有界磁场问题及磁场中的临界问题

有界磁场问题直线边界磁场1、如图所示，在y＜0的区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直于xy平面并指向纸面向里，磁感强度为B.一带负电的粒子（质量为m、电荷量为q）以速度v0从O点射入磁场，入射方向在xy平面内，与x轴正向的夹角为θ.求：(1)该粒子射出磁场的位置(2)该粒子在磁场中运动的时间.(粒子所受重力不计)2、如图所示直线MN上方有磁感应强度为B的匀强磁场。

正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m，电荷为e），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？圆形边界磁场1、如图所示，带负电的粒子垂直磁场方向进入圆形匀强磁场区域，出磁场时速度偏离原方向60°角，已知带电粒子质量m=3×10-20kg，电量q=10-13C，速度v0=105m/s，磁场区域的半径R=3×10-1m，不计重力，求磁场的磁感应强度。

2、如图所示，虚线所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。

一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动的方向与原入射方向成θ角。

设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间的相互作用力及所受的重力。

求：（1）电子在磁场中运动轨迹的半径R；（2）电子在磁场中运动的时间t；（3）圆形磁场区域的半径r。

磁场中的临界问题放缩法找临界1、在真空中宽ｄ的区域内有匀强磁场Ｂ，质量为ｍ，电量为e，速率为ｖ的电子从边界ＣＤ外侧垂直射入磁场，入射方向与ＣＤ夹角θ，为了使电子能从磁场的另一侧边界ＥＦ射出，ｖ应满足的条件是：（）Ａ.v＞eBd/m（1+sinθ）Ｂ.v＞eBd/m（1+cosθ）Ｃ.v＞eBd/msinθＤ.v＜eBd/mcosθ2、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O方向垂直磁场射入一速度方向跟ad边夹角θ=300、大小为v0的带电粒子，已知粒子质量为m、电量为q，ab边足够长，ad边长为L，粒子的重力不计。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题当某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从一种状态变化为另一种状态时，发生这种质的飞跃的转折状态通常称为临界状态。

粒子进入有边界的磁场，由于边界条件的不同，而出现涉及临界状态的临界问题，如带电粒子恰好不能从某个边界射出磁场，可以根据边界条件确定粒子的轨迹、半径、在磁场中的运动时间等。

如何分析这类相关的问题是本文所讨论的内容。

一、带电粒子在有界磁场中运动的分析方法1．圆心的确定方法一:洛伦兹力F指向圆心，根据F⊥v，画出粒子运动轨迹中任意两点（一般是射入和射出磁场两点），先作出切线找出v的方向,再确定F的方向，沿两个洛伦兹力F的方向画其延长线，两延长线的交点即为圆心，方法二:或利用圆心位置必定在圆中一根弦的中垂线上，作出圆心位置，如图1所示。

2．半径的确定和计算利用平面几何关系!!!!，求出该圆的可能半径（或圆心角），并注意以下两个重要的几何特点：①粒子速度的偏转角φ等于转过的粒子轨迹圆心角α，并等于AB弦与切线的夹角（弦切角）θ的2倍，如图2所示，即φ=α=2θ。

②相对的弦切角θ相等，与相邻的弦切角θ′互补，即θ+θ′=180°。

3．粒子在磁场中运动时间的确定若要计算转过任一段圆弧所用的时间，则必须确定粒子转过的圆弧所对的圆心角，利用圆心角α与弦切角的关系，或者利用四边形内角和等于360°计算出圆心角α的大小，并由表达式，确定通过该段圆弧所用的时间，其中T即为该粒子做圆周运动的周期，转过的圆心角越大，所用时间t越长，注意t与运动轨迹的长短无关。

4．带电粒子在两种典型有界磁场中运动情况的分析①穿过矩形磁场区：如图3所示，一定要先画好辅助线（半径、速度及延长线）。

a、带电粒子在穿过磁场时的偏向角由sinθ=L/R求出；（θ、L和R见图标）b、带电粒子的侧移由R2=L2-（R-y）2解出；（y见所图标）c、带电粒子在磁场中经历的时间由得出。

②穿过圆形磁场区：如图4所示，画好辅助线（半径、速度、轨迹圆的圆心、连心线）。

带电粒子在磁场中运动的临界问题一、“矩形”有界磁场中的临界问题【例1】如图所示，一足够长的矩形区域abcd 内充满方向垂直纸面向里、磁感应强度为B 的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ＝30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求(1)粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围。

(2)若粒子速度不受上述v 0大小的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间。

解析: (1)①假设粒子以最小的速度恰好从左边偏转出来时的速度为v 1，圆心在O 1点，如图 (甲)，轨道半径为R 1，对应圆轨迹与ab 边相切于Q 点，由几何知识得：R 1＋R 1sin θ＝0.5L由牛顿第二定律得1211R v m B qv =； 得m qBLv =1②假设粒子以最大速度恰好从右边偏转出来，设此时的轨道半径为R 2，圆心在O 2点，如图 (乙)，对应圆轨迹与dc 边相切于P 点。

由几何知识得：R 2＝L由牛顿第二定律得2222R v m B qv =；得m qBLv =2粒子能从ab 边上射出磁场的v 0应满足mqBLv m qBL ≤≤3(2)如图 (丙)所示，粒子由O 点射入磁场，由P 点离开磁场，该圆弧对应运行时间最长。

粒子在磁场内运行轨迹对应圆心角为πα35=。

而απ2T t m = 由Rv mqvB 2=，得qB mv R =，qBmT π2= qBmt m 35π=【练习1】如图所示，宽度为d 的有界匀强磁场，磁感应强度为B ，MM ′和NN ′是它的两条边界线，现有质量m 、电荷量为q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入，要使粒子不能从边界NN ′射出，粒子最大的入射速度v 可能是( )A ．小于mqBdB ．小于()mqBd22+C ．小于mqBd2 D ．小于()mqBd22—解析:BD二、“角形磁场区”情景下的临界问题【例2】如图所示，在坐标系xOy 平面内，在x ＝0和x ＝L 范围内分布着匀强磁场和匀强电场，磁场的下边界AB 与y 轴成45°，其磁感应强度为B ，电场的上边界为x 轴，其电场强度为E .现有一束包含着各种速率的同种粒子由A 点垂直y 轴射入磁场，带电粒子的比荷为q /m .一部分粒子通过磁场偏转后由边界AB 射出进入电场区域．不计粒子重力，求： (1)能够由AB 边界射出的粒子的最大速率；(2)粒子在电场中运动一段时间后由y 轴射出电场，射出点与原点的最大距离． 解: (1)由于AB 与初速度成45°，所以粒子由AB 线射出磁场时速度方向与初速度成45°角．粒子在磁场中做匀速圆周运动，速率越大，圆周半径越大．速度最大的粒子刚好由B 点射出． 由牛顿第二定律Rv mB qv 2=由几何关系可知 r ＝L ，得 mqBLv =(2)粒子从B 点垂直电场射入后，在竖直方向做匀速运动，在水平方向做匀加速运动． 在电场中，由牛顿第二定律Eq ＝ma 此粒子在电场中运动时221at L =d ＝vt ，得mEqLBL d 2=【例3】如图所示，M 、N 为两块带异种电荷正对的金属板，其中M 板的表面为圆弧面，P 为M 板中点；N 板的表面为平面，Q 为N 板中点的一个小孔．PQ 的连线通过圆弧的圆心且与N 板垂直．PQ 间距为d ，两板间电压数值可由从0到某最大值之间变化，图中只画了三条代表性电场线．带电量为＋q ，质量为m 的粒子，从点P 由静止经电场加速后，从小孔Q 进入N 板右侧的匀强磁场区域，磁感应强度大小为B ，方向垂直纸面向外，CD 为磁场边界线，它与N 板的夹角为α＝45°，孔Q 到板的下端C 的距离为L .当M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上． 不计粒子重力，求：(1)两板间电压的最大值Um ；(2)CD 板上可能被粒子打中的区域长度x ； (3)粒子在磁场中运动的最长时间tm .解: (1)M 、N 两板间电压取最大值时，粒子恰垂直打在CD 板上，所以圆心在C 点，如图所示． C H ＝QC ＝L ，故半径R 1＝L又1211R v m B qv = 2121mv qU m =得mL qB U m 222=(2)设轨迹与CD 板相切于K 点，半径为R 2在△AKC 中：2245sin R L R -=︒，得()L R 122-=因KC 长等于()L R 122-=，所以，CD 板上可能被粒子打中的区域长度x 为HK ：()L R R x 2221-=-=(3)打在QE 段之间的粒子在磁场中运动时间最长，均为半周期：qBm T t m π==21三、“圆形磁场区”情景下的临界问题 【例4】（2012，揭阳调考）如图，相距为R 的两块平行金属板M 、N 正对放置，s 1、s 2分别为M 、N 板上的小孔，s 1、s 2、O 三点共线且水平，且s 2O ＝R 。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题此类问题的解题关键是寻找临界点，寻找临界点的有效方法是：方法：轨迹圆的缩放：当入射粒子的入射方向不变而速度大小可变时，粒子做圆周运动的圆心一定在入射点所受洛伦兹力所表示的射线上，但位置（半径R）不确定，用圆规作出一系列大小不同的轨迹图，从圆的动态变化中即可发现“临界点”1、一个质量为m，带电量为+q的粒子（不计重力），从O点处沿+y方向以初速度v0射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于xy平面向里，它的边界分别是y=0,y=a,x=-1.5a,如图所示，那么当B满足条件_________时，粒子将从上边界射出：当B满足条件_________时，粒子将从左边界射出：当B满足条件_________时，粒子将从下边界射出。

2、如图所示真空中宽为d的区域内有强度为B的匀强磁场方向如图，质量m带电-q的粒子以与CD成θ角的速度V0垂直射入磁场中。

要使粒子必能从EF射出，则初速度V0应满足什么条件？EF上有粒子射出的区域？3、如图所示，一足够长的矩形区域abcd内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为B的匀强磁场，在ad 边中点O ，方向垂直磁场向里射入一速度方向跟ad 边夹角θ= 30°、大小为v 0的带正电粒子，已知粒子质量为m ，电量为q ，ad 边长为L ，ab 边足够长，粒子重力不计，求：（1）粒子能从ab 边上射出磁场的v 0大小范围.（2）如果带电粒子不受上述v 0大小范围的限制，求粒子在磁场中运动的最长时间4、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图５所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件及粒子从ＡＣ间什么范围内射出．小结：带电粒子在磁场中以不同的速度运动时，圆周运动的半径随着速度的变化而变化，因此可以将半径放缩，运用“放缩法”探索出临界点的轨迹，使问题得解；对于范围型问题，求解时关键寻找引起范围的“临界轨迹”及“临界半径R0”，然后利用粒子运动的实际轨道半径R 与R0的大小关系确定范围。

+带电粒子在有界磁场中的运动有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。

对磁场边界约束时，可以使磁场有着多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界等。

这类问题中一般设计为：带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场，在磁场内经历一段匀速圆周运动后离开磁场。

粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同，使粒子运动轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。

1。

带电粒子在单边界磁场中的运动【例题1】一个负离子，质量为m ，电量大小为q ，以速率V 垂直于屏S 经过小孔O 射入存在着匀强磁场的真空室中(如图)。

磁感应强度B 的方向与离子的运动方向垂直，并垂直于图1中纸面向里。

求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与O 点的距离。

（2）平行直线边界磁场【例题2】如图所示，一束电子(电量为e)以速度V 垂直射入磁感强度为B ，宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30°，则电子的质量是 ，穿过磁场的时间是 。

A0O（3）矩形边界磁场【例题3】长为L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图所示，磁感强度为B ，板间距离也为L ，板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是（ ） A ．使粒子的速度V<BqL/4m B ．使粒子的速度V>5BqL/4m C ．使粒子的速度V>BqL/m D ．使粒子速度BqL/4m<V<5BqL/4m（4）圆形磁场区域特点1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过该区域圆的圆心。

【例题4】如图1，圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B ，现有一电荷量为q ，质量为m 的正离子从a 点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向与入射方向的夹角为060，求此离子在磁场区域内飞行的时间。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题的解题技巧带电粒子（质量m 、电量q 确定）在有界磁场中运动时，涉及的可能变化的参量有——入射点、入【分析】粒子初速度方向已知，故不同速度大小的粒子轨迹圆圆心均在垂直初速度的直线上（如图，作出一系列圆（如图乙），其中轨迹圆①和②为临界轨迹圆。

轨道半径小于轨迹圆①或大于轨迹圆②的粒子，均可射出磁场而不打在极板上。

【解答】AB粒子擦着板从右边穿出时，圆心在O 点，有r 12＝L 2＋(r 1－L 2)2，得r 1＝5L4图乙图甲由r 1＝mv 1Bq ，得v 1＝5BqL 4m ，所以v >5BqL 4m时粒子能从右边穿出．粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O ′点，有r 2＝L4由r 2＝mv 2Bq ，得v 2＝BqL 4m ，所以v <BqL 4m时粒子能从左边穿出．类型二：已知入射点和入射速度大小（即轨道半径大小），但入射速度方向不确定这类问题的特点是：所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”上——所谓“圆心圆”，是指以入射点为圆心，以mvr qB=为半径的圆。

【例2】如图所示，在0≤x≤a 、0≤y≤2a范围内有垂直手xy 平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B 。

坐标原点O 处有一个粒子源，在某时刻发射大量质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子，它们的速度大小相同，速度方向均在xOy 平面内，与y 轴正方向的夹角分布在0～090范围内。

己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于a /2到a 之间，从发射粒子到粒子全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。

求最后离开磁场的粒子从粒子源射出时的(1)速度的大小；(2)速度方向与y 轴正方向夹角的正弦。

【分析】本题给定的情形是粒子轨道半径r 大小确定但初速度方向不确定，所有粒子的轨迹圆都要经过入射点O ，入射点O 到任一圆心的距离均为r ，故所有轨迹圆的圆心均在一个“圆心圆”——以入射点O 为圆心、r 为半径的圆周上（如图甲）。

九、带电粒子在有界电场、磁场中临界问题带电粒子在有界电场、磁场中的临界问题是带电粒子在电磁场中运动问题的难点与易错点,分析解答此类问题的关键在于正确找出临界点,具体方法:分析带电粒子在电场、磁场中运动轨迹与电场、磁场边界的关系。

1.带电粒子在有界电场中的临界问题典例1 (多选)如图所示,水平放置的平行板电容器与某一电源相连,它的极板长L=0.4 m,两板间距离d=4×10-3 m,有一束由相同带电微粒组成的粒子流以相同的速度v 0从两板中央平行极板射入,开关S 闭合前,两极板不带电,由于重力作用,微粒能落到下极板的正中央。

已知微粒质量m=4×10-5 kg,电荷量q=+1×10-8 C,则下列说法正确的是( )A.微粒的入射速度v 0=10 m/sB.电容器上极板接电源正极时微粒有可能从平行板电容器的右边射出电场C.电源电压为180 V 时,微粒可能从平行板电容器的右边射出电场D.电源电压为100 V 时,微粒可能从平行板电容器的右边射出电场答案 AC 开关S 闭合前,两极板不带电,微粒落到下极板的正中央,由d 2=12gt 2,L2=v 0t,得v 0=10 m/s,A 正确;电容器上极板接电源正极时,微粒的加速度更大,竖直方向运动时间更短,水平位移将更小,还将打在下极板,B 错误;设微粒恰好从平行板右边缘下侧飞出时的加速度为a,微粒所受电场力竖直向上,则d 2=12at 2,L=v 0t,mg-Uqd =ma,得U=120 V,同理微粒在平行板右边缘上侧飞出时,可得U=200 V,所以平行板上板带负电,电源电压为120 V≤U≤200 V 时微粒可以从平行板电容器的右边射出电场,C 正确,D 错误。

反思总结本题中当微粒与电场右侧上、下边界相切是解题的临界点,由此可以找出电压的变化范围。

2.带电粒子在有界磁场中的临界问题典例2(多选)如图所示,一粒子发射源P位于足够长绝缘板AB的上方d处,能够在纸面内向各个方向发射速率为v、比荷为k的带正电的粒子,空间存在垂直纸面的匀强磁场,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力。

带电粒子在有界磁场中运动的临界问题解析“带电粒子在磁场中的运动”是历年高考中的一个重要考点，而“带电粒子在有界磁场中的运动” 则是此考点中的一个难点．其难点在于带电粒子进入设定的有界磁场后只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，它要求考生根据带电粒子运动的几何图形去寻找几何关系，然后应用数学工具和相应物理规律分析解决问题．下面举例谈谈带电粒子在不同形状有界磁场中运动的一些临界问题．一、 带电粒子在“圆形磁场区域”中的运动例1、如图1，半径为cm r 10=的匀强磁场区域边界跟y 轴相切于坐标原点O ，磁感强度T B 332.0=，方向垂直纸面向里．在O 处有一放射源S ，可向纸面各个方向射出速度为s m v /102.36⨯=的粒子．已知α粒子质量kg m 271064.6-⨯=，电量C q 19102.3-⨯=，试画出α粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心轨道，求出α粒子通过磁场空间的最大偏角．解：由qvB =Rv m 2可求R =0.2m由圆心角=偏向角，当粒子从O 点射出后穿过磁场路径最大时，对应圆心角最大。

由几何关系圆心角为60º 故最大偏角为60 º二、带电粒子在“长方形磁场区域”中的运动例2、如图2，长为L 间距为d 的水平两极板间，有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感强度为B ，两板不带电，现有质量为m ，电量为q 的带正电粒子（重力不计），从左侧两极板的中心处以不同速率v 水平射入，欲使粒子不打在板上，求粒子速率v 应满足什么条件．解：两种情形1.当粒子以较小速度射入从磁场左边界射出，对应最大速度为v 1，半径为r 1图2⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯→∙d LvmqBdv dr r v m B qv 4 4111211===可求2.以较大速度射入从磁场右边界射出对应最小速度v 2，半径r 2mdL d qB v L dr r r mv B qv 4)4()2( 222222222222+=+-==可求三、带电粒子在“三角形磁场区域”中的运动例3、在边长为a 2的ABC ∆内存在垂直纸面向里的磁感强度为B 的匀强磁场，（边界无磁场）有一带正电q ，质量为m 的粒子从距Ａ点a 3的Ｄ点垂直ＡＢ方向进入磁场，如图3所示，若粒子能从ＡＣ间离开磁场，求粒子速率应满足什么条件．解：若粒子恰好与AC 相切.轨道半径为r 1，速度为v 1mqBa v mqBam qBa v a r r a r v r BC mqBa v a r r mv B qv a r r 3)336(3 330cos ])32([)336()336( 330cos 22222211121111<<-===-+-=-===+故可求速度为相切半径为若粒子恰好与可求图3DB四、带电粒子在“宽度一定的无限长磁场区域”中的运动例4、如图4所示，A 、B 为水平放置的足够长的平行板，板间距离为m d 2100.1-⨯=, A 板中央有一电子源P ，在纸面内能向各个方向发射速度在s m /102.3~07⨯范围内的电子，Ｑ为P 点正上方B 板上的一点，若垂直纸面加一匀强磁场，磁感应强度T B 3101.9-⨯=，已知电子的质量kg m 31101.9-⨯=，电子电量C e 19106.1-⨯=，不计电子的重力和电子间相互作用力，且电子打到板上均被吸收，并转移到大地．求：（1）沿P Ｑ方向射出的电子击中A 、B 两板上的范围．（２）若从Ｐ点发出的粒子能恰好击中Ｑ点，则电子的发射方向（用图中θ角表示）与电子速度的大小v 之间应满足的关系．解：①粒子运动的最大半径处至点右侧从板范围为打在范围点至距板上范围为打在m m Q B m d P P A mqB mv r mm 222210110)32(100.12102----⨯⨯-⨯=⨯==6108sin sin 2⨯====mqBdv qBmv r dr θθ则②五、带电粒子在“单边磁场区域”中的运动例5、如图5所示，在真空中坐标xoy 平面的0>x 区域内，有磁感强度T B 2100.1-⨯=的匀强磁场，方向与xoy 平面垂直，在x 轴上的)0,10(p 点，有一放射源，在xoy 平面内向各个方向发射速率s m v /100.14⨯=的带正电的粒子，粒子的质量为kg m 25106.1-⨯=，电量为C q 18106.1-⨯=，求带电粒子能打到y 轴上的范围．解：y 轴范围mqBmvr rr 1.03==-至从练习1.在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B 。