而来的.
作周期为T的函数fT(t), 使其在[-T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT(t)与f (t)相等的范围也越大, 这就说明当T 时,周期函数fT(t)便可转化为f (t), 即有
cn
1 T
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 1 e jntdt T 1
1
1
e jnt
1 e jn e jn
T jn
1 T jn
2 sin n T n
2 T
sinc n
n
0, 1, 2,
18
当周期T越来越大时, 各个频率的正弦波的频率间
隔越来越小, 而它们的强度在各个频率的轮廓则总是
方波
4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近 3
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周期内的
情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2]内函数变化的
情况.
fT
t 是以T为周期的函数，在
T2
,T 2
上满足
Dirichlet条件：
fT t 连续或只有有限个第一类间断点；
fT t 只有有限个极值点；
T
2 T
fT
t e jntdt
2
1 4
2 2
f4
t
e
jntdt
1 4
1 e jntdt
1
1
1
e jnt
1 e jn e jn
4jn
1 4jn
1 sin n 2 n
1 2
sinc n
n
0, 1, 2,
11
sinc函数介绍
sinc函数定义为sinc x sin x x
严格讲函数在x 0处是无定义的, 但是因为lim sin x 1 x 0 x
sinc函数的形状, 因此, 如果将方波函数f (t)看作是周
期无穷大的周期函数, 则它也可以看作是由无穷多个无 穷小的正弦波构成, 将那个频率上的轮廓即sinc函数的
形状看作是方波函数f (t)的各个频率成份上的分布, 称 作方波函数f (t)的傅里叶变换.
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理
fT t 可展开成Fourier级数，且在连续点t处成立：
fT
t
a0 2
an
n 1
cosnt
bn
sin n t
4
其中 2 T ,
an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：
n 0,1, 2,L n 1, 2,L
所以定义sinc 0 1, 用不严格的形式就写作 sin x
1,
x x 0
则函数在整个实轴连续。
sinc(x)
x
12
前面计算出
cn
1 2
sinc
n
n 0, 1, 2,
n
n
n
2
T
n
2
,
可将cn以竖线标在频率图上
w
13
现在将周期扩大一倍, 令T=8, 以f (t)为基础构造
一周期为8的周期函数f8(t)
