有界磁场问题分类点拨

带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点。

在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。

笔者在指导高三复习过程中，对带电粒子在有界磁场中的运动问题进行了专题复习，探究解题方法，取得了良好的教学效果。

带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强，解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。

下面按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析，供参考。

一、带电粒子在半无界磁场中的运动例1、一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.(1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ,证明:直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是t mqB 2=θ。

二、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动例2、如图2所示，一束电子(电量为e )以速度V 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿透磁场的时间是( )。

三、带电粒子在圆形磁场中的运动例3、圆心为O 、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B 、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的O ＇处有一竖直放置的荧屏MN ，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿ＯＯ＇方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图3所示，求O ＇P 的长度和电子通过磁场所用的时间。

B图1 MNO ,O图2四、带电粒子在正方形磁场中的运动例4、长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图6所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A ．使粒子的速度V <BqL /4m ；B ．使粒子的速度V >5BqL /4m ；C ．使粒子的速度V >BqL /m ；D ．使粒子速度BqL /4m <V <5BqL /4m 。

解析：质点在做半径为 R 的圆周运动，由q V Bn^ 2-得 R=mvqB分类解析有界磁场中的“最值”问题唐山市丰南一中（063302） 王殿彬带电粒子在有界磁场中的运动是高中物理的一个难点，也是高考的热点 ，有界磁场中的“最值"问题更是高考物理试题中的常见题，此类问题综合性强，常涉及确定临界条件、正确的作图，还要用到数学中的 几何知识。

下面按照有界磁场的形状对此分类解析。

一. 矩形有界磁场：矩形有界磁场常常涉及的是粒子的入射速度方向一定的速率最值问题，粒子刚好要射岀磁场即与射岀 边界相切时存在最值。

例1 . 如图1所示，宽度为d 的匀强有界磁场，磁感强度为 B ，MM ，和NN ，是它的两条边界。

现有一质 量为m ,电量为+q 的带电微粒沿图1所示方向垂直磁场射入， 要使粒子不能从边界 NN ‘射出，求粒子入射 的最大速率。

解析：要求粒子不从 NN ，射出入射速率的最大值，只需求出粒子刚好不射出时的入射速率。

粒子在磁场中 运动的轨迹如图2所示， 经分析知，v 越大，对应的半径R 越大，当v 达到最大值时，对应的圆弧与 NN二. 圆形有界磁场：圆形有界磁场涉及的最值问题有两方面: 场中运动时间最值问题。

（一）圆形有界磁场面积最值问题 ：此类问题需要作岀带电粒子在圆形磁场中的运动轨迹 最小. 例2. （94高考）一带电质点，质量为 m,电量为q ，以平行于ox 轴的速度v 从y 轴上的a 点射入图中 的第一象限所示的区域， 为了使该质点能从x 轴上的b 点以垂直于ox 轴的速度v 射岀，可在适当的地方加 一个垂直于xy 平面、磁感强度为 B 的匀强磁场。

若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区 域的最小半径。

相切，则有轨道圆半径 R=d R,又 （一）圆形有界磁场面积最值问题。

（二）带电粒子在有界磁 ，并作出两条切线，以两切点的连线为直径时面积R=mv ，故 v m =（2 2）Bq d1根据题意，质点在磁场区域中的轨道是半径等于R的一圆周，这段圆弧应与入射方向的速度、岀射方4向的速度相切。

带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析在物理学中，带电粒子在磁场中的运动问题一直是一个非常重要的研究方向。

无论是理论上的研究还是实验上的探测，都需要我们对带电粒子在磁场中运动的物理规律进行深入的了解和研究。

在本文中，我们将着重研究带电粒子在“有界”磁场中运动的问题，并对其进行分类解析。

“有界”磁场的概念在真实的物理现象中，带电粒子往往会受到非常复杂的磁场影响。

但是，在某些特殊情况下，带电粒子受到的磁场受限于空间的某些特定区域，我们就将这种磁场称为“有界”磁场。

当带电粒子受到“有界”磁场的影响时，我们可以更加精确地研究其在磁场中运动的规律。

问题分类带电粒子在“有界”磁场中运动的问题可以分为三类：匀强磁场、非匀强磁场和旋转磁场。

下面我们依次对这三类问题进行探讨。

匀强磁场中的运动当带电粒子在匀强磁场中运动时，其受力方向始终垂直于磁场方向，磁场的大小和方向都是不变的。

这种情况下，我们可以通过洛伦兹力公式求解带电粒子的运动轨迹。

具体来说，当带电粒子的速度为v，电荷为q，受到的磁场强度为B时，带电粒子所受的洛伦兹力大小为F=qvB，方向垂直于速度和磁场的方向。

由于洛伦兹力的方向与速度方向垂直，所以带电粒子在匀强磁场中的轨迹为一个圆形。

非匀强磁场中的运动当带电粒子受到的磁场不再是匀强磁场时，其运动状态也会相应发生变化。

在非匀强磁场中，带电粒子受到的磁场强度和方向均发生变化，从而影响其运动状态。

此时，我们需要采用更加复杂的计算方法求解带电粒子的运动轨迹。

旋转磁场中的运动在旋转磁场中，带电粒子的磁场方向和大小都是随时间变化的。

这种情况下，带电粒子的运动将更加复杂。

经过分析，我们可以发现，在旋转磁场中，带电粒子的轨迹为多个圆形或椭圆形，其大小和形状随时间的变化而发生了改变。

结论总的来说，带电粒子在“有界”磁场中的运动问题是非常复杂的。

对于这些问题，在实践研究中，我们需要根据实际情况和研究目的，灵活采取不同的方法和技巧。

带电粒子在“有界”磁场中运动问题分类解析一、求解带电粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动时，一般先根据题意画岀运动的轨迹, 确定圆心，从而根据几何关系求岀半径或圆心角，然后利用半径公式、周期公式求解。

1、首先确定圆心： 一个基本思路： 圆心一定在与速度方向垂直的直线上。

三个常用方法： 方法一：利用两个速度垂线的交点找圆心 由于向心力的方向与线速度方向互相垂直，洛伦兹力（向心力）沿 半径指向圆心，知道两个速度的方向，画岀粒子轨迹上两个对应的 洛伦兹力，其延长线的交点即为圆心。

例1:如图1所示，一个质量为 m 电荷量为q 的带电粒子从x 轴上 的P （ a ，0）点以速度V,沿与x 正方向成60 °的方向射入第一 象限内的匀强磁场中，并恰好垂直于y 轴射岀第一象限。

求匀强磁 场的磁感应强度 B 和射岀点的坐标。

解析：分别由射入、射岀点做两条与速度垂直的线段，其交点 圆心，由图可以看岀，轨道半径为ra2a，洛仑兹力是向心力 qBvsin 60 43射岀点的纵坐标为（叶rsin30 ° ） =1.5r,因此射岀点坐标为（0，方法二：利用速度的垂线与弦的中垂线的交点找圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速运动时，如果已知轨迹上的两点的位置和其中一点的速 度方向，可用联结这两点的弦的中垂线与一条半径的交点确定圆心的位置。

例2:电子自静止开始经 M 、N 板间（两板间的电压为 U ）的 厂电场加速后从A 点垂直于磁场边界射入宽度为 d 的匀强磁场中，电子离开磁场时的位置 P 偏离入射方向的距离为L ，如图2所示，求：（1） 正确画岀电子由静止开始直至离开磁场时的轨迹图； （2） 匀强磁场的磁感应强度 .（已知电子的质量为 m ，电量为 解析：（1）联结AP 的线段是电子圆运动轨道上的一条弦，做弦 子通过A 点时的速度方向与磁场左边界垂直，AP 弦的中垂线 OC 与磁场左边界的交点 O 即是电子圆运动的圆心，为半径画圆弧，如图 3所示，电子进入磁场后做匀速圆周运动，设其半径为veBv m —rB= 2L ；2mUJ —— L d Y e方法三：利用速度的垂线与角的平分线的交点找圆心当带电粒子通过圆形磁场区后又通过无场区，如果只知道射入和射岀时的速度的方向和射入时的位置，而不知道射岀点的位置，应当利用角的平分线和半径的交点确定圆心。

带电粒子在有界磁场中运动问题分类解析一、带电粒子在半无界磁场中的运动 【例1】如图所示，真空室内有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B ＝0.60T ，磁场内有一块平行感光板ab ，板面与磁场方向平行，在距ab 的距离l ＝16cm 处，有一个点状的α粒子发射源S ，它向各个方向发射α粒子，α粒子的速度都是v ＝3.0×106m/s ．已知α粒子的电量与质量之比q/m ＝5.0×107C/kg ，现只考虑在纸平面中运动的α粒子，求ab 上被α粒子打中的区域长度．二、带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动【例2】长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．图3v 2v【例3】如图4所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2100.1-⨯=，A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3101.9-⨯=，已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系及各自相应的取值范围．．【例4】如图11-3-16所示，一足够长的矩形区域abcd 内有磁感应强度为B ，方向垂直纸面向里的匀强磁场，现从ad 边的中点O 处，以垂直磁场且跟ad 边成30º角的速度方向射入一带电粒子．已知粒子质量为m ，带电量为q ，ad= l ，不计粒子重力．（1）若粒子从ab 边上射出，则入射速度v 0的范围是多少？ （2）粒子在磁场中运动的最长时间为多少？ 三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动 【例5】在边长为2a 的三角形ABC 内存在垂直纸面向里的磁感强度为B的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直AB 方向进入磁场，如图7所示，若粒子能从AC 间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从AC 间什么范围内射出．图7DB【例6】边长为100cm 的正三角形光滑且绝缘的刚性框架ABC 固定在光滑的水平面上，图内有垂直于框架平面B ＝0.5T 的匀强磁场．一质量m =2×10-4kg ，带电量为q =4×10－3C 小球，从BC 的中点小孔P 处以某一大小的速度垂直于BC 边沿水平面射入磁场，设小球与框架相碰后不损失动能．求：（1）为使小球在最短的时间内从P 点出来，小球的入射速度v 1是多少？ （2）若小球以v 2=1m/s 的速度入射，则需经过多少时间才能由P 点出来？练习:1．如图所示有一边界为矩形的磁场，一带电量为q 、质量为m 的带负电的粒子到达坐标中（a ，b ）点时速度为v ，方向与x 轴方向相同，欲使粒子到达坐标原点时速率仍为v ，但方向与x 轴方向相反，则所在磁场的方向应为_____，磁感应强度的大小B ＝________，在图中标出磁场分布的最小范围．2．一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如图1).磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直,并垂直于图1中纸面向里.(1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离.(2)如果离子进入磁场后经过时间t 到达位置P ,证明:直线OP 与离子入射方向之间的夹角θ跟t 的关系是θ=qBt/2m 。

(1)模型概述带电粒子在有界磁场中的偏转问题一直是高考的热点，此类模型较为复杂，常见的磁场边界有单直线边界、双直线边界、矩形边界和圆形边界等．因为是有界磁场，则带电粒子运动的完整圆周往往会被破坏，可能存在最大、最小面积、最长、最短时间等问题．(2)模型分类 Ⅰ.单直线边界型当粒子源在磁场中，且可以向纸面内各个方向以相同速率发射同种带电粒子时以图8－2－11(甲)中带负电粒子的运动为例．图8－2－11 规律要点 ①最值相切：当带电粒子的运动轨迹小于12圆周且与边界相切时(如图中a 点)，切点为带电粒子不能射出磁场的最值点(或恰能射出磁场的临界点)．②最值相交：当带电粒子的运动轨迹大于或等于12圆周时，直径与边界相交的点(如图8－2－11(甲)中的b 点)为带电粒子射出边界的最远点(距O 最远)．Ⅱ.双直线边界型当粒子源在一条边界上向纸面内各个方向以相同速率发射同一种粒子时，以图8－2－11(乙)中带负电粒子的运动为例．规律要点①最值相切：粒子能从另一边界射出的上、下最远点对应的轨道分别与两直线相切．如图8－2－11(乙)所示．②对称性：过粒子源S 的垂线为ab 的中垂线．在如图(乙)中，a 、b 之间有带电粒子射出，可求得ab ＝22dr －d 2最值相切规律可推广到矩形区域磁场中．Ⅲ.圆形边界(1)圆形磁场区域规律要点 ①相交于圆心：带电粒子沿指向圆心的方向进入磁场，则出磁场时速度矢量的反向延长线一定过圆心，即两速度矢量相交于圆心，如图8－2－12(甲)．②直径最小：带电粒子从直径的一个端点射入磁场，则从该直径的另一端点射出时，磁场区域面积最小．如图8－2－12(乙)所示．(2)环状磁场区域规律要点①径向出入：带电粒子沿(逆)半径方向射入磁场，若能返回同一边界，则一定逆(沿)半径方向射出磁场．②最值相切：当带电粒子的运动轨迹与圆相切时，粒子有最大速度v m 而磁场有最小磁感应强度B .如图8－2－12(丙)．图8－2－12图8－2－13【典例】 如8－2－13所示，两个同心圆，半径分别为r 和2r ，在两圆之间的环形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B .圆心O 处有一放射源，放出粒子的质量为m ，带电量为q ，假设粒子速度方向都和纸面平行．(1)图中箭头表示某一粒子初速度的方向，OA 与初速度方向夹角为60°，要想使该粒子经过磁场第一次通过A 点，则初速度的大小是多少？(2)要使粒子不穿出环形区域，则粒子的初速度不能超过多少？解析 (1)如图所示，设粒子在磁场中的轨道半径为R 1，则由几何关系得R 1＝3r 3，又q v 1B ＝m v 12R 1得v 1＝3Bqr3m.(2)设粒子轨迹与磁场外边界相切时，粒子在磁场中的轨道半径为R 2，则由几何关系有(2r －R 2)2＝R 22＋r 2可得R 2＝3r 4，又q v 2B ＝m v 22R 2，可得v 2＝3Bqr4m故要使粒子不穿出环形区域，粒子的初速度不能超过3Bqr4m. 答案 (1)3Bqr 3m (2)3Bqr4m对应学生用书P140图8－2－141．(2011·海南卷，10改编)如图8－2－14所示空间存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场，图中的正方形为其边界．一细束由两种粒子组成的粒子流沿垂直于磁场的方向从O 点入射．这两种粒子带同种电荷，它们的电荷量、质量均不同，但其比荷相同，且都包含不同速率的粒子．不计重力，下列说法正确的是( )．A ．入射速度不同的粒子在磁场中的运动时间一定不同B ．入射速度相同的粒子在磁场中的运动轨迹一定相同C ．在磁场中运动时间相同的粒子，其运动轨迹一定相同D ．在磁场中运动时间越长的粒子，其轨迹所对的圆心角一定越小解析 带电粒子进入磁场后，在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，根据q v B ＝m v 2r得轨道半径r ＝m vqB ，粒子的比荷相同．故不同速度的粒子在磁场中运动的轨道半径不同，轨迹不同，相同速度的粒子，轨道半径相同，轨迹相同，故B 正确．带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T ＝2πr v ＝2πmqB ，故所有带电粒子的运动周期均相同．若带电粒子从磁场左边界射出磁场，则这些粒子在磁场中运动时间是相同的，但不同速度轨迹不同，故A 、C 错误．根据θt ＝2πT 得θ＝2πT t ，所以t 越长，θ越大，故D 错误． 答案 B 2．(2011·浙江卷，20改编)利用如图8－2－15所示装置可以选择一定速度范围内的带电粒子．图中板MN 上方是磁感应强度大小为B 、方向垂直纸面向里的匀强磁场，板上有两条宽度分别为2d 和d 的缝，两缝近端相距为L .一群质量为m 、电荷量为q ，具有不同速度的粒子从宽度为2d 的缝垂直于板MN 进入磁场，对于能够从宽度为d 的缝射出的粒子，下列说法正确的是( )．图8－2－15A ．粒子带正电B ．射出粒子的最大速度为2mqB (3d ＋L )C ．保持d 和L 不变，增大B ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大D ．保持d 和B 不变，增大L ，射出粒子的最大速度与最小速度之差增大解析 利用左手定则可判定只有负电荷进入磁场时才向右偏，故选项A 错误．利用q v B ＝m v 2r 知r ＝m v qB ，能射出的粒子满足L 2≤r ≤L ＋3d 2，因此对应射出粒子的最大速度v max ＝qBr maxm＝qB (3d ＋L )2m ，选项B 错误．最小速度v min ＝qBr min m －qBL 2m ，Δv ＝v max －v min ＝3qBd 2m ，由此式可判定选项C 正确，选项D 错误． 答案 C 3．(2011·广东卷，35)如图8－2－16(a)所示，在以O 为圆心，内外半径分别为R 1和R 2的圆环区域内，存在辐射状电场和垂直纸面的匀强磁场，内外圆间的电势差U 为常量，R 1＝R 0，R 2＝3R 0.一电荷量为＋q ，质量为m 的粒子从内圆上的A 点进入该区域，不计重力．(1)已知粒子从外圆上以速度v 1射出，求粒子在A 点的初速度v 0的大小．(2)若撤去电场，如图8－2－16(b)，已知粒子从OA 延长线与外圆的交点C 以速度v 2射出，方向与OA 延长线成45°角，求磁感应强度的大小及粒子在磁场中运动的时间．(3)在图8－2－16(b)中，若粒子从A 点进入磁场，速度大小为v 3，方向不确定，要使粒子一定能够从外圆射出，磁感应强度应小于多少？图8－2－16 解析 (1)根据动能定理，qU ＝12m v 12－12m v 02，所以v 0＝ v 12－2qUm.(2)如图所示，设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，由几何知识可知R 2＋R 2＝(R 2－R 1)2，解得R ＝2R 0.根据洛伦兹力公式和牛顿第二定律q v 2B ＝m v 22R .解得B ＝m v 2q 2R 0＝2m v 22qR 0.根据公式t T ＝θ2π，2πR ＝v 2T ，q v 2B ＝m v 22R ，解得t ＝T 4＝2πm 4Bq ＝2πm 4×m v 22R 0＝2πR 02v 2.(3)考虑临界情况，如图所示①q v 3B 1′＝m v 32R 0，解得B 1′＝m v 3qR 0，②q v 3B 2′＝m v 322R 0，解得B 2′＝m v 32qR 0，综合得：B ′<m v 32qR 0.答案 (1) v 12－2qU m (2)2m v 22qR 0 2πR 02v 2 (3)m v 32qR 0图8－2－174．(2011·课标全国卷，25)如图8－2－17所示，在区域Ⅰ(0≤x ≤d )和区域Ⅱ(d <x ≤2d )内分别存在匀强磁场，磁感应强度大小分别为B 和2B ，方向相反，且都垂直于Oxy 平面．一质量为m 、带电荷量q (q >0)的粒子a 于某时刻从y 轴上的P 点射入区域Ⅰ，其速度方向沿x 轴正向．已知a 在离开区域Ⅰ时，速度方向与x 轴正向的夹角为30°；此时，另一质量和电荷量均与a 相同的粒子b 也从P 点沿x 轴正向射入区域Ⅰ，其速度大小是a 的13.不计重力和两粒子之间的相互作用力．求：(1)粒子a 射入区域Ⅰ时速度的大小；(2)当a 离开区域Ⅱ时，a 、b 两粒子的y 坐标之差．解析 (1)设粒子a 在Ⅰ内做匀速圆周运动的圆心为C (在y 轴上)．半径为R a 1，粒子速率为v a ，运动轨迹与两磁场区域边界的交点为P ′，如图所示．由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q v a B ＝m v a2R a 1①由几何关系得∠PCP ′＝θ②R a 1＝d sin θ ③ 式中，θ＝30°，由①②③式得v a ＝2dqB m④(2)设粒子a 在Ⅱ内做圆周运动的圆心为O a ，半径为R a 2，射出点为P a (图中未画出轨迹)，∠P ′O a P a ＝θ′.由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q v a (2B )＝m v a 2R a 2⑤由①⑤式得R a 2＝R a 12⑥C 、P ′和O a 三点共线，且由⑥式知O a 点必位于x ＝32d ⑦的平面上．由对称性知，P a 点与P ′点纵坐标相同，即 y Pa ＝R a 1cos θ＋h ⑧ 式中，h 是C 点的y 坐标．设b 在Ⅰ中运动的轨道半径为R b 1，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得q ⎝⎛⎭⎫v a 3B ＝m R b 1⎝⎛⎭⎫v a32⑨当a 到达P a 点时，b 位于P b 点，转过的角度为α.如果b 没有飞出Ⅰ，则t T a 2＝θ′2π⑩t T b 1＝α2π⑪ 式中，t 是a 在区域Ⅱ中运动的时间，而T a 2＝2πR a 2v a⑫T b 1＝2πR b 1v a 3⑬由⑤⑨⑩⑪⑫⑬式得α＝30°⑭由①③⑨⑭式可见，b 没有飞出Ⅰ.P b 点的y 坐标为 y Pb ＝R b 1(2＋cos α)＋h ⑮由①③⑧⑨⑭⑮式及题给条件得，a 、b 两粒子的y 坐标之差为y Pa －y Pb ＝23(3－2)d ⑯答案 (1)2dqB m (2)23(3－2)d第3讲 带电粒子在复合场中的运动对应学生用书P141复合场 复合场是指电场、磁场和重力场并存，或其中某两场并存，或分区域存在．从场的复合形式上一般可分为如下四种情况：①相邻场；②重叠场；③交替场；④交变场.带电粒子在复合场中的运动分类 1.静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动． 2．匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．3．较复杂的曲线运动当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线．4．分阶段运动带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运电场磁场同区域应用实例装置 原理图 规律速度选择器若q v0B＝Eq，即v0＝EB，粒子做匀速直线运动磁流体发电机等离子体射入，受洛伦兹力偏转，使两极板带正、负电，两极电压为U时稳定，qUd＝q v0B，U＝v0Bd电磁流量计UD q＝q v B所以v＝UDB所以Q＝v S＝UDBπ⎝⎛⎭⎫D22质谱仪、回旋加速器《见第2讲》温馨提示复合场中重力是否考虑的三种情况(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略．而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等，一般应考虑其重力．(2)在题目中明确说明的按说明要求是否考虑重力．(3)不能直接判断是否考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否考虑重力．图8－3－11．如图8－3－1是磁流体发电机的原理示意图，金属板M、N正对着平行放置，且板面垂直于纸面，在两板之间接有电阻R.在极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场．当等离子束(分别带有等量正、负电荷的离子束)从左向右进入极板时，下列说法中正确的是()．①N板的电势高于M板的电势②M板的电势高于N板的电势③R中有由b向a方向的电流④R中有由a向b方向的电流A．①②B．③④C．②④D．①③解析本题考查洛伦兹力的方向的判断，电流形成的条件等知识点．根据左手定则可知正电荷向上极板偏转，负电荷向下极板偏转，则M板的电势高于N板的电势．M板相当于电源的正板，那么R中有由a向b方向的电流．答案 C图8－3－22．如图8－3－2所示，有一混合正离子束先后通过正交的电场、磁场区域Ⅰ和匀强磁场区域Ⅱ，如果这束正离子流在区域Ⅰ中不偏转，进入区域Ⅱ后偏转半径r相同，则它们一定具有相同的()．A．动能B．质量C．电荷量D．比荷答案 D图8－3－33．(2012·南昌高三调研)某空间存在水平方向的匀强电场(图中未画出)，带电小球沿如图8－3－3所示的直线斜向下由A点沿直线向B点运动，此空间同时存在由A指向B的匀强磁场，则下列说法正确的是()．A．小球一定带正电B．小球可能做匀速直线运动C．带电小球一定做匀加速直线运动D．运动过程中，小球的机械能减少解析本题考查带电体在复合场中的运动问题．由于重力方向竖直向下，空间存在磁场，且直线运动方向斜向下，与磁场方向相同，故不受磁场力作用，电场力必水平向右，但电场具体方向未知，故不能判断带电小球的电性，选项A错误；重力和电场力的合力不为零，故不是匀速直线运动，所以选项B错误；因为重力与电场力的合力方向与运动方向相同，故小球一定做匀加速运动，选项C正确；运动过程中由于电场力做正功，故机械能增大，选项D错误．答案 C4．如图8－3－4所示，在空间中存在垂直纸面向里的匀强磁场，其竖直边界AB，CD 的宽度为d，在边界AB左侧是竖直向下、场强为E的匀强电场．现有质量为m、带电量为＋q的粒子(不计重力)从P点以大小为v0的水平初速度射入电场，随后与边界AB成45°射入磁场．若粒子能垂直CD边界飞出磁场，穿过小孔进入如图所示两竖直平行金属板间的匀强电场中减速至零且不碰到正极板．(1)请画出粒子上述过程中的运动轨迹，并求出粒子进入磁场时的速度大小v；(2)求匀强磁场的磁感应强度B；(3)求金属板间的电压U的最小值．图8－3－4解析 (1)轨迹如图所示v ＝v 0cos 45°＝2v 0(2)粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动设其轨道半径R ，由几何关系可知R ＝dsin 45°＝2dq v B ＝m v 2R 解得B ＝m v 0qd(3)粒子进入板间电场至速度减为零的过程，由动能定理有－qU ＝0－12m v 2 解得U ＝m v 02q. 答案 (1)轨迹见解析图2v 0 (2)m v 0qd (3)m v 02q对应学生用书P142考点一 带电粒子在分离复合场中的运动 “电偏转”和“磁偏转”的比较垂直进入磁场(磁偏转)垂直进入电场(电偏转)情景图受力F B ＝q v 0B 大小不变，方向总指向圆心，方向变化，F B 为变力 F E ＝qE ，F E 大小、方向不变，为恒力运动规律匀速圆周运动r ＝m v 0Bq ，T ＝2πmBq类平抛运动v x ＝v 0，v y ＝Eqmt x ＝v 0t ，y ＝Eq2mt 2续表运动时间 t ＝θ2πT ＝θm Bq t ＝Lv 0，具有等时性 动能不变变化【典例1】 在竖直平面内，图8－3－5以虚线为界分布着如图8－3－5所示的匀强电场和匀强磁场，其中匀强电场的方向竖直向下，大小为E ；匀强磁场的方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B .虚线与水平线之间的夹角为θ＝45°，一个带负电荷的粒子在O 点以速度v 0水平射入匀强磁场，已知带电粒子所带的电荷量为q ，质量为m (重力忽略不计，电场、磁场区域足够大)．求：(1)带电粒子第1次通过虚线时距O 点的距离；(2)带电粒子从O 点开始到第3次通过虚线时所经历的时间； (3)带电粒子第4次通过虚线时距O 点的距离．解析 带电粒子运动的轨迹如图所示(1)据q v 0B ＝m v 02r 得r ＝m v 0qB ，又由几何知识可知：d 1＝2r ，解得d 1＝2m v 0qB.(2)在磁场中运动时间为t 1＝T 4＝πm2qB在电场中a ＝qEm运动时间为t 2＝2v 0a ＝2m v 0qE再一次在磁场中运动t 3＝3πm2qB，所以总时间t ＝2πm qB ＋2m v 0qE.(3)再次进入电场中从C 到D 做类平抛运动(如图所示) x ＝v 0t 4，y ＝at 422，x ＝y ，得x ＝2m v 02qE所以距O 点距离为Δd ＝2d 1－2x ＝22m v 0qB －22m v 02qE.答案 (1)2m v 0qB (2)2πm qB ＋2m v 0qE (3)22m v 0qB －22m v 02qE——解决带电粒子在分离复合场中运动问题的思路方法【变式1】在如图8－3－6所示的空图8－3－6间坐标系中，y 轴的左侧有一匀强电场，场强大小为E ，场强方向与y 轴负方向成30°，y 轴的右侧有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B (未画出)．现有一质子在x 轴上坐标为x 0＝10 cm 处的A 点，以一定的初速度v 0第一次沿x 轴正方向射入磁场，第二次沿x 轴负方向射入磁场，回旋后都垂直于电场方向射入电场，最后又进入磁场．求：(1)质子在匀强磁场中的轨迹半径R ； (2)质子两次在磁场中运动时间之比；(3)若第一次射入磁场的质子经电场偏转后，恰好从第二次射入磁场的质子进入电场的位置再次进入磁场，试求初速度v 0和电场强度E 、磁感应强度B 之间需要满足的条件．解析 (1)质子两次运动的轨迹如图所示，由几何关系可知x 0＝R sin 30° 解得R ＝2x 0＝20 cm.(2)第一次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为θ1＝210° 第二次射入磁场的质子，轨迹对应的圆心角为θ2＝30° 故质子两次在磁场中运动时间之比为t 1∶t 2＝θ1∶θ2＝7∶1. (3)质子在磁场中做匀速圆周运动时，由e v 0B ＝m v 02R 得R ＝m v 0eB设第一次射入磁场的质子，从y 轴上的P 点进入电场做类平抛运动，从y 轴上的Q 点进入磁场，由几何关系得，质子沿y 轴的位移为Δy ＝2R质子的加速度a ＝eEm沿电场方向Δy cos 30°＝12at 2垂直电场方向Δy sin 30°＝v 0t 解得v 0＝3E6B. 答案 (1)20 cm (2)7∶1 (3)v 0＝3E 6B考点二 带电粒子在叠加复合场中的运动 带电粒子(体)在复合场中的运动问题求解要点(1)受力分析是基础．在受力分析时是否考虑重力必须注意题目条件．(2)运动过程分析是关键．在运动过程分析中应注意物体做直线运动，曲线运动及圆周运动、类平抛运动的条件．(3)构建物理模型是难点．根据不同的运动过程及物理模型选择合适的物理规律列方程求解．【典例2】如图8－3－7所示，与水平面成37°的倾斜轨道AC ，其延长线在D 点与半圆轨道DF 相切，全部轨道为绝缘材料制成且位于竖直面内，整个空间存在水平向左的匀强电场，MN 的右侧存在垂直纸面向里的匀强磁场(C 点处于MN 边界上)．一质量为0.4 kg 的带电小球沿轨道AC 下滑，至C 点时速度为v C ＝1007m/s ，接着沿直线CD 运动到D 处进入半圆轨道，进入时无动能损失，且恰好能通过F 点，在F 点速度v F ＝4 m/s(不计空气阻力，g ＝10 m/s 2，cos 37°＝0.8)．求：图8－3－7(1)小球带何种电荷？(2)小球在半圆轨道部分克服摩擦力所做的功；(3)小球从F 点飞出时磁场同时消失，小球离开F 点后的运动轨迹与直线AC (或延长线)的交点为(G 点未标出)，求G 点到D 点的距离．解析 (1)正电荷(2)依题意可知小球在CD 间做匀速直线运动在D 点速度为v D ＝v C ＝1007m/s在CD 段受重力、电场力、洛伦兹力且合力为0，设重力与电场力的合力为F ＝q v C B又F ＝mg cos 37°＝5 N 解得qB ＝F v C ＝720在F 处由牛顿第二定律可得q v F B ＋F ＝m v F 2R把qB ＝720代入得R ＝1 m小球在DF 段克服摩擦力做功W f ，由动能定理可得 －W f －2FR ＝m (v F 2－v D 2)2W f ＝27.6 J(3)小球离开F 点后做类平抛运动，其加速度为a ＝Fm由2R ＝at 22得t ＝ 4mR F ＝2 25 s交点G 与D 点的距离GD ＝v F t ＝1.6 2 m ＝2.26 m.答案 见解析 【变式2】 (2011·广东六校联合体联考)图8－3－8 如图8－3－8所示，竖直平面内有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E 1＝2 500N/C ，方向竖直向上；磁感应强度B ＝103 T ，方向垂直纸面向外；有一质量m ＝1×10－2kg 、电荷量q ＝4×10－5C 的带正电小球自O 点沿与水平线成45°角以v 0＝4 m/s 的速度射入复合场中，之后小球恰好从P 点进入电场强度E 2＝2 500 N/C ，方向水平向左的第二个匀强电场中．不计空气阻力，g 取10 m/s 2.求：(1)O 点到P 点的距离s 1；(2)带电小球经过P 点的正下方Q 点时与P 点的距离s 2.解析 (1)带电小球在正交的匀强电场和匀强磁场中受到的重力G ＝mg ＝0.1 N 电场力F 1＝qE 1＝0.1 N即G ＝F 1，故带电小球在正交的电磁场中由O 到P 做匀速圆周运动根据牛顿第二定律得q v 0B ＝m v 02R解得：R ＝m v 0qB ＝1×10－2×44×10－5×103m ＝1 m由几何关系得：s 1＝2R ＝ 2 m.(2)带电小球在P 点的速度大小仍为v 0＝4 m/s ，方向与水平方向成45°.由于电场力F 2＝qE 2＝0.1 N ，与重力大小相等，方向相互垂直，则合力的大小为F ＝210N ，方向与初速度方向垂直，故带电小球在第二个电场中做类平抛运动建立如图所示的x 、y 坐标系，沿y 轴方向上，带电小球的加速度a ＝Fm＝102m/s 2，位移y ＝12at 2沿x 轴方向上，带电小球的位移x ＝v 0t由几何关系有：y ＝x 即：12at 2＝v 0t ，解得：t ＝252 sQ 点到P 点的距离s 2＝2x ＝2×4×252 m ＝3.2 m.答案 (1) 2 m (2)3.2 m对应学生用书P14411.带电粒子“在复合场中运动的轨迹”模型(1)模型概述当带电粒子沿不同方向进入电场或磁场时，粒子做各种各样的运动，形成了异彩纷呈的轨迹图形．对带电粒子而言“受力决定运动，运动描绘轨迹，轨迹涵盖方程”．究竟如何构建轨迹模型，至关重要．首先应根据电场力和洛伦兹力的性质找出带电粒子所受到的合力，再由物体做曲线运动的条件确定曲线形式．(2)模型分类 ①“拱桥”型图8－3－9【典例1】 如图8－3－9所示，在x 轴上方有垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度为B ，在x 轴下方有沿y 轴负方向的匀强电场，场强为E ，一质量为m 、电荷量为q 的粒子从坐标原点O 沿着y 轴正方向射出，射出之后，第三次到达x 轴时，它与O 点的距离为L ，求此时粒子射出时的速度和运动的总路程(重力不计)．解析 画出粒子运动轨迹如图所示，形成“拱桥”图形．由题可知粒子轨道半径R ＝L4.由牛顿运动定律知粒子运动速率为v ＝BqR m ＝BqL4m设粒子进入电场后沿y 轴负方向做减速运动的最大路程为y ，由动能定理知12m v 2＝qEy ，得y ＝qB 2L 232mE所以粒子运动的总路程为x ＝qB 2L 216mE ＋12πL .②“心连心”型图8－3－10【典例2】 如图8－3－10所示，一理想磁场以x 轴为界，下方磁场的磁感应强度是上方磁感应强度B 的两倍．今有一质量为m 、电荷量为＋q 的粒子，从原点O 沿y 轴正方向以速度v 0射入磁场中，求此粒子从开始进入磁场到第四次通过x 轴的位置和时间(重力不计)．解析 由r ＝m v Bq 知粒子在x 轴上方做圆周运动的轨道半径r 1＝m v 0Bq ，在x 轴下方做圆周运动的轨道半径r 2＝m v 02Bq，所以r 1＝2r 2现作出带电粒子的运动的轨迹如图所示，形成“心连心”图形，所以粒子第四次经过x轴的位置和时间分别为x ＝2r 1＝2m v 0Bqt ＝T 1＋T 2＝2πm Bq ＋2πm 2Bq ＝3πmBq③“葡萄串”型【典例3】 如图8－3－11甲所示 ，互相平行且水平放置的金属板，板长L ＝1.2 m ，两板距离d ＝0.6 m ，两板间加上U ＝0.12 V 恒定电压及随时间变化的磁场，磁场变化规律如图8－3－11乙所示，规定磁场方向垂直纸面向里为正．当t ＝0时，有一质量为m ＝2.0×10－6kg 、电荷量q ＝＋1.0×10－4C 的粒子从极板左侧以v 0＝4.0×103m/s 沿与两板平行的中线OO ′射入，取g ＝10 m/s 2、π＝3.14.求：图8－3－11(1)粒子在0～1.0×10－4s 内位移的大小x ； (2)粒子离开中线OO ′的最大距离h ；(3)粒子在板间运动的时间t ；(4)画出粒子在板间运动的轨迹图．解析 (1)由题意知：Eq ＝Udq ＝2.0×10－5N ①而mg ＝2.0×10－5N ②显然Eq ＝mg ③故粒子在0～1.0×10－4s 时间内做匀速直线运动，因为Δt ＝1.0×10－4s ， 所以x ＝v 0Δt ＝0.4 m ④(2)在1.0×10－4～2.0×10－4s 时间内， 电场力与重力平衡，粒子做匀速圆周运动，因为T ＝2πm qB＝1.0×10－4s ⑤故粒子在1.0×10－4～2.0×10－4s 时间内恰好完成一个周期圆周运动⑥由牛顿第二定律得：q v 0B ＝m v 02R⑦R ＝m v 0qB＝0.064 m ⑧h ＝2R ＝0.128 m<d2.所以粒子离开中线OO ′的最大距离h ＝0.128 m ．⑨ (3)板长L ＝1.2 m ＝3 x ⑩t ＝2T ＋3Δt ＝5.0×10－4s ⑪(4)轨迹如图⑫对应学生用书P145图8－3－121．(2011·大纲全国卷，25)如图8－3－12所示，与水平面成45°角的平面MN 将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域．一质量为m 、电荷量为q (q >0)的粒子以速度v 0从平面MN 上的P 0点水平向右射入Ⅰ区．粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E ；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B ，方向垂直于纸面向里．求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P 0的距离．粒子的重力可以忽略．解析 带电粒子进入电场后， 在电场力的作用下做类平抛运动， 其加速度方向竖直向下，设其大小为a ， 由牛顿运动定律得qE ＝ma ①设经过时间t 0粒子从平面MN 上的点P 1进入磁场，由运动学公式和几何关系得v 0t 0＝12at 02②粒子速度大小v 1＝v 02＋(at 0)2③设速度方向与竖直方向的夹角为α，则tan α＝v 0at 0④此时粒子到出发点P 0的距离为 s 0＝2v 0t 0⑤此后，粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为r 1＝m v 1qB⑥设粒子首次离开磁场的点为P 2，弧P 1P 2所对的圆心角为2β，则点P 1到点P 2的距离为 s 1＝2r 1sin β⑦ 由几何关系得 α＋β＝45°⑧联立①②③④⑥⑦⑧式得s 1＝2m v 0qB ⑨点P 2与点P 0相距l ＝s 0＋s 1⑩ 联系①②⑤⑨⑩解得 l ＝2m v 0q ⎝⎛⎭⎫2v 0E ＋1B ⑪答案2m v 0q ⎝⎛⎭⎫2v 0E ＋1B图8－3－132．(2011·安徽卷，23)如图8－3－13所示，在以坐标原点O 为圆心、半径为R 的半圆形区域内，有相互垂直的匀强电场和匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场方向垂直于xOy 平面向里．一带正电的粒子(不计重力)从O 点沿y 轴正方向以某一速度射入，带电粒子恰好做匀速直线运动，经t 0时间从P 点射出．(1)求电场强度的大小和方向；(2)若仅撤去磁场，带电粒子仍从O 点以相同的速度射入，经t 02时间恰从半圆形区域的边界射出．求粒子运动加速度的大小；(3)若仅撤去电场，带电粒子仍从O 点射入，但速度为原来的4倍，求粒子在磁场中运动的时间．解析 (1)因为带电粒子进入复合场后做匀速直线运动，则q v 0B ＝qE ① R ＝v 0t 0②由①②联立解得E ＝BRt 0，方向沿x 轴正方向．(2)若仅撤去磁场，带电粒子在电场中做类平抛运动，沿y 轴正方向做匀速直线运动y ＝v 0·t 02＝R 2③沿x 轴正方向做匀加速直线运动x ＝12at 2④由几何关系知x ＝ R 2－R 24＝32R ⑤ 解得a ＝43Rt 02(3)仅有磁场时，入射速度v ′＝4v ，带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，设轨道半径为r ，由牛顿第二定律有q v ′B ＝m v ′2r⑥又qE ＝ma ⑦ 可得r ＝3R 3⑧ 由几何知识sin α＝R2r⑨即sin α＝32，α＝π3⑩带电粒子在磁场中运动周期T ＝2πmqB则带电粒子在磁场中运动时间t ′＝2α2πT ，所以t ′＝3π18t 0.答案 见解析 3．(2011·重庆卷，25)某仪器用电场和磁场来控制电子在材料表面上方的运动．如图8－3－14所示，材料表面上方矩形区域PP ′N ′N 充满竖直向下的匀强电场，宽为d ；矩形区域NN ′M ′M 充满垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，长为3s ，宽为s ；NN ′为磁场与电场之间的薄隔离层．一个电荷量为e 、质量为m 、初速为零的电子，从P 点开始被电场加速经隔离层垂直进入磁场，电子每次穿越隔离层，运动方向不变，其动能损失是每次穿越前动能的10%，最后电子仅能从磁场边界M ′N ′飞出．不计电子所受重力．图8－3－14(1)求电子第二次与第一次圆周运动半径之比． (2)求电场强度的取值范围．(3)A 是M ′N ′的中点，若要使电子在A 、M ′间垂直于AM ′飞出，求电子在磁场区域中运动的时间．解析 (1)设圆周运动的半径分别为R 1、R 2、…R n 、R n ＋1…，第一和第二次圆周运动速率分别为v 1和v 2，动能分别为E k1和E k2.由：E k2＝0.81E k1，R 1＝m v 1Be ，R 2＝m v 2Be ，E k1＝12m v 12，E k2＝12m v 22，得R 2∶R 1＝0.9.(2)设电场强度为E ，第一次到达隔离层前的速率为v ′.由eEd ＝12m v ′2,0.9×12m v ′2＝12m v 12，R 1≤s得E ≤5B 2es 29md ，又由：R n ＝0.9n －1R 1，2R 1(1＋0.9＋0.92＋…＋0.9n ＋…)>3s得E >B 2es 280md ，故B 2es 280md <E ≤5B 2es 29md.(3)设电子在匀强磁场中，圆周运动的周期为T ，运动的半圆周个数为n ，运动总时间为t .由题意，有2R 1(1－0.9n )1－0.9＋R n ＋1＝3s ，R 1≤s ，R n ＋1＝0.9n R 1，R n ＋1≥s 2，得n ＝2，又由T＝2πm eB .得：t ＝5πm 2eB.。

闭合线框(圈)穿过有界磁场是一个涉及物理学中电动力学和电磁学的综合问题，它涉及到穿过一个有界磁场的闭合线框(圈)的受力状况。

这个问题可以从电磁学的角度分类析，由于闭合线框(圈)的结构，外加上有界磁场的存在，会产生电磁力对该闭合线框(圈)的受力，因此这个问题可以由电磁力综合分析。

首先，我们来看一下有界磁场是如何影响闭合线框(圈)的受力状况的。

有界磁场是一种由特定的电流或磁通量产生的磁场，穿过这个有界磁场的闭合线框(圈)会受到电磁力的影响，这种电磁力是由电磁场和闭合线框(圈)的磁力综合而成的，也就是说，该问题可以由电磁力和闭合线框(圈)的磁力的综合分析。

关于闭合线框(圈)穿过有界磁场问题的分类析，可以分为以下几个方面：
一、穿过有界磁场的闭合线框(圈)分类
1、圆环：圆环是一种闭合线框(圈)，其中有一个内圆和一个外圆，它们的面积分别是内圆的面积和外圆的面积，并具有一定的结构，它们可以穿过有界磁场。

圆环的有界磁场对局部磁场的影响非常大，这是由于它们具有结构，因此可以改变有界磁场的方向。

2、矩形：矩形是一种闭合线框(圈)，它具有四条边，其中有两条对称的边，它们的面积是矩形的面积，具有一定的结构，它们也可以穿过有界磁场。

矩形的有界磁场对局部磁场的影响也很大，因为它们具有结构，可以改变有界磁场的方向。

3、正多边形：正多边形是一种闭合线框(圈)，它具有许多边，其中有许多对称的边，它们的面积是正多边形的面积，具有一定的结构，它们也可以穿过有界磁场。

正多边形的有界磁场对局部磁场的影响也很大，因为它们具有结构，可以改变有界磁场的方向。