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对一道课本习题的研究通过多年的教学，我发现教材中有许多极有价值的题目.对于这类题目，我们不能就题论题，或者仅仅满足于能正确解答题目，而应引导学生认真挖掘题目的内涵，不断地完善学生的知识结构和认知结构，激发学生对教材研究的兴趣，培养学生的探究能力、创新能力.高中数学新教材第二册（上）p96练习4：△abc的一边的两顶点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是-49，求顶点a的轨迹.这道题的答案是：轨迹方程为x281+y236=1（x≠0），轨迹是一个椭圆（除短轴端点外）.我把这道题当做作业布置给学生，学生只是满足于把题目解答出来，而且绝大多数学生都能正确解答本题.但是，在学了椭圆和双曲线之后的一节习题课中，我要求学生研究这道题.下面是这一道课本习题的教学实录.师：今天这节课，老师想请同学们研究一道课本题（p96练习4）. 开始，许多学生都认真研究他们的解答，看看是否做错，很快他们发现他们没有做错，他们说：“老师，我们没有做错，你要我们研究什么？”师：是的，这道题你们是没有做错，但老师就是要你们研究这道题.经过热烈的讨论，有学生说：“老师，我想看看它的逆命题是否正确？”师：很好，大家不妨以这位同学的想法为例做一些研究.很快有学生写出了它的逆命题：已知椭圆方程为x281+y236=1（x≠0），短轴的两个端点为b、c，若点a是椭圆上任意一点（异于b、c），求点a与b、点a与c的连线的斜率的积.经过计算得到答案正好是-49.这时一些学生脸上露出成功的喜悦，并感叹：“原来这个命题的逆命题也成立！”师：很好，同学们经过研究，发现了这个命题及它的逆命题都是正确的，但这仅仅是研究的开始，请同学们继续研究.于是，学生再次进入思维、探索的高潮，所有学生都在进行积极的探索.有的学生想研究它的否命题、逆否命题，但很快发现研究这四种命题的关系没有什么价值；有的学生研究椭圆的方程x281+y236=1（x≠0）中的数值与-49的关系；有的学生写出了p96练习4的一般形式：△abc一边的两顶点b（0，m）、c（0，-m），另两边的斜率之积是常数-p，求顶点a的轨迹；还有的学生得出了更一般的命题：与两定点的连线的斜率之积是定值的点的轨迹是椭圆……教师在教室巡视，不时给学生一些提示和点拨，经过学生的研究和讨论，得到了如下命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-1此时，同学们十分高兴，个个脸上都露出了成功的喜悦.师：你们真了不起，通过研究你们发现了这样漂亮的命题，真是太棒了.但是，谁能使这个命题更加完美呢？学生再一次进入思维、探索的高潮.有的学生想到了教材p108习题1：△abc一边的两个端点是b（0，6）、c（0，-6），另两边的斜率的积是49，求顶点a的轨迹.[答案：双曲线x281+y236=1（x≠0）]；有些学生则直接对命题中的常数的取值范围进行研究，他们觉得这个常数的改变会引起曲线的形状的改变……（下课铃响了.）师：同学们，这节课你们通过对一道课本题的研究，发现了一个重要的命题：平面内的一个动点m（x，y）到两定点a1（-a，0），a2（a，0）的斜率之积等于常数e2-1（-1<e2-11.这里面蕴含了什么哲学原理？2.请大家给出一个统一的圆锥曲线的定义.综上可知，一道优秀的习题、一种较好的解法及得出的优美结论，可激发学生的兴趣，发展学生的智力，提高学生的能力.作为教师，我们应该培养学生探索研究的能力，让学生逐步形成良好的思维习惯.</e2-1</e2-1（责任编辑黄春香）。
一道课本习题的求解和探究
刘瑞华
【期刊名称】《中学生数理化（七年级数学华师大版）》
【年(卷),期】2008(000)009
【摘要】无
【总页数】2页(P45-46)
【作者】刘瑞华
【作者单位】无
【正文语种】中文
【相关文献】
1.一道课本习题的求解与引申探究 [J], 卢华山
2.例谈不等式恒成立问题中参数问题的求解策略r——一道课本习题的变式探究[J], 陈斌
3.挖掘课本习题功能探究高考命题趋势--一道解三角形课本习题的探究 [J], 周维军
4.变出课本习题的精彩——对一道课本习题的多角度探究 [J], 高峰;
5.探究问题·拓展思考——对一道课本习题的求解 [J], 毛建国
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对一道课本例题的推广及应用秦孟彬;童嘉森【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)003【总页数】2页(P4-5)【作者】秦孟彬;童嘉森【作者单位】贵州省贵阳市实验三中;北京市第八十中学【正文语种】中文《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修4》(人民教育出版社A版，2007年2月第2版)第109页例1提出了这样一个探究性问题:图1例1 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型．如图1所示,你能发现平行四边形对角线的长度与2条邻边的关系吗?课本解析摘录如下:不妨设则则①②式①+②得即即平行四边形的2条对角线的平方和等于2条邻边平方和的2倍.课本上的探究到此即止,如果进一步探究，将式①-②得(a+b)2-(a-b)2=4a·b,即③该结论指出平面向量数量积可以由平面向量的线性运算的模导出.其几何意义为:平面向量的数量积可以表示为共起点的平行四边形的“和对角线”和“差对角线”平方差的我们把该结论记为推广1.推广我们把这个推广称为数量积的四边形模式.进一步可得因此平面向量数量积的几何意义也可以用三角形中线的平方与三角形第三边一半的平方之差来表示.我们把该结论记为推广2.推广2 如图2所示，我们把这个推广称为数量积的三角形模式.图2再进一步,由例题结论代入上式化简得由此可得如下推广.推广3 若AM是△ABC的中线,则AB2+AD2=2(AM2+BM2).推广1和2将平面向量的数量积运算转化为2个向量的长度运算,避开了向量的夹角问题,使得数量积问题的求解更加简单直接.推广3直接建立起了三角形的中线长和三角形3条边之间的长度关系,可以给研究向量的长度带来了便利.下面举例说明其应用.1 求数量积例2 (2016年江苏卷) 如图3所示,在△ABC中,D是BC的中点,E、F是AD上的2个三等分点，则的值是____.图3由推广2知解得则2 求数量积的最值例3 (2017年全国卷Ⅱ) 已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是( ).图4如图4所示,取BC中点D,连接AD,取AD中点E，连接PD、PE.因为所以由推广2知:而所以所以所以的最小值是故选B.3 解决长度问题例4 (2013年重庆卷) 在平面内若则的取值范围是( ).如图5所示.由可知四边形AB1PB2为矩形.图5由推广3,在△B1B2O中,C为B1B2中点,故⟺由所以而矩形AB1PB2中所以在△APO中,C为AP中点,则⟺所以而所以故选D.4 解决综合问题例5 (2013年浙江卷) 在△ABC中,P0是AB上一定点,满足且对于AB上任意一点P,恒有则( ).图6A ∠ABC=90°;B ∠BAC=90°C AB=AC；D AC=BC如图6所示,取BC中点D,连接PD、P0D,由推广2:由条件知所以要使得恒成立,则必有P与P0重合，且P0D⊥AB时，最小.又所以AC=BC.故选D.以上3个推广源于课本但高于课本,它们建立起了数量积与几何图形之间的联系,使得数量积在几何图形中体现得淋漓尽致,可以使得处理数量积问题更加直接方便．但需要说明的是,该方法解决数量积问题不是万能的,我们不能忽略了解决向量问题的基本方法,要根据题目灵活选择解题方法,这样才能事半功倍．。
