傅里叶变换习题50页PPT

(4―45)
(4―46)
(4―47)
(4―48) (4―49)
图4.9 单位直流信号及其频谱
符号函数Sgn(t)的频谱函数
例 3.4-7 求符号函数Sgn(t)的频谱函数。
考察例 3.4-4 所示信号f(t)
当α→0时，其极限为符号函数Sgn(t)。因而可以用求f(t)的频 谱函数F(jω)当α→0的极限的方法来求得Sgn(t)的频谱函数。
图 3.8-2 例 3.8-2 (a) 系统组成； (b) s(t)的波形
先求f(t)的傅里叶变换F(jω)，由于
再求s(t)的傅里叶变换S(jω)。由于s(t)为周期信号，T=1ms，则 , 因而有
图 3.8-3 y(t)的求解
图 3.4-4 例 3.4-4 (a) 信号f(t); (b) 频谱
解 图示信号f(t)可表示为
(a>0)
门函数的频谱函数
例 3.4-1 图 3.4-1(a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度 为τ， 高度为1，通常用符号gτ(t)来表示。试求其频谱函数。
解 门函数gτ(t)可表示为
Байду номын сангаас
图 3.4-1 (a) 门函数； (b) 门函数的频谱； (c) 幅度谱； (d) 相位谱
矩形脉冲信号gτ(t)的频谱
例4―3 求矩形脉冲信号gτ(t)的频谱。
图4.6 矩形脉冲信号及其频谱
解 矩形脉冲信号gτ(t)是一个如图4.6（a）所 示的门函数。其定义为
gτ(t)的傅里叶变换为
(4―36)
(4―37) (4―38) (4―39)
δ(t)的频谱函数
例 3.4-5 求单位冲激函数δ(t)的频谱函数。
图 3.4-5 信号δ(t) (a) 单位冲激信号δ(t); (b) δ(t)的频谱

F 1[AF BG ] AF 1[F ] BF 1[G ]
43
2. 位移性质:
若F [f t ] F ，t0 ,0 为实常数，则
F [f t t0 ] ejt0F ， F 1[F 0 ] e j0t f t
或F [e j0t f t ] F 0
证明：F
[f
F f t eitdt(实自变量的复值函数)
称为f t 的Fourier变换，记为F [f t ]。
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2 记为F 1[F ] .
26
若F f t F ,则F 1 F f t ； 若F 1 F f t ,则F f t F f t F ：一一对应，称为一组Fourier变换对。 f t 称为原像函数，F 称为像函数。
t
具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表
单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz).
2
最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数
1
2
1
2
1,
t
0
42
§3 Fourier变换与逆变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件.
1.线性性质:
F [af t bg t ] aF [f t ] bF [g t ]
19
1.2 Fourier积分公式与Fourier积分存在定理

T1 t0
a02
1 2
i 1
(an2
bn2 )
c02
1 2
i 1
cn2
Fn 2
i
(式2-12)
此式表明，周期信号的平均功率等于傅 立叶级数展开式中各谐波分量有效值的 平方和，也就是说时域和频域的能量是 守恒的，式2-12称为帕塞瓦尔定理。
四 函数的对称性与傅立叶系数的关系
波形的对称性有两类：一类式对整周 期内对称，如偶函数和奇函数。另一类是 对半个周期内对称，如奇谐函数。
正、负频率上相应的两条谱线合起来代表 一个分量的幅度。
(4)应当指出在指数复数频谱中，出现了负 频率。这是由于将sin(nω1t)和cos(nω1t)按 欧拉公式写成复指数形式引起的，即写成
e jn1t e 和 jn1t 两项，从而引入了 jn1t
项，所以这完全是数学运算的结果，具有 数学意义，并没有物理意义。只有将负频 率和相应正频率项，通过数学运算合并起 来才是实际的频谱函数，具有相应的物理 意义
n1
根据欧拉公式：
cos(n1t )
1 2
(e jn1t
e jn1t )
sin(n1t )
1 2j
(e jn1t
e
) jn1t
代入上式得到 (式2-8)
f
(t)
a0
n1
(an
2
jbn )
e jn1t
(an
2
jbn )
e
jn1t
令
F (n1)
1 2
(an
jbn )
考虑 an是 n1的偶函数，bn 是n1的奇函数
其幅度为E，重复周期为T1，则角频率
2 1 T1
2 f1

倒相序列。注意，如果x(n)的长度M<L，则需要在x(n)末
尾补L－M
（2） 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位
（3） 矩阵的各主对角线上的序列值均相等。
y(0)c x(0) x(L1) x(L2)
y(1)c
x(1)
x(0) x(L1)
y(2)c
＝ x(2)
x(1)
x(0)
y(L1)c x(L1) x(L2) x(L3)
m0
n'm
精选课件
N1
N1
X(k) x1(m)WN km x2(n')WN kn '
m0
n'0
X1(k)X2(k)， 0kN1
由于 X ( k ) D F T [ x ( n ) ] X 1 ( k ) X 2 ( k ) X 2 ( k ) X 1 ( k )， 因此
x (n ) ID F T [X (k)] x 1 (n ) x2(n)x2(n) x 1 ( n )
精选课件
若 则
且
D[F x(n)T ]X (k) D [ x ( F n (m T )N R )N ( n ) ] W N m X ( k k ) ID [X (k F ( l)T N ) R N ( k ) ] W N n x ( ln )
证明：
N 1
N 1
Y ( k ) D F T [ y ( n ) ] N x ( ( n m ) ) N R N ( n ) W N k n x ( ( n m ) ) N W N k n
m0
（3.2.5）
yc(n)=h(n) x(n)
L称为循环卷积区间长度，L≥max［N，M］。
精选课件

Ω
-
2
３双边奇指数信号
et
f
(t )
e t
旳傅里叶变换为 ：
t 0 t 0
f (t) 1
0
t
F () f (t)e jt dt
-1
0 et e jt dt et e jt dt
0
1
j
2 2 2
| F() |
其幅度频谱和相位频谱为
|
F
()
|
2
2
||
2
() 2
2
0 0
2.在任何有限区间内，只有有限个最大值和最小值。
3.在任何有限区间内，只有有限个不连续点，而且在 每个不连续点上信号都必须取有限值，这时傅里叶 变换收敛于间断点两边函数值旳平均值。
常见非周期信号旳傅里叶变换
１矩形脉冲信号
f(t)
E
E f (t )
0
| t |
2
| t |
2
-
0
t
2
2
E：脉冲幅度，τ：脉冲宽度。其傅里叶变换为
信号可进行傅里叶变换旳条件： 一般来讲，若信号函数满足绝对可积条件，即：
f (t) dt
则信号可进行傅里叶变换。注：此式只是信号函数进行傅里叶变换 旳充分条件。在引入广义函数后，有些不满足此式旳信号函数也能够 进行傅里叶变换。
周期信号旳傅里叶变换：
设有周期性矩形脉冲信号f(t)，
E
f (t )
“非周期信号都能够用正弦信号旳 加权积分来表达”——傅里叶旳第 二个主要论点
§3 傅里叶变换
3.2信号旳傅里叶变换 傅里叶变换有下列积分定义：
： 傅里叶正变换公式
F () F [ f (t )] f (t )e jt dt

n0
x(n)
三. DFT的隐含周期性
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于 WNkn的周期性，使x(n) 和X(k)均具有隐含周期性，且周期
均为N。 对任意整数m，总有
1 使DFT具有特殊性质(如循环移位、循环卷积等)的根 本原因，也是学习DFT需要着重理解的性质！ 2 不论原始有限长度序列的性质如何，只要对它做DFT 运算，即将它看做是周期为N的周期序列
xn
W kn 2N
n0
nN
N 1
N 1
x
n
W kn 2N
x n N W2kNnN
n0
n0
N1
k n N 1
kn kN
x n WN2 x n N WN2 WN 2
n0
n0
N 1
x
kn
n WN2
1 e jk
n0
2
X
k 2
,
0，
k 偶数 k 奇数
0 k 2N -1
证：利用周期序列的移位性质加以证明
DFS [x((n m)) N ] DFS [~x (n m)] WNmk X~(k)
可直接按IDFT{Y(k)}证明
再利用DFS和DFT关系
DFT[x((n m))N RN (n)] DFT[~x (n m)RN (n)] WNmk X~(k )RN (k ) WNmk X (k )
例题：
已知x(n)是长度为N的有限长度序列，X(k)=DFT[x(n)]，
令 y n x n N R2N n ，试求Y(k)=DFT[y(n)]与X(k)之间的关系。
解：
2 N 1
2 N 1
Y k
y
n

许多图像的傅里叶频谱的幅度随着频率的增大而迅速减小，这使 得在显示与观察一副图像的频谱时遇到困难。但以图像的形式显示它 们时，其高频项变得越来越不清楚。
解决办法： 对数化
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幅值
时域分析
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频域分析
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4
一维FT及其反变换
连续函数f(x)的傅立叶变换F(u):
F (u) f (x)e j2uxdx
傅立叶变换F(u)的反变换:
f (x) F (u)e j2uxdu
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5
一维DFT及其反变换
离散函数f(x)(其中x，u=0,1,2,…,N-1)的傅立叶变换:
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33
Fc=fftshift(F); %把频谱坐标原点由左上角移至屏幕中央 subplot(223) Fd=abs(Fc); imshow(Fd,[]) ratio=max(Fd(:))/min(Fd(:)) %ratio = 2.3306e+007,动态范围太大，显示器无法正常显 示 title('幅度谱（频谱坐标原点在屏幕中央）') S2=log(1+abs(Fc)); subplot(224) imshow(S2,[]) title('以对数方式显示频谱')
c1
f1
x, y
e
j
2

ux M

vy N

1
§1 Fourier积分公式 积分公式
1.1 Recall: 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间 变化的周期函数f 打交道. 例如: 变化的周期函数 T(t)打交道. 例如:
t 具有性质f 称作周期, 具有性质 T(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表 代表 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复 多少次, 单位是赫兹( 多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). , ).
sinc(x)
x
12
前面计算出
1 cn = sinc(ωn ) (n = 0, ±1, ±2,L) 2 2π nπ ωn = nω = n , 可将cn以竖线标在频率图上 = T 2
ω
13
现在将周期扩大一倍, 现在将周期扩大一倍 令T=8, 以f (t)为基础构造 为基础构造 一周期为8的周期函数 的周期函数f 一周期为 的周期函数 8(t)
6
1 合并为： 合并为： cn = T
+∞
∫
fT (t )e −T 2
T 2
−in ωt
dt (n = 0, ±1, ±2,L)
级数化为： 级数化为：
n =−∞
cne in ωt ∑
T 2 1 +∞ = ∑ ∫ fT (τ )e −in ωτ dτ e in ωt T n =−∞ −T 2
19
积分公式与Fourier积分存在定理 1.2 Fourier积分公式与 积分公式与 积分存在定理
− T , T 上满足Dirichlet条件, 设fT (t ) 为T − 周期函数，在 2 2 则 fT (t ) 可展开为Fourier级数: fT (t ) =

根据傅氏积分公式，函数f(t)能取傅立叶积分变换的前提条件是它首 先应绝对可积，即
实际上这个条件非常强，它要求f(t)条件较高，因而一些常见的函数都不 满足这一点.如
34
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如此以来，较强的条件使得傅立叶变换的应 用受到限制. 为克服这一缺陷，我们把单位脉冲 函数及其傅氏变换应用到其他函数的傅氏变换 中，得到它们的广义傅氏变换. 实际运算时，我 们通常用傅氏逆变换来推证.
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简称傅氏变换,记为 简称傅氏逆变换,记为
F F
还可以将 f(t) 和 F(w)用箭头连接: f(t) F(w) .
16
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f (t)
o
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t
17
解:根据定义, 有
这就是指数衰减函数的傅氏变换.
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根据积分表达式的定义,有
注意到
1
2
1 2
1 2
1 2
1, 0,
t0 t0
u(t ).
证毕.
38
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例3 求
的傅氏逆变换.
解：由定义，有
F 1[d (w w0 )]
1
2
d
(w
w0
)e iw
t
dw
特别地 故 得到
1 e iw0 t .
2
F 1[d (w)]
1
2
.
39
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于是，有
例4 求正弦函数 f(t)=sinw0 t 的傅氏变换.
基于这种思想，便产生了积分变换.
其主要体现在：
数学上：求解方程的重要工具； 能实现卷积与 普通乘积之间的互相转化.

f(t)21 2g()ejtd
F
f(t)2g()
.
46
例题4.9 求
2
1 t2
的傅里叶变换。
解：根据例题4.2，我们有，
F
e|t|
2
12
利用对偶性
2
F
2e||
1t2
.
47
利用对偶性来进一步分析和推导傅里叶变换的性质。 （1）下面将微分性质与对偶性结合，可得，
jt(xt) F d X() d
.
56
在这里，我们进一步来理解频谱 X( j) 的含义。
我们将一个信号除 [0,0] 以外的频率分量“滤掉”
x(t)
带通滤波器
x0 (t)
.
57
x0 (t) 的能量就等于
1 | 0 X(j)|2 d
2 0
可以说，| X(j0)|2 表示了信号 x (t ) 在 0 处的能量密度。
从这个意义上来说，
.
49
4.3.7 帕斯瓦尔（Parseval）定理 可以证明，对于能量有限信号
能谱密度
|x(t)|2d t1
|X(j
)|2d
2
信号在时域里面的能量
信号在频域里面的能量
.
50
对于周期信号，那么上面公式的左边将为无穷大。 我们有帕斯瓦尔定律的另一种形式
1
T0
|
T0
x(t)|2
d
t |ak
.
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在

特点
小波变换具有多尺度分析的特点，能够同时获得 信号在时间和频率域的信息，并且在时频域具有 很好的局部化能力。
应用
在信号处理、图像处理、语音识别等领域广泛应 用。
周期性和共轭对称性
总结词
周期性和共轭对称性是傅里叶变换的重要性质。
详细描述
由于傅里叶变换将时间域的函数映射到频率域，因此频谱具有周期性，即F(ω) = F(ω+2πn)，其中n为整数。此 外，频谱还具有共轭对称性，即F*(ω) = F(-ω)，这意味着频谱在频率轴上关于原点对称。这些性质在信号处理 、图像处理等领域有着广泛的应用。
线性性质
如果a和b是常数，f(t)和g(t)是可傅里叶变换的函数，那么 a*f(t)+b*g(t)也是可傅里叶变换的，并且其频域表示为 a*F(ω)+b*G(ω)。
时移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t+a)也是可傅里叶变换 的，并且其频域表示为F(ω)e^(iωa)。
频移性质
如果f(t)是可傅里叶变换的，那么f(t)e^(iω0t)也是可傅里叶 变换的，并且其频域表示为F(ω-ω0)。
04
傅里叶逆变换
傅里叶逆变换的定义
01
傅里叶逆变换是将频域函数转 换为时域函数的过程。
02
它与傅里叶变换是可逆的，即 给定一个频域函数，通过傅里 叶逆变换可以恢复原始的时域 函数。
03
傅里叶逆变换的公式为：f(t) = ∫F(ω)e^(iωt)dω，其中f(t)是 时域函数，F(ω)是频域函数。
傅里叶逆变换的性质
在图像处理中的应用
图像频域滤波
通过傅里叶变换将图像从空间域 转换到频域，可以在频域中对图 像进行滤波处理，如去除噪声、

图像傅里叶变换
57
快速傅里叶变换(FFT)
FFT算法基本思想
FFT算法基于一个叫做逐次加倍的方法。通 过推导将原始傅里叶转换成两个递推公式
Fu
1 M 1
f x e j2ux /M
u 0,1,2,...,M 1
M x0
Fu 1 Feven u Fodd u W2uk 2
Fu K 1 Feven u Fodd u W2uk 2
原点的傅里叶变换即等于图像的平均灰度
级
图像傅里叶变换
50
傅里叶变换
8. 卷积理论
大小为M×N的两个函数f(x,y)和h(x,y)的离散 卷积
fx, yhx, y 1 M1N1 fm,nhxm, yn MN m0 n0
卷积定理
fx,yhx,yFu,vHu,v
fx,yhx,yFu,vHu,v
图像傅里叶变换
全周期的傅里叶频谱
图像傅里叶变换
46
一幅二维图像的傅里叶频谱 中心化的傅里叶频谱
傅里叶变换
6. 分离性
F u,v
1 1 M 1 j2ux/M
N1
e
f x, y e j2vy/ N
M
x 0
N y 0
1 M 1 j2ux/M
x 0e
F x,v
M
F(x,v)是沿着f(x,y)的一行所进行的傅里叶变 换。当x=0,1,…,M-1，沿着f(x,y)的所有行计
➢ f(x,y)是原始图像
➢ h(x,y)作为感兴趣的物体或区域（模板）
➢中相如应果点匹的配位，置两上个达函到数最的大相关值会在h找到f
图像傅里叶变换
54
相关性匹配举例
图像f(x,y)

单击添加标题
原理：利用信号的稀疏性，通过测量矩阵将高维信号投影到低维空间，再 利用优化算法重构出原始信号。
单击添加标题
应用：在图像处理、通信、雷达、医学成像等领域有广泛应用，能够实现 高分辨率和高帧率成像，降低数据采集成本和存储空间。
单击添加标题
展望：随着压缩感知技术的不断发展，未来有望在人工智能、物联网、无 人驾驶等领域发挥重要作用，为信号处理领域带来更多创新和突破。
应用：傅里叶逆变换在信号处理、图像处理等领域有着广泛的应用
逆变换的应用场景
信号处理：用于信号的滤波、去噪、压缩等 图像处理：用于图像的增强、去噪、边缘检测等 音频处理：用于音频的滤波、去噪、压缩等 通信系统：用于信号的调制、解调、编码、解码等
06
傅里叶变换的计算机实现
离散傅里叶变换（DFT）
傅里叶变换的分类
连续傅里叶变换：适用于连续信号，将信号分解为不同频率的正弦波
离散傅里叶变换：适用于离散信号，将信号分解为不同频率的正弦波
快速傅里叶变换：适用于快速计算傅里叶变换，通过FFT算法实现 短时傅里叶变换：适用于分析非平稳信号，将信号分解为不同频率的正弦 波，同时考虑时间因素
03
傅里叶变换的性质
04
傅里叶变换的应用
在信号处理中的应用
滤波器设计：设计滤波器以 消除或增强特定频率的信号
信号分解：将信号分解为不 同频率的谐波
信号压缩：通过傅里叶变换 进行信号压缩，减少数据量
信号分析：分析信号的频率 成分，了解信号的特性和变
化规律
在图像处理中的应用
傅里叶变换可以用于图像的平滑处理，去除噪声 傅里叶变换可以用于图像的锐化处理，增强图像的细节 傅里叶变换可以用于图像的频域滤波，去除图像中的特定频率成分 傅里叶变换可以用于图像的压缩和编码，减少图像的数据量

• 例题：已知信号f(t)=cos100t,求其频谱Fn。
Fn
0.5
解：
f(t)1(ej10t0ej10t0)
所以
2 F1
F1
1 2
,
其F余 n0， n1
-w1
w1
nw1
• 例题：已知信号f(t)的频谱Fn如图所示，求信号f(t)。
解： F 0 2 ,F 1 F 1 2 ,F 2 F 2 1
三角形式的傅里叶级数也可表示成：
f(t)c0 cncos(n1tn)
其中 c n 2 a n 2 b n 2
n1n a rc ta n ( a b n n)
（2）
c 0 a 0
an为 n 1 的偶函数， b n 为 n 1 的奇函数
cn为 n 1 的偶函数， n为 n 1 的奇函数
例题 求题图所示的周期矩形信号的三角形式傅里叶级数。
其中
aan0 n 1T21T11tt00tt0T 01Tf1(tf)c(t)odnst1tdt•角级f(函数t)分数。解线为性不组同合频的率无三穷
推导
2
bn
T1
t0T1 t0
f(t)s
in1tdt
基波，二次谐波….n次谐波
傅里叶级数表明信号中各次谐波的分布。
f(t)a0 (anco ns1tbnsinn 1t) n1
（2）谐波性 -------- 谱线出现在基波频率 1 的整数倍上。
（1）
n 1
f(t)c0 cncon s1(tn)
（2）
n1
f (t)
Fnejn1t
n
f(t) →Fn建立一一对应关系。
（3）
不同时域信号对应的Fn不同，因此可以通过研究Fn来研究 信号的特性。Fn是频率的函数，它反映了组成信号的各次谐波的幅 度和相位变化规律称为频谱函数。可直观地看出各频率分量的相对 大小和相位情况，这样的图就称为信号的幅度频谱和相位频谱。