江西省南昌大学附中、南昌一中十校联考八年级(上)期中数学试卷

南昌市十校联考初二数学试卷一、选择题（6×3分=18分）1、 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是（ ）A 、3，8，4B 、4，9，6C 、15，20，8D 、9，15，82、 在以下回收、节能、节水、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3、下列运算中，计算正确的是（ ）A 、369a a a =B 、235()a a =C 、32422a a -=D 、22(3)6a a =4、若等腰三角形的周长为26cm ，一边为11cm ，则腰长为（ ）A 、11cmB 、7.5cmC 、11cm 或7.5cmD 、以上都不对5、一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）A 、10B 、11C 、12D 、以上都有可能 6、如图所示，将纸片△ABC 沿着DE 折叠压平，则（ ）A 、∠A=∠1+∠2B 、∠A=12 （∠1+∠2）C 、∠A=13 （∠1+∠2）D 、∠A=14（∠1+∠2） 二、填空题（6×3分=18分）7、点A （3，2）关于y 轴对称的点的坐标是8、如图，已知AC=BD ，∠A=∠D ，请你添一个直接条件， ，使△AFC ≌△DEB （写出一种答案即可）9、如图，在△ABC 中，∠B=30°，∠C=70°，AD 平分∠BAC ，交BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，则∠D=（第8题图） （第9题图）10、已知分式211x x -+ 的值为0，那么x 的值为 11、2(93)(3)x x x -+÷-=12、如图a 是长方形纸带，∠BFE=15°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是三、解答题（5×4分=20分）13、因式分解（1）29x - （2）3244b b b -+14、化简224(1)7(1)(1)3(1)x x x x +--++-15、解分式方程：21133x x x -+=--16、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 两弧于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD=4，AB=15，求△ABD 的面积。

2022-2023学年江西省南昌市十校联考八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．垃圾分类是将垃圾分门别类地投放，并通过分类清运和回收，使之重新变成资源，下面四个图形分别是可回收垃圾、不可回收垃圾、易腐垃圾和有害垃圾标志，在这四个图形中，轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．2．若点A（a﹣1，3）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）A．0B．﹣1C．1D．﹣23．下列四组线段，不能组成三角形的是（ ）A．2cm，3cm，3cm B．3cm，3cm，3cmC．2cm，6cm，5cm D．5cam，6cm，13cm4．如图，∠DAC＝∠BAC，下列条件中，不能判定△ABC≌△ADC的是（ ）A．DC＝BC B．AB＝AD C．∠D＝∠B D．∠DCA＝∠BCA5．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（ ）A．41°B．42°C．43°D．44°6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下列结论：①S△ABE＝S△BCE；②∠AFG＝∠AGF；③BH＝CH；④∠FAG＝2∠ACF．正确的是（ ）A．①②③B．③④C．①②④D．①②③④二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．五边形ABCDE的内角都相等，则该五边形的一个内角的度数为 ．8．如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，CM＝4，则点C到射线OA的距离为 ．9．如图所示，若一块三角形的玻璃被打碎成3块，你只能拿一块去玻璃店划一块和原玻璃一样的，你选 去，理由是 ．（只写判定定理）10．如图，AB∥CD，EF分别与AB，CD交于点B，F．若∠E＝30°，∠EFC＝130°，则∠A＝ ．11．如图，方格纸中是9个完全相同的正方形，则∠1+∠2的值为 ．12．如图，△ABC中，∠C＝40°，D为△ABC中AC边上一点，将△ABC沿BD折叠得到△A′BD，若DA'∥BC，那么∠ADB＝ °．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．（6分）如图，点D、E在BC上，AB＝AC，AD＝AE．BD和CE有怎样的关系？请说明理由．14．（6分）如图，点B，F，C，E在一条直线上，BF＝CE，AB∥DE，AC∥DF．求证：AB＝DE，AC＝DF．15．（6分）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．（1）在图中画出关于直线l成轴对称的△A′B′C′；（2）线段CC′被直线l ．16．（6分）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求∠A的度数；（2）若BD＝2，DE＝1，求CE的长．17．（6分）如图，蓝色的三角形与哪些三角形成轴对称？整个图形是轴对称图形吗？它共有几条对称轴？四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．（8分）用24cm长的绳子围成一边长为6cm的等腰三角形，求这个等腰三角形的底边长．19．（8分）如图，已知OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B．求证：（1）PO平分∠APB；（2）OP是AB的垂直平分线．20．（8分）如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝105°，CD⊥AB于D．，，求△ABC 的面积．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．（9分）如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝8，∠BAC＝120°，，点D是BC边上的任意一动点，点B与点B'关于直线AD对称．（1）求△ABC的面积；（2）当，且满足，求此时∠BDB'的度数；（3）连接BB'，当△BDB'中存在一个内角为100°时，求此时∠BAD的度数．22．（9分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在边BC、AC、AB上，且有BF＝CD，BD＝CE．（1）求证：△BDF≌△CED；（2）若设∠FDE＝α，则用α表示∠A．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．（12分）阅读下列材料，完成探究过程：若规定：四条边对应相等，四个角对应相等的两个四边形全等．那么，我们借助学习“三角形全等的判定”获得的经验与方法对“全等四边形的判定”进行探究．【初步思考】在两个四边形中，我们把“一条边对应相等”或“一个角对应相等”称为一个条件．满足4个条件的两个四边形不一定全等，如边长相等的正方形与菱形就不一定全等．类似地，我们容易知道两个四边形全等至少需要5个条件．某探究小组的同学在探究时发现：如果对图中的四边形ABCD与四边形A1B1C1D1先给出如下条件：AB＝A1B1、∠B＝∠B1、BC＝B1C1，并在此基础上又给出“AD＝A1D1，CD＝C1D1”两个条件，他们认为满足这五个条件能得到“四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1”．请根据他们给出的条件，说明“四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1”的理由．【深入探究】（1）若在条件“AB＝A1B1、∠B＝∠B1、BC＝B1C1”的基础上，又添加两个条件“AD＝A1D1、∠BCD＝∠B1C1D1”．满足这五个条件 （填“能”或“不能”）得到四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．（2）在条件“AB＝A1B1、∠B＝∠B1、BC＝B1C1”的基础上，再添加两个关于原四边形的条件（要求：不同于【初步思考】中给出过的条件），使四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．你添加的条件是① ，② ．（3）由以上探究过程，该小组的同学们得出结论：“四条边和一个角对应相等的两个四边形一定全等”，但是“三条边和二个角对应相等的两个四边形不一定全等”．随着进一步探究，该小组的同学们发现也可以对“二条边和三个角对应相等”进一步分类，如以四边形ABCD 和四边形A1B1C1D1为例，可以分为以下几类：①AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1；②AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠D＝∠D1；③AB＝A1B1，AD＝A1D1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∠D＝∠D1；④AB＝A1B1，CD＝C1D1，∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1．上述分类中能判定四边形ABCD和四边形A1B1C1D1全等的是 （填序号），概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是 ．2022-2023学年江西省南昌市十校联考八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）1．【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：C．2．【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出a、b，然后代入代数式进行计算即可得解．【解答】解：∵点A（a﹣1，3）和点B（2，b﹣1）关于x轴对称，∴a﹣1＝2，b﹣1＝﹣3，解得a＝3，b＝﹣2，所以，（a+b）2021＝（3﹣2）2021＝1．故选：C．3．【分析】利用三角形的三边关系进行分析即可．【解答】解：A、2+3＞3，能组成三角形，故此选项不符合题意；B、3+3＞3，能组成三角形，故此选项不符合题意；C、2+5＞6，能组成三角形，故此选项不符合题意；D、5+6＝11＜13，不能组成三角形，故此选项符合题意；故选：D．4．【分析】利用全等三角形的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL进行分析即可．【解答】解：A、DC＝BC，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，不能判定△ABC≌△ADC，故此选项符合题意；B、AB＝AD，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，可利用SAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；C、∠B＝∠D，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用AAS判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；D、∠DCA＝∠BCA，∠DAC＝∠BAC，再加上公共边AC＝AC，能利用ASA判定△ABC≌△ADC，故此选项不合题意；故选：A．5．【分析】设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据线段的垂直平分线的性质得出AE＝CE，得出∠EAC＝∠C，由直角三角形的性质得出∠C+∠BAC＝90°，求出x即可．【解答】解：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．6．【分析】①根据等底等高的两个三角形面积相等即可判断；②根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，再由三角形外角性质即可判断；③根据等腰三角形的判定即可判断；④根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，再根据三角形角平分线定义即可判断．【解答】解：∵BE是中线，∴AE＝CE，∴△ABE＝S△BCE，故①正确；∵CF是角平分线，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD是高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；根据已知条件不能提出∠HBC＝∠HCB，故③错误；∵AD是高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是角平分线，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故④正确，故选：C．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）7．【分析】根据五边形的各个内角都相等，可知五边形的各个外角都相等，多边形的外角和为360°，可得结论．【解答】解：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°．故答案为：108°．8．【分析】过C点作CN⊥OA于N，如图，根据角平分线的性质得到CN＝CM＝4，然后根据点到直线的距离的定义求解．【解答】解：过C点作CN⊥OA于N，如图，∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，CN⊥OA，∴CN＝CM＝4，即点C到射线OA的距离为4．故答案为4．9．【分析】根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形即可得到结论．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．最省事的方法是应带③去，理由是：两角和夹边对应相等的两个三角形全等．故答案为：带③去，两角和夹边对应相等的两个三角形全等．10．【分析】直接利用平行线的性质得出∠ABF＝50°，进而利用三角形外角的性质得出答案．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠ABF+∠EFC＝180°，∵∠EFC＝130°，∴∠ABF＝50°，∵∠A+∠E＝∠ABF＝50°，∠E＝30°，∴∠A＝20°．故答案为：20°．11．【分析】利用全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△EDF，则其对应角相等：∠3＝∠1，则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．【解答】解：如图，在△ABC与△EDF中，，∴△ABC≌△EDF（SAS），∴∠3＝∠1，则∠2+∠3＝∠2+∠1＝90°．故答案为：90°．12．【分析】由平行线的性质得到∠A′BC＝∠A′，由折叠的性质得∠A＝∠A′＝∠A′BC，∠ABD＝∠A′BD，由三角形内角和定理求出∠A′BC+∠A′BD＝70°，根据三角形外角定理即可求出∠ADB．【解答】解：∵DA'∥BC，∴∠A′BC＝∠A′，由折叠的性质得∠A＝∠A′＝∠A′BC，∠ABD＝∠A′BD，∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，∠C＝40°，∴∠A+∠ABD+∠A′BD+∠C＝180°，∴2（∠A′BC+∠A′BD）+40°＝180°，∴∠A′BC+∠A′BD＝70°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝∠A′BC+∠A′BD+∠C＝70°+40°＝110°，故答案为：110．三．解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）13．【分析】方法一：由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD＝AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC全等，利用全等三角形的对应边相等可得证；方法二：过A作AH垂直于BC于H点，由AB＝AC，利用三线合一得到H为BC中点，同理得到H为DE中点，利用等式的性质变换后可得证．【解答】方法一：证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），又∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），在△ABD和△ACE中，∵，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）；方法二：证明：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH（等腰三角形底边上的高与底边上的中线重合），同理可证，DH＝EH，∴BH﹣DH＝CH﹣EH，∴BD＝CE．14．【分析】证明△ABC≌△DEF（ASA），由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】证明：∵BF＝EC，∴BC＝EF，∵AB∥DE，AC∥DF，∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB＝DE，AC＝DF．15．【分析】（1）直接利用轴对称的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A′B′C′，即为所求；（2）线段CC′被直线l垂直平分．故答案为：垂直平分．16．【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质可得CD＝BD，然后利用勾股定理逆定理可得结论；（2）首先利用勾股定理求得BE的长，再根据垂直平分线的性质可求解．【解答】解：（1）连接CD，∵BC的垂直平分线DE分别交AB、BC于点D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）∵DE⊥BC，BD＝2，DE＝1，∴BE＝，∵DE垂直平分BC，∴CE＝BE＝．17．【分析】直接利用轴对称图形的性质得出答案．【解答】解：蓝色的三角形与三角形2，3，4成轴对称，整个图形是轴对称图形，它共有4条对称轴．四．解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）18．【分析】分6是底边和腰长两种情况讨论求解．【解答】解：若6cm为底时，腰长＝（24﹣6）＝9cm，三角形的三边分别为6cm、9cm、9cm，能围成等腰三角形，若6cm为腰时，底边＝24﹣6×2＝12（cm），三角形的三边分别为6cm、6cm、12cm，∵6+6＝12，∴不能围成三角形，综上所述，底边长是6cm．19．【分析】（1）根据角平分线的性质得到PA＝PB，证明Rt△AOP≌Rt△BOP，根据全等三角形的性质证明；（2）根据线段垂直平分线的判定定理证明即可．【解答】证明：（1）∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA＝PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP，∴∠APO＝∠BPO，即PO平分∠APB；（2）∵Rt△AOP≌Rt△BOP，∴OA＝OB，又PA＝PB，∴OP是AB的垂直平分线．20．【分析】根据垂直定义可得∠ADC＝∠BDC＝90°，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得∠ACD＝60°，进而可得∠BCD＝45°，然后再利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝∠BCD＝45°，从而可得CD＝BD＝cm，进而求出AB的长，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∵∠A＝30°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝60°，∵∠ACB＝105°，∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝45°，∴∠B＝90°﹣∠BCD＝45°，∴∠B＝∠BCD＝45°，∴CD＝BD＝cm，∵AD＝cm，∴AB＝AD+BD＝（+）cm，∴△ABC的面积＝AB•CD＝×（+）×＝（+1）cm2，∴△ABC的面积为（+1）cm2．五．解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）21．【分析】（1）作高线AH，根据直角三角形含30度角的性质可得AH的长，由三角形面积公式可得答案；（2）如图2，分别计算∠ADB＝∠ADB'＝60°，可得答案；（3）分两种情况：如图3：当BD＜BC时，如图4：当时，分别根据对称性和三角形内角和定理可得结论．【解答】解：（1）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠ABC＝∠ACB＝30°，∵AB＝8，∴AH＝4，∵，∴；（2）∵，∠BAC＝120°，∴∠CAD＝30°，∠BAD＝90°，由（1）知：∠ABC＝30°，∴∠ADB＝60°，∵点B与点B'关于直线AD对称，∴∠ADB'＝∠ADB＝60°，∴∠BDB'＝∠ADB+∠ADB'＝60°+60°＝120°；（3）∵点B与点B'关于直线AD对称，∴∠DBB'＝∠DB'B≠100°，∴∠BDB'＝100°，①如图3，当，∵∠BDB'＝100°，BD＝DB'，∴∠DBB'＝40°，∵∠ABC＝30°，∴∠ABB'＝30°+40°＝70°，由对称得：∠BAD＝∠DAB'，AB＝AB'，∴∠AB'B＝∠ABB'＝70°，∴∠BAB'＝180°﹣2×70°＝40°，∴∠BAD＝20°；②如图4，当，∵∠BDB'＝100°，∴∠BDA＝50°，∵∠ABC＝30°，∴∠BAD＝100°；综上所述，∠BAD＝20°或100°．22．【分析】首先证明∠B＝∠C，然后再利用SAS定理判定△BDF≌△CED即可，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BDF与△CED中，，∴△BDF≌△CED；（2）∵△BDF≌△CED，∴∠BFD＝∠CDE，∵∠FDE+∠CDE＝∠B+∠BFD，∴∠B＝∠FDE＝α，∴∠A＝180°﹣2∠B＝180°﹣2α．六．解答题（共1小题，满分12分，每小题12分）23．【分析】【初步思考】连接AC、A1C1，证△ABC≌△A1B1C1（SAS），得∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，证△ADC≌△A1D1C1（SSS），得∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，则∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，由全等四边形的判定即可得出结论；【深入探究】（1）由【初步思考】得：△ABC≌△A1B1C1（SAS），则∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC ＝A1C1，得∠ACD＝∠A1C1D1”，但SSA不能证明△ADC≌△A1D1C1，即可得出结论；（2）由全等三角形的判定与性质和全等四边形的判定即可得出结论；（3）①连接BD、B1D1，由全等三角形的判定与性质和全等四边形的判定即可得出结论；②解法同①；③解法同①；④不能得到全等三角形，两个四边形不能全等；概括总结即可．【解答】【初步思考】证明：连接AC、A1C1，如图1所示：在△ABC和△A1B1C1中，，∴△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，在△ADC和△A1D1C1中，，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴∠DAC＝∠D1A1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，∴∠BAD＝∠B1A1D1，∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1．【深入探究】解：（1）不能得到四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，理由如下：由【初步思考】得：△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，添加两个条件“AD＝A1D1、∠BCD＝∠B1C1D1”时，则∠ACD＝∠A1C1D1”，但SSA不能证明△ADC≌△A1D1C1，则两个四边形不能满足四条边对应相等，四个角对应相等，∴不能得到四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1，故答案为：不能；（2）添加条件为：∠BAD＝∠B1A1D1，AD＝A1D1，理由如下：由【初步思考】得：△ABC≌△A1B1C1（SAS），∴∠BAC＝∠B1A1C1，∠ACB＝∠A1C1B1，AC＝A1C1，∵①∠BAD＝∠B1A1D1，∴∠DAC＝∠D1A1C1，在△ADC和△A1D1C1中，，∴△ADC≌△A1D1C1（SSS），∴DC＝D1C1，∠ACD＝∠A1C1D1，∠D＝∠D1，∴∠BCD＝∠B1C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；故答案为：∠BAD＝∠B1A1D1，AD＝A1D1；（3）①连接BD、B1D1，如图2所示：同【初步思考】得：△ABD≌△A1B1D1（SAS），∴∠ABD＝∠A1B1D1，∠ADB＝∠A1D1B1，BD＝B1D1，∵∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，∴∠ADC＝∠A1D1C1，∴∠CBD＝∠C1B1D1，∠BDC＝∠B1D1C1，在△BCD和△B1C1D1中，，∴△BCD≌△B1C1D1（ASA），∴BC＝B1C1，CD＝C1D1，∴四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；②同①得：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；③同①得：四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；④不能证出四边形ABCD≌四边形A1B1C1D1；概括可得“全等四边形的判定方法”，这个判定方法是：有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等；故答案为：①②③，有一组邻边和三个角对应相等的两个四边形全等．。

2021-2022学年江西省南昌市八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）1.下列疫情防控宣传图片中，是轴对称图形的是()A. B.C. D.2.在△ABC中，∠A+∠B=∠C，则△ABC为()三角形．A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 无法确定3.如图，AC⊥BE于点C，DF⊥BE于点F，且BC=EF，如果添上一个条件后，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF，则这个条件应该是()A. AC=DEB. AB=DEC. ∠B=∠ED. ∠D=∠A4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，且BD=2，则AD的长为()A. 6B. 7C. 8D. 95.已知点A(m,2021)与点B(2020,n)关于x轴对称，则m+n的值为()A. 1B. −1C. 0D. 26.如图“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D、E可在槽中滑动，若∠BDE=72°，则∠CDE的度数是()A. 63°B. 65°C. 75°D. 84°二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）7.如图，点D为BC的延长线上一点，图中x的值为______．8.如图中的两个三角形全等，图中的字母a，b，c表示三角形的边长，则∠1的大小是______．9.如图，在△ABC中，BD是边AC上的高，CE平分∠ACB，交BD于点E，DE=2，BC=5，则△BCE的面积为______．10.如果一个正多边形每一个内角都等于144°，那么这个正多边形的边数是______．11.如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠1=25°，则∠C=______．12.在△ABC中，∠B=80°，过点A作一条直线，将△ABC分成两个新的三角形，若这两个三角形都是等腰三角形，则∠C的度数为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共64.0分）13.(1)如图1，在△ABC中，D是AB上一点，E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，ACD=35°，∠ABE=20°.求：∠BFD的度数．对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容(理由或数学式)．解：∵∠BDC=∠A+∠ACD(______)，∴∠BDC=62°+35°=97°(等量代换)．∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=______(______)，∴∠BFD=180°−∠BDC−∠ABE=180°−97°−20°=63°(等式的性质)．(2)如图2，把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠(长方形对边平行且相等，四个角是直角)，重合部分△FBD是个什么三角形？请证明你的结论．14.如示例图将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4×4的棋盘沿格线划分成两个全等图形(约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法)．15.如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B=40°，∠C=60°，求∠DAE的度数；(2)设∠B=α，∠C=β(α<β).请直接写出用α、β表示∠DAE的关系式______ ．16.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，BE，CD相交于点O，OB=OC．求证：(1)△BDO≌△CEO；(2)∠1=∠2．17.如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AB，交边AB于点D，交边AC于点E，BF垂直平分CE，交AC于点F，连接BE．(1)求证：AE=BC；(2)求∠A的度数．18.我们经常遇到需要分类的问题，画“树形图”可以帮我们不重复、不遗漏地分类．【问题提出】(1)在等腰三角形ABC中，若∠A=80°，根据下面分析、直接写出∠B的度数______．分析：∠A、∠B都可能是顶角或底角，因此需要分成如图所示的3类，这样的图就是树形图．请根据此分析、求出∠B的度数．【问题解决】(2)已知等腰三角形ABC周长为19，AB=7，仿照例题画出树形图，并求出BC的长度．19.如图1，为测量池塘宽度AB，可在池塘外的空地上取任意一点O，连接AO，BO，并分别延长至点C，D，使OC=OA，OD=OB，连接CD．(1)求证：AB=CD；(2)如图2，受地形条件的影响，于是采取以下措施：延长AO至点C，使OC=OA，过点C作AB的平行线CE，延长BO至点F，连接EF，测得∠CEF=140°，∠OFE=110°，CE=11m，EF=10m，请直接写出池塘宽度AB．20.在学习完第十二章后，张老师让同学们独立完成课本56页第9题：“如图1，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD=2.5cm，DE=1.7cm，求BE的长．”(1)请你也独立完成这道题；(2)待同学们完成这道题后，张老师又出示了一道题：在课本原题其它条件不变的前提下，将CE所在直线旋转到△ABC的外部(如图2)，请你猜想AD，DE，BE三者之间的数量关系，直接写出结论，不需证明．(3)如图3，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AC=BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC=∠ADC=∠BCA=α，其中α为任意钝角，那么(2)中你的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．21.(1)我们已经如道：在△ABC中，如果AB=AC，则∠B=∠C，下面我们继续研究：如图①，在△ABC中，如果AB>AC，则∠B与∠C的大小关系如何？为此，我们把AC 沿∠BAC的平分线翻折，因为AB>AC，所以点C落在AB边的点D处，如图②所示，然后把纸展平，连接DE.接下来，你能推出∠B与∠C的大小关系了吗？试写出说理过程．(2)如图③，在△ABC中，AE是角平分线，且∠C=2∠B．求证：AB=AC+CE．(3)在(2)的条件下，若点P，F分别为AE、AC上的动点，且S△ABC=15，AB=8，则PF+PC的最小值为______．答案和解析1.【答案】D【解析】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D.是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】B【解析】解：∵∠A+∠B=∠C，∠A+∠B+∠C=180°，∴2∠C=180°，解得∠C=90°．故选：B．根据三角形内角和定理直接解答即可．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．3.【答案】B【解析】解：AB=DE，可以直接利用“HL”来证明△ABC≌△DEF．∵AC⊥BE，DF⊥BE，∴∠ACB=∠DFE=90°，在Rt△ACB和Rt△DFE中，{BC=EFAB=DE，∴Rt△ACB≌Rt△DFE(HL)，故选：B．根据全等三角形的判定，利用HL即可得答案．本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法：SSS、ASA、SAS、AAS和HL是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，CD是△ABC的高，∴∠BCD=∠A=30°，∵BD=2，∴BC=4，∴AB=8，∴AD=AB−BD=6．故选：A．根据直角三角形的两锐角互余可证出∠BCD=∠A=30°，根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，即可求得AB的长，即可解题．本题考查了直角三角形中30°角所对直角边是斜边一半的性质，本题中求得AB的长是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：∵A(m,2021)与点B(2020,n)关于x轴对称，∴m=2020，n=−2021，则m+n=2020−2021=−1．故选：B．根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)，进而得出m，n的值，再代入所求式子计算即可．此题主要考查了关于x轴对称点的坐标性质，正确记忆关于坐标轴对称的坐标性质是解题关键．6.【答案】D【解析】解：∵OC=CD=DE，∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，∴∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，∵∠O+∠OED=3∠ODC=∠BDE=72°，∴∠ODC=24°，∵∠CDE+∠ODC=180°−∠BDE=108°，∴∠CDE=108°−∠ODC=84°．故选：D．根据OC=CD=DE，可得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，根据三角形的外角性质可知∠DCE=∠O+∠ODC=2∠ODC，进一步根据三角形的外角性质可知∠BDE=3∠ODC= 72°，即可求出∠ODC的度数，进而求出∠CDE的度数．本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，理清各个角之间的关系是解答本题的关键．7.【答案】60【解析】解：由三角形外角性质可得：x+70=x+x+10，解得：x=60，故答案为：60．根据三角形外角的性质得出方程解答即可．此题考查三角形外角性质，关键是根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．8.【答案】50°【解析】解：由三角形内角和定理可得，∠2=180°−60°−70°=50°，∵两个三角形全等，∴∠1=∠2=50°，故答案为：50°．根据三角形内角和定理求出∠2，根据全等三角形的性质解答即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．9.【答案】5【解析】【分析】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，作出辅助线求得三角形的高是解题的关键．作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求得EF=DE=2，然后根据三角形面积公式求得即可．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵CE平分∠ACB，BD⊥AC，EF⊥BC，∴EF=DE=2，∴S△BCE=12BC⋅EF=12×5×2=5．故答案为5．10.【答案】10【解析】【分析】设正多边形的边数为n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可．本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键．【解答】解：设正多边形的边数为n，由题意得，(n−2)⋅180°n=144°，解得n=10．故答案为：10．11.【答案】65°【解析】解：∵AB=AC，点D为BC边的中点，∴∠2=∠1=25°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∴∠C=90°−25°=65°，故答案为：65°．根据等腰三角形的性质得到∠2=∠1=25°，AD⊥BC，根据三角形的内角和定理即可得到结论．本题考查了等腰三角形的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12.【答案】10°或25°或40°【解析】解：设过点A且将△ABC分成两个等腰三角形的直线交BC于点D，分三种情况讨论．①当∠B为等腰△ADB的顶角时，如图1，×(180°−80°)=50°，∵∠BAD=∠BDA=12又∵△ADC是等腰三角形，DA=DC，∠ADB=25°；∴∠C=12②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时，如图2，∵AD=BD，∠B=80°，∴∠BAD=∠B=80°，∴∠ADB=180°−80°×2=20°，又∵△ADC是等腰三角形，DA=DC，∠ADB=10°；∴∠C=12③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时，如图3，则∠ADB=∠B=80°，又∵△ADC是等腰三角形，DA=DC，∠ADB=40°．∴∠C=12故答案为：10°或25°或40°．分三种情况讨论：①当∠B为等腰三角形的顶角时；②当∠ADB为等腰△ADB的顶角时；③当∠DAB为等腰△ADB的顶角时；综合三种情况即可．本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质等知识点的理解和掌握，灵活运用这些性质进行计算是解此题的关键．13.【答案】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和180°三角形的内角和为180°【解析】解：(1)∵∠BDC=∠A+∠ACD(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)，∴∠BDC=62°+35°=97°(等量代换)．∵∠BFD+∠BDC+∠ABE=180°(三角形的内角和为180°)，故答案为：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；180°；三角形的内角和为180°；(2)重合部分△FBD是等腰三角形，证明如下：∵把一个长方形的纸ABCD沿对角线折叠，∴∠CBD=∠EBD，∵AD//BC，∴∠CBD=∠FDB，∴∠EBD=∠FDB，∴BF=DF，∴△FBD是等腰三角形．(1)由推理填上相关依据即可；(2)由折叠可得∠CBD=∠EBD，而AD//BC可得∠CBD=∠FDB，故∠EBD=∠FDB，即得△FBD是等腰三角形．本题考查三角形内角和定理及应用，长方形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质．14.【答案】解：如图所示：．【解析】直接利用轴对称图形的性质结合全等图形的定义分析得出答案．此题主要考查了轴对称图形的性质，正确掌握全等图形的定义是解题关键．15.【答案】(1)∵∠B=40°，∠C=60°，∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−40°−60°=80°，∵AE是角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=12×80°=40°，∵AD是高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−40°=50°，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=50°−40°=10°；(2)12(β−α)．【解析】解：(1)见答案；(2)∵∠B=α，∠C=β(α<β)，∴∠BAC=180°−(α+β)，∵AE是角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=90°−12(α+β)，∵AD是高，∴∠BAD=90°−∠B=90°−α，∴∠DAE=∠BAD−∠BAE=90°−α−[90°−12(α+β)]=12(β−α)；故答案为：12(β−α)．【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠BAC，再根据角平分线的定义求出∠BAE，根据直角三角形两锐角互余求出∠BAD，然后求解即可．(2)同(1)即可得出结果．本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．16.【答案】证明：(1)∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BDO=∠CEO．在△BOD和△COE中，{∠BDO=∠CEO ∠DOB=∠EOC OB=OC，∴△BOD≌△COE(AAS)；(2)∵△BOD≌△COE，∴DO=EO，在Rt△AOD和Rt△AOE中，{OA=OAOD=OE，∴Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)，∴∠1=∠2．【解析】(1)由条件可证明△BOD≌△COE(AAS)；(2)证明Rt△AOD≌Rt△AOE(HL)，可得AD=AE．本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17.【答案】(1)证明：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BF垂直平分CE，∴BE=BC，∴AE=BC；(2)解：∵AE=BE，∴∠A=∠ABE，∵∠BEC=∠A+∠ABE，∴∠BEC=2∠A，∵BE=BC，∴∠C=∠BEC，∴∠C=2∠A，设∠A=x°，∠C=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=2x°，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180，解得：x=36，即∠A=36°．【解析】(1)根据线段垂直平分线的性质解答即可；(2)根据三角形内角和定理解答即可．此题考查线段垂直平分线的性质，关键是根据线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理解答．18.【答案】50°、80°或20°【解析】解：(1)当∠A=80°为顶角时，∠B为底角时，则∠B=50；当∠A=80°为底角时，∠B为底角时，则∠B=80°；当∠A=80°为底角时，∠B为顶角时，则∠B=20°；故答案为：50°、80°或20°；(2)树形图如下：当AB为底边，BC为腰时，BC=12×(19−7)=6；当AB为腰，BC为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19−2×7=5．综上所述，BC的长度是5、6或7．(1)根据给出的树状图分三种情况讨论，即可得出∠B的度数；(2)分三种情况：当AB为底边，BC为腰时，BC=12×(19−7)=6；当AB为腰，BC为腰时，BC=AB=7；当AB为腰，BC为底边时，BC=19−2×7=5．本题考查了等腰三角形的性质，求等腰三角形的角和边长的计算要注意分类讨论．19.【答案】证明：(1)在△ABO与△CDO中{OC=OA∠BOA=∠DOC OD=OB，∴△ABO≌△CDO(SAS)，∴AB=CD；(2)如图所示：延长OF、CE交于点G，∵∠CEF=140°，∠OFE=110°，∴∠FEG=40°，∠EFG=70°，∴∠G=180°−40°−70°=70°，∴EF=EG，∵CE=11m，EF=10m，∴CG=CE+EG=CE+EF=11+10=21m，∵CG//AB，∴∠A =∠C ，在△ABO 与△CGO 中{∠A =∠COA =OC ∠COG =∠AOB，∴△ABO≌△CGO(ASA)∴AB =CG =21m ．【解析】(1)根据全等三角形的判定和性质解答即可；(2)根据全等三角形的性质解答．此题考查全等三角形的应用，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．20.【答案】解：(1)∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E =∠ADC =90°，∴∠EBC +∠BCE =90°．∵∠BCE +∠ACD =90°，∴∠EBC =∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，{∠E =∠ADC ∠EBC =∠DCA BC =AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE =DC ，CE =AD =2.5．∵DC =CE −DE ，DE =1.7cm ，∴DC =2.5−1.7=0.8cm ，∴BE =0.8cm ；(2)AD +BE =DE ，证明：∵BE ⊥CE ，AD ⊥CE ，∴∠E =∠ADC =90°，∴∠EBC +∠BCE =90°．∵∠BCE +∠ACD =90°，∴∠EBC =∠DCA ．在△CEB 和△ADC 中，{∠E =∠ADC ∠EBC =∠DCA BC =AC，∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE=DC，CE=AD，∴DE=CE+DE=AD+BE；(3)、(2)中的猜想还成立，证明：∵∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°，∠DAC+∠ACB+∠ACD=180°，∠ADC=∠BCA，∴∠BCE=∠CAD，在△CEB和△ADC中，{∠BCE=∠CAD ∠BEC=∠CDA CB=CA，∴△CEB≌△ADC，∴BE=CD，EC=AD，∴DE=EC+CD=AD+BE．【解析】(1)(2)(3)方法相同，利用AAS定理证明△CEB≌△ADC，根据全等三角形的性质、结合图形解答．本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．21.【答案】154【解析】解：(1)∠C>∠B，理由如下：∵点C落在AB边的点D处，∴∠ADE=∠C，∵AC沿∠BAC的平分线翻折，∠ADE为△EDB的一个外角，∴∠ADE=∠B+∠DEB，∴∠ADE>∠B，即：∠C>∠B；(2)如图3，在AB上截取AD=AC，连接DE，∵AE是角平分线，∴∠BAE=∠CAE．在△ADE和△ACE中，{AD=AC∠BAE=∠CAE AE=AE∴△ADE≌△ACE(SAS)，∴∠ADE=∠C，DE=CE．∵∠ADE=∠B+∠DEB，且∠C=2∠B．∴∠B=∠DEB，∴DB=DE，∵AB=AD+DB，AD=AC，DB=DE=CE．∴AB=AC+CE．(3)如图4，在AB上截取AH=AF，连接CH，∵AH=AF，∠HAP=∠FAP，AP=AP，∴△AHP≌△AFP(SAS)，∴HP=PF，∴PF+PC=PH+PC，∴点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF+PC的值最小，∵S△ABC=15=12×AB×CH，AB=8，∴CH=154，∴PF+PC的最小值为15，4．故答案为：154(1)先根据图形折叠的性质得出∠ADE=∠C，再根据三角形外角的性质即可得出结论；(2)在AB上截取AD=AC，连接DE.由AE是角平分线，可得∠BAE=∠CAE，由“SAS”可证△ADE≌△ACE，所以∠ADE=∠C，DE=CE，由三角形外角的性质可知，∠ADE=∠B+∠DEB，再由∠C=2∠B可得出∠B=∠DEB，所以AB=AD+DB，AD=AC，DB= DE=CE，由此即可得出结论；(3)在AB上截取AH=AF，连接CH，由“SAS”可证△AHP≌△AFP，可得HP=PF，则PF+PC=PH+PC，即点P在线段CH上，且CH⊥AB时，PF+PC的值最小，由三角形面积公式可求解．本题是几何变换综合题，考查的是翻折变换，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

江西省南昌市十校联考2022-2023学年八年级上学期期中联考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形的边数为()A ．8B ．9C ．10D ．113．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30︒，则顶角的度数为（）A ．60︒B ．150︒C ．60︒或120︒D ．60︒或150︒4．如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且B C ∠=∠，则下列条件中，无法判定ABE ACD ≌的是（）A ．AD AE =B ．AB AC=C ．BE CD=D ．AEB ADC ∠=∠5．如图，=90ACD ∠︒，15D ∠=︒，B 点在AD 的垂直平分线上，若4AC =，则AB 为（）A ．4B ．6C ．8D ．106．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有()个.A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个二、填空题7．点()3,2A 关于y 轴对称的点的坐标是________．8．若等腰三角形的两边长分别为3cm 和8cm ，则它的周长是_________．9．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=_______．10．如图，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF ，若∠ABE=20°，那么∠EFC′的度数为______．11．如图，在MPN △中，H 是高MQ 和NR 的交点，且MQ NQ =，已知37PQ NQ ==，，则MH 的长为___________．12．已知:如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足，下列结论:①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC ；④AE=EC ，其中正确的是________(填序号)三、解答题(1)ABC EDF△≌△；∥．(2)AC EF15．如图，在所给网格图（每小格均为边长是（顶点均在格点上）关于直线(1)画出格点ABC(2)在DE上找出点Q，使QA16．在△ABC中，AB=AC17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数．（2）求证：FB ＝FE ．18．如图Rt △ABC 中，∠BAC =90°，∠C =30°，AD ⊥BC 于D ，BF 平分∠ABC ，交AD 于E ，交AC 于F ．(1)求证：△AEF 是等边三角形；(2)求证：BE =EF ．19．已知：90ACB AC BC AD CM BE CM ∠=︒=⊥⊥，，，，垂足分别为D ，E ．(1)如图1，①线段CD 和BE 的数量关系是__________；②请写出线段AD BE DE ，，之间的数量关系并证明；(2)如图2，请写出线段AD BE DE ，，之间的数量关系并证明20．小明在学习完“等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合”，继续探索，他猜想“如果三角形的一条角平分线是这个角对边上的中线，那么这个三角形是等腰三角形”并进行了证明．(1)请根据以上命题和图形写出已知和求证：已知：________________________________________________________(1)求证：AF AM =；(2)当t 取何值时，DFE △与22．在△ABC 中，AB =AC ，点在AD 的右侧．．作△ADE ，使（1）如图1，当点D 在线段（2）设BAC α∠=，BCE ∠①如图2，当点D 在线段BC ②当点D 在直线BC 上移动，则23．【阅读理解】如图1．在ABC 中，若AB 取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长将ACD 绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △(1)利用三角形的三边关系直接写出中线AD 的取值范围是(2)【问题解决】如图2，在ABC 中，D 是BC 边上的中点，AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ，求证：(3)【问题拓展】如图3，在ABC 中，90BAC ∠=︒，D。

南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试八年级（初二）数学试卷说明：本卷共有六个大题，23个小题，全卷满分120分，考试时间120分钟。

一、选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．2023年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．如图，是线段的垂直平分线，为直线上的一点，已知线段，则线段的长度为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33．下列计算正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．我国的纸伞工艺十分巧妙，如图，伞圈能沿着伞柄滑动，伞不论张开还是缩拢，伞柄始终平分同一平面内所成的角，为了证明这个结论，我们的依据是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，在Rt 中，是角平分线，，则的面积为（）CD AB P CD 5PA =PB 3332b b b ⋅=()()2222x x x +-=-22(2)4a a -=222()a b a b +=+D AP BAC ∠SAS SSS AAS ASAABC △90,C AF ∠=︒35,2AB CF ==AFB △A ．5 B． C ． D ．6．如图，在Rt 中，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为______________．8．分解因式：______________．9．如图所示，已知是上的一点，，请再添加一个条件：______________，使得．10．已知：，则______________．11．如图，等腰三角形的底边长为4，面积是14，腰的垂直平分线分别交于点，若点为底边的中点．点为线段上一动点，则的周长的最小值为______________．11．已知中，如果过顶点的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为的关于点的二分割线．如图1，Rt 中，显然直线是的关于点的二分割线．在图2的中，，若直线是的关于点154152132ABC △90C ∠=︒ABC △ABC △()2,5y 22ax ay -=P AD ABP ACP ∠=∠ABP ACP △≌△2,3m na a ==2m n a +=ABC BC AB EF ,AB AC E F 、D BC M EF BDM △ABC △B ABC △B ABC △BD ABC △B ABC △110ABC ∠=︒BD ABC △B的二分割线，则的度数是______________．三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（1）计算：（2）如图，点在一条直线上，，．求证：．14．先化简，再求值：，其中．15．如图所示，的顶点分别为．（1）画出关于直线（平行于轴且该直线上的点的横坐标均为2）对称的图形，则的坐标分别为（______________），（______________），（______________）；（2）求的面积．16．如果，那么我们规定，例如：因为，所以．（1）【理解】根据上述规定，填空：______________，______________；（2）【应用】若，试求之间的等量关系．17．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，仅CDB ∠()()424242y y y y +÷--,,,B E C F ,B DEF BE CF ∠=∠=A D ∠=∠AB DE =()()()2232a b ab b b a b a b --÷-+-1,12a b ==-ABC △()()()2,3,4,1,1,2A B C ---ABC △2x =y 111A B C △111,,A B C 1A 1B 1C 111A B C △nx y =(),x y n =239=()3,92=()2,8=()2,4=()()()4,12,4,5,4,60a b c ===,,a b c 66⨯ABC △用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图．（1）在图1中，作边上的中线；（2）在图2中，作边上的高．四、（本大题3小题，每小题8分，共24分）18．为了测量一幢高楼的高，在旗杆与楼之间选定一点．测得旗杆顶的视线与地面的夹角，测楼顶的视线与地面的夹角，量得点到楼底距离与旗杆高度相等，等于8米，量得旗杆与楼之间距离为米，求楼高是多少米？19．如图，甲长方形的两边长分别为，面积为；乙长方形的两边长分别为．面积为（其中为正整数）．（1）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积与图中的甲长方形面积的差（即）是一个常数，求出这个常数；（2）试比较与的大小．20．如图：已知等边中，是的中点，是延长线上的一点，且，垂足为．AC BH AC BD AB CD P C PC 17DPC ∠=︒A PA 73APB ∠=︒P PB 33DB =AB 1,7m m ++1S 2,4m m ++2S m S 1S 1S S -1S 2S ABC △D AC E BC ,CE CD DM BC =⊥M（1）试问和有何数量关系？并证明之；（2）求证：是的中点．五、（本大题2小题，每小题9分，共18分）21．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．（1）图2中的阴影部分的正方形的周长等于______________；（2）观察图2，请直接写出下列三个代数式之间的等量关系；（3）运用你所得到的公式，计算：若为实数，且，试求的值；（4）如图3，点是线段上的一点，以为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．22．课本再现：如图，一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等，我们把这种图形的变换叫全等变换．生活体验：（1）数学作图工具中有一个三角尺是等腰直角三角形，它的两个锐角相等，都是______________．问题解决：（2）如图1，在等腰直角三角形中，为边上的一点（不与点重合），连接，把绕点顺时针旋转后，得到，点与点恰好重合，连接．DM DE M BE 2a 2b 22(),(),a b a b ab +-m n 、3,4mn m n =-=m n +C AB AC BC 、8AB =1226S S +=︒AOB 90,,AOB AO BO C ∠=︒=AB ,A B OC AOC △O 90︒BOD △A B CD①填空：______________；______________．②若，求的度数．结论猜想：（3）如图1，如果是直线上的一点（不与点重合），其他条件不变，请猜想与的数量关系，并直接写出猜想结论．六、（本大题共12分）23．【探究发现】（1）如图1，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，则之间满足的数量关系是______________．【类比应用】（2）如图2，中，，点为的中点，分别为边上两点，若满足，试探究之间满足的数量关系，并说明理由．【拓展延伸】（3）在中，，点为的中点，分别为直线上两点，若满足，请直接写出的长．OC OD COD ∠=30AOC ∠=︒BDC ∠C AB ,A B AOC ∠BDC ∠ABC △,90AB AC BAC =∠=︒D BC E F 、AC AB 、90EDF ∠=︒AE AF AB 、、ABC △,120AB AC BAC =∠=︒D BC E F 、AC AB 、60EDF ∠=︒AE AF AB 、、ABC △5,120AB AC BAC ==∠=︒D BC E F 、AC AB 、1,60CE EDF =∠=︒AF南昌市2023—2024学年第一学期期中形成性测试八年级（初二）数学试卷参考答案一．选择题（共6小题）1.D2.B ．3.C ．4.B5.B6.C二．填空题（共6小题）7．（﹣2，5）．8． ． 9. ∠BAP=∠CAP 或∠APB=∠APC 或AP 平分∠BAC(答案不唯一) ．10. 12 11. 9． 12. 140°或90°或40°三．解答题13．（1）计算：解：（1）y 4+（y 2）4÷y 4﹣（﹣y 2）2＝y 4+y 8÷y 4﹣y 4＝y 4+y 4﹣y 4＝y 4；……………………3分（2）证明：∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF……………………1分在△ABC 和△EDF 中，∴△ABC ≌△DEF （AAS ），∴AB=DE……………………3分14.解：原式…………………1分…………………3分…………………4分将代入上式得，原式…………………6分15.，，，则为所求作的三角形，…………………4分如图所示：()()y x y x a -+⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠EF BC DEFB D A 22222()a ab b a b =----22222a ab b a b =---+2ab =-112a b ==-，12(1)2=-⨯⨯-1=()16,3A ()18,1B ()15,2C 111A B C △1111111111A B C DA C EB C FA B DEB F S S S S S =--- 矩形…………………6分16.解：（1）23＝8，（2，8）＝3，，（2，4）＝2，故答案为：3；2；……………………2分（2）证明：∵（4，12）＝a ，（4，5）＝b ，（4，60）＝c ，∴4a ＝12，4b ＝5，4c ＝60，∴4a ×4b ＝60，∴4a ×4b ＝4c ，∴a +b ＝c ；………………6分17.即中线BH 为所求 ………………3分即高BD 为所求 ………………6分18.，，，，………………2分在和中，，∴（ASA ）， (5)分11132132211222=⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯2=17CPD ∠=︒ 73APB ∠=︒90CDP ABP ∠=∠=︒73DCP APB ∴∠=∠=︒CPD ∆PAB ∆CDP ABP DC PBDCP APB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩CPD PAB ≅，米，米，………………7分（米)，答：楼高是25米．………………8分19.解：（1）图中的甲长方形周长为2（m +7+m +1）4＝4m +16，∴该正方形边长为m +4，∴S ﹣S 1＝（m +4）（m +4）﹣（m +1）（m +7）=(m 2+8m +16) -（m 2+8m +7）＝9，∴该正方形面积S 与图中的甲长方形面积S 1的差是一个常数9；……………4分（2）S 1＝（m +1）（m +7）＝m 2+8m +7，S 2＝（m +2）（m +4））＝m 2+6m +8，S 1﹣S 2＝（m 2+8m +7）﹣（m 2+6m +8）＝2m ﹣1，∵m 为正整数，∴2m ﹣1＞0，∴S 1＞S 2.……………………8分20.（1）DM 和DE 有何数量关系为：DE=2DM证明：∵三角形ABC 是等边△ABC ，∴∠ACB ＝∠ABC ＝60°，又∵CE ＝CD ，∴∠E ＝∠CDE ，又∵∠ACB ＝∠E +∠CDE ，∴∠E=∠ACB ＝30°；又∵∠DME=90°∴DE=2DM………………………4分（2）证明：连接BD ，∵等边△ABC 中，D 是AC 的中点，∴∠DBC=∠ABC ＝30°由（1）知∠E ＝30°∴∠DBC ＝∠E ＝30°∴DB ＝DE又∵DM ⊥BC∴M 是BE 的中点．………………………8分21.（1）阴影部分的正方形边长为a -b ，故周长为4(a -b )=4a -4b ；故答案：4a -4b ；………………………1分（2）大正方形面积可以看作四个矩形面积加阴影面积，故可表示为：4ab +(a -b )2，大正方形边长为a+b ，故面积也可表达为：(a +b )2，因此(a +b )2=(a -b )2+4ab ；故答案为:(a +b )2=(a -b )2+4ab ； (3)分为DP AB ∴=33DB = 8PB =33825AB ∴=-=AB（3）由(2)知：(m +n )2=(m -n )2+4mn ；………………………4分已知m -n =4，mn =-3；所以(m +n )2=42+4×(-3)=16-12=4；所以m +n =2或一2；………………………6分（4）设AC =a ，BC =b ；因为AB =8，S 1+S 2=26；所以a +b =8，a 2+b 2=26；因为(a +b )2=a 2+b 2+2ab ，所以64=26+2ab ，解得ab =19，由题意：∠ACF =90°，所以S 阴影=ab =，故答案为：．………………………9分22.解：（1）∵三角形的内角和为180°，等腰直角三角形的两个锐角相等，∴它的两个锐角都是；故答案为：．………………………1分（2）①根据旋转可得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，故答案为：．………………………3分②∵等腰直角三角形中，，∴，∵，∴∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴………………………7分（3）当在上时，1219219245︒45ACO BDO ≌AOC BOD ∠=∠OC OD=90COD AOB ∠=∠=︒COD △90=︒，AOB 90,AOB AO BO ∠=︒=45A ∠=︒30AOC ∠=︒105ACO ∠=︒ACO BDO≌105BDO ∠=︒COD △45CDO ∠=︒60BDC BDO CDO ∠=∠-∠=︒C AB∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；………………………8分当在的延长线上时，如图所示，∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；当在的延长线上，如图所示，∵，∵∴∵是等腰直角三角形，∴，∴即；………………………9分综上所述，或．23.（1）()180135ACO A AOC AOC ∠=︒-∠+∠=︒-∠ACO BDO≌135BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒90BDC BDO CDO AOC∠=∠-∠=︒-∠90AOC BDC ∠+∠=︒C BA 45ACO AOC ∠=︒-∠ACO BDO≌45BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒454590BDC BDO CDO AOC AOC ∠=∠+∠=︒+︒-∠=︒-∠90AOC BDC ∠+∠=︒C AB 180135ACO BAC AOC AOC ∠=-∠-∠=︒-∠ACO BDO≌135BDO AOC AOC∠=∠=︒-∠COD △45CDO ∠=︒()4513590BDC CDO BDO AOC AOC ∠=∠-∠=︒-︒-∠=∠-︒90AOC BDC ∠-︒=∠90AOC BDC ∠+∠=︒90AOC BDC ∠-︒=∠如图1，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠B ＝∠C ＝45°，∵D 为BC 中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD ＝∠CAD ＝45°，AD ＝BD ＝CD ，∴∠ADB ＝∠ADF +∠BDF ＝90°，∵∠EDF ＝∠ADE +∠ADF ＝90°，∴∠BDF ＝∠ADE ，∵BD ＝AD ，∠B ＝∠CAD ＝45°，∴△BDF ≌△ADE （ASA ），∴BF ＝AE ，∴AB ＝AF +BF ＝AF +AE ；故答案为：AB ＝AF +AE ；………………………2分（2）AE +AF＝AB ．理由是：………………………4分如图2，作AG=AD ，∵AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，点D 为BC 的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝60°，AD ⊥BC又∵AG=AD∴△AGD 为等边三角形∴DG ＝AG ＝AD∴∠GDA ＝∠BAD ＝60°，即∠GDF +∠FDA ＝60°，又∵∠FAD +∠ADE ＝∠FDE ＝60°，∴∠GDF ＝∠ADE ，在和中，12GDF ∆ADE ∆，∴（ASA ）∴GF ＝AE ，∵AD ⊥BC ，∠BAD=60°∴∠B=90°-60°=30°又∵∠AGD=60°∴∠GDB=∠AGD-∠B=60°-30°=30°∴BG=GD又∵GD=AG∴AG=BG∴AG＝AB ＝AF +FG ＝AE +AF ，∴AE +AF ＝AB ；………………………8分（3）当点E 在线段AC 上时，如图3，作AH=AD 同理可得△AD H 为等边三角形当AB ＝AC ＝5，CE ＝1，∠EDF ＝60°时，AE ＝4，此时F 在BA 的延长线上，∴∠DAF=180-∠BAD=180°-60°=120° ∠DHC=180-∠AHD=180°-60°=120°∴∠FAD=∠CHD=120°同（2）可得：△ADF ≌△HDE （ASA ），∴AF ＝HE ，同（2）可得：DH=HC ，AH=DH∴AH=HC∵AH ＝CH ＝AC ＝，CE ＝1，∴，GDF ADE DG ADAGD DAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩GDF ADE ≅ 1212125253122AF HE CH CE ==-=-=当点E 在AC 延长线上时，如图4，同理可得：；综上：AF 的长为或．………………………12分57122AF HE CH CE ==+=+=3272。

2020-2021学年江西省南昌市十校八年级（上）第一次联考数学试卷一、单选题（共18分）1．以下列数据为长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．2cm、3cm、5cm B．2cm、3cm、4cmC．3cm、5cm、9cm D．8cm、4cm、4cm2．如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（）A．12B．7C．2D．143．如图，△ABC中，AB＝AC，BE＝EC，直接使用“SSS”可判定（）A．△ABD≌△ACD B．△ABE≌△ACE C．△BED≌△CED D．△ABE≌△EDC 4．如图，在△ABC中，∠B＝46°，∠C＝54°，AD平分∠BAC，交BC于D，DE∥AB，交AC于E，则∠ADE的大小是（）A．45°B．54°C．40°D．50°5．如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C 的度数是（）A．15°B．20°C．25°D．30°6．如图，在锐角△ABC中，∠BAC＞∠C，BD，BE分别是△ABC的高和角平分线，点F 在CA的延长线上，FH⊥BE交BA，BD，BC于点T，G，H，下列结论：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠F=12(∠BAC−∠C)；④∠BGH＝∠ABD+∠EBH．其中正确的是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．①②③④二、填空题（共18分）7．一个三角形的三条边的长分别是5，7，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，3x﹣2，2y+1，若这两个三角形全等，则x+y的值是．8．如图，已知AD、DE、EF分别是△ABC，△ABD，△AED的中线，若S△ABc＝24cm2，则阴影部分△DEF的面积为cm2．9．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2﹣∠1＝．10．如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED＝°．11．三个全等三角形按如图的形式摆放，则∠1+∠2+∠3＝度．12．如图，三角形纸片ABC中，AB＝10cm，BC＝8cm，AC＝7cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使顶点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为cm．三、作图题（共6分）13．把大小4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如，图1，请在图2中，沿着虚线画出三种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形．四、解答题（共24分）14．如图，已知：BD ＝CE ，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且B 、C 、D 三点在一直线上，请填写∠2＝∠3的理由．解：在△ABD 与△ACE 中，BD ＝CE （已知），AB ＝AC （已知），AD ＝AE （已知）， 所以△ABD ≌△ACE所以∠B ＝∠ACE ∠BAD ＝∠ （ ）所以∠BAD ﹣∠CAD ＝∠ACE ﹣∠CAD （等式性质），即∠ ＝∠ ．因为∠ACD ＝∠B +∠1（ ）即∠3+∠ACE ＝∠B +∠1，所以∠1＝∠3（ ）．所以∠2＝∠3（等量代换）．15．若一个三角形的三边长分别是a ，b ，c ，其中a 和b 满足方程{4a +2b −18=04b −3a +8=0，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长．16．如图，在△ABC 中，BD ⊥AC 于D ，EF ⊥AC 于F ，且∠CDG ＝∠A ，求证：∠1+∠2＝180°17．如图，∠MON ＝90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，∠OAB 的平分线与∠OBA 的外角平分线交于点C ，试猜想：随着点A ，B 的移动，∠ACB 的大小是否发生变化，并说明理由．五、应用题（共24分）18．如图，点B，C，D在同一条直线上，∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，AB＝6，BC ＝8，CE＝10．（1）求△ABC的周长；（2）求△ACE的面积．19．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于点D，DF ⊥CE于点F，求∠CDF的度数．20．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．（1）如（图1），当AE⊥BC时，求证：DE∥AC．（2）若∠C＝2∠B，∠BAD＝x°（0＜x＜60）①如（图2），当DE⊥BC时，求x的值．②若∠DFE＝∠FDE，求x的值．六、综合题（共10分）21．直线MN与直线PQ垂直相交于O，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动，A、B不与点O重合，如图1，已知AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线，（1）点A 、B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出∠ACB 的大小．（2）如图2，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线PQ 上，则∠ABO ＝ ，如图3，将△ABC 沿直线AB 折叠，若点C 落在直线MN 上，则∠ABO ＝（3）如图4，延长BA 至G ，已知∠BAO 、∠OAG 的角平分线与∠BOQ 的角平分线及其延长线交于E 、F ，则∠EAF ＝；在△AEF 中，如果有一个角是另一个角的32倍，求∠ABO 的度数．。

2021-2022学年江西省南昌八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．3cm，4cm，9cm B．5cm，6cm，11cmC．4cm，5cm，6cm D．4cm，10cm，4cm3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°4．（3分）下列方法中，不能判定三角形全等的是（）A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS5．（3分）正六边形的每个内角都是（）A．60°B．80°C．100°D．120°6．（3分）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…，按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A2021B2021O 等于（）A．度B．度C．度D．度二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为．8．（3分）如图，线段AC与BD交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是．9．（3分）已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为．10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝25cm，则△DEB的周长为cm．11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有个．12．（3分）已知：P（0，4），PQ＝5，点Q在坐标轴上，则点Q的坐标为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．14．（6分）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边，若a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，求△ABC的周长．15．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．16．（6分）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在每一个图中，作出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形．（画两个，不能重复）17．（6分）如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P．求证：△ABM≌△BCN．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°，BC＝BD．（1）求证：△ABC≌△EBD；（2）求证：AF⊥DE．19．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC，交ED的延长线于点F．（1）若AD恰好平分BC．求证：DE＝DF；（2）若BC恰好平分∠ABF．求证：DE＝DF．20．（8分）如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，已知：∠APB＝135°．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）过点P作PH⊥AD交AC于点H，PH与BC的延长线相交于点F．求证：PA＝PF．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）在数学活动课上，小华用一块等腰直角三角板AEB进行探究：其中AE＝BE，∠AEB＝90°．【发现】如图1，小华把△AEB的直角顶点E放置在直线m上，使点A、B分别位于直线m的同侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，这时，小华通过观察发现△ACE与△EDB全等，请说明理由；【探究】小华借助发现中的结论，发现当点A、B位于直线的同侧时，线段AC、CD和BD之间满足一个等量关系，请你写出这个等量关系式，并说明理由；【拓展】如图2，小华把三角板的直角顶点E放在直线m上旋转，使点A、B分别位于直线m的两侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，请直接写出AC、CD和BD这三条线段之间的数量关系：．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，0），C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y 轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：△AOC≌△ABD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？六、解答题（本大题共12分）23．（12分）【概念学习】如图1，2，已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点：；②等腰直角三角形存在等角点：；③内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点：；④任意的三角形都存在等角点：；【深入理解】（2）如图1，点P是锐角△ABC的等角点，且△PBC与△ABC的三个内角分别相等，已知：若∠BAC＝50°，∠PBA＝∠PCA＝10°，求∠ABC的度数；（3）如图2，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PCB，探究∠BPC、∠ACB、∠ABP之间的数量关系，并说明理由．2021-2022学年江西省南昌八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项）1．（3分）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、是轴对称图形，故本选项正确；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）下列各组长度的线段能构成三角形的是（）A．3cm，4cm，9cm B．5cm，6cm，11cmC．4cm，5cm，6cm D．4cm，10cm，4cm【考点】三角形三边关系．【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．【解答】解：根据三角形的三边关系，得A、3+4＝7＜9，不能组成三角形，故此选项错误；B、5+6＝11，不能组成三角形，故此选项错误；C、4+5＞6，能够组成三角形，故此选项正确；D、4+4＜10，不能组成三角形，故此选项错误．故选：C．3．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．【分析】由对称得到∠C＝∠C′＝48°，由三角形内角和定理得∠B＝54°，由轴对称的性质知∠B＝∠B′＝54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠A＝78°，∠C＝∠C′＝48°，∴∠B＝180°﹣78°﹣48°＝54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B＝∠B′＝54°．故选：B．4．（3分）下列方法中，不能判定三角形全等的是（）A．SSA B．SSS C．ASA D．SAS【考点】全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定定理可直接得到答案．【解答】解：SSA不能判定三角形全等，故选：A．5．（3分）正六边形的每个内角都是（）A．60°B．80°C．100°D．120°【考点】多边形内角与外角．【分析】先利用多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正六边形的内角和，然后除以6即可；或：先利用多边形的外角和除以正多边形的边数，求出每一个外角的度数，再根据相邻的内角与外角是邻补角列式计算．【解答】解：（6﹣2）•180°＝720°，所以，正六边形的每个内角都是720°÷6＝120°，或：360°÷6＝60°，180°﹣60°＝120°．故选：D．6．（3分）如图，在射线OA，OB上分别截取OA1＝OB1，连接A1B1，在B1A1，B1B上分别截取B1A2＝B1B2，连接A2B2，…，按此规律作下去，若∠A1B1O＝α，则∠A2021B2021O 等于（）A．度B．度C．度D．度【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形两底角相等用α表示出∠A2B2O，依此类推即可得到结论．【解答】解：∵B1A2＝B1B2，∠A1B1O＝α，∴∠A2B2O＝α，同理∠A3B3O＝∠A2B2O＝α，∠A4B4O＝α，∴∠A n B n O＝α，∴∠A2021B2021O＝，故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．（3分）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为（2，﹣3）．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）得出即可．【解答】解：∵点P（2，3）∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．8．（3分）如图，线段AC与BD交于点O，且OA＝OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是∠A＝∠C，∠B＝∠D，OD＝OB，AB∥CD．【考点】全等三角形的判定．【分析】本题要判定△OAB≌△OCD，已知OA＝OC，∠AOB＝∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A＝∠C，∠B＝∠D，OD＝OB，AB∥CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD．【解答】解：∵OA＝OC，∠A＝∠C，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD（ASA）．∵OA＝OC，∠B＝∠D，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD（AAS）．∵OA＝OC，OD＝OB，∠AOB＝∠COD，∴△OAB≌△OCD（SAS）．∵AB∥CD，∴∠A＝∠C，∠B＝∠D（两直线平行，内错角相等），∵OA＝OC，∴△OAB≌△OCD（AAS）．故填∠A＝∠C，∠B＝∠D，OD＝OB，AB∥CD．9．（3分）已知等腰三角形的两个内角之和为100°，顶角度数为20°或80°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】题中没有指明这两个角是都是底角还是一个底角一个顶角，故应该分两种情况进行分析：100°是顶角和一底角的和；100°是两底角的和．【解答】解：①当100°是顶角和一底角的和，则另一个底角＝180°﹣100°＝80°，所以顶角＝100°﹣80°＝20°；②当100°是两底角的和，则顶角＝180°﹣100°＝80°；综上所述，此等腰三角形的顶角为：20°或80°．故答案为：20°或80°10．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，若BC＝25cm，则△DEB的周长为25cm．【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】证明△ACD≌△ECD，根据全等三角形的性质得到AC＝EC，AD＝ED，根据等腰直角三角形的性质得到BE＝DE，根据三角形的周长公式计算，得到答案．【解答】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD，在△ACD和△ECD中，，∴△ACD≌△ECD（AAS），∴AC＝EC，AD＝ED，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠B＝45°，∴BE＝DE，∴△DEB的周长＝DE+BE+BD＝AD+BD+BE＝AB+BE＝AC+BE＝EC+BE＝BC＝25cm，故答案为：25．11．（3分）如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个．【考点】等腰三角形的判定．【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【解答】解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．故答案为8．12．（3分）已知：P（0，4），PQ＝5，点Q在坐标轴上，则点Q的坐标为（3，0），（﹣3，0），（0，9），（0，﹣1）．【考点】点的坐标．【分析】分点P在x轴和y轴两种情况讨论解答即可．【解答】解：如图，当点P在x轴上时，点Q的坐标为（﹣3，0）或（3，0）；当点P在y轴上时，点Q的坐标为（0，9）或（0，﹣1）；故答案为：（3，0），（﹣3，0），（0，9），（0，﹣1）．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．（6分）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【考点】多边形内角与外角．【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．【解答】解：设这个多边形的边数是n，依题意得（n﹣2）×180°＝3×360°﹣180°，n﹣2＝6﹣1，n＝7．∴这个多边形的边数是7．14．（6分）已知a，b，c是等腰△ABC的三条边，若a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2＝0，求△ABC的周长．【考点】等腰三角形的性质；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方；三角形三边关系．【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据等腰三角形的性质以及三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c，再计算△ABC的周长即可求解．【解答】解：由题意知：a﹣7＝0，b﹣1＝0，解得a＝7，b＝1，∵a，b，c是等腰△ABC的三条边，∴c＝7，∴△ABC的周长＝7+7+1＝15．15．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠C＞∠B，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．若∠B＝30°，∠C＝50°，求∠DAE的度数．【考点】三角形内角和定理．【分析】在直角△ACD中，求得∠CAD，然后利用角平分线的定义求得∠CAE的度数，根据∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD可以求解．【解答】解：∵AD是高线，∴在直角△ACD中，∠CAD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°；∵在△ABC中，∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵AE是角的平分线，∴∠CAE＝∠CAB＝50°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝50°﹣40°＝10°．16．（6分）如图，在2×2的正方形格纸中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中△ABC是一个格点三角形．请在每一个图中，作出一个与△ABC 成轴对称的格点三角形．（画两个，不能重复）【考点】作图﹣轴对称变换．【分析】根据轴对称图形的概念作图即可．【解答】解：如图所示，△BDE和△AMN即为所求（答案不唯一）．17．（6分）如图，M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM 交BN于点P．求证：△ABM≌△BCN．【考点】全等三角形的判定．【分析】利用正五边形的性质得出AB＝BC，∠ABM＝∠C，再利用全等三角形的判定即可证明△ABM≌△BCN．【解答】证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB＝BC，∠ABM＝∠C，∴在△ABM和△BCN中，∴△ABM≌△BCN（SAS）．四、解答题（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）18．（8分）如图，△ABE为等腰直角三角形，∠ABE＝90°，BC＝BD．（1）求证：△ABC≌△EBD；（2）求证：AF⊥DE．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】（1）根据SAS即可证明；（2）利用全等三角形的性质即可解决问题．【解答】证明：（1）∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∵∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°，∴∠ABE＝∠EBD，在△ABC与△BDE中，，∴△ABC≌△EBD（SAS）．证明：（2）∵△ABC≌△EBD，∴∠BAC＝∠BED，∵∠BED+∠D＝90°，∴∠BAC+∠D＝90°，∴∠AFD＝90°，∴∠AFE＝90°，∴AF⊥DE．19．（8分）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，BF∥AC，交ED的延长线于点F．（1）若AD恰好平分BC．求证：DE＝DF；（2）若BC恰好平分∠ABF．求证：DE＝DF．【考点】平行线的性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）由已知条件可得DB＝DC，再由平行线的性质得∠CED＝∠BFD＝90°，从而有∠ACB＝∠FBC，则可证得△CDE≌△BDF，即有DE＝DF；（2）证明△ABC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质得到DB＝DC，根据全等三角形的判定定理和性质定理即可得到结论．【解答】证明：（1）∵AD恰好平分BC，∴DB＝DC，∵DE⊥AC，BF∥AC，∴∠CED＝∠BFD＝90°，∠ACB＝∠FBC，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（AAS），∴DE＝DF；（2）∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠FBC，∵BF∥AC，∴∠ACB＝∠FBC，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AD是△ABC的角平分线，∴DB＝DC，在△CDE和△BDF中，，∴△CDE≌△BDF（ASA），∴DE＝DF．20．（8分）如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P，已知：∠APB＝135°．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）过点P作PH⊥AD交AC于点H，PH与BC的延长线相交于点F．求证：PA＝PF．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】（1）根据直角三角形的判定解答即可；（2）根据ASA证明△ABP与△FBP全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵∠APB＝135°，∴∠PAB+∠PBA＝45°，∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠PAB＝∠PAC＝∠BAC，∠ABP＝∠PBC＝∠ABC，∴∠BAC+∠ABC＝2（∠PAB+∠PBA）＝90°，∴△ABC为直角三角形；（2）∵∠APB＝135°，∴∠BPD＝45°，∵PH⊥AD，∴∠APH＝∠FPD＝90°，∴∠BPF＝135°，，∴△ABP≌△FBP（ASA），∴PA＝PF．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21．（9分）在数学活动课上，小华用一块等腰直角三角板AEB进行探究：其中AE＝BE，∠AEB＝90°．【发现】如图1，小华把△AEB的直角顶点E放置在直线m上，使点A、B分别位于直线m的同侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，这时，小华通过观察发现△ACE与△EDB全等，请说明理由；【探究】小华借助发现中的结论，发现当点A、B位于直线的同侧时，线段AC、CD和BD之间满足一个等量关系，请你写出这个等量关系式，并说明理由；【拓展】如图2，小华把三角板的直角顶点E放在直线m上旋转，使点A、B分别位于直线m的两侧，作AC⊥m，BD⊥m，分别交直线m于点C、D，请直接写出AC、CD和BD这三条线段之间的数量关系：AC＝BD+CD．【考点】几何变换综合题．【分析】【发现】根据同角的余角相等，可证∠CAE＝∠BED，通过AAS即可证明△ACE ≌△EDB；【探究】由△ACE≌△EDB得，AC＝ED，CE＝BD，即可得出CD＝AC+BD；【拓展】同理可证△AEC≌△BED，则AC＝ED，EC＝BD，从而AC＝BD+CD．【解答】解：【发现】∵∠ACE＝∠BDC＝∠AEB＝90°，∴∠CAE+∠AEC＝90°，∠CEA+∠BED＝90°，∴∠CAE＝∠BED，，∴△ACE≌△EDB（AAS）；【探究】CD＝AC+BD，理由如下：∵△ACE≌△EDB，∴AC＝ED，CE＝BD，∵CD＝CE+DE，∴CD＝AC+BD；【拓展】AC＝BD+CD，理由如下：∵∠AEB＝∠ACE＝∠BDE＝90°，∴∠EAC＝90°﹣∠AEC，∠AEC＝90°﹣∠BED，∴∠EAC＝∠BED，又∵AE＝BE，∴△AEC≌△BED（AAS），∴AC＝ED，EC＝BD，∴AC＝BD+CD；故答案为：AC＝BD+CD．22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，3），B（2，0），C为x轴上点B右侧的动点，以AC为腰作等腰三角形ACD，使AD＝AC，∠CAD＝∠OAB，直线DB交y 轴于点P．（1）求证：AO＝AB；（2）求证：△AOC≌△ABD；（3）当点C运动时，点P在y轴上的位置是否发生改变，为什么？【考点】三角形综合题．【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，作AE⊥OB于点E，由SAS定理得出△AEO≌△AEB，根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）先根据∠CAD＝∠OAB，得出∠OAC＝∠BAD，再由SAS定理即可得出△AEO≌△AEB；（3）设∠AOB＝∠ABO＝α，由全等三角形的性质可得出∠ABD＝∠AOB＝α，故∠OBP ＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，再由OB＝2，∠POB＝90°可知OP的长度不变，故可得出结论．【解答】（1）证明：作AE⊥OB于点E，∵A（1，3），B（2，0），∴OE＝1，BE＝2﹣1＝1，∴OE＝EB，在△AEO与△AEB中，，∴△AEO≌△AEB（SAS），∴AO＝AB；（2）证明：∵∠CAD＝∠OAB，∴∠CAD+∠BAC＝∠OAB+∠BAC，即∠OAC＝∠BAD，在△AOC与△ABD中，，∴△AOC≌△ABD（SAS）；（3）解：点P在y轴上的位置不发生改变．理由：设∠AOB＝∠ABO＝α（定值），∵由（2）知，△AOC≌△ABD，∴∠ABD＝∠AOB＝α，∵OB＝2，∠OBP＝180°﹣∠ABO﹣∠ABD＝180°﹣2α为定值，∠POB＝90°，∴OP长度不变，∴点P在y轴上的位置不发生改变．六、解答题（本大题共12分）23．（12分）【概念学习】如图1，2，已知△ABC，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在△PAB、△PBC、△PAC中，如果存在一个三角形，其内角与△ABC的三个内角分别相等，那么就称点P为△ABC的等角点．【理解应用】（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①等边三角形存在等角点：假命题；②等腰直角三角形存在等角点：假命题；③内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点：真命题；④任意的三角形都存在等角点：假命题；【深入理解】（2）如图1，点P是锐角△ABC的等角点，且△PBC与△ABC的三个内角分别相等，已知：若∠BAC＝50°，∠PBA＝∠PCA＝10°，求∠ABC的度数；（3）如图2，点P是锐角△ABC的等角点，若∠BAC＝∠PCB，探究∠BPC、∠ACB、∠ABP之间的数量关系，并说明理由．【考点】三角形综合题．【分析】（1）根据点P为△ABC的等角点的定义判断即可；（2）分两种情形：当∠BAC＝∠PBC＝50°时，∠ABC＝60°．当∠BAC＝∠PCB＝50°时，分别求解即可；（3）结论：∠BPC＝∠ABP+∠ACB．利用三角形内角和定理，解决问题即可．【解答】解：（1）①等边三角形存在等角点，是假命题；②等腰直角三角形存在等角点，是假命题；③内角分别为30°、60°、90°的三角形存在等角点，是真命题；④任意的三角形都存在等角点，是假命题．故答案为：假命题，假命题，真命题，假命题；（2）当∠BAC＝∠PBC＝50°时，∠ABC＝60°．当∠BAC＝∠PCB＝50°时，∠ACB＝∠PCA+∠PCB＝10°+50°＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°，综上所述，满足条件的∠ABC＝60°或70°；（3）结论：∠BPC＝∠ABP+∠ACB．理由：∵∠BAC＝∠BCP，∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACB﹣∠PCB＝∠ABP+∠BAC+∠ACB﹣∠BAC＝∠ABP+∠ACB，∴∠BPC＝∠ABP+∠ACB．。

八年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．在平面直角坐标系中，有A（3，3）、B（3，﹣3）两点，则A与B关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称3．若△ABC中，2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的外角度数为何（）A．36B．72C．108D．1444．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC5．有四根长度分别为3，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则组成的三角形的周长（）A．最小值是11B．最小值是12C．最大值是14D．最大值是156．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．67．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个直角，那么打开以后的形状是（）A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝度．10．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝．11．一个等腰三角形的一个角为100°，则这个等腰三角形的底角的度数是．12．如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是．13．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，4）、B（4，2）两点，若在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是．14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是三、解答題（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．16．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？17．如图，在棋盘中有A（﹣1，1）、O（0，0）、B（1，0）三个棋子，若再添加一个棋子A、O、B、P四个棋子成为一个轴对称图形，请在三个图中分别画出三种不同的对称轴分别写出棋子P的坐标．18．如图，已知AD平分∠BAC，且∠1＝∠2．（1）求证：BD＝CD（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，∠CAB与∠BD的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．21．如图，AD平分∠BAC，且∠B+∠C＝180°（1）在图1中，当∠B＝90°时，求证：BD＝CD；（2）在图2中，当∠B＝60°时，求证：AB﹣AC＝BD；五、探究（本大题共1小题，共10分）22．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，每小题选对得3分，选错、不选或多选均得零分1．下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、B、D都是轴对称图形，C不是轴对称图形，故选：C．2．在平面直角坐标系中，有A（3，3）、B（3，﹣3）两点，则A与B关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称【解答】解：∵A（3，3）、B（3，﹣3）两点，∴A与B关于关于x轴对称，故选：A．3．若△ABC中，2（∠A+∠C）＝3∠B，则∠B的外角度数为何（）A．36B．72C．108D．144【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2（∠A+∠B+∠C）＝360°，∵2（∠A+∠C）＝3∠B，∴∠B＝72°，∴∠B的外角度数是180°﹣∠B＝108°，故选：C．4．如图，若△ABC≌△CDA，则下列结论错误的是（）A．∠2＝∠1B．AC＝CA C．∠B＝∠D D．BC＝DC【解答】解：∵△ABC≌△CDA，∴∠1＝∠2，AC＝CA，∠B＝∠D，BC＝AD，故只有选项D，BC＝DC错误．故选：D．5．有四根长度分别为3，4，5，x（x为正整数）的木棒，从中任取三根，首尾顺次相接都能组成一个三角形，则组成的三角形的周长（）A．最小值是11B．最小值是12C．最大值是14D．最大值是15【解答】解：由题意知，3，4，x和3，5，x都能组成三角形，∴2＜x＜7，∵x为正整数，∴x取3或4或5或6，要组成三角形的周长最小，即：x＝3时，三边为3，3，4，其最小周长为3+3+4＝10；要组成的三角形的周长最大，即：x＝6，三边为4，5，6，其周长最大值为4+5+6＝15．故选：D．6．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．7．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后剪去两个直角，那么打开以后的形状是（）A．六边形B．八边形C．十二边形D．十六边形【解答】解：此题需动手操作，因为剪去的角是直角，通过折叠可知是八边形．故选：B．8．如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，则∠P＝（）A．90°﹣αB．90°+αC．D．360°﹣α【解答】解：∵四边形ABCD中，∠ABC+∠BCD＝360°﹣（∠A+∠D）＝360°﹣α，∵PB和PC分别为∠ABC、∠BCD的平分线，∴∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠BCD）＝（360°﹣α）＝180°﹣α，则∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣α）＝α．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，则∠C＝70度．【解答】解：∵△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°．10．如图，若正五边形和正六边形有一边重合，则∠BAC＝132°．【解答】解：正五边形的内角为＝108°，正六边形的内角为＝120°，∠BAC＝360°﹣108°﹣120°＝132°，故答案为：132°．11．一个等腰三角形的一个角为100°，则这个等腰三角形的底角的度数是40°．【解答】解：∵100°为三角形的顶角，∴底角为：（180°﹣100°）÷2＝40°．故答案为：40°．12．如图，若AB⊥BC于点B，AE⊥DE于点E，AB＝AE，∠ACB＝∠ADE，∠ACD＝∠ADC＝70°，∠BAD＝60°，则∠BAE的度数是80°．【解答】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE，∴∠B＝∠E＝90°，在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（AAS），∴∠BAC＝∠EAD，∵∠ACD＝∠ADC＝70°，∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣40°＝20°，∴∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝∠BAD+∠BAC＝80°；故答案为：80°．13．在平面直角坐标系中，有A（﹣2，4）、B（4，2）两点，若在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（2，0）．【解答】解：作A关于x轴的对称点C，连接BC交x轴于P，连接AP，则此时AP+PB最小，即此时点P到点A和点B的距离之和最小，∵A（﹣2，4），∴C（﹣2，﹣4），设直线CB的解析式是y＝kx+b，把C、B的坐标代入得解得：k＝1，b＝﹣2，把y＝0代入得：0＝x﹣2，解得x＝2，即P的坐标是（2，0），故答案为（2，0）14．当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，则称此三角形为“倍角三角形”其中角α称为“倍角”．若“倍角三角形”中有一个内角为36°，则这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是36°或72°或96°【解答】解：设三角形的三个内角为∠A，∠B，∠C，当∠A＝36°，∠A是∠C的2倍，则∠C＝18°，如果∠B是∠C的2倍，∵∠B+∠C＝144°，∴∠B＝96°，∠C＝48°，如果∠B是∠A的2倍，∵∠B＝2∠A＝72°，∴这个“倍角三角形”的“倍角”的度数可以是36°，72°，96°，故答案为：36°或72°或96°．三、解答題（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，AB＝AC，BD＝CD．（1）求证：∠B＝∠C（2）若∠A＝2∠B，求证：∠BDC＝4∠C．【解答】（1）证明：连接AD并延长至E，如图所示：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠B＝∠C；（2）在△ABD中，∠BDE＝∠BAD+∠B，在△ACD中，∠CDE＝∠BAD+∠C，∴∠BDE＝+∠CDE＝∠BAD+∠CAD+∠B+∠C，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，∵∠BAC＝2∠B，∠B＝∠C，∴∠BDC＝4∠C．16．已知三角形的两边长为4和6，第三条边长x最小．（1）求x的取值范围；（2）当x为何值时，组成三角形周长最大？最大值是多少？【解答】解：（1）由三角形的构造条件，得2＜x＜10，∵x为最小，∴x的取值范围是2＜x≤4．（2）当x＝4时，三角形的周长最大，且最大值是4+6+4＝14．17．如图，在棋盘中有A（﹣1，1）、O（0，0）、B（1，0）三个棋子，若再添加一个棋子A、O、B、P四个棋子成为一个轴对称图形，请在三个图中分别画出三种不同的对称轴分别写出棋子P的坐标．【解答】解：如图所示，棋子P的坐标分别为（﹣1，﹣1），（2，1），（0，﹣1），（﹣1，2）．（答案不唯一）18．如图，已知AD平分∠BAC，且∠1＝∠2．（1）求证：BD＝CD（2）判断AD与BC的位置关系，并说明理由．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴BD＝CD；（2）解：AD⊥BC，理由如下：由（1）得：△ABD≌△ACD，∴AB＝AC，∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2，∠CAB与∠BD的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．【解答】证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∴∠B+∠C＝2∠P．20．在△ABC中，AB＝AC，点D在边BC上，点E在边AC上，且AD＝AE．（1）如图1，当AD是边BC上的高，且∠BAD＝30°时，求∠EDC的度数；（2）如图2，当AD不是边BC上的高时，请判断∠BAD与∠EDC之间的关系，并加以证明．【解答】解：（1）∵AD是边BC上的高，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∴AD是∠BAC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠BAD＝30°，∴∠CAD＝30°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠EDC＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°；（2）∠BAD＝2∠EDC，理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EDC，∴∠B+∠BAD＝∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝∠AED+∠∠EDC＝∠C+2∠EDC，∴∠BAD＝2∠EDC．21．如图，AD平分∠BAC，且∠B+∠C＝180°（1）在图1中，当∠B＝90°时，求证：BD＝CD；（2）在图2中，当∠B＝60°时，求证：AB﹣AC＝BD；【解答】（1）证明：∵B+∠C＝180°，∠B＝90°，∴∠C＝90°，∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD；（2）证明：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图2所示：则∠DEB＝∠DFC＝90°，∵∠B+∠ACD＝180°，∠DCF+∠ACD＝180°，∴∠B＝∠DCF，∵AD平分∠BAC，∴DE＝DF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴BD＝CD，BE＝CF，在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴AE＝AF，∴AB﹣AC＝AE+BE﹣（AF﹣CF）＝2BE，在Rt△BDE中，∠B＝60°，∴∠BDE＝30°，∴BE＝BD，即2BE＝BD，∴AB＝AC＝BD．五、探究（本大题共1小题，共10分）22．【问题探究】将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；【拓展延伸】（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．【解答】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；∵∠1＝∠A+∠EA′D，∴∠1＝2∠A；（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，由折叠知识可得：∠A＝∠A′，∴2∠A＝∠1+∠2；（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，理由：∵∠2+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，∴∠1﹣∠2＝2∠A；（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．11。

江西省南昌市第一中学等校联考2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷一、单选题1．纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（）A ．B ．C ．D ．2．下面各组线段中，能组成三角形的是（）A ．5，11，6B ．8，8，16C ．10，5，4D ．6，9，143．一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A ．4B ．5C ．6D ．74．等腰三角形的一个角是30︒，则它的底角是（）A ．30︒B ．30︒或75︒C ．75︒D ．65︒5．如图，由12∠=∠，BC DC =，AC EC =，得ABC EDC △≌△的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS 6．如图，ABC V 中，点E 、F 分别是BA BC 、延长线上一点，ABC ∠、EAC ∠的角平分线BP AP 、交于点P ，连接PC ，过点P 作PM BE ⊥，PN BC ⊥垂足分别是点M 、N ，则下列结论中正确的个数（）①CP 平分ACF ∠；②PC AP =；③AM CN AC +=；④2180ABC APC ∠+∠=︒．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题7．在平面直角坐标系中，点(1,5)P -关于x 轴对称点的点的坐标是．8．在Rt ABC 中，90C ∠=︒．若37A ∠=︒，则∠B 的度数为．9．如图，在ABC V 中，50,70A C ∠=︒∠=︒，BD 平分ABC ∠，则BDC ∠的度数是．10．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，DE 垂直平分AB 交BC 于点D ．若ACD 的周长为15cm ，则AC BC +=．11．如图，ABC 中，100AB AC BAC =∠=︒，，A 是BC 边上的中线，且BD BE =，则 ADE ∠=．12．如图，已知60MON ∠=︒，在射线OM 上取一点A ，过点A 作AB OM ⊥交ON 于点B ，以A 为端点画射线交线段OB 于点C （点C 不与点O 、点B 重合）．若AOC △中，有一个内角度数是另一个内角度数的2倍，则ACB ∠的度数是．三、解答题13．一个三角形的两边b ＝2，c ＝7．（1）当各边均为整数时，有几个三角形？（2）若此三角形是等腰三角形，则其周长是多少？14．如图，已知AB CD ∥，AC 平分BAD ∠．(1)求证：AD DC =；(2)若120D ∠=︒，AC CB ⊥，求B ∠的度数．15．放风筝是中国民间的传统游戏之一，风筝又称风琴，纸鹞，鹞子，纸鸢．如图1，小华制作了一个风筝，示意图如图2所示，AB AC =，DB DC =，他发现AD 不仅平分BAC ∠，且平分BDC ∠，你觉得他的发现正确吗？请说明理由．16．（1）如图1，已知BE CD ，是ABC V 的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出BAC ∠的平分线；（2）如图2，已知ABC DCB ∠=∠，且BD CA ，分别平分ABC ∠与DCB ∠，AC 与BD 相交于O ，请你仅用无刻度的直尺作出BOC ∠的平分线．17．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的三个顶点的坐标分别为(3,4)A -，(4,1)B -，(1,2)C -．(1)在图中作出ABC V 关于x 轴的对称图形111A B C △；(2)请直接写出点C 关于y 轴的对称点C '的坐标：；(3)在y 轴上找一点P ，使得PAC 周长最小．18．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，于点E（1）求证：△ACD ≌△AED ；（2）若∠B=30°，CD=1，求BD 的长．19．如图，点B 、C 、D 在同一条直线上，AB BD ⊥，DE BD ⊥，AC CE ⊥，AB CD =．(1)求证：ABC CDE △≌△．(2)若37ACB ∠=︒，求AED ∠的度数．20．如图，ABC V 为等边三角形，D 为BA 延长线上一点，连接CD ，以CD 为一边作等边三角形CDE ，连接AE ．(1)求证：BD AE =；(2)判断AE 与BC 的位置关系，并说明理由．21．如图1，在ABC V 中，AD 是它的角平分线．求证：ABD ACD S S ABAC =△△：：．(1)请你完成这道题的证明；(2)若添加一个条件2C B ∠∠＝，如图2，请同学们去探究线段AB AC CD 、、三者的数量关系，请猜想它们的数量关系，并完成证明过程．22．在ABC V 中，=60B ∠︒，D 是边AB 上的动点，过点D 作DE BC ∥交AC 于点E ，将ADE V 沿DE 折叠，点A 的对应点为点F ．(1)如图1，若点F 恰好落在边BC 上，判断BDF V 的形状，并证明；(2)如图2，若点F 落在ABC V 内，且DF 的延长线恰好经过点C ，CF EF =，求A ∠的度数；(3)若9AB =，当BDF V 是直角三角形时，直接写出AD 的长．23．CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E ，F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E ，F 在射线CD 上，请解决下面三个问题：①如图1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，则BCE ∠CAF ∠，BE CF ；（填“>”，“<”或“=”）；并证明这两个结论．②如图2，若80BCA ∠=︒，要使BCE ∠与CAF ∠有①中的结论，则α∠=．③如图2，若0180BCA ︒<∠<︒，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．(2)如图3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF ，BE ，AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．。

江西省南昌市2023-2024学年八年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．下列计算中，结果正确的是（）A ．22423x x x +=B ．248x x x ⋅=C ．3515x x x ⋅=D ．336x x x ⋅=3．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB AD =，BC DC =，将仪器上的点A 与PRQ ∠的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A 、C 画一条射线AE ，AE 就是PRQ ∠的平分线．此角平分仪的画图原理是（）A ．SSSB ．SASC ．ASAD ．AAS4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，∠B ＝30°，点P 是BC 边上的动点，则AP 长不可能是（）A ．1.8B ．2.2C ．3.5D ．3.85．如图，直线m 是ABC 中BC 边的垂直平分线，点P 是直线m 上的一动点．若5AB =，4AC =，6BC =，则APC △周长的最小值是（）A ．9B ．10C ．10.5D ．116．如图，在等边PQB △中，点A 为PQ 上一动点（不与P ，Q 重合），再以AB 为边作等边ABC ，连接PC ．有以下结论：①PB 平分ABC ∠；②AQ CP =；③PC QB ∥；④PB PA PC =+；⑤当BC BQ ⊥时，ABC 的周长最小．其中一定正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．③④⑤D ．②③④⑤二、填空题10．如图，在ABC 中，20cm AC =，DE 垂直平分AB ，垂足为DBC △的周长为35cm ，则BC 的长为．11．如图，已知ABC 的周长是18，OB ，OC 分别平分ABC ∠D ，且OD 2=，则ABC 的面积是．三、计算题13．（1）化简：()()()232231x x x -+--（2）先化简，后求值：()()()()221122x x x x x +--++-，其中24510x x +-=．四、解答题14．如图，AB AD =，DAC BAE ∠=∠，B D ∠=∠，求证BC DE =．15．将如图所示的长为21.510cm ⨯，宽为21.210cm ⨯，高为20.810cm ⨯的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．(1)求每块大理石的体积；（结果用科学记数法表示）(2)如果一列火车总共运送了4310⨯块大理石，共约重81.210⨯千克，求每块大理石约重多少千克？（结果用科学记数法表示）五、作图题16．在3×3的正方形格点图中，有格点ABC 和DEF ，且ABC 和DEF 关于某直线成轴对称，请在图中画出符合条件的DEF ．六、解答题⎛ ⎝（1）求所捂住的多项式；（2）若x =18．如图，在四边形连接BD ，CE （1）判断△（2）若AD 七、作图题19．如图所示，在平面直角坐标系中，已知()01A ，、()20B ，、()43C ，．(1)在平面直角坐标系中画出，则ABC的面积是______；ABC(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为______；(3)已知P为x轴上一点，若的面积为1，求点P的坐标．ABP八、解答题20．如图，Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝BC，点D是BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于点F．（1）求证：△ACD≌△CBF；（2）连结DF，求证：AB垂直平分DF；（3）连结AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．九、计算题a b+的正方形剪出两个边长分别为a，b的正方形（阴影部分）．观21．如图，将边长为()察图形，解答下列问题：(1)根据题意，用两种不同的方法表示阴影部分的面积，部分的面积．方法1：______，方法2：______；(2)从中你得到什么等式？______(3)运用你发现的结论，解决下列问题：①已知6x y +=，132xy =②已知()(220212024x x -+-十、解答题22．如图，在ABC 中，AB 点B 、C 重合），连接AD ，作(1)当115BDA ∠=︒时，EDC ∠=(2)线段DC 的长度为何值时，(3)在点D 的运动过程中，ADE V 数；若不可以，请说明理由．十一、问答题23．对于平面直角坐标系xOy 中的线段MN 及点Q ，给出如下定义：若点Q 满足QM QN =，则称点Q 为线段MN 的“中垂点”；当QM QN MN ==时，称点Q 为线段MN 的“完美中垂点”．。

2022-2023学年江西省南昌市八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内．1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（）A．30°B．45°C．90°D．60°3．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3 4．如图，在△ABC和△DBC中，若∠ACB＝∠DCB，当添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DBC，则添加的这个条件是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DC C．∠ABC＝∠DBC D．AB＝DB5．若三角形的三边长分别为3，5，x，且x为奇数，则x的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个6．如图，五边形ABCDE中有一个等边三角形ACD，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝（）A．130°B．125°C．120°D．115°7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．三角形三个内角的比是1：3：5，则最大的内角是．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（2，1），则点C 的坐标是．11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为．12．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝35°，则∠β的度数是．13．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是．14．在△ABC中，∠A＝80°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数可以是．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°．（1）求∠CAD的度数；（2）求∠BAC的度数．16．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线条数．17．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图：（1）在图①中，作BC的中点P；（2）在图②中，过点C作AD的垂线．18．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且a，b满足关系式|a﹣3|+＝0．（1）求a，b的值；（2）若c是方程|x﹣2|＝1的解，判断△ABC的形状？并说明理由．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．在平面直角坐标系中，有点A（a，3）、点B（﹣2，b）．（1）当A、B两点关于直线x＝﹣1对称时，求AB的长；（2）当线段AB∥y轴，且AB＝4时，求△AOB的面积．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．21．如图，已知OA＝12，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°．（1）当△AOP是等边三角形时，求OP的长；（2）当△AOP是直角三角形时，求OP的长．五、探究题（本大题共1小题，共10分）22．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）如图1，点E、F分别为线段AB、AC上的点，当BE＝AF时，易得△DEF为三角形；（2）如图2，若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且BE＝AF，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论；（3）如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段AB、AC分别交于点E、F，请判断△DEF的形状，并证明你的结论．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确答案的代号填入题后的括号内．1．下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．解：A、不是轴对称图形，故此选项符合题意；B、是轴对称图形，故此选项不合题意；C、是轴对称图形，故此选项不合题意；D、是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．2．三角形三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，且x＞y＞0，则该三角形有一个内角为（）A．30°B．45°C．90°D．60°【分析】根据三角形内角和为180°，将三个内角相加即可求得x的值，即可解题．解：∵三个内角的度数分别是（x+y）°，（x﹣y）°，x°，三角形内角和为180°，∴x+y+x﹣y+x＝180，∴3x＝180，x＝60，故选：D．【点评】本题考查了三角形内角和为180°的性质，本题中求得x的值是解题的关键．3．在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3【分析】直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．故选：B．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．4．如图，在△ABC和△DBC中，若∠ACB＝∠DCB，当添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DBC，则添加的这个条件是（）A．∠A＝∠D B．AC＝DC C．∠ABC＝∠DBC D．AB＝DB【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．解：在△ABC和△DBC中，∠ACB＝∠DCB，BC＝BC，A、添加∠A＝∠D，利用AAS判定△ABC≌△DBC，故A不符合题意；B、添加AC＝DC，利用SAS判定△ABC≌△DBC，故B不符合题意；C、添加∠ABC＝∠DBC，利用ASA判定△ABC≌△DBC，故C不符合题意；D、添加AB＝DB，无法判定△ABC≌△DBC，故D符合题意；故选：D．【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．5．若三角形的三边长分别为3，5，x，且x为奇数，则x的值有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边，进而得出答案．解：∵三角形三边长分别为3，5，x，∴5﹣3＜x＜5+3，即2＜x＜8，∵x为奇数，∴x＝3，5，7．故选：C．【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确把握三角形三边关系定理是解题关键．6．如图，五边形ABCDE中有一个等边三角形ACD，若AB＝DE，BC＝AE，∠E＝115°，则∠BAE＝（）A．130°B．125°C．120°D．115°【分析】根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等，进而得出∠B＝∠E，利用多边形的内角和解答即可得出答案．解：∵△ACD是正三角形，∴AC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝∠CAD＝60°，在△ABC与△AED中，∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠B＝∠E＝115°，∠ACB＝∠EAD，∠BAC＝∠ADE，∴∠ACB+∠BAC＝∠BAC+∠DAE＝180°﹣115°＝65°，∴∠BAE＝∠BAC+∠DAE+∠CAD＝65°+60°＝125°，故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC与△AED全等．7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．解：当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．【点评】本题考查的是关于x轴、y轴对称的点的坐标和坐标确定位置，掌握平面直角坐标系内点的坐标的确定方法和对称的性质是解题的关键．8．如图，∠x的两条边被一直线所截，用含α和β的式子表示∠x为（）A．α﹣βB．β﹣αC．180°﹣α+βD．180°﹣α﹣β【分析】根据β为角x和α的对顶角所在的三角形的外角，再根据三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和解答．解：如图，∵α＝∠1，∴β＝x+∠1，整理得：x＝β﹣α．故选：B．【点评】本题主要利用三角形外角的性质求解，需要熟练掌握并灵活运用．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9．三角形三个内角的比是1：3：5，则最大的内角是100°．【分析】三角形的内角和为180°，进一步直接利用按比例分配求得份数最大的角即可．解：设最大角为5x，则另两个角为3x，x．则5x+3x+x＝180°，∴x＝20°，最大角5x为100°．故答案为：100°．【点评】本题考查了三角形内角和定理．解题时，通过设适当的参数，根据三角形内角和定理建立方程，求出最大角．10．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（2，1），则点C 的坐标是（﹣1，2）．【分析】如图，过点C作CD⊥x轴，过点A作AE⊥x轴，由“AAS”可证△AOE≌△OCD，可得DO＝AE＝1，CD＝OE＝2，即可求解．解：如图，过点C作CD⊥x轴，过点A作AE⊥x轴，∵点A的坐标是（2，1），∴AE＝1，OE＝2，∵四边形OABC是正方形，∴AO＝CO，∠AOC＝90°，∴∠AOE+∠COD＝90°，且∠AOE+∠OAE＝90°，∴∠COD＝∠OAE，且AO＝CO，∠AEO＝∠CDO＝90°，∴△AOE≌△OCD（AAS）∴DO＝AE＝1，CD＝OE＝2，∴点C坐标为（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∠B＝60°，∠C＝25°，则∠BAD的度数为70°．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出∠DAC的度数，根据三角形内角和定理求出∠BAC，即可得出答案．解：∵DE是AC的垂直平分线且分别交BC，AC于点D和E，∴AD＝CD，∴∠C＝∠DAC，∵∠C＝25°，∴∠DAC＝25°，∵在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝25°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝95°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝95°﹣25°＝70°，故答案为：70°．【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AD＝CD是解此题的关键．12．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝80°，∠B＝60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α＝35°，则∠β的度数是45°．【分析】延长AE，BF交于点C′，连接CC′，只要证明α+β＝2∠ECF即可解决问题．解：延长AE，BF交于点C′，连接CC′．∵α＝∠ECC′+∠EC′C，β＝∠FCC′+∠FC′C，∴α+β＝∠ECC′+∠EC′C+∠FCC′+∠FC′C＝∠ECF+∠EC′F＝2∠ECF，∵∠ECF＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣80°﹣60°＝40°，∴α+β＝80°，∵α＝35°，∴β＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查了翻折变换、三角形内角和定理，熟练掌握翻折性质是解题的关键．13．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（0，3）．【分析】根据轴对称做最短路线得出AE＝B′E，进而得出B′O＝C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（﹣3，0），AE＝4，则B′E＝4，即B′E＝AE，∵C′O∥AE，∴B′O＝C′O＝3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故答案为（0，3）．【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键．14．在△ABC中，∠A＝80°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B的度数可以是50°或20°或80°．【分析】由已知条件，根据题意，分两种情况讨论：①∠A是顶角；②∠A是底角，③∠A＝∠C＝80°，利用三角形的内角和进行求解．解：①∠A是顶角，∠B＝（180°﹣∠A）÷2＝50°；②∠A、∠B是底角，∠B＝∠A＝80°；③∠A、∠C是底角，∠A＝∠C＝80°，则∠B＝180°﹣80°×2＝20°，∴要使△ABC是等腰三角形，∠B的度数为50°或20°或80°，故答案为：50°或20°或80°．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）15．如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠1＝∠2，∠C＝65°．（1）求∠CAD的度数；（2）求∠BAC的度数．【分析】（1）由垂直可得∠ADB＝∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理即可求∠CAD 的度数；（2）由三角形的内角和可求得∠1+∠2＝90°，结合条件可求得∠2，从而可求∠BAC的度数．解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵∠C＝65°，∴∠CAD＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝25°；（2）∵∠ADB＝90°，∴∠1+∠2＝180°﹣∠ADB＝90°，∵∠1＝∠2，∴2∠2＝90°，解得∠2＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠2﹣∠C＝50°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．16．已知一个多边形的内角和是外角和的2倍．（1）求这个多边形的边数；（2）求这个多边形的对角线条数．【分析】（1）设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和是（n﹣2）•180°，外角和是360°，列出方程，求出n的值即可；（2）根据对角线的计算公式即可得出答案．解：（1）设这个多边形的边数为n，根据题意，得：（n﹣2）×180°＝360°×2，解得n＝6，答：这个多边形的边数是6；（2）六边形的对角线条数为：×6×（6﹣3）＝9（条），答：这个多边形对角线为9条．【点评】本题考查了对多边形内角和定理和外角和的应用，注意：边数是n的多边形的内角和是（n﹣2）•180°，外角和是360°．17．如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图：（1）在图①中，作BC的中点P；（2）在图②中，过点C作AD的垂线．【分析】（1）连接AE交BC于P点，证明△ABP和△ECP全等可判断P点满足条件；（2）连接AE和BD，它们相交于Q点，则CQ⊥AD．解：（1）如图①所示，点P即为所求．（2）如图②，CQ即为所求．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等边三角形的性质．18．已知a，b，c分别是△ABC的三边长，且a，b满足关系式|a﹣3|+＝0．（1）求a，b的值；（2）若c是方程|x﹣2|＝1的解，判断△ABC的形状？并说明理由．【分析】（1）根据绝对值和算术平方根的非负数性质可得答案；（2）根据绝对值的定义可得C的值，进而判断出△ABC的形状．解：（1）∵|a﹣3|+＝0，|a﹣3|≥0，，≥0，∴a﹣3＝0，b﹣4＝0，解得a＝3，b＝4；（2）ABC是等腰三角形，理由如下：∵|x﹣2|＝1，∴x﹣2＝1或﹣1，解得x＝3或1（不合题意，舍去），∴c＝3，又∵a＝3，b＝4，∴ABC是等腰三角形．【点评】本题考查了二次根式的性质，偶次方，等腰三角形的判定定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．在平面直角坐标系中，有点A（a，3）、点B（﹣2，b）．（1）当A、B两点关于直线x＝﹣1对称时，求AB的长；（2）当线段AB∥y轴，且AB＝4时，求△AOB的面积．【分析】（1）利用对称的性质得A、B的纵坐标相同，a﹣（﹣1）＝﹣1﹣（﹣2），从而得到b＝3，a＝0，即A（0，3）、B（﹣2，3），即可得AB的长；（2）利用AB∥y轴得到A、B的横坐标相同，则a＝﹣2，然后根据三角形面积公式求解．解：（1）∵A、B关于直线x＝﹣1对称，∴A、B的纵坐标相同，a﹣（﹣1）＝﹣1﹣（﹣2），∴b＝3，a＝0，即A（0，3）、B（﹣2，3），∴AB＝2；（2）当线段AB∥y轴时，有A、B的横坐标相同，∴a＝﹣2，∵AB＝4，∴S△AOB＝×4×2＝4．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称：关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数．20．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．【分析】（1）根据角平分线的性质“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即DE＝CD，再根据HL证明Rt△CDF≌Rt△EBD，从而得出CF＝EB；（2）设CF＝x，则AE＝12﹣x，再根据题意得出Rt△ACD≌Rt△AED，进而可得出结论．【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．21．如图，已知OA＝12，P是射线ON上一动点，∠AON＝60°．（1）当△AOP是等边三角形时，求OP的长；（2）当△AOP是直角三角形时，求OP的长．【分析】（1）根据等边三角形的性质可求解；（2）可两种情况：当∠APO＝90°时，当∠OAP＝90°时，利用含30°的角的直角三角形的性质可求解．解：（1）∵∠AON＝60°，△AOP为等边三角形，∴OP＝OA＝12；（2）当∠APO＝90°时，∵∠AON＝60°，∴∠OAP＝30°，∵OA＝12，∴OP＝OA＝6；当∠OAP＝90°时，∵∠AON＝60°，∴∠APO＝30°，∴OP＝2OA＝24，，∴当OP＝6或24时，△AOP为直角三角形．【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，分类讨论是解题的关键．五、探究题（本大题共1小题，共10分）22．已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）如图1，点E、F分别为线段AB、AC上的点，当BE＝AF时，易得△DEF为等腰直角三角形；（2）如图2，若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且BE＝AF，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立，请证明这个结论；（3）如图3，若把一块三角尺的直角顶点放在点D处转动，三角尺的两条直角边与线段AB、AC分别交于点E、F，请判断△DEF的形状，并证明你的结论．【分析】（1）如图1中，连接AD，证明△BDE≌△ADF（SAS），可得结论；（2）结论成立，证明方法类似；（3）结论：△DEF是等腰直角三角形．证明△BDE≌△ADF（ASA），可得结论．解：（1）如图1中，连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠DAF＝45°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴∠BDE＝∠ADF，DE＝DF，∴∠EDF＝∠BDA＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形．故答案为：等腰直角；（2）（1）中结论成立．理由：如图2中，连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC，∠ABD＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠ABD＝∠DAC＝45°，∴∠DBE＝∠DAF＝135°，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴∠BDE＝∠ADF，DE＝DF，∴∠EDF＝∠BDA＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形．（3）结论：△DEF是等腰直角三角形．理由：如图3中，连接AD．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝DC，∴AD⊥CB，AD＝DB＝DC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠DAF＝45°，∵∠BDA＝∠EDF＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴DE＝DF，∴△DEF是等腰直角三角形．【点评】本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，则有中考常考题型．。

2019-2020学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共6小题）1．计算a3÷a，结果是（）A．a B．a2C．a3D．a42．下列图形中，一定是轴对称图形是（）A．B．C．D．3．下列计算正确的是（）A．（x+y）2＝x2+y2B．（x﹣y）2＝x2﹣2xy﹣y2C．（x+2y）（x﹣2y）＝x2﹣2y2D．（﹣x+y）2＝x2﹣2xy+y24．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB5．下列命题是假命题的是（）A．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上B．等边三角形是轴对称图形，且有三条对称轴C．Rt△ABC和Rt△DEF，∠C＝∠F＝90°．若∠A＝∠D，AB＝DE，则Rt△ABC≌Rt△DEFD．在△ABC和△DEF中，若∠C＝∠F．∠B＝∠E，∠A＝∠D，则△ABC≌△DEF6．如图1是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图2那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积为（）A．ab B．（a+b）2C．（a﹣b）2D．a2﹣b2二．填空题（共6小题）7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是（只填序号）．8．观察本题图案，若图案中最大圆的直径是4，则阴影部分的面积和等于．（结果保留π）9．如图，直线AB右边是计算器上的数字“2”，请在图中画一个图形使它与数字“2”关于直线AB对称．10．已知点P1与P2，P2与P3分别关于y轴和x轴对称，若点P1在第一象限，则点P3在第象限．11．如图1、2，小明为了测出塑料瓶直壁厚度，由于不便测出塑料瓶的内径，小明动手制作一个简单的工具（如图2，AC＝BD，O为AC、BD的中点）解决了测瓶的内径问题，测得瓶的外径为a、图2中的刀DC长为b，瓶直壁厚度x＝（用含a，b的代数式表示）．12．若（a﹣2）5﹣a＝1，则a＝．三．解答题（共14小题）13．（1）2[（a3）3÷（﹣a2）2]+（﹣2a）2（﹣a）3（2）先化简，再求值：（a+b）2﹣（a﹣b）2，其中a＝2，b＝3．14．如图给出下列五个等量关系①AB＝AC；②BD＝CD；③∠BAD＝∠CAD；④∠B＝∠C＝90°；⑤∠BDA＝∠CDA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，写出一个正确命题（只需写出一种情况），并加以证明．解：我选作为题设的等量关系是：、；作为正确结论的等量关系是．证明：15．如图，在矩形ABDE和矩形AGHF中，各分出正方形CDEF、正方形BGHC，矩形ABCF的周长是14cm，若正方形CDEF和正方形BGHC的面积之和为29cm2，求矩形ABCF的面积．16．在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标如图所示，（1）请你在图中先作出△ABC关于直线m（直线m上点的横坐标均为﹣1）对称图形△A1B1C1，再作出△A1B1C1关于直线n（直线n上点的纵坐标均为2）对称图形△A2B2C2；（2）线段BC上有一点M（a，b），点M关于直线m的对称点为N，点N关于直线的n的对称点为E，求N、E的坐标（用含a，b的代数式表示）．17．在图1中，已知AB＝AC，EB＝FC，在图2中，五边形ABCDE是正五边形，请你只用无刻度的直尺分别画出两个图中的一条对称轴．18．如图，在等边△ABC中，过A，B，C三点在三角形内分别作∠1＝∠2＝∠3，三个角的边相交于D，E，F，（1）你认为△DEF是什么三角形？并证明你的结论；（2）当∠1，∠2，∠3三个角同时逐渐增大仍保持相等时，△DEF会发生什么变化？试说明理由．19．如图，在△ABC和△ADE中，点P是线段BC上的动点（P不与B、C重合），且AD经过P点；已知∠B＝∠D＝30°，BC＝DE，AB＝AD＝10，∠PAC的平分线与∠ACB的平分线交于O．（1）∠BAD与∠CAE相等吗？说明其理由；（2）若AP长为m，请用含m的代数式表示线段PD的长，并求PD的最大值；（3）当∠BAC＝90°时，α°＜∠AOC＜β°，那么α＝，β＝．20．如图，△ABC中，AB＝AC．O是△ABC内一点，OD是AB的垂直平分线，OF⊥AC，且OD ＝OF．（1）当∠OAC＝27°时，求：∠OBC的度数．（2）求证：AF＝CF．21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在边AC上，将△ABD沿BD（对称轴）翻折，点A落在点E处，连接AE，CE．（1）如图1，当∠AEC＝90°时，求证：CD＝AD；（2）当点E落在BC边所在直线上，且∠AEC＝60°时．①猜想△BAE是什么三角形并证明；②试求线段CD、AD之间的数量关系．22．如图1，△ABC和△DEF是两块可以完全重合的三角板，∠BAC＝∠DEF＝90°，∠ABC ＝∠DEF＝30°．在图1所示的状态下，△DEF固定不动，将△ABC沿直线a向左平移．（1）当△ABC移到图2位置时，连解AF、DC，求证：AF＝DC；（2）若EF＝8，在上述平移过程中，试问点C距点E多远时，线段AD被直线a垂直平分？并证明你的猜想．23．如下图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH ⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．（1）在图1中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝，BH＝；（2）在图2中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝，BH＝；（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图3中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．24．我们已经学习过多项式除以单项式，多项式除以多项式一般可用竖式计算，步骤如下：①把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐；②用被除式的第一项除以除式第一项，得到商式的第一项；③用商式的第一项去乘除式，把积写在被除式下面（同类项对齐），消去相等项；④把减得的差当作新的被除式，再按照上面的方法继续演算，直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止，被除式＝除式×商式+余式．若余式为零，说明这个多项式能被另一个多项式整除．例如：计算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用竖式除法如图：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式为3x3﹣5x2+2x﹣1，余式为0．根据阅读材料，请回答下列问题（直接填空）：（1）（2x3+x﹣3）÷（x﹣1）＝；（2）（4x2﹣4xy+y2+6x﹣3y﹣10）÷（2x﹣y+5）＝；（3）[（x﹣2）（x﹣3）+1]÷（x﹣1）的余式为；（4）x3+ax2+bx﹣15能被x2﹣2x+3整除，则a＝，b＝．25．如图，已知等腰△ABC，∠BAC＝120°，AD⊥BC于D点，点P为BA延长线上一点，点O是线段AD上一点，若AC＝AO+AP．（1）求证：∠APO＝∠OCA；（2）求证：△OCP是等边三角形．26．在图1、2中，已知∠ABC＝120°，BD＝2，点E为直线BC上的动点，连接DE，以DE 为边向上作等边△DEF，使得点F在∠ABC内部，连接BF．（1）如图1，当BD＝BE时，∠EBF＝；（2）如图2，当BD≠BE时，（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明，若不成立请说明理由；（3）请直接写出线段BD，BE，BF之间的关系式．。

第一学期南昌市初中十校期中联考初二数学试卷一、选择题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）1.低碳环保理念深入人心，共享单车已成为出行新方式下列共享单车图标，是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.从一个多边形的任何一个顶点出发都只有 5 条对角线，则它的边数是（）A. 6B. 7C. 8D. 93.已知三角形的三边长分别是3，8，x，若x 的值为偶数，则x 的值有()A. 6 个B. 5 个C. 4 个D. 3 个4. 如图，已知 AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE 的是A. ∠A=∠CB. AD=CBC. BE=DFD. AD∥BC5.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的.借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC =CD =DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE = 75︒，则∠CDE 的度数是（）A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°6.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，点E，F 分别是线段BC，DC 上的动点．当△AEF 的周长最小时，则∠EAF 的度数为（）A. 90°B. 80°C. 70°D. 60°二.填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）7.点P(-3, 2) 关于x 轴对称点M 的坐标为.8.如果一个多边形的每一个外角都等于60°，则它的内角和是.9.如图，H 若是∆ABC 三条高AD ，BE ，CF 的交点，则∆BHA 中边BH 上的高是.（用已知的字母表示）10.如图，是5×6 的正方形网格，以点D，E 为顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与∆ABC 全等，这样的格点三角形最多可以画出个.11.已知一张三角形纸片ABC( 如图甲) ，其中AB =AC. 将纸片沿过点B 的直线折叠，使点C 落到AB 边上的E 点处，折痕为BD( 如图乙). 再将纸片沿过点E 的直线折叠，点A恰好与点D 重合，折痕为EF ( 如图丙). 原三角形纸片ABC 中，∠ABC 的大小为.12.在∆ABC 中，CA =CB ，∠ACB = 120︒，将一块足够大的直角三角尺PMN（∠M = 90︒，∠MPN = 30︒）按如图所示放置，顶点P 在线段AB 上滑动，三角尺的直角边PM 始终经过点C，并且与CB 的夹角∠PCB =α，斜边PN 交AC 于点D.在点P 的滑动过程中，若∆PCD 是等腰三角形，则夹角α的大小是.三.解答题（共 5 小题，每题 6 分，满分 30 分）13.一个多边形中，每个内角都相等，并且每个内角都等于它的相邻外角的4 倍，求这个多边形的边数及内角和．14.图1 所示的是某超市入口的双翼闸门，如图2，当它的双翼展开时，双翼边缘的端点A 与B 之间的距离为10cm，双翼的边缘AC=BD=54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°，求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．15.如图，点C，E，F，B 在同一直线上，点A，D 在BC 异侧，AB / /CD ，AE =DF ，∠A =∠D .（1）求证：AB =CD .（2）若AB =CF ，? B30°，求∠D 的度数.16.如图，AB =AC ，AC 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ．(1)若∠A = 40 ，求∠BCD 的度数；(2)若AE = 5 ，BCD 的周长17 ，求ABC 的周长．17.如图，有六个正六边形，在每个正六边形里有六个顶点，要求用两个顶点连线（即正六边形的对角线）将正六方形分成若干块，相邻的两块用黑白两色分开．最后形成轴对称图形，图中已画出三个，请你继续画出三个不同的轴对称图形（至少用两条对角线）四、解答题（共 4 小题，每题 8 分，满分 32 分）18.如图，平面直角坐标系中，A(－2，1)，B(－3，4)，C(－1，3)，过点(l，0)作x 轴的垂线l ．(1)作出△ABC 关于直线l 的轴对称图形△ A'B'C'；(2)直接写出A1(，)，B1(，)，C1(，)；(3)在△ABC 内有一点P(m，n)，则点P 关于直线l 的对称点P1 的坐标为( ，)(结果用含m，n 的式子表示)．19.已知，如图，∠B=∠C=90 º，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC.（1）若连接AM，则AM 是否平分∠BAD？请你证明你的结论；（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由.20.已知，如图，等腰Rt∆ABC ，等腰Rt∆ADE , AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB =AC ，AD =AE ，CD 交AE 、BE 分别于点M、F（1）求证：∆DAC ≌ ∆EAB ；（2）若∠AEF = 15︒，EF = 4 ，求DE 的长.21.已知：在平面直角坐标系中，∆ABC 的顶点A、C 分别在y 轴，x 轴上，且∠ACB = 90︒，AC =BC .（1）如图1，当A(0, -2) ，C(1, 0) ，点B 在第四象限时，则点B 的坐标为；（2）如图2，当点C 在x 轴正轴上运动，点A 在y 轴正半轴上运动，点B 在第四象限时，作BD ⊥y 轴于点D，OC -BD是否为定值，若是求出定值，若不是说明理由. OA五、解答题（第22 题10 分，第 23 题12 分）22.定义：如果两个等腰三角形的顶角互补，顶角的顶点又是同一个点，而且它们的腰也分别相等，则称这两个三角形互为“顶补等腰三角形”．（1）如图1，若△ABC 与△ADE 互为“顶补等腰三角形”．∠BAC＞90°，AM⊥BC 于M，AN⊥ED 于N．求证：DE=2AM；（2）如图2，在四边形ABCD 中，AD=AB，CD=BC，∠B=90°，∠A=60°，在四边形ABCD 的内部是否存在点P，使得△PAD 与△PBC 互为“顶补等腰三角形”？若存在，请给予证明，若不存在，请说明理由．23.如图1，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段 AB 交 y 轴于 F 点．（1）求点 A、B 的坐标；（2）点D 为y 轴正半轴上一点，若ED∥AB，且 AM，DM 分别平分∠CAB，∠ODE，如图 2，求∠AMD的度数；（3）如图 3，（也可以利用图 1）①求点F 的坐标；②坐标轴上是否存在点P，使得△ABP 和△ABC 的面积相等？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由．。

江西省南昌市十校联考2022-2023学年八年级上学期期末阶段性学习质量检测数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列各图中，作ABC 边AC 边上的高，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．正六边形的每一个外角等于（ ）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒ 3．如图，ABC ADE ≅△，点D 在边BC 上，若70B ∠=︒，则CAE ∠的度数是（ ）A ．45︒B ．40︒C ．35︒D ．30︒ 4．已知点()3,1P -关于y 轴的对称点Q 的坐标是（ ）A ．()3,1--B ．()3,1C ．()3,1-D ．()1,3- 5．下列多项式，能用公式法分解因式的有（ ）个．①2233+x y ①22x y -+ ①22x y -- ①22x xy y ++ ①222x xy y +- ①2244x xy y -+- A ．2B ．3C ．4D ．5 6．如果把分式23x y x y-+中的x ，y 的值都扩大为原来的3倍，那么分式的值（ ） A ．扩大为原来的3倍B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的9倍D ．保持不变二、填空题7．分式211x x -+有意义，则x 的取值范围是_______________． 8．若多项式224x ax ++是完全平方式，则a 的值是______．9．已知5x y +=，6xy =，则22x y +=______．10．如图，在矩形ABCD 中，将四边形ABFE 沿EF 折叠得到四边形HGFE ．已知①CFG ＝50°，则①DEF ＝______．11．如图，点E 是ABC 的内角ABC ∠和外角ACF ∠的两条角平分线的交点，过点E 作MN BC ∥，交AB 于点M ，交AC 于点N ，若6BM CN -=，则线段MN 的长度为____．12．已知等腰△ABC 中，BD ①AC ，且BD =12AC ，则等腰△ABC 的顶角度数为________________．三、解答题13．把下列各式因式分解：(1)()()4a a b b a -+-；(2)32484x x x -+-．14．已知12x x +=，求221x x +和1x x-的值． 15．先化简22213111-+⎛⎫÷- ⎪-+⎝⎭x x x x ，再从－1，2，3三个数中选一个合适的数作为x 的值代入求值．16．如图是由小正方形组成的66⨯网格，每个小正方形的顶点叫做格点．ABC 的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图．(1)在图1中，作AC 边上的高线BD ；(2)在图2中，在BC 上找出一点G ，使得45BAG ∠=︒17．如图所示，人教版八年级上册数学教材P 53数学活动中有这样一段描述：如图，四边形ABCD 中，AD CD =，AB CB =．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．(1)试猜想筝形的对角线AC 与BD 有什么位置关系？并用全等三角形的知识证明你的猜想；(2)过点D 作DE AB ∥交BC 于点E ，若10BC =，4CE =，求DE 的长．18．如图，A 、B 两点分别在射线,OM ON 上，点C 在MON ∠的内部，且AC BC =，,CD OM CE ON ⊥⊥，垂足分别为D ，E ，且AD BE =．(1)求证：OC 平分MON ∠；(2)若3,4AD BO ==，求AO 的长．19．对x ，y 定义一种新运算T ，规定()22,ax x yT x by y ++=（其中a ，b 是非零常数，且0x y +≠）．如：()223193,1314a b a b T ⨯+⨯+==+，若()2,02T -=-，且()5,16T -=． (1)求a 与b 的值；(2)若()()24,22,24T m m T m m --=--，求m 的值．20．甲，乙两个服装厂加工同种型号的防护服，甲厂每天加工的数量是乙厂每天加工数量的2倍，两厂各加工300套防护服，甲厂比乙厂少用5天．(1)求甲乙两厂每天各加工多少套防护服？(2)已知甲乙两厂加工这种防护服每天的费用分别是120元和90元，疫情期间，某医院急需1800套这种防护服，甲厂单独加工一段时间后另有别的任务，剩下的任务只能由乙厂单独完成，如果总加工费用不超过4000元，那么甲厂至少要加工多少天？21．如图，CAB ∠和CBA ∠的角平分线AF ，BD 相交点P ，60C ∠=︒．(1)直接写出APB ∠=＝ °；(2)求证：PD PF =；(3)若80ABC ∠=︒，求证：AP BC =．22．【阅读学习】阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．例1：如图1，可得等式：()a b c ab ac +=+．例2：由图2，可得等式：()()22232a b a b a ab b ++=++．借助几何图形，利用几何直观的方法在解决整式运算问题时经常采用．(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++的正方形．利用不同的形式可表示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来为_________________________；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知11a b c ++=，38ab bc ac ++=．求222a b c ++的值；(3)利用此方法也可以求出一些不规则图形的面积．如图4，将两个边长分别为a 和b 的正方形拼在一起，B 、C 、G 三点在同一直线上，连接BD 和BF ，若这两个正方形的边长满足10a b +=，20ab =，请求出阴影部分的面积．23．【母体呈现】人教版八年级上册数学教材56页第10题，如图的三角形纸片中，8AB cm =，6BC cm =，5AC cm =．沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ．求AED △的周长．解：BDE 是由BDC 折叠而得到，BDE BDC ∴≅．6BC BE cm ∴==，DC DE =．8AB cm =，862AE AB BE cm cm cm ∴=-=-=．5AC cm =，①ADE 的周长为：7AD DE AE AC AE cm ++=+=．(1)【知识应用】在Rt ABC △中，90C ∠=︒沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在B 边上的点E 处，折痕为BD ，过点E 作BED ∠的平分线交BD 于点P 连接AP ．如图1，若3CD cm =，16AB BC cm +=，求ABC 的面积；(2)如图2，求证：AP 平分CAB ∠；(3)【拓展应用】如图3，在Rt ABC △中，90C ∠=︒沿过点B 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD ，过点E 作BED ∠的平分线交BD 于点连接AP ，过点P 作PH AB ⊥．若10AB cm =，6BC cm =，8AC cm =，直接写出PH 长；(4)若222AC BC AB +=，求证12AH BH AC BC ⋅=⋅．参考答案：1．D【分析】根据三角形高的概念判断即可．【详解】解；A 、图中BE 不是ABC 边AC 边上的高，本选项不符合题意；B 、图中BE 不是ABC 边AC 边上的高，本选项不符合题意；C 、图中BE 不是ABC 边AC 边上的高，本选项不符合题意；D 、图中BE 是ABC 边AC 边上的高，本选项符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查的是三角形的高的概念，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．2．B【分析】根据多边形的外角和为360︒，用360︒除以6即可解答．【详解】解：360660，故选：B ．【点睛】本题主要考查了多边形的外角，解题的关键是掌握多边形的外角和为360︒以及正多边形的那个外角都相等．3．B【分析】根据全等三角形的性质，以及等边对等角和三角形的内角和定理进行求解即可．【详解】解：①ABC ADE ≅△，①AB AD =，CAB EAD ∠=∠，①70,ADB B CAB CAD EAD CAD ∠=∠=︒∠-∠=∠-∠，即：CAE DAB ∠=∠，①18040DAB B ADB ∠=︒-∠-∠=︒，①40CAE ∠=︒；故选B ．【点睛】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，以及三角形的内角和定理．熟练掌握全等三角形的对应边和对应角相等，以及等边对等角，是解题的关键．4．A【分析】两个点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得出答案．【详解】点(3,1)P -关于y 轴的对称点Q 的坐标是(3,1)--．故选：A ．【点睛】本题主要考查了关于y 轴对称的两个的坐标，掌握关于坐标轴对称的两个点的坐标特征是解题的关键．5．A【分析】根据完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+，平方差公式()()22a b a b a b +-=-进行判断即可．【详解】解：①2233+x y 不能用公式法分解因式，不符合题意；①()()22x y y x y x -+=+-，可以用平方差公式分解因式，符合题意；①()2222x y x y --=-+不能用公式法分解因式，不符合题意； ①22x xy y ++不能用公式法分解因式，不符合题意；①222x xy y +-不能用公式法分解因式，不符合题意；①()()2222244442x xy y x xy y x y -+-=--+=--，可以用完全平方公式分解因式，符合题意； 故选A ．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知公式法分解因式是解题的关键．6．D【分析】根据分式的基本性质，可得答案． 【详解】解：把分式23x y x y-+中的x ，y 的值都扩大为原来的3倍， ①()()323233323333x y x y x y x y x y x y-⋅-⋅-==+++， ①分式的值保持不变，故选：D ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能够正确利用分式的基本性质变形是解题的关键． 7．1x ≠-【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．【详解】解：由题意得，10x +≠，解得，1x ≠-，故答案为：1x ≠-．【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式分母不为0是解题的关键．8．2±【分析】先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定a的值．【详解】解：①222++=++，2422x ax x ax①222ax x=±⨯⨯，a=±解得2故答案为：2±．【点睛】本题主要考查了完全平方式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．9．13【分析】根据完全平方公式即可得出答案．【详解】解:①x+y=5，xy=6①(x+y)2=x2+2xy+y2=25①x2+y2=25−2xy=25−2×6=13故答案为：13.【点睛】本题考查的是完全平方公式：(a+b)2=a2±2ab+b2，熟练掌握此公式是解题的关键．10．115°【分析】先根据翻折变换的性质求出①EFB的度数，再由平行线的性质求出①AEF的度数，根据平角的定义即可得出结论．【详解】解：①四边形HGFE由四边形ABEF翻折而成，①①EFB=①GFE，①①CFG=50°，①①EFB+①GFE=180°+50°=230°，①①EFB=115°．①四边形ABCD是矩形，①AD①BC，①①DEF=①EFB=115°．故答案为：115°．【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．11．6【分析】根据角平分线的定义得到MBE CBE ∠=∠，根据平行线的性质得到MEB CBE ，等量代换得到MBE MEB =∠∠，求得BM EM =，同理，CN EN =，于是得到结论．【详解】BE 平分ABC ∠，MBE CBE ∴∠=∠，①MN BC ∥，MEB CBE ∴∠=∠，MBE MEB ∴∠=∠，BM EM ∴=，同理，CN EN =，9BM CN -=，6MN ME EN BM CN ∴=-=-=，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．12．90°或30°或150°【分析】根据题意画出图形，利用BD ①AC ，且BD =12AC 求出该直角三角形另一锐角的度数，由此得到答案．【详解】解：如图1，①BD ①AC ，AB=BC ，①90ADB ∠=︒，AD=CD =12AC ， ①BD =12AC ， ①AD=BD=CD ，①45A C ∠=∠=︒，①90ABC ∠=︒；如图2，①BD ①AC ，①90ADB ∠=︒，①AB=AC ，BD =12AC ， ①BD=12AB ，①30A ∠=︒；如图3， ①BD ①AC ，①90ADB ∠=︒，①AB=AC ，BD =12AC ， ①BD=12AB ， ①30BAD ∠=︒，①150BAC ∠=︒；故答案为：90°或30°或150°．【点睛】此题考查等腰三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30度直角边等于斜边一半的性质，熟记等腰三角形的性质依据题意画出图形辅助解答问题是解题的关键．13．(1)()()4a a b --(2)()241x x --【分析】（1）提公因式即可；（2）先提公因式，再利用完全平方因式分解．【详解】（1）原式()()4a a b a b =--- ()()4a a b =--（2）原式()()232248442141x x x x x x x x =-+-=--+=--． 【点睛】此题考查因式分解，解题关键是因式分解有三种方法第一个是提公因式，第二个是公式法，最后一个是十字相乘．14．2212x x +=，10x x -=【分析】利用完全平方公式变形，即可解答．【详解】解：①12x x +=， ①2221124x x x x ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭， ①2212x x +=，10x x -==． 【点睛】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是利用完全平方公式变形． 15．12x x --，2． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x 的值代入计算即可．【详解】解：原式=2(1)13()(1)(1)11x x x x x x -+÷-+-++ =1211x x x x --÷++ =1112x x x x -+⋅+- =12x x -- ， ①x≠±1且x≠2，①x=3，则原式=3132--=2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式有意义的条件．16．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据三角形的高的定义结合网格的性质画出垂线即可；（2）以AB 为边构造等腰直角三角形ABD ，则AD 与BC 的交点即为G ．【详解】（1）解：如图，BD 即为所求；（2）如图，点G 即为所求；【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的高，结合网格的性质作图是解题的关键．17．(1)AC BD ⊥；证明见解析(2)6【分析】（1）由AD CD =，AB CB =，BD BD =，根据全等三角形的判定定理“SSS ”证明ABD CBD ≌△△，得ABD CBD ∠=∠，即可根据等腰三角形的“三线合一”证明BD AC ⊥； （2）由DE AB ∥，得EDB ABD ∠=∠，而ABD CBD ∠=∠，所以EDB CBD ∠=∠，则1046DE BE BC CE ==-=-=．【详解】（1）解：BD AC ⊥，证明：在ABD △和CBD △中，AD CD AB CB BD BD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()ABD CBD SSS ∴≌，ABD CBD ∴∠=∠，AB CB =，ABD CBD ∠=∠，BD AC ∴⊥．（2）DE AB ∥，EDB ABD ∴∠=∠，ABD CBD ∠=∠，EDB CBD ∴∠=∠，DE BE ∴=，10BC =，4CE =，1046BE BC CE ∴=-=-=，6DE ∴=，DE ∴的长为6．【点睛】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明ABD CBD ≌△△是解题的关键． 18．(1)证明见解析(2)10【分析】（1）证明Rt Rt ADC BEC ≌，得到CD CE =，得到Rt Rt ODC OEC ≌，即可得证；（2）根据Rt Rt ODC OEC ≌，得到OD OE =，即可求解．【详解】（1）证明：①,CD OM CE ON ⊥⊥，①90ADC BEC ∠=∠=︒，①AC BC =，AD BE =，①()L Rt Rt H ADC BEC ≌，①CD CE =，①OC OC =，①()L Rt Rt H ODC OEC ≌，①COD COE ∠=∠，①OC 平分MON ∠；（2）解：①()L Rt Rt H ODC OEC ≌，AD BE =，①437OD OE OB BE OB AD ==+=+=+=，①7310OA OD AD =+=+=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质．通过已知条件判定三角形全等是解题的关键．19．(1)1a =，1b(2)1m =【分析】（1）利用新运算的规定得到关于a ，b 的方程，解方程即可求得结论； （2）利用新定义的规定列出关于m 的等式，解之即可．【详解】（1）解：(2,0)2T -=-， ∴22(2)0220a b ⨯-+⨯=--+， 1a ∴=．(5,1)6T -=， ∴225(1)651a b ⨯+⨯-=-， 2524a b ∴+=，24251b ∴=-=-，1a ∴=，1b ．（2）()()24,22,24T m m T m m --=--，①()()()()()()22221241212124242224m m m m m m m m ⨯-+-⨯-⨯-+-⨯-=---+-，①2222416164441616m m m m m m +--=--+，①3232m =，①1m =，经检验，1m =是原方程的解．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，解分式方程，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．20．(1)甲厂每天加工60套防护服，乙厂每天加工30套防护服(2)24天【分析】（1）设乙厂每天加工x 套防护服，根据甲厂比乙厂少用5天，列出方程式，求出乙厂加工的套数，再乘以2即甲厂加工的套数；（2）设甲厂至少要加工m 天，乙厂加工n 天，依题有60301800120904000m n m n +=⎧⎨+≤⎩①②，求解m 的取值范围即可．【详解】（1）解：设乙厂每天加工x 套防护服， 依题意有：30030052x x-=， 解得：30x =．检验：当30x =时，20x ≠，所以30x =是原方程的根且符合题意，223060x ∴=⨯=．答：甲厂每天加工60套防护服，乙厂每天加工30套防护服．（2）设甲厂至少要加工m 天，乙厂加工n 天，依题有60301800120904000m n m n +=⎧⎨+≤⎩①②， 由①得602n m =-，代入①得12090(602)4000m m +-≤， 解之得：1233m ≥， m 为整数，m ∴的最小值为24天．答：甲厂至少要加工24天．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程及根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 21．(1)120(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据角平分线的定义得到12PAB CAB ∠=∠，12PBA CBA ∠=∠，再利用三角形内角和定理计算即可；（2）过P 作PE AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，根据角平分线的性质得到PE PG =，PE PH =，可得PH PG =，再证明(AAS)PDG PFH ≅，即可证明结论；（3）作CBD ∠的平分线交AC 于点N ，则12CBN DBN CBD ∠=∠=∠，先分别求出CAB ∠，CBD ∠，ABD ∠，CAF ∠，BDC ∠，CBN ∠，DBN ∠，ANB ∠的度数，得到AD BD =，80ANB BDC ︒∠=∠=，BD BN ，再根据AAS 证明APD CBN ≅即可证明结论．【详解】（1）AF ，BD 分别平分CAB ∠和CBA ∠， ∴12PAB CAB ∠=∠，12PBA CBA ∠=∠， 180()APB PAB PBA ∴∠=︒-∠+∠11180()22CAB CBA =︒-∠+∠ 1180(180)2C =︒-︒-∠ 120=︒．故答案为：120；（2）过P 作PE AB ⊥，PG AC ⊥，PH BC ⊥，AF ，BD 分别平分CAB ∠和CBA ∠，PE PG ∴=，PE PH =，PH PG ∴=，PH BC ⊥，PG AC ⊥，90PGC PHC ∴∠=∠=︒，360909060120GPH ∴∠=︒-︒-︒-︒=︒，120GPH APB DPF ∴∠=∠=︒=∠，DPG FPH ∴∠=∠，在PDG △和PFH △中，90PGD PHF DPG FPHPG PH ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (AAS)PDG PFH ∴≅，PD PF ∴=；（3）如图，作CBD ∠的平分线交AC 于点N ，则12CBN DBN CBD ∠=∠=∠，80ABC ∠=︒，60C ∠=︒，180608040CAB ∴∠=︒-︒-︒=︒，18014022CBD ABD ABC ∠=∠=∠=⨯︒=︒， ∴11402022CAF CAB ∠=∠=⨯︒=︒，40CAB ABD ∠=∠=︒， AD BD ∴=，80BDC CAB ABD ∠=∠+∠=︒， ∴11402022C B BD C N DBN ∠=⨯︒=︒∠=∠=， 602080ANB C CBN ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，80ANB BDC ︒∴∠=∠=，BD BN ∴=，AD BN ∴=，在APD △和BCN △中，PAD CBN APD CAD BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (AAS)APD CBN ∴≅，AP BC ∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的内角和，证明三角形全等是解题的关键．22．(1)2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++(2)45(3)20【分析】（1）先用正方形的面积公式表示出面积，再用几个小正方形和小长方形的面积的和表示大正方形的面积，由两个结果相等即可得出结论．（2）利用（1）中的等式直接代入求得答案即可；（3）利用ABD BFG S S S S =--△△阴影两正方形求解．【详解】（1）解：正方形面积为2()a b c ++，小块四边形面积总和为222222a b c ab bc ac +++++， ∴由面积相等可得：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，故结论是：2222()222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）由（1）可知2222()(22)a b c a b c ab abc ac ++=++-++，11a b c ++=，38ab bc ac ++=，2222()2()12123845a b c a b c ab bc ac ∴++=++-++=-⨯=，故222a b c ++的值为45；（3）10a b +=，20ab =，2()100a b ∴+=，222100a b ab ∴++=，2260a b ∴+=，ABD BFG S S S S ∴=--△△阴影两正方形，222221111()()(6020)202222a b a b a b a b ab =+--+=+-=⨯-=． 故阴影部分的面积是20．【点睛】本题考查了几何面积与多项式的关系，正确掌握多项式变化与几何面积的关系是解题的关键．23．(1)24ABC S =(2)见解析(3)2PH =(4)见解析【分析】（1）根据已知条件可得ABC ABD BCD S S S =+△△△，从而可以计算得解；（2）过点P 分别作AB 、ED 、AC 边的垂线，垂足分别为点F 、H 、M ，利用全等性质，通过等量代换即可得到PF PM =，通过角平分线性质即可得证；（3）过点P 分别作BC 、AC 边的垂线，垂足分别为点G 、M ，连接PC ，通过条件可证得PH PM PG ==，利用ABC ABP BCP ACP S S S S =++关系即可得解；（4）过点P 分别作BC 、AC 边的垂线，垂足分别为点G 、M ，连接PC ，通过条件可证得12ABC BGP AHP MCP S S S S =++，然后将11()()22ABC S BC AC BG GC AM MC =⋅=++整理化简，最后等量代换即可得证．【详解】（1）解：由题可知，BED BCD ≅，90BED C ∠=∠=︒，3CD ED ==， ∴21111()316242222ABC ABD BCD S S S AB DE BC CD CD AB BC cm =+=⋅+⋅=⋅+=⨯⨯=； （2）证明：如图，过点P 分别作AB 、ED 、AC 边的垂线垂足分别为点F 、H 、M ，由题可知，BED BCD ≅，BDC BDE =∠∠，PH PM ∴=，EP 平分BED ∠，PF PH ∴=，PF PM ∴=，PAC PAB ∴∠=∠，则AP 平分CAB ∠；（3）如图，过点P 分别作BC 、AC 边的垂线，垂足分别为点G 、M ，连接PC ，由题可知，BED BCD ∆≅∆，DBC DBE ∠=∠，PH PG ∴=，由（2）可知PH PM =，PH PM PG ∴==，ABC ABP BCP ACP S S S S =++，∴11()22ABC S PH AB BC AC AC BC =++=⋅， 即11(1068)6822PH ++=⨯⨯，答案第15页，共15页 解得2PH cm =；（4）证明：如图，过点P 分别作BC 、AC 边的垂线，垂足分别为点G 、M ，连接PC ，由（2）可知，PH PM PG ==，PH AB ⊥，PG BC ⊥，PM AC ⊥，Rt Rt (HL)AHP AMP ∴≅，Rt Rt (HL)BHP BGP ≅，Rt Rt (HL)CGP CMP ≅，AH AM ∴=，BH BG =，CG CM =，PH PM PG CM CG ====，12ABC BGP AHP MCP S S S S =++，Δ11()()22ABC S BC AC BG GC AM MC =⋅=++ 1()2BG AM BG MC GC AM GC MC =⋅+⋅+⋅+⋅ 11112222AM BG BG MC GC AM GC MC =⋅+⋅+⋅+⋅ 11112222AH BH BG GP PH AH MP MC =⋅+⋅+⋅+⋅ 12BGP AHP MCP AH BH S S S =⋅+++1122ABC AH BH S =⋅+， ∴1122ABC S AH BH =⋅， ABC S AH BH ∴=⋅， 即12AH BH AC BC ⋅=⋅， 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了图形折叠、全等三角形、角平分线性质，适当添加辅助线，采用等量代换的方法是解题关键．。