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工程力学组合变形PPT课件

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工程力学第十一章 组合变形

工程力学第十一章 组合变形

土建工程中的混凝土或砖、石偏心受压柱，往往不 允许横截面上出现拉应力。这就是要求偏心压力只能作 用在横截面形心附近的截面核心内。
要使偏心压力作用下杆件横截面上不出现拉应力， 那么中性轴就不能与横截面相交，一般情况下充其量只能 与横截面的周边相切，而在截面的凹入部分则是与周边外 接。截面核心的边界正是利用中性轴与周边相切和外接时 偏心压力作用点的位置来确定的。
解：拉扭组合:
7kNm T
50kN FN
安全
例11-8 直径为d的实心圆轴，
·B
P 若m=Pd，指出危险点的位置， 并写出相当应力 。
x
m
解：偏拉与扭转组合
z
C P P 例11-9 图示折角CAB，ABC段直径
d=60mm，L=90mm，P=6kN，[σ]＝
BA
60MPa，试用第三强度理论校核轴 x AB的强度。
例11-6 图示圆轴.已知,F=8kN,Me=3kNm,［σ］=100MPa, 试用第三强度理论求轴的最小直径.
解：(1) 内力分析
4kNm M
3kNm T
(2)应力分析
例11-7 直径为d=0.1m的圆杆受力如图，T=7kNm，P=50kN， []=100MPa，试按第三强度理论校核此杆的强度。
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力 引起的附加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有 杆的弯曲刚度相当大（大刚度杆）且在线弹性范围内 工作时才可应用叠加原理。
A M
F FN
+ ql2/8
+
B
+
=
C 10kN
A 1.6m
1.6m
10kN
1.2m
例11-3 两根无缝钢管焊接 而成的折杆。钢管外径 D=140mm，壁厚t=10mm。求 危险截面上的最大拉应力和 B 最大压应力。

组合变形PPT课件

组合变形PPT课件
（2）内力分析：距自由端为x的任意截面A上引起 的弯矩分别为：
M y Pz x Px sin
Mz
Py x
Px cos
§9-2 斜弯曲 9.2.3内力与应力计算
（3）应力分析：对应的应力分布，如图所示。
于是，A截面上任意点处正应力由平面弯曲正应力公 式计算。得：
（M
z
)
Mz Iz
y
（M
y
)
上例中，斜弯曲截面应力分布如图所示
根据中性轴处正应力为零，令（9.3）式等于零便可
得中性轴方程： M y z M z y P x( z sin y cos ) 0
Iy
Iz
Iy
Iz
sin z cos y 0 （9.4）中性轴方程
Iy
Iz
上式为没有截距的直线方程，可见此时中性轴通过截
面形心。如图所示。
§9-2 斜弯曲 9.2.5最大正应力和强度条件
以上一悬臂梁为例，如右图所示
（1）最危险截面：为固定端截面 （2）最危险截点：为正应力最大点
可根据叠加原理分析得出，如下图所示
最大正应力为：
强度条件为：
max
( M y
Mz)Βιβλιοθήκη （9.5）maxWy Wz
max （9.7）
例题9.1
§9-2 斜弯曲
§9-1 组合变形和叠加原理
9.1.4处理组合变形的基本方法
1.外力分析
将外力进行简化分解, 把构件上的外力转化为几个静力 等效载荷，使之每个载荷对应一种基本变形，即将组合 变形分解为基本变形。 2.内力分析 求每个外力分量对应的内力方程和内力图,确定危险截 面.分别计算在每一种基本变形下构件的应力
§9-2 斜弯曲

组合变形(工程力学课件)

组合变形(工程力学课件)

偏心压缩（拉伸）
轴向拉伸（压缩）
偏心压缩
F2 F2e
轴向压缩（拉伸）和 弯曲两种基本变形组合
偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
双向偏心压缩（拉伸）
单向偏心压缩（拉伸）
外力
内力
平移定理
应力
+
=
弯矩
轴力
max
min
FN A
Mz Wz
【例 1】求横截面上的最大正应力
F 50 kN
e 10 mm
组合变形的概念 及其分析方法
杆件的四种基本变形
轴向拉压 剪切 扭转
F
F
F
F
Me
Me
沿轴线的伸长或缩短 相邻横截面相对错动 横截面绕轴线发生相对转动
Me
弯曲
Me
F
轴线由直线变为曲线 横截面发生相对的转动
两种或两种以上基本变形的组合，称为组合变形
常见的 组合变形
（1）拉（压）弯组合 （2）斜弯曲（弯、弯组合） （3）偏心压缩（拉伸） （4）弯扭组合
24 106 401.88 103
64
4.3 59.7 64 [ ] 满足强度要求
59.7 55.4
斜弯曲
平面弯曲
作用线与截面的 纵向对称轴重合
梁弯曲后挠曲线位于外力F所在的纵向对称平面内
斜弯曲
作用线不与截面 的对称轴重合
梁弯曲后挠曲线不再位于外力F所在的纵向平面内
图示矩形截面梁，应用叠加原理对其进行分析计算：
3、应力分析
( z,y)
横截面上任意一点 （ z, y） 处 的正应力计算公式为
Mz
z
O
x
1.拉伸正应力
N

工程力学二课件8b 组合变形

工程力学二课件8b 组合变形

偏心压缩与弯曲的组合P9轴向压缩与弯曲的组合mFF1三、组合变形的分析方法——叠加法前提条件：弹性范围内工作的小变形杆。

叠加原理：几种（几个）荷载共同作用下的应力、变形等于每种（每个）荷载单独作用之和（矢量和、代数和）。

四、组合变形计算的总思路1、分解——将外力分组，使每组产生一种形式的基本变形。

FyLhbφFyLhbφx⨯xx⨯kFyFz l lF M z y =m ax FyLhbφzyhbα=26°qhbα=26°qz)(99mmL Y L1060.6⨯yLhbkxx⨯αFy、强度计算危险截面——固定端危险点——“ab”边各点有最大的拉应力，yLhbyZ yMY中性轴a ya z截面核心F（z F，y F）柱内的绝对值最大正应力。

图（1）图（2）ZYY1F F NFFMFzσ应力分布及最大应力确定MF足够的点；最后连接所有的点得到一个在截面形心附近的区截面核心。

中性轴ayaz截面核心F（z F，y F）。

工程力学-组合变形课程课件

工程力学-组合变形课程课件

离中性轴最远的点，这就是危险点。
令 y0 , z0 代表中性轴上任一点的坐标，
即得中性轴方程
中性轴
z
1 ez z ey y 0
O
Iy
Iz
中性轴在 y , z 两轴上的截距为 D2
ay
D1
az y
ay
iz2 ey
az
iy2 ez
工程力学
第12章 组合变形
例12.6 螺旋夹紧装置如图所示，已知 F 2kN ，
800
D
C
A
2500
B
1500
F
工程力学
第12章 组合变形
1、先计算出CD 的杆长
800
D
C
A
2500
1500
FCD
FAx A
FCDx
FAy
FCDy
l 25002 8002 2620mm 2.62m
2、取AB为研究对象，画受力简图
B
MA 0
F
FCD
2.5 2.5 2.62
F
(2.5 1.5)
中性轴与y 轴的夹角q 为
tanq z0 I y M z I y tan
y0 I z M y I z
式中， 为合弯矩与轴的夹角。
Iz Iy Iz Iy
q q
斜弯曲 平面弯曲
工程力学
中性轴将横截面分为两部分，一部分受 拉应力，一部分受压应力。作平行于中 性轴的两直线，分别与横截面的周边相 切，这两个切点D1，D2就是该截面上拉应 力和压应力为最大的点。将危险点的坐 标代入（12.1）式，即可求得横截面上的 最大拉应力和最大压应力。危险点的应 力状态为单向应力状态或近似当作单向 应力状态，故其强度条件为

第八章组合变形-精品.ppt

第八章组合变形-精品.ppt

组合变形问题的基本解法是叠加法
条件是： （1）小变形假设。 （2）载荷和位移成线性关系：比例极限内。
其基本步骤是：
（1）将载荷分解，得到与原载荷等效的几组简单载荷，使构 件在每组简单载荷作用下只产生一种基本变形。 （2）分别计算构件在每种基本变形情况下的应力。 （3）将每种基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计 算。当构件危险点处于简单应力状态时，可将上述应力进行 代数相加；若处于复杂应力状态，则需要按照强度理论来进 行强度计算。
155106Pa 155MPa 170MPa
如果在此例中若F力的作用线与y轴重和，即＝0，则此梁
横截面上的最大正应力为
max
M max Wz
20 103 402 106
49.8106Pa49.8MPa
对于圆形截面
因为过形心的任意轴均为截面的对称轴，所以当横
截面上同时作用两个弯矩时，可以将弯矩用矢量表示，
然后求二者的矢量和。于是，斜弯曲圆截面上的应力计 算公式为：
Fy
M My2 Mz2
W
W
此时的界面的中性轴为与合弯矩矢量相平行
的圆截面直径。或者为与Fy与Fz合力垂直的直径
Fz
为中性轴。
注意：斜弯曲矩形横截面依然存在中性轴，而且中性 轴一定通过横截面的形心，但不垂直于加载方向。
§10.3 拉压与弯曲
本章讨论斜弯曲、拉压与弯曲、弯曲与扭转等的组合变形情况
§10.2 斜弯曲
檩条
yq
z
a
外力的作用点在截面形心处，但是外力作用线并没有沿着形 心主轴。杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横向力） 不位于外力所在地纵向平面内，这种弯曲称为斜弯曲。
现在以矩形截面悬臂梁为例来说明斜弯曲时的应力与位移的

《组合变形》PPT课件


0.266q (12 ) 237 106
(21.5103) q
( max )D
M yD Wy
M zD Wz
0.444q (12 ) 31.5 106
0.456q (12 ) 237 106
(16.02 103) q
危险点在A截面上的外棱角D1和D2处
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
32
l 几何参数
A 15103 m2 , zo 7.5 cm, I y 5310 cm4
l 求内力(作用于截面形心)
取研究对象如图
FN P kN,
M y 42.5 102 P kN.m
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
350
FN
33
l 危险截面
各截面相同
l 应力分布
l FN引起的应力
FN P MPa
u 拉伸、压缩
l 组合变形 有两种或两种以上的 基本变形同时发生。
u 剪切
l 求解组合变形的方法
将载荷分为几组分别产生 基本变形的载荷，然后应 用叠加原理。
u 扭转
u 弯曲
3
2 叠加原理 如果内力、应力、变形等与外力成线性关系， 则复杂受力情况下组合变形构件的内力、应 力、变形等可以由几组产生基本变形的载荷 单独作用下的内力、应力、变形等的叠加而 得到，且与各组载荷的加载次序无关。
'' My z Mz y
Iy
Iz
中性轴的方程：
My F1l
F2 (l a)
Mz
My Iy
z0
Mz Iz
y0
0
5
中性轴的方程：

第9章 组合变形教学课件


③扭转与弯曲的组合
9.1 组合变形的概念
在线弹性和小变形的条件下，组合变形可按杆件的原始形状和尺寸， 通过叠加原理求解。即把杆件上的荷载分解为若干个独立荷载，使 每一种荷载只产生一种基本变形，计算杆件在每种基本变形时的某 量值（内力、应力或变形等），将各基本变形时的该量值叠加，可 得杆件在原荷载作用下的该量值。
处，如图所示。其值为
max,M
M max Wz
当杆件的抗弯刚度EI较大时，横向力引起的挠度很小，由轴向拉力F引起 的附加弯矩可忽略不计。按叠加原理，如图所示杆件跨中截面上的最大应 力位于截面的下边缘处，为拉应力，故截面的下边缘处为危险点，有
max
N
＝
max,M
FN A
M max Wz
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
显然固定端截面弯矩最大，为危险截面。
⑶应力分析 Mz、My单独作用下，在m-m截面上任意点a处产生的正应力分 别为
Mzy
Iz
M y z
Iy
9.3 斜弯曲
由叠加原理，在F力作用下a点处的正应力为
M z y M y z
Iz
Iy
上式为斜弯曲梁横截面上任一点处的正应力计算公式。其中Iy和Iz分别为横 截面对两对称轴y轴和z轴的惯性矩；y、z分别为所求应力点到z轴和y轴的
⑵内力分析 在轴向拉力F作用下，杆件各横截面上的轴力为FN，在横向均 布力q作用下，杆件跨中截面弯矩最大为Mmax，因此危险截面在跨中。
⑶应力分析 在轴向力作用下杆件各截面任一点处的正应力均相等，如图所
示，其值为
σN
FN A
9.2 拉伸（压缩）与弯曲的组合
在横向均布力作用下，杆件跨中截面上的最大正应力位于截面上、下边缘
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y FyIy Iy
一般情况下，Iy Iz
即挠曲线平面与荷载作用面不相重合，为斜弯曲，
而不是平面弯曲。
13
第十二章 组合变形
例题8-1 图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载 集度为q (N/m)，集中荷载为 F qa (N) 。试求梁的许可荷载
2 集度[q]。已知：a =1 m; 20a号工字钢：Wz=237×10-6 m3，
（2）一般情况下， Iy Iz
即中性轴并不垂直于外力作用面。
拉y
z
中性轴
F
压
11
第十二章 组合变形
固端截面上的最大正应力:
拉y
1(y1, z1)
z
m ax F(lz1Isyi ny1cIzos) Mma(xz1sIyiny1cIzos)
3(y3, z3)
F
m a xP(lz3Isyi ny3c Izos)
4
第十二章 组合变形
§12-2 斜弯曲
当外力作用面不通过主惯性平面时,则弯曲变形后,梁 的轴线不在外力作用面内。
y
z
F
5
第十二章 组合变形
y
Fz
z
F
Fy
6
y
Fz
z
xz平面内的平面弯曲
y
z xy平面内的平面弯曲
Fy
第十二章 组合变形
已知：矩形截面梁截面宽度b、高度h、长度l，外载 荷F与主惯轴y成夹角。
C2
Mzy Iz
C(y,z)C 1C2M Iy yzM Iz zy
Fxsin zFxcosyF(xzsinycos)
Iy
Iz
Iy
Iz
9
第十二章 组合变形
中性轴的确定：
令 0,
拉y
z
zsinycos 0
Iy
Iz
则
tg Iz tg
Iy
F 压 中性轴
10
第十二章 组合变形
（1）中性轴只与外力F的倾角及截面的几何形状与 尺寸有关；
A截面上的外棱角D1和D2处。
18
第十二章 组合变形
4. 求许可荷载集度[q]。
根据强度条件 (ma)xA[]，有
（21.5×10-3)q ≤160×106 Pa
从而得
q21.15 6 0 1 16 0 037.44 13 0N/m
于是有
[q]=7.44×103 N/m =7.44 kN/m
19
2. 作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲 的弯矩图—My 图和Mz 图（图c ,d）。
16
第十二章 组合变形
3. 确定此梁的危险截面。 A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但
因工字钢Wy<<Wz ，故A截面是可能的危险截面。 D 截面上Mz 最大：
中性轴 压
Mma(xz3Isyi ny3cIzos)
12
第十二章 组合变形
二、挠度计算
中性轴
y
z
Fzl3 3 EI y
F sin l 3
,
3EI y
y
Fyl3 3 EI z
F cosl3 3EI z
z z
f
y
F
总挠度大小为： y2 z2
设总挠度与y轴夹角为 ：
tg z F z I z I z tg tg
求：固端截面上的最大正应力
y y
Fz z x
z
F F Fz F sin,
Fy F cos
Fy

7
第十二章 组合变形
y z
My
x (My )
8
中性轴
y z
Mz
x(Mz) 中性轴
第十二章 组合变形
y
C(y,z) z
y
求任意截面 任意一点的 C(y,z)
正应力： z Mz
My
所以
C1
M yz Iy
2
吊车立柱 （图c）受 偏心压缩， 发生弯压组 合变形。
第十二章 组合变形
拉弯扭组合 P
R
Ｍ
P
弯扭组合
斜弯曲组合
3
第十二章 组合变形
两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横 截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以组合，故归于 组合变形。
研究方法:
(d)
对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形 的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、 应力或位移进行叠加。
MzD=0.456 qa2 ， 且 MyD= 0.444 qa2， 故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面 和D 截面上的最大弯曲正应力。
17
第十二章 组合变形
z
MyA
y
z
MzA
y
D1 z D2
y
(m)a Ax M W y yA M W z zA 0 3 .6 .5 1 q 4 1 (1 2 6 2 0 ) 0 .2 2 3 q 6 1 ( 1 7 6 6 2 0 )
第十二章 组合变形
§12－3 拉伸或压缩与弯曲组合 截面核心
Ⅰ. 横向力与轴向力共同作用
图a为由两根槽钢组成的杆件，受横向力F和轴向力Ft作 用时的计算简图，该杆件发生弯曲与拉伸的组合变形。
20
第十二章 组合变形
轴向拉力会因杆件有弯曲变形而产生附加弯矩，但它与横 向力产生的弯矩总是相反的，故在工程计算中对于弯一拉组合 变形的构件可不计轴向拉力产生的弯矩而偏于安全地应用叠加 原理来计算杆中的应力。
Wy=31.5×10-6 m3；钢的许用弯曲正应力[ ]=160 MPa。
x
14
第十二章 组合变形
x
解： 1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为
FyFco4so 0q2aco4so 00.38q3a ( ) FzFsi4 no0q2asi4 no00.32q1a ( )
15
第十二章 组合变形
第十二章 组合变形
第十二章 组合变形
1
第十二章 组合变形
Ⅰ. 组合变形
§12-1 概 述
构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的
变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，
则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。
组合变形工程实例:
烟囱（图a）有侧 向荷载（风荷， 地震力）时发生 弯压组合变形。
21
第十二章 组合变形
至于发生弯曲与压缩组合变形的杆件，轴向压力引起的附 加弯矩与横向力产生的弯矩为同向，故只有杆的弯曲刚度相当 大（大刚度杆）且在线弹性范围内工作时才可应用叠加原理。
22
第十二章 组合变形
图a所示发生弯一拉组合变形的杆件，跨中截面为危险截面，
其的上 拉的伸内正力应为力FtN为=F均t，匀分布M(图maxb)，。14 F该l横截t 面FA上N 与，F轴A而t 力与F最N对大应弯
(21.5103)q
(m)a D x M W y yD M W z zD 0 3 .4 .5 1 q 4 1 (1 4 6 2 0 ) 0 .2 4 3 q 5 1 ( 1 7 6 6 2 0 )
(1.602 13 0)q
由于 (ma)A x(ma)D x，可见A截面为危险截面。危险点在