11.3-用函数观点看方程(组)和不等式

用函数观点看方程（组）与不等式 函数与方程的联系、转化、解析式的判定__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、能用函数观点看一次方程（组）、不等式；2、能用辩证的观点认识一次函数与一次方程、不等式的区别与联系；3、在解决简单的一次函数的问题过程中，建立数形结合的思想及转化思想.1．一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转为0ax b +=（,a b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次方程可转化为：当某一个函数的值为0时，求__________的值.从图像上看，这相当于已知直线y ax b =+，确定它与轴交点的横坐标的值.2. 一次函数与不等式由于任何一元一次不等式都可以转为0ax b +>或0ax b +<（,a b 为常数，0a ≠）的形式，所以解一元一次不等式可看作：当一次函数的值_________时，求自变量相应的取值范围. 3．一次函数与二元一次方程组一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从的“形”角度看，解方程组相当于确定两条直线_________的坐标.1、解一次函数与一元一次方程【例1】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度是17米/秒？练 1. 将方程37x y +=全部的解写成坐标(,)x y 的形式，那么用全部的坐标描出的点都在直线（ ）上.A. 1733y x =-B. 1733y x =+C. 1733y x =-+D. 1733y x =-- 练 2. （2015春•启东市校级月考）一次函数142y x =-和33y x =-+的图像的交点坐标是_____________.2．解一次函数与一元一次不等式【例2】用画函数图像的方法解不等式54210x x +<+.练3.如图，直线y kx b =+与x 轴交于点（-4,0），则0y >时，x 的取值范围是______.练4. （2014春•江宁区校级月考）一次函数y kx b =+的图象如下图，则当x ________时，4y <.3．一次函数与二元一次方程组【例3】一家电信公司给顾客提供上网费的两种计费方式：方式A 以每分0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基本费20元外，再以每分0.05元的价格按上网时间计费.上网时间为多少分，两种方式的计费相等？练5. 如下图，1l 反映了某公司的销售收入与销售量的关系，2l 反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量（ ）A. 小于3吨B. 小于4吨C. 大于3吨D. 大于4吨练6. （2015春•天一学校期中）一次函数111y k x b =+与222y k x b =+的图象如下图，则当x ____时，12y y <；当x _____时，12y y =;当x _______时，12y y >.【例4】小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象L1，L2，如图所示，他解的这个方程组是（ ）.A ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=-⎪⎩B ．22y x y x =-+⎧⎨=-⎩C ．38132y x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩D ．22112y x y x =-+⎧⎪⎨=--⎪⎩练7．如下图，已知函数y x b =+和3y ax =+的图象交点为P ，则不等式3x b ax +>+的解集为_____________.练8．（2015•济宁市联考）如图，一次函数的图象经过A,B 两点，则0kx b +>的解集是（ ）. A. 0x > B. 2x < C. 3x >- D. 32x -<<【例5】已知如图，一次函数y kx b =+的图象与x 轴交于点M ，则点M 的横坐标M x =_______.（1） 若0k >，则当M x x <时，y _____0；当M x x >时，y _____0； （2） 若0k <，则当M x x <时，y _____0；当M x x >时，y _____0；练9．已知直线26x y k -=-+和341x y k +=+，若它们的交点在第四象限内，求k 的取值范围.练10．已知直线y kx b =+经过点5,02⎛⎫⎪⎝⎭，且与坐标轴围成的三角形的面积为254，求该直线的函数解析式．4. 实际应用题【例6】．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y （单位：升）与时间x （单位：分）之间的关系如图所示.（1） 求04x ≤≤时y 随x 变化的函数关系式. （2） 求412x ≤≤时y 随x 变化的函数关系式. （3） 每分钟进水、出水各多少升？练11．如图，某公司专销A 产品，第一批A 产品上市40天内全部售完，该公司对第一批A 产品上市后的市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图所示，其中甲图中的折线表示的是市场日销售量与上市时间的关系；乙图中的折线表示的是每件A 产品的销售利润与上市时间的关系.（1） 试写出第一批A 产品的市场日销售量与上市时间的关系式：（2） 第一批A 产品上市后，哪一天这家公司市场日销售利润最大？最大利润是多少万元？. 练12．（2015春•德州市期中）某商场计划投入一笔资金购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓库储存费用700元，请根据商场投资情况，分析如何购销获利较多？.1．若一次函数4833y x =-中，x 的取值为22x -≤≤，则y 的取值范围是___________；若y 的取值为44y -≤≤，则x 的取值范围是___________．2．一次函数y=kx+3，当x 减少2时，y 的值增加6，则此函数的解析式为___________．.3．已知直线y=kx+3和y=3x+p 交于，则k=_______________,p=____________．4．用作图象的方法解方程组 3236x y x y +=⎧⎨-=⎩5. 已知：如图，y 1＝3x ＋b 和y 2＝ax －3的图象交于点P (－2， －5)， 则3x ＋b ＞ax －3的解集是____.__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1.已知直线y=kx 与直线y=-平行，则k=_________．2. 直线y=(3k-2)x+b-12与y=kx-3-2b 重合，则k=_____________，b=____________．3．一次函数y=mx+n(m ≠0)的图象过点(-2，3)，且m ：n=2：3，那么这个图象的函数解析式为_______________．4．两个函数y 1=2x+1和y 2=4x-7，当x__________时，y 2＞y 1．112x -5. 用作图象的方法解方程组341x yx y-=⎧⎨=-⎩.6．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-3，0），（0，3）．一次函数图象上的两点P，Q在直线AB的同侧，且直线PQ与y轴交点在y轴正半轴上，若△QAB的面积都等于3，求这个一次函数的解析式．。

用函数观点看方程与不等式知识梳理1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为常数）中，函数的值等于0时自变量x 的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－ba，0）是直线y=ax+b 与x 轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b 在x 轴的上方，也就是函数的值大于零，x 的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x 轴的下方也就是函数的值小于零，x 的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解． 2．坐标轴的函数表达式函数关系式x=0的图像是y 轴，反之，y 轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x 轴，反之，x 轴可以用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解 （1）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有唯一的解⇔直线y=k 1x+b 1不平行于直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1≠k 2．（2）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩无解⇔直线y=k 1x+b 1∥直线y=k 2x+b 2 ⇔k 1=k 2，b 1≠b 2．（3）二元一次方程组1122y k x b y k x b =+⎧⎨=+⎩有无数多个解⇔直线y=k 1x+b 1与y=k 2x+b 2重合⇔k 1=k 2，b 1=b 2．5、二次函数与一元二次方程组的关系（1）如果抛物线y ax bx c =++2与x 轴有公共点，公共点的横坐标是x 0，那么当x x =0时，函数的值是0，因此x x =0就是方程ax bx c 20++=的一个根。

北京四中用函数的观点看方程（组）与不等式撰稿：徐长明审稿：谷丹责编：孙景艳一、目标认知学习目标：1. 理解一次函数与一元一次方程的关系、一次函数与一元一次不等式的关系、一次函数与二元一次方程组的关系，会根据一次函数的图象解决一元一次方程、一元一次不等式的求解问题；会用图象法解二元一次方程组。

2. 学习用函数的观点看待方程（组）与不等式的方法，初步感受用全面的观点处理局部问题的思想。

重点：一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数图象确定一元一次不等式的解集；对应关系的理解及实际问题的探究建模。

难点：一次函数与一元一次方程的关系的理解；一次函数与一元一次不等式的关系的理解；二元一次方程组的解与两直线交点坐标之间的对应关系的理解二、知识要点梳理知识点一：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间的关系要点诠释：1、一次函数与一元一次方程由于一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a、b为常量，a≠0)的形式，所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

从图象上看，这相当于已知直线y＝kx+b（k，b是常数，k≠0），确定它与x轴交点的横坐标的值.2、一次函数与一元一次不等式由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+ｂ＞0或ax+ｂ＜0或或（a、ｂ为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.3、一元一次方程与一元一次不等式我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等式时对应方程的解。

知识点二：一次函数与二元一次方程（组）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。

从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。

【本讲主要内容】用函数观点看方程（组）与不等式1. 一次函数与一元一次方程的关系2. 一次函数与一元一次不等式的关系3. 一次函数与二元一次方程（组）的关系【知识掌握】【知识点精析】一. 一次函数与一元一次方程的关系由于任何一元一次方程都可以转化为ax b+=0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看这相当于已知直线y ax b=+，确定它与x轴交点的横坐标的值．二. 一次函数与一元一次不等式的关系由于任何一元一次不等式都可以转化为ax b+>0或ax b+<0（a b、是常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围．从图象上看，解ax b+>0相当于已知直线y ax b=+在x轴上方时，自变量x 相应的取值范围；解ax b+<0相当于已知直线y ax b=+在x轴下方时，自变量x相应的取值范围．三. 一次函数与二元一次方程（组）的关系每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标．方程（组）、不等式与函数之间互相联系，用函数观点可以把它们统一起来，解决问题时，应根据具体情况灵活地、有机地把它们结合起来使用．【解题方法指导】例1. （2006年重庆市中考题）（课改实验区考生做）如图，已知函数y ax b y kx=+=和的图像交于点P，则根据图像可得，关于x y、的二元一次方程组y ax by kx=+=⎧⎨⎩的解是______．∴l2的函数表达式为y x=-10075（2）乙车先到达B地．3001007515 4=-∴=x x，设l1的函数表达式是y k x=1O图像过点()154300，∴k 1=80．即y x =80当y =400时，400805=∴=x x ， ∴-=519414（小时）键性词语；三要有一定的生产、生活常识，对当前市场经济条件下各种常见的现象有所了解，能抓住它们的本质和规律，恰当地构建出数学模型．【典型例题分析】例1. （2006年云南省课改实验区中考题）如图，直线l l 12与相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．若x y ==23，，则0621342..⨯+⨯=（万元）∴电视台选择15秒广告播放4次、30秒广告播放2次的方式，收益较大． 点评：本题综合应用了二元一次方程与一次函数的知识解决实际问题．例3. （2006年浙江省中考题）宁波市土地利用现状通过国土资源部验收，我市在节约集约用地方面已走在全国前列．1996~2004年，市区建设用地总量从33万亩增加到48万亩，相应的年GDP从295亿元增加到985亿元．宁波市区年GDP y（亿元）与建设用地总量x（万亩）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y关于x的函数关系式．（2）据调查2005年市区建设用地比2004年增加4万亩，如果这些土地按以上函数关系式开发使用，那么2005年市区可以新增GDP多少亿元？（3）按以上函数关系式，我市年GDP每增加1亿元，需增建设用地多少万亩？（精确到0.001万亩）∴-=≈x x21460022.（万亩）即年GDP每增加1亿元，需增加建设用地约0.022万亩．例4. （2006年云南省中考题）云南省公路建设发展速度越来越快，通车总里程已位居全国第一，公路的建设促进了广大城乡客运的发展．某市扩建了市县际公路，运输公司根据实际需要计划购买大、中两型客车共10辆，大型客车每辆价格为25万元，中型客车每辆价格为15万元．（1）设购买大型客车x（辆），购车总费用为y（万元），求y与x之间的函数表达式；（2）若购车资金为180万元至200万元（含180万元和200万元），那么有几种购车方案？在确保交通安全的前提下，根据客流量调查，大型客车不能少于4辆，此时如何确定购车方案可使该运输公司购车费用最少？解：（1）设购买大型客车x辆，则购买中型客车()10-x辆．由题意得：y x x=+-251510()，即y x=+10150（2）1015018010150200xx+≥+≤⎧⎨，解得xx≥≤⎧⎨35，∴≤≤35x（山西省课改实验区）如图，是某函数的图象，则下列结论中正确的是（的取值是-325，B. 当y=-3时，x的近似值是0，2C. 当x=-32时，函数值y最大D. 当x>-3时，y随x的增大而增大2. （太原市）小亮用作图象的方法解二元一次方程组时，在同一直角坐标系内作出了相应的两个一次函数的图象l l12、如图所示，他解的这个方程组是（）2xy+-=,2（黄冈市课改实验区）如图，在光明中学学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的（秒）之间的函数关系图像分别为折线OABC正确的是（）A. 乙比甲先到达终点B. 乙测试的速度随时间增加而增大C. 比赛进行到29.4秒时，两人出发后第一次相遇D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快二. 填空题：某医药研究所开发了一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么每毫升血液中含药量y （微克）随时间x （小时）的变化情况如图所示，当成人按规定剂量服用后，（1）服药后________小时，血液中含药量最高，达每毫升______毫克，接着逐步衰减； （2）服药5小时，血液中含药量_______毫克；（3）当x ≤2时，y 与x 之间的函数关系式是___________； （4）当x ≥2时，y 与x 之间的函数关系式是___________；（5）如果每毫升血液中含药量3毫克或3毫克以上时，治疗疾病最有效，那么这个有效时间是_________小时．三. （昆明市课改实验区）如图，直线l 1与l 2相交于点P ，l 1的函数表达式为y x =+23，点P 的横坐标为-1，且l 2交y 轴于点A （0，-1）．求直线l 2的函数表达式．四. （河北省课改实验区）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y（m）与挖掘时间x（h）之间的关系如图所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙队开挖到30m时，用了__________h．开挖6h时甲队比乙队多挖了______m；（2）请你求出：①甲队在06x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤②乙队在26x的时段内，y与x之间的函数关系式；≤≤（3）当x为何值时，甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等？五. （2004年黑龙江省中考题）某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A楼、B楼、C楼，其中A楼与B楼之间的距离为40米，B楼与C楼之间的距离为60米．已知A楼每天有20人取奶，B楼每天有70人取奶，C楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站方案．方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；方案二：让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和．（l）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？（3）在（2）的情况下，若A楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B楼越来越远，还是越来越近？请说明理由．【综合测试答案】一. 选择题：1. B2. D3. C4. C二. 填空题：（1）2，6； （2）3 （3）y x =3（4）y x =-+8 （5）4三. 解：设点P 坐标为（-1，y ），代入y x =+23，得y =∴1,点P （-1，1）设直线l 2的函数表达式为y kx b =+，把P （-1，1）、A （0，-1）分别代入y kx b =+，得11=-+-=⎧⎨⎩k b b∴=-=-⎧⎨⎩k b 21，∴直线l 2的函数表达式为y x =--21．四. 解：（1）2，10；（2分）（2）①设甲队在06≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x =1， 由图可知，函数图像过点（6，60）， ∴=6601k ，解得k y x 11010=∴=,（4分）②设乙队在26≤≤x 的时段内y 与x 之间的函数关系式为y k x b =+2， 由图可知，函数图像过点（2，30），（6，50）， ∴+=+=⎧⎨⎩23065022k b k b ,解得k b 2520==⎧⎨⎩,∴=+y x 520 （6分）（3）由题意，得10520x x =+，解得x h =4()． ∴当x 为4h 时，甲、乙两队所挖的河渠长度相等．五. 解：（1）设取奶站建在距A 楼x 米处，所有取奶的人到奶站的距离总和为y 米， ①当040≤≤x 时，y x x x x =+-+-=-+207040601001108800()()∴当x =40时，y 的最小值为4400②当40100<≤x 时，y x x x x =+-+-=+20704060100303200()()，此时，y 的值大于4400因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处 （2）设取奶站建在距A 楼x 米处，①当040≤≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =-<32030（舍去）②当40100<≤x 时，20601007040x x x +-=-()()解得x =80 因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80米处 （3）设A 楼取奶人数增加a 人，第11页 版权所有 不得复制 11①当040≤≤x 时，()()()20601007040++-=-a x x x ， 解得x a =-+320030（舍去），②当40100<≤x 时， ()()()20601007040++-=-a x x x 解得x a =-∴8800110,当a 增大时，x 增大，∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。

怎样教“用函数的观点看方程（组）与不等式”人教版教材初中教材用三个课时的篇幅安排了“用函数的观点看方程（组）与不等式”的内容。

该教学内容的安排，有利于使学生进一步体会函数的价值，整体上理解方程、不等式与函数的联系，构建统一的知识体系。

但由于一些老师都没能很好地领会教材安排这一教学内容的意图，对本教学内容的教育价值的理解不够，在该内容的教学时，把目标仅定位在“估计方程、不等式解”的结果上，对学习“用函数的观点看方程（组）与不等式”必要性渗透不够，对估计解的过程及过程中隐含的数学思想和方法挖掘、提炼不够。

实际操作中往往是蜻蜒点水，草草收场，给习题课让路。

本文从“教学内容分析”、“教学难点分析”两个方面试图阐述该教学内容的地位和作用，通过具体的教学案例试图说明该教学内容教什么和怎么教，并以求引发更深层次的思考：在数学教学中，除了知识和技能以外，我们还给学生教些什么？一、教学内容分析看似简单的教学内容实际上蕴含有丰富的教育价值。

“用函数的观点看方程（组）与不等式”这一教学内容从函数的角度对前面学过的一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组重新进行了分析，这种认识不是原来水平上的回顾与复习，而是站在更高的起点上的动态分析，用函数把三个不同的数学模型有机地结合和统一了起来。

揭示三个不同数学模型间的内在联系，有利于使学生从整体上把握数学知识间的关系，体会数学知识、研究方法的发展过程，进而提高学生的数学素养。

用函数的观点看方程（组）与不等式，实质上就是借助函数的图象（几何图形）研究方程（组）的解和不等式的解集，这一教学内容是渗透数形结合思想、使学生体会数学的和谐美等方面很好的教学素材。

“用函数的观点看方程（组）与不等式”是后续学习 “用二次函数的观点看一元二次方程”，高中阶段“函数的零点”、“二分法求方程的近似解”、“一元二次不等式的解法”、“线性规划”、“曲线与方程”等内容的基础。

本教学内容中所隐含的构造函数的方法，是解决数学问题的一种重要方法。

例1．如图1所示，直线y=kx+b 经过A （－2，－1）和B （－3，0）两点，则不等式组12x<kx+b<0的解集为___－3<x<－2 ____．图1 图2 图3 例2．如图2，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4x交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于__20_____． 例3．如图3所示，L 甲，L 乙分别表示甲走路与乙骑自行车（在同一条路上）行走的路程s 与时间t 的关系，观察图像并回答下列问题：（1）乙出发时，与甲相距_10_____km ；（2）走了一段路后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车为__1___h ； （3）乙从出发起，经过__3___h 与甲相遇；（4）甲行走的路程s 与时间t 之间的函数关系式___s=10+203t ____； （5）如果乙自行车不出现故障，那么乙出发后经过__1.2____h 与甲相遇，相遇处离乙的出发点_18___km ．并在图中标出其相遇点．例4 已知二次函数y ax bx c =++2，且a a b c <-+>00，，则一定有（ ）A. b ac 240->B. b ac 240-=C. b ac 240-<D. b ac 240-≤分析：由a <0，可知抛物线开口向下，又当x =-1时，y a b c =-+>0，所以抛物线有在x 轴上方的图象，必与x 轴有两个交点，则方程有两个不等实根，∆=->b ac 240，故选（A ）。

解：Θy ax bx c =++2中a <0， ∴抛物线的开口向下又当x =-1时，y a b c =-+>0， ∴抛物线有在第二象限的点。

它的示意图如图。

（3）根据已知条件求出x 的取值范围．根据一次函数的性质可知在此范围内，两村运费之和是如何变化的，进而可求出相应的值． 【解答】（1）C D总计A xt（200－x ）t 200tB（240－x ）t （60+x ）t300t 总计 240t260t500ty A =－5x+5000（0≤x≤200），y B =3x+4680（0≤x≤200）． （2）当y A =y B 时，－5x+5000=3x+4680，x=40； 当y A >y B 时，－5x+5000>3x+4680，x<40； 当y A <y B 时，－5x+5000<3x+4680，x>40．∴当x=40时，y A =y B 即两村运费相等；当0≤x<40时，y A >y B 即B 村运费较少；当40<x≤200时，y A <y B 即A 村费用较少．（3）由y B ≤4830得 3x+4580≤4830． ∴x≤50．设两村运费之和为y ，∴y=y A +y B ， 即：y=－2x+9680．又∵0≤x≤50时，y 随x 增大而减小，∴当x=50时，y 有最小值，y 最小值=9580（元）．答：当A 村调往C 仓库的柑橘重为50t ，调运D 仓库为150t ，B 村调往C 仓库为190t ，调往D 仓库110t 的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元． 例8 已知抛物线y=x 2－mx+22m 与抛物线y=x 2+mx －43m 2在平面直角坐标系中的位置如图26－2－1,其中一条与x 轴交于A 、B 两点．图26－2－1（x3，0），与y轴相交手点D．（1）求证：11x+21x=31x，y1y2＝b2；（2）当B为DC的中点时，求ab的值；（3）取a＝1，当 AD∶DB＝2∶1时，求b的值．解（1）证明：∵A、B是直线y=-x+b与抛物线的交点，∴（x1，y1），（x2，y2）是方程组⎩⎨⎧=+-=2,axybxy的解，故x1，x2是方程ax2+x-b＝0的两根，由根与系数的关系得：x1+x2= -a1, x1·x2= -ab,又直线y＝-x＋b与x轴交于点C（x3，0），∴x3＝b，∴11x+21x=2121xxxx•+= -a1/-ab=b1=31x；y1y2=ax12·ax22=a2·(x1·x2)2=a2·(-ab)2=b2.（2）作BE⊥x轴于E，∵DB=BC, ∴21OD=BE,OE=21OC，∵D(0,b),C(b,0)∴B(21b,21b). 又点B在抛物线y＝ax2上，∴21b＝a·（21b）2⇒ab＝2．（3）过A点作AF⊥x轴于F，∵AD∶DB＝2：1，∴OF∶OE＝2∶1．∴x1∶x2＝-2∶1，又x1+x2= -a1= -1. ∴x1= -2,x2=1, ∴b=-x1·x2=2。

用函数观点看方程（组）与不等式知识点讲解
佚名
【期刊名称】《数学学习与研究：八年级学生适用》
【年(卷),期】2010(000)003
【摘要】一一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可转化为kx＋b=0（k，b为常数，k≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值．
【总页数】3页(P6-8)
【正文语种】中文
【中图分类】G633.62
【相关文献】
1.用函数观点看方程（组）与不等式专题训练 [J],
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5.用函数观点看方程（组）与不等式综合练习题 [J], 于秀坤
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用函数观点看方程（组）与不等式
第一课时 一次函数与一元一次方程
学习目标：
1、理解一次函数与一元一次方程的关系；
2、会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解。

学习重点：
用一次函数的图象求解一元一次方程。

学习难点：
一次函数与一元一次方程的关系的发现，归纳和运用。

学习过程：
一、自主学习：
（一）学生看课本P 123，完成下列问题：
（1）方程2x+20=0的解为________。

（2）自变量x 为_________时，函数y=2x+20的值为0？
（3）画出函数y=2x+20的图象，它与x 轴交点的坐标是(_______)。

（4）直线y=2x+20与x 轴交点的横坐标与方程2x+20=0的解有什么关系？
（学生独立思考后可进行小组内讨论、交流，并最终得出结论）。

结论：
求一元一次方程的解就是求一次函数与x 轴交点的横坐标。

（二）看例1，再次验证一次函数与一元一次方程的关系。

二、自主检测：
1、一元一次方程3x-6=0的解为x=2，那么一次函数y=3x-6的函数值为0时，自变量x 的取值为_______。

2、函数y=-21x-3的图象与x
-21x-3=0的解是_________。

3、如图是函数y=2x+2的图象，由图象可知
方程2x+2=0的解是__________。

4、当自变量x 的值满足什么条件时，函数列条件？
（1）y=0 （2）y=-5
三、课堂小结：
本节课你收获了什么？
四、布置作业：
课本P129 1，2
教后感：。

用函数观点看方程（组）与不等式²要点全析1．一次函数与一元一次方程由于任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值，从图象上看，这相当于已知直线y＝ax＋b，确定它与x轴交点的横坐标的值．如：求方程3x－6＝0的解，可以转化为求函数y＝3x－6，当y＝0时，自变量x的值，也可看作求直线y＝3x－6与x轴交点的横坐标．再如：求方程3x＋5＝9的解，可以转化为求函数y＝2x＋5，当y＝9时，自变量x的值，也可看作求直线y＝2x＋5，当y＝9时的横坐标x的值．【说明】（1）一元一次方程ax＋b＝0（a≠0），可以看成一次函数y＝ax＋b （a≠0），当y＝0时的一种特殊情况，同时对于一次函数y＝ax＋b（a≠0），对于每一个确定的y值，都是一个一元一次方程．（2）从图象上看，一元一次方程ax＋b＝0（a≠0），可看成求直线y＝ax ＋b（a≠0）与x轴交点的横坐标，并且在直线y＝ax＋b（a≠0）上，每一个确定的点，都代表着一个一元一次方程ax＋b＝y（y为数值）．（3）在以上的两个说明中，可以看出，分别从数与形两个方面说明了一元一次方程和一次函数二者之间的关系．2．一次函数与一元一次不等式由于任何一元一次不等式都可以转化为ax＋b＞0或ax＋b＜0（a、b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围．例如：用函数图象法解不等式5x＋6＞3x＋10．解法一：原不等式可化为2x－4＞0，画出直线y＝2x－4，由图11-3-1可以看出．当x＞2时，y＞0，即2x－4＞0；因此不等式的解集为x＞2．解法二：将不等式5x＋6＞3x＋10的两边分别看作两个一次函数，画出直线y＝5x＋6与y＝3x＋10如图11-3-2．由图11-3-2可以看出，两条直线交于点（2，16），当x ＞2时，直线y ＝5x ＋6上的点都在直线y ＝3x ＋10的上方，这时5x ＋6＞3x ＋10．因此，不等式5x ＋6＞3x ＋10的解集是x ＞2．【说明】（1）利用图象法求不等式的解时，要注意以下几点：①作图要准确．假若有误、将会影响求解的结果．②求解集时，要由函数的增减性和图象来共同确定．如图11-3-1，中函数y ＝2x －4，当x 增大时，y 也随着增大，因此y ＞0时，x ＞2，从图象上看，在x 轴上方的图象y ＞0，这时对应的x 值，都在2的右侧，即x ＞2，因此其解为x ＞2，在图11-3-2中，由图象可以清楚地看到x ＝2是一个分界点，在x ＞2时，直线y ＝5x ＋6在y ＝3x ＋10的上方，即5x ＋6＞3x ＋10；当x ＜2时，正好相反．③求解集时，要注意端点的取舍．如不等式x －2≥0的解集为x ≥2，即含有端点x ＝2，而不等式x －2＞0的解集为x ＞2，则不包含端点x ＝2，在求解或画图时应注意．包含端点的解集在端点处画实点，不包含端点的解集在端点处画虚点（圆圈）．④用图象法求类似于本例的不等式的解集时，其步骤可以分成三步： a ．将不等式转化为函数（一个或几个）；b ．作出函数的图象；c ．确定解集．（2）图象法求不等式的解集能比较形象、直观的看出解集的范围，并且能直观地看出在解集范围内，不等量的变化情况，但有时解较简单的不等式，作图时较复杂，有时作图不准确，也影响求解的结果，这是其不足的一面．虽然有不足，但在解决一些实际应用问题时，它的直观性还是经常用到的．（3）在用图象法求解不等式的过程中，充分体现了由数（代数式）到形（图象为直线）和由形（图象）到数（确定解集）的思维过程，这种思维方式或思维方法，称为数形结合思想或数形结合方法．这种数形结合思想或方法是本节乃至本章的核心，应熟练掌握．3．一次函数与二元一次方程（组）对于一个二元一次方程ax ＋by ＋c ＝0（a 、b 、c 为常数，a ≠0，b ≠0），总可以化成b c x b a y －＝－的形式，即一次函数，于是一个二元一次方程就对应着一个一次函数．那么两个二元一次方程组成的方程组，就是两个一次函数所在的两条直线，要求方程组的解，就是求两直线的交点坐标．简单地讲，二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标．例如：用图象法求方程组⎩⎨⎧42392＝－－，＝＋　y x y x 的解．解：①先将两个方程化成一次函数的形式即y ＝－2x ＋9和223＋＝x y ．②作出两个一次函数y ＝－2x ＋9与223＋＝x y 的图象（如图11-3-3）两直线交于点（2，5）．③确定方程组的解是；x ＝2，y ＝5，即⎩⎨⎧．＝，＝52y x总结：由此例可知用图象法求二元一次方程组的解的方法是：（1）先将方程组的两个二元一次方程化为一次函数的形式．（2）在坐标系中，画出两个一次函数的图象（直线），两直线交于一点．（3）确定方程组的解，交点坐标就是方程组的解．4．一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组的关系 对于一次函数与一元一次方程、一元一次不等式及二元一次方程组的关系是后三者分别是一次函数的特殊情况，而一次函数又是后三者图象的具体表达形式． 例如，以一次函数y ＝3x －6为例来说明上述四者之间的关系．条件 表现形式 问题类型 解决方法（图象法） y ＝0 3x －6＝0 一元一次方程 与x 轴交点的横坐标y ＞0 y ≤0 3x －6＞0 3x －6≤0 一元一次不等式 取某一范围内的数 x ＞2或x ≤２与y ＝2x ＋8同时成立 ⎩⎨⎧y x y x ＝＋＝－8263 二元一次方程组 两条直线交点坐标 x ＝14，y ＝365．一次函数与几何知识的联系由于一次函数y ＝kx ＋b （k ≠0）的图象是一条直线，那么它与两坐标轴围成一个直角三角形．由一次函数解析式可分别求出与两坐标轴的交点（0，b ），（－k b ，0），如图11-3-4，则OA 的长为k b －，OB 的长为b ，那么在△OAB 中可求出以下一些量： （1）△ABC 中斜边AB 的长，AB ＝222221k k b b k b OB OA ＋＝＋）（－＝＋．（2）△ABC 的面积，S △ABC ＝k b k b b k b OB OA 21·21·21·2122＝＝－　＝．（3）△ABC 的斜边AB 上的高h ，由S △ABC ＝h AB OB OA ·21·21＝， 则h k k b b k b ·1··21··212＋－＝－，得h ＝21k b ＋． （4）若AB ＝2OA ，则∠OBA ＝30°，∠OAB ＝60°．若OA ＝OB ，则∠OBA ＝∠OAB ＝45°．有时根据以上的几何量，进行命题．如：已知直线y ＝kx ＋b 与y 轴交于点（0，4），与两坐标轴围成三角形的面积为6，求此直线的函数关系式．解：设此直线与x 轴交于点（m ，0），由题意知，64·21＝m ，即3＝m ，∴ m ＝±3．当m ＝3时，直线经过点（3，0），（0，4），则⎩⎨⎧．＝＋，＝＋4003b b k 解之得⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝－434b k ∴ 关系式为y ＝－434＋x ．当m ＝－3时，直线y ＝kx ＋b 经过点（－3，0），（0，4）,则⎩⎨⎧．＝＋，＝＋－4003b b k 解之得⎪⎩⎪⎨⎧．＝，＝　434b k 因此函数关系式为y ＝434＋x ．所以所求函数关系式为y ＝－434＋x 或y ＝434＋x ．【说明】①在求解本题时，一定不要漏掉m 中的绝对值，否则会丢掉一解． ②在本题中包含着数学中重要的数学思想——分类思想，即m ＝3时，m＝3或m ＝－3．当m ＝3时，求出函数关系式y ＝－434＋x ，当，m ＝－3时，求出函数关系式y ＝434＋x ．6．本节内容中包含的数学思想和数学方法由于本节内容前后知识点之间的联系较多，因此含有的数学思想和数学方法较多，主要的有以下几种：（1）数形结合思想如上面的用图象法求方程的解，不等式的解集，充分体现了数形结合的思想．由函数关系式作出函数的图象是由数到形的转化过程，由图象求出方程的解或不等式的解集是由形到数的转化过程．因此，用图象法求方程（组）、不等式的解集的过程正是数形结合思想的最佳体现．再如：①一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过二、三、四象限，求k 、b 的取值范围．②已知函数y ＝kx ＋b 的图象过点（1，3）和（4，6），求函数关系式等等，都是数形结合思想的具体体现．（2）转化思想（或化归思想）在一次函数与一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组的关系中都提到了方程、不等式都可转化为函数问题来解决．因此转化成了连接二者的桥梁和纽带．可以说转化思想在本节中无时不在，处处皆有．如：对于函数y ＝3x －6，当x ＝2时，y ＝0，这时，函数就转化成了方程3x －6＝0；若y ＞0，求x 的范围，则此函数就转化成了不等式3x －6＞0．（3）分类思想在前面学过的知识中已多次接触过分类思想．如若a 为整数，那么|a |的值是什么？应该讨论a 的取值的正、负，当a 取正整数时，a ＝a ，当a 取负整数时，a ＝－a ，当a ＝0时，a ＝0． 即a ＝⎪⎩⎪⎨⎧取负整数．，－，取，取正整数，，a a a a a 00再如，在函数y ＝3x －6中，x 取何值时，y ＞2；x 取何值时，y ≤2，这些都体现了分类思想．7．一次函数在解决实际问题中的应用由于一次函数应用的广泛性，所以它在解决许多实际问题中，越来越多的解题方法和规律被人们发现和应用，有时还能进行科学决策．如：某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个个体车主或一国有出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x千米，应付给个体车主的月费用是y1元，应付给出租车公司的月费用是y2元，y1，y2分别与x之间的函数关系图象（两条射线）如图11-3-5，观察图象回答下列问题．（1）每月行驶的路程在什么范围内时，租国有公司的车合算？（2）每月行驶的路程等于多少时租两家车的费用相同？（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2 300千米，那么这个单位租哪家的车合算？分析：在两个函数图象交点处，它们的函数值相同，即x＝1 500时，y1＝y；在两个图象在交点的左侧，y1的图象在y2图象的上面，说明y1＞y2；租国有2公司的车合算，交点的右侧，y1的图象在y2图象的下面，说明y1＜y2，租个体车合算．解：（1）每月行驶的路程小于1 500千米时，租国有公司的车合算．（2）每月行驶1 500千米时，租两家车的费用相同．（3）如果估计每月行驶2 300千米时，那么租个体车合算．。

用函数观点看方程（组）与不等式一、知识归纳1、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程都可以转化为ax＋b=0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值。

从图象上看，相当于已知直线y=ax＋b，确定它与x轴的交点的横坐标的值。

2、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a, b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围。

3、规律总结一次函数y=kx＋b与一元一次方程kx＋b=0及一元一次不等式的关系：函数y=kx ＋b的图象在x轴上方的点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x 轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b=0的解；在x轴下方的点所对应的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集。

4、一次函数与一次方程（组）（1）以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数的图象相同。

（2）二元一次方程组的解可以看成是两个一次函数的图象的交点。

5、一次函数与方程（组）的应用在实际生活中，如何应用函数知识解决实际问题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，再利用方程（组）求解。

二、典型例题例1、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.57元计费；每月用电超过100千瓦时，前100千瓦时仍按原标准收费，超过部分按每千瓦时0.50元计费。

（1）设月用x千瓦时电时，应交电费y元，当x≤100和x>100时，分别写出y (元)关于x (千瓦时)的函数关系式；（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：月份一月份二月份三月份合计交费金额76元63元45.60元184.60元问：小王家第一季度用电多少千瓦时？分析：（1）当x≤100时，费用为0.57x元，当x>100时，前100千瓦时应交电费100×0.57=57(元)，剩下的(x－100)千瓦时应交电费0.50 (x－100)元。