培优专讲天津市南大附中初中数学竞赛内部讲义第讲平面直角坐标系部分含答案

知识讲解①坐标平面内的点与有序实数对一一对应；②点P （a ，b ）到x 轴的距离为│b │，•到y 轴距离为│a │，到原点距离为22a b +； ③各象限内点的坐标的符号特征：P （a ，b ），P•在第一象限⇔a>0且b>0，P 在第二象限⇔a<0，b>0，P 在第三象限⇔a<0，b<0，P 在第四象限⇔a>0，b<0； ④点P （a ，b ）：若点P 在x 轴上⇔a 为任意实数，b=0；P 在y 轴上⇔a=0，b 为任意实数；P 在一，三象限坐标轴夹角平分线上⇔a=b ； P 在二，四象限坐标轴夹角平分线上⇔a=－b ； ⑤A （x 1，y 1），B （x 1，y 2）：A ，B 关于x 轴对称⇔x 1=x 2，y 1=－y 2； A 、B 关于的y 轴对称⇔ x 1=－x 2，y 1=y 2；A 、B 关于原点对称⇔x 1=－x 2，y 1=－y 2；AB ∥x 轴⇔y 1=y 2且x 1≠x 2； AB ∥y 轴⇔x 1=x 2且y 1≠y 2（A ，B 表示两个不同的点）．典型例题：例1、如果点M （1-x ，1-y ） 在第二象限，那么点N （1-x ，y-1）在第 象限， 点Q （x-1，1-y ）在第 象限。

例2、已知点P （x, x ），则点P 一定 （ ）A ．在第一象限B ．在第一或第四象限C ．在x 轴上方D ．不在x 轴下方 例3、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为（0，0），（5，0），（2，3）则顶点C的坐标为（ ） A ．（3，7） B ．（5，3） C ．（7，3） D ．（8，2） 例4、在平面直角坐标系上点A （n,1-n ）一定不在 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限例5、M 的坐标为（3k-2，2k-3）在第四象限，那么k 的取值范围是 。

第十讲：二元一次方程组一、相关知识点1、 二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。

2、二元一次方程的标准式： ()00,0ax by c a b ++=≠≠3、 一元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x 和y 的值，叫做这个方程的一个解。

4、 二元一次方程组的定义：方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。

5、 二元一次方程组的解：使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。

二、典型例题1．下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ C ）Ａ．123x y =⎧⎨+=⎩，． Ｂ．10x y x y +=⎧⎨-=⎩，． Ｃ．10x y xy +=⎧⎨=⎩，．Ｄ．21y x x y =⎧⎨-=⎩，．2．有这样一道题目：判断31x y =⎧⎨=⎩，是否是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解？ 小明的解答过程是：将3x =，1y =代入方程250x y +-=，等式成立．所以31x y =⎧⎨=⎩，是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解． 小颖的解答过程是：将3x =，1y =分别代入方程250x y +-=和2350x y +-=中，得250x y +-=，2350x y +-≠．所以31x y =⎧⎨=⎩，不是方程组2502350x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，的解．你认为上面的解答过程哪个对？为什么？3．若下列三个二元一次方程：3x －y =7；2x +3y =1；y =kx －9有公共解，那么k 的取值应是（ B ）A 、k =－4B 、k =4C 、k =－3D 、k =3分析：利用方程3x －y =7和2x +3y =1组成方程组，求出x 、y ，再代入y =kx －9求出k 值。

第八讲：与三角形有关的线段一、有关知识点1．三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ ABC 中， a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）由上式可变形获得：a>c－b， b>a－c， c>b－ a即有：三角形的两边之差小于第三边2．高由三角形的一个极点向它的对边所在的直线作垂线，极点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

3．中线：连结三角形的极点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4．角均分线三角形一个内角的角均分线与这个角对边的交点和这个角的极点之间线段称为三角形的角均分线二、典型例题（一）三边关系1．已知三角形三边分别为2,a－1,4,那么 a 的取值范围是()A.1<a<5B.2<a<6C.3<a<7 D .4<a<62．小颖要制作一个三角形木架，现有两根长度为8m 和 5m 的木棒。

假如要求第三根木棒的长度是整数小颖有几种选法？能够是多少？剖析：设第三根木棒的长度为x，则 3<x<13因此 x=4,5,6,7,8,9,10,11,123：已知：△ ABC 中， AD 是 BC 边上的中线求证： AD+BD> 1（ AB+AC）2剖析：由于BD +AD >AB、 CD +AD >AC 因此 BD+AD + CD+AD >AB+AC由于 AD 是 BC 边上的中线，BD=CD因此 AD+BD > 1（ AB+AC）2（二）三角形的高、中线与角均分线问题：（ 1）察看图形，指出图中出现了哪些高线？（2）图中存在哪些相等角？注意基本图形：双垂直图形AB D CAD12B C4．如图，在直角三角形ABC 中， AC ≠AB， AD 是斜边上的高， DE⊥AC， DF ⊥ AB，垂足分别为 E、 F，则图中与∠ C（∠ C 除外）相等的角的个数是（）A．5B． 4 C． 3 D．2剖析：5．如图，⊿ ABC 中，∠ A = 40 ，°∠ B = 72 ，°CE 均分∠ ACB， CD ⊥AB 于 D ，DF ⊥ CE，求∠ CDF 的度数。

装订线初一数学竞赛培优第1讲数论的方法技巧（上）数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。

数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。

因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。

任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。

”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。

数学竞赛中的数论问题，常常涉及整数的整除性、带余除法、奇数与偶数、质数与合数、约数与倍数、整数的分解与分拆。

主要的结论有：1．带余除法：若a，b是两个整数，b＞0，则存在两个整数q，r，使得a=bq+r（0≤r＜b），且q，r是唯一的。

特别地，如果r=0，那么a=bq。

这时，a被b整除，记作b|a，也称b是a的约数，a是b的倍数。

2．若a|c，b|c，且a，b互质，则ab|c。

3．唯一分解定理：每一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即其中p1＜p2＜…＜p k为质数，a1，a2，…，a k为自然数，并且这种表示是唯一的。

（1）式称为n的质因数分解或标准分解。

4．约数个数定理：设n的标准分解式为（1），则它的正约数个数为：d（n）=（a1+1）（a2+1）…（a k+1）。

5．整数集的离散性：n与n+1之间不再有其他整数。

因此，不等式x＜y与x≤y-1是等价的。

下面，我们将按解数论题的方法技巧来分类讲解。

一、利用整数的各种表示法对于某些研究整数本身的特性的问题，若能合理地选择整数的表示形式，则常常有助于问题的解决。

这些常用的形式有： 1．十进制表示形式：n=a n 10n +a n-110n-1+…+a 0； 2．带余形式：a=bq+r ；4．2的乘方与奇数之积式：n=2m t ，其中t 为奇数。

例1 红、黄、白和蓝色卡片各1张，每张上写有1个数字，小明将这4张卡片如下图放置，使它们构成1个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的10倍的差。

第18讲 平面直角坐标系及其简单应用培优训练 1.（2013，邵阳）如图是我市几个旅游景点的大致位置示意图.如果用（0,0）表示新宁崀山的位置，用（1,5）表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为（ ）.第一题图A .(2,1)B .(0,1)C .(-2,-1)D .(-2,1)2.(2013,安顺)将点A （-2，-3）向右平移三个单位长度得到点B ，则点B 所处的象限是（ ）. A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3.（2013，东营）若定义：f (a ,b )=(-a ,b ),g (m ,n )=(m ,-n ),例如f (1,2)=(-1,2),g (-4,-5)=(-4,-5),则g (f (2,-3))=( ).A .(2,-3)B .(-2,3)C .(2,3)D .(-2,-3)4.（2013，钦州）定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( )A .2B .3C .4D .55.（2010，武汉）如图，所有正方形的中心均在坐标原点，且各边与x 轴或y 轴平行．从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A 1，A 2，A 3，A 4，…表示，则顶点A 55的坐标是（） A ．（13，13） B ．（-13，-13） C ．（14，14） D ．（-14，-14）第5题图6.（2013，兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A （-3，0）、B （0，4），对△OAB 连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013 的直角顶点的坐标为 .7.（2010，泰安）如图，△ABC经过一定的变换得到△A’B’C’，若△ABC上一点M的坐标为（m,n），那么点M的对应点M’的坐标为.第7题图8.(2010,沈阳)在平面直角坐标中，点A1(1，1),A2(2，4),A3(3，9),A4(4，16),…,用你发现的规律确定点A9的坐标为 .9.在平面直角坐标系中，已知A(-4，3),B(1，5),现将线段AB平移，使A与坐标原点O重合，B平移后的坐标是 .10.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，B1（0，1），B2（0，3），B3（0，6），B4（0，10），…，以B1B2为对角线作第一个正方形A1B1C1B2，以B2B3为对角线作第二个正方形A2 B2 C2 B3，以B3B4为对角线作第三个正方形A3B3C3 B4，…，如果所作正方形的对角线B n B n+l的长度依次增加1个单位长度，顶点A n都在第一象限内（n≥1，且n为整数），用n的代数式表示A n的纵坐标为 .第10题图411.如图，每个小方格的边长为单位1，将△ABC沿AD平移，且使A点平移到D点，B,C平移后的对应点分别为E,F.（1）画出平移所得的△DEF；（2）说明通过怎样的平移方式将△ABC平移到△DEF；（3）求平移得到的△DEF的面积.第11题图竞赛训练12.如图,点O（0,0）、B（0,1）是正方形OBB1C的两个顶点,以对角线OB1为一边作正方形OB1B2C1,再以正方形OB1B2C1的对角线OB2为一边作正方形OB2B3C2,…,依次下去,则点B6的坐标是.第12题图13.如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），(3，2)，（3，1），（3，0），…，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为 .第13题图14.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点.观察图中每一个正方形（实线）四条边上的整点的个数，请你猜测由里向外第10个正方形（实线）四条边上的整点个数共有__________个.答案第18讲 平面直角坐标系及其简单应用[能力平台]1.C2.D 5.C3.B4.C 6.(8052，0) 7.(m +4,n +2) 8.(9,81) 9.(5.2)10.()2112n +. 11.（1）A (-2，1)→D （2,3），图略.（2）横坐标增加4，纵坐标增加2，∴E (1，0),F (6，0).（3）153752DEFS..=⨯⨯= 12.（-8,0）[提示：B 1(1，1),B 2(2，0),B 3(2，-2),B 4(0，-4),B 5(-4，-4),B 6(-8，0)]13.（14,8）[提示：从图观察知：坐标为（x ，0）的点所在列有x 个点，那么从（1,0）所在列的点到（x ，0）所在列的点共有（1+2+3+…+x ）=()12x x +个点，所以从（1,0）到（13,0）所在列的点共有1314=912⨯个点，那么第100个点在地14列自下而上数第9个点，即第100个点的坐标为（14,8）.]14.40.[提示：从里往外，第1个正方形的四条边上有4个整点，第2个正方形的四条边上有8个整点，第3个正方形的四条边上有12个整点，所以第10个正方形的四条边上有40个整点.]。

一、选择题1．已知点32,)6(M a a -+．若点M 到两坐标轴的距离相等，则a 的值为（ ） A ．4 B ．6- C ．1-或4 D ．6-或23 2．已知两点(,5)A a ，(1,)B b -且直线//AB x 轴，则（ ）A ．a 可取任意实数，5b =B ．1a =-，b 可取任意实数C ．1a ≠-，5b =D ．1a =-，5b ≠3．如图，小球起始时位于(3,0)处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如图所示．如果小球起始时位于(1,0)处，仍按原来方向击球，小球第一次碰到球桌边时，小球的位置是(0,1)，那么小球第2020次碰到球桌边时，小球的位置是（ ）A ．(3,4)B ．(5,4)C ．(7,0)D ．(8,1)4．在平面直角坐标系中，点(2,1)A -关于y 轴对称的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．已知点 M 到x 轴的距离为 3，到y 轴的距离为2，且在第四象限内，则点M 的坐标为（ ）A ．（-2，3）B ．（2，-3）C ．（3，2）D ．不能确定 6．若点P （x, y ）在第二象限，且2,3x y ==，则x + y =（ ）A ．－1B ．1C ．5D ．－57．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路程如图所示，第一次移动到点A 1，第二次移动到点A 2，第n 次移动到点A n ，则点A 2020的坐标是（ ）A ．(1010，0)B ．(1010，1)C ．(1009，0)D ．(1009，1) 8．点A （n+2，1﹣n ）不可能在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．在平面直角坐标系中，点P (−1，23)在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．将点()1,2P 向左平移3个单位后的坐标是（ ）A ．()2,2-B ．()1,1-C ．()1,5D ．()1,1-- 11．在平面直角坐标系中，点P(－5，0)在( )A ．第二象限B ．x 轴上C ．第四象限D ．y 轴上 12．在平面直角坐标中，点()1,2P 平移后的坐标是)3(3,-'P ，按照同样的规律平移其它点，则以下各点的平移变换中（ ）符合这种要求．A ．()3,24(,2)→-B ．()(104),5,--→-C ．（1.2，5）→（-3.2，6）D ．122.5, 1.5,33⎛⎫⎛⎫-→- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13．在平面直角坐标系中，将点A （﹣2，﹣2）先向右平移6个单位长度再向上平移5个单位长度得到点A '，则点A '的坐标是（ ）A ．（4，5）B ．（4，3）C ．（6，3）D ．（﹣8，﹣7） 14．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中（1，0）→（2，0）→（2，1）→（1，1）→（1，2）→（2，2）…根据这个规律，则第2016个点的横坐标为（ ）A ．44B ．45C ．46D ．4715．如图，将点A 0（-2，1）作如下变换：作A 0关于x 轴对称点，再往右平移1个单位得到点A 1，作A 1关于x 轴对称点，再往右平移2个单位得到点A 2，…，作A n －1关于x 轴对称点，再往右平移n 个单位得到点A n （n 为正整数），则点A 64的坐标为（ ）A ．（2078，-1）B ．（2014 ，-1）C ．（2078 ，1）D ．（2014 ，1）二、填空题16．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将OAB 变换成11OA B ，第二次将11OA B 变换成22OA B △，第三次将22OA B △变换成33OA B ，…，将OAB 进行n 次变换，得到n n OA B △，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测2020A 的坐标是__________．17．若点M （5，a ）关于y 轴的对称点是点N （b ，4），则（a+b ）2020= __18．在电影院内找座位，将“4排3号”简记为(4，3)，则(8，7)表示______19．如图，在平面直角坐标系中，有若干个横纵坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如()1,0，()2,0，()2,1，()1,1，1,2，()2,2根据这个规律，第2020个点的坐标为______．20．在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为(1，0)，(0，2)，若将线段AB 平移到A 1B 1，点A 1，B 1的坐标分别为(2，a)，(b ，3)，则a 2-2b 的值为______．21．在平面直角坐标系中，若点3(1)M ，与点()3N x ，的距离是8，则x 的值是________ 22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，将四边形ABCD 先向下平移，再向右平移得到四边形A 1B 1C 1D 1，已知A （﹣3，5），B （﹣4，3），A 1（3，3），则B 1的坐标为_____．23．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如下图所示，则点A 400的坐标为_______．24．如图，已知点A 的坐标为（−2，2），点C 的坐标为（2，1），则点B 的坐标是____．25．已知点P 在第四象限，且到x 轴的距离是1，到y 轴的距离是3，则P 的坐标是______．26．若点()35,62P a a +--到 两坐标轴的距离相等，则a 的值为____________三、解答题27．在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的位置如图所示．（l ）分别写出△ABC 各个顶点的坐标．（2）请在图中画出△ABC 关于y 轴对称的图形△A'B'C'．（3）计算出△ABC 的面积．28．如图①，A 、B 、C 三地依次在一条直线上，两辆汽车甲、乙分别从A 、B 两地同时出发驶向C 地．如图②，是两辆汽车行驶过程中到B 地的距离(km)s 与行驶时间(h)t 的关系图象，其中折线EF-FG 是甲车的图象，线段OM 是乙车的图象．（1）请求出图②中a 的值和点M 的坐标；（2）在行驶过程中，甲车有可能在乙车与B 地中点的位置吗？如有，请求出行驶时间t 的值；若没有，请说明理由．29．国庆假期到了，八年级（1）班的同学到某梦幻王国游玩，在景区示意图前面，李强和王磊进行了如下对话：李强说：“魔幻城堡的坐标是()4,2-．”王磊说：“丛林飞龙的坐标是()2,1--．”若他们二人所说的位置都正确．（1）在图中建立适当的平面直角坐标系xOy ；（2）用坐标描述西游传说和华夏五千年的位置．30．如图（1），在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB 先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD ，连接AC ，BD ，构成平行四边形ABDC ．（1）请写出点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，S 四边形ABDC ；（2）点Q 在y 轴上，且S △QAB ＝S 四边形ABDC ，求出点Q 的坐标；（3）如图（2），点P 是线段BD 上任意一个点（不与B 、D 重合），连接PC 、PO ，试探索∠DCP 、∠CPO 、∠BOP 之间的关系，并证明你的结论．。

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第九讲 坐标平面上的直线一般地，若b kx y += (k 、b 是常数，0≠k )，则y 叫做x 的一次函数，它的图象是一条直线，函数解析式b kx y += 式中的系数符号，决定图象的大致位置及单调性(y 随x 的变化情况)。

如图所示：一次函数、二元一次方程、直线有着深刻的联系，任意一个一次函数b kx y +=都可看作是关于x 、y 的一个二元一次方程0=+-b y kx ；任意一个关于x 、y 的二元一次方程0=++c by ax ，可化为形如bcx b a y --= (0≠b )的函数形式。

坐标平面上的直线可以表示一次函数与二元一次方程，而利用方程和函数的思想可以研究直线位置关系，求坐标平面上的直线交点坐标转化为解由函数解析式联立的方程组。

【例题求解】【例1】 如图，在直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A(3，0)、B(2，7)，P 为线段OC 上一点，若过B 、P 两点的直线为111b x k y +=，过A 、P 两点的直线为222b x k y +=，且BP ⊥AP ，则)(2121k k k k += 。

思路点拨 解题的关键是求出P 点坐标，只需运用几何知识建立OP 的等式即可。

【例2】 设直线2)1(=++y n nx (n 为自然数)与两坐标轴围成的三角形面积为n S (n ＝1，2，…2000)，则S 1+S 2+…+S 2000的值为( ) A ．1 B ．20001999 C ．20012000 D ．20022001思路点拨 求出直线与x 轴、y 轴交点坐标，从一般形式入手，把n S 用含n 的代数式表示。

一、选择题1．在直角坐标系中，ABC 的顶点()1,5A -，()3,2B ，()0,1C ，将ABC 平移得到A B C '''，点A 、B 、C 分别对应A '、B '、C '，若点()1,4A '，则点'C 的坐标（ ） A ．()2,0- B ．()2,2- C ．()2,0 D ．()5,12．在平面直角坐标系xOy 中，线段AB 的两个端点坐标分别为(1,1)A --，(1,2)B ，平移线段AB ，得到线段A B ''，已知A '的坐标为(3,1)-，则点B '的坐标为（ ）A ．(4,2)B ．(5,2)C ．(6,2)D ．(5,3)3．如果点A （a ，b ）在第二象限，那么a 、b 的符号是（ ）A ．0＞a ，0＞bB ．0＜a ，0＞bC ．0＞a ，0＜bD ．0＜a ，0＜b 4．点A 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是6，且点A 在第二象限，则点A 的坐标是（ ） A ．（-3，6） B ．（-6，3） C ．（3，-6） D ．（8，-3） 5．在平面直角坐标系中，将三角形各顶点的纵坐标都加上3，横坐标保持不变，所得图形的位置与原图形相比（ ）A ．向上平移3个单位B ．向下平移3个单位C ．向右平移3个单位D ．向左平移3个单位6．下列各点中，在第二象限的是（ ）A ．()1,0B ．()1,1C ．()1,1-D ．()1,1- 7．已知点A 的坐标为(2,1)--，点B 的坐标为(0,2)-，若将线段AB 平移至A B ''的位置，点A '的坐标为(3,2)-，则点B '的坐标为（ ）A ．(3,2)--B ．(0,1)C ．(1,1)-D ．(1,1)-8．如图，在坐标平面内，依次作点()3,1P -关于直线y x =的对称点1P ，1P 关于x 轴对称点2P ，2P 关于y 轴对称点3P ，3P 关于直线y x =对称点4P ，4P 关于x 轴对称点5P ，5P 关于y 轴对称点6P ，…，按照上述变换规律继续作下去，则点2019P 的坐标为（ ）A ．()1,3-B ．()1,3C ．()3,1-D ．()1,3- 9．已知点P （m ，n ）在第三象限，则点Q （－m ，│n│）在（ ）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 10．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）()()()()()1,01,11,22,13,0....→→→→→→，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）A ．900B ．946C ．990D ．88611．在平面直角坐标中，点()1,2P 平移后的坐标是)3(3,-'P ，按照同样的规律平移其它点，则以下各点的平移变换中（ ）符合这种要求．A ．()3,24(,2)→-B ．()(104),5,--→-C ．（1.2，5）→（-3.2，6）D ．122.5, 1.5,33⎛⎫⎛⎫-→- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二、填空题12．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A(4，3)，点B(3，0)，点C(5，3)，OAB ∆沿AC 方向平移AC 长度的到ECF ∆，四边形ABFC 的面积为_________．13．在平面直角坐标系内，把点A （5，-2）向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的点B 的坐标为______．14．已知点A(3，b)在第一象限，那么点B(-3，-b)在第________象限．15．定义：在平面直角坐标系xOy 中，把从点P 出发沿纵或横方向到达点（至多拐一次弯）的路径长称为P ，Q 的“实际距离”．如图，若(1,1)P -，(2,3)Q ，则P ，Q 的“实际距离”为5，即5PS SQ +=或5PT TQ +=．环保低碳的共享单车，正式成为市民出行喜欢的交通工具．设A ，B ，C 三个小区的坐标分别为(2,2)A ，(4,2)B -，(2,4)C --，若点M 表示单车停放点，且满足M 到A ，B ，C 的“实际距离”相等，则点M 的坐标为______．16．在平面直角坐标系中，与点A （5，﹣1）关于y 轴对称的点的坐标是_____． 17．若不在第一象限的点(),22A x x -+到两坐标轴距离相等，则A 点坐标为 _________． 18．点A （m ，﹣3），点B （2，n ），AB //x 轴，则n=_____．19．如图，已知A 1（1，2），A 2（2，2），A 3（3，0），A 4（4，﹣2），A 5（5，﹣2），A 6（6，0）…，按这样的规律，则点A 2020的坐标为______．20．若点A （-2，n ）在x 轴上，则点B(n-2，n+1)在第_____象限 ．21．已知线段AB 的长度为3，且AB 平行于y 轴，A 点坐标为()32，，则B 点坐标为______．三、解答题22．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 各顶点的坐标分别是()0,0O ，()0,12A ，()10,8B -，()14,0C -，求四边形OABC 的面积．23．已知点(1,5)A a -和(2,1)B b -．试根据下列条件求出a ，b 的值．（1）A ，B 两点关于y 轴对称；（2）A ，B 两点关于x 轴对称；（3）AB ‖x 轴24．在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三个顶点的位置如图所示，点'A 的坐标是()2,2-，现将三角形ABC 平移，使点A 变换为点'A ，点'B 、'C 分别是B 、C 的对应点．（1）请画出平移后的三角形'''A B C （不写画法），并写出点'B 、'C 的坐标；（2）求三角形ABC 的面积．25．若点(1m -，32m -)在第二象限内，求m 的取值范围一、选择题1．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点()1,1，第2次接着运动到点()2,0，第3次接着运动到点()3,2，……按这样的运动规律，经过第2020次运动后，动点P 的坐标是（ ）A ．()2020,0B ．()2020,1C ．()2021,1D ．()2021,2 2．在平面直角坐标系中，与点P 关于原点对称的点Q 为()1,3-，则点P 的坐标是（ ） A ．()1,3 B ．()1,3-- C ．()1,3- D ．()1,3- 3．太原植物园是山西省唯一集科学研究、科普教育、园艺观赏和文化旅游于一体的综合性植物园．其标志性建筑为热带植物馆、沙生植物馆、主题花卉馆三个展览温室，远远望去犹如镶嵌在湖边的3颗大小不一的“露珠”（图1）．若利用网格（图2）建立适当的平面直角坐标系，表示东门的点的坐标为()3,2A ，表示热带植物馆入口的点的坐标为()3,3B -，那么儿童游乐园所在的位置C 的坐标应是（ ）A ．()5,1-B ．()2,4--C ．()8,3--D ．()5,1-- 4．点M 在第二象限，距离x 轴5个单位长度，距离y 轴3个单位长度，则M 点的坐标为（ ）A ．(-3，5)B ．(5，- 3)C ．(-5，3)D ．(3，5)5．已知点 M 到x 轴的距离为 3，到y 轴的距离为2，且在第四象限内，则点M 的坐标为（）A．（-2，3）B．（2，-3）C．（3，2）D．不能确定6．一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到(0，1)，然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，0)→(2，0)…]，且每秒跳动一个单位，那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是（）A．(4，0) B．(5，0) C．(0，5) D．(5，5)7．如图是医院、公园和超市的平面示意图,超市B在医院O的南偏东25︒的方向上，且到医AOB=︒，则公园A在医院O 院的距离为300m，公园A到医院O的距离为400m.若∠90的（）A．北偏东75︒方向上B．北偏东65︒方向上C．北偏东55︒方向上D．北偏西65°方向上8．如图，在平面直角坐标系中，若干个半径为3个单位长度，圆心角为60°的扇形组成一条连续的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右上下起伏运动，点在直线上的速度为每秒3个单位长度，点在弧线上的速度为每秒π个单位长度，则2020秒时，点P的坐标是（）A．（2020，0）B．（3030，0）C．（30303）D．（30303）9．已知点P（m，n）在第三象限，则点Q（－m，│n│）在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限10．如图，一个粒子从原点出发，每分钟移动一次，依次运动到（0，1）()()()()()1,01,11,22,13,0....→→→→→→，则2018分钟时粒子所在点的横坐标为（ ）A ．900B ．946C ．990D ．88611．如图，将点A 0（-2，1）作如下变换：作A 0关于x 轴对称点，再往右平移1个单位得到点A 1，作A 1关于x 轴对称点，再往右平移2个单位得到点A 2，…，作A n －1关于x 轴对称点，再往右平移n 个单位得到点A n （n 为正整数），则点A 64的坐标为（ ）A ．（2078，-1）B ．（2014 ，-1）C ．（2078 ，1）D ．（2014 ，1）二、填空题12．如下图，在平面直角坐标系中，第一次将OAB 变换成11OA B ，第二次将11OA B 变换成22OA B △，第三次将22OA B △变换成33OA B ，…，将OAB 进行n 次变换，得到n n OA B △，观察每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测2020A 的坐标是__________．13．如果点()3,1P m m ++在坐标轴上，那么P 点坐标为_________．14．已知点P （a ，a +1）在平面直角坐标系的第二象限内，则a 的取值范围___．15．如图，已知A 1（1，0），A 2（1，1），A 3（﹣1，1），A 4（﹣1，﹣1），A 5（2，﹣1），…，则坐标为（﹣505，﹣505）的点是______．16．已知点A(3a ﹣6，a+4)，B(﹣3，2)，AB ∥y 轴，点P 为直线AB 上一点，且PA ＝2PB ，则点P 的坐标为_____．17．已知点()1,2A ，//AC x 轴，5AC =，则点C 的坐标是______ ．18．已知两点A(-2，m)，B(n ，-4)，若AB//y 轴，且AB=5，则m=_______；n=_______________． 19．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．则点2019A 的坐标是_________．20．在平面直角坐标系中，点P （m ，1﹣m ）在第一象限，则m 的取值范围是_____． 21．若点M(a-2，a+3)在y 轴上，则点N(a+2，a-3)在第________象限．三、解答题22．在平面直角坐标系中，已知点(),B a b ，线段BA x ⊥轴于A 点，线段BC y ⊥轴于C点，且2(2)a b -++ |22|0a b --=．（1）求A ，B ，C 三点的坐标．（2）若点D 是AB 的中点，点E 是OD 的中点，求AEC 的面积．（3）在（2）的条件下，若点()2,P a ，且AEP AEC S S =△△，求点P 的坐标．23．平面直角坐标系中有点A (m +6n ，-1)，B (-2，2n -m )，连接AB ，将线段AB 先向上平移，再向右平移，得到其对应线段A 'B '（点A '和点A 对应，点B '和点B 对应），两个端点分别为A '(2m +5n ，5)，B '(2，m +2n )．分别求出点A '、B '的坐标．24．如图，已知每个小正方形的边长均为1的网格中有一个三角形．()1请你画出这个三角形向上平移3个单位长度，所得到的'''A B C ∆()2请以'A 为坐标原点建立平面直角坐标系(在图中画出)，然后写出点B ，点C 及','B C 的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC?的顶点坐标分别是()()A 4,1B 1,1?--，，()C 1,4?-，点()11P x ,y ?是三角形 ABC?内一点，点()11 P x ,y ?平移到点()111 P x 3,1?y +-时；（1）画出平移后的新三角形111?A B C 并分别写出点111?A B C 的坐标；（2）求出三角形111?A B C 的面积一、选择题1．在直角坐标系中，ABC 的顶点()1,5A -，()3,2B ，()0,1C ，将ABC 平移得到A B C '''，点A 、B 、C 分别对应A '、B '、C '，若点()1,4A '，则点'C 的坐标（ ） A ．()2,0- B ．()2,2- C ．()2,0 D ．()5,12．如图，将一颗小星星放置在平面直角坐标系中第二象限内的甲位置，先将它绕原点O 旋转180︒到乙位置，再将它向上平移2个单位长到丙位置，则小星星顶点A 在丙位置中的对应点A '的坐标为（ ）A ．()3,1-B ．()1,3C ．()3,1D ．()3,1- 3．点A 到x 轴的距离是3，到y 轴的距离是6，且点A 在第二象限，则点A 的坐标是（ ） A ．（-3，6） B ．（-6，3） C ．（3，-6） D ．（8，-3） 4．如图是轰炸机机群的一个飞行队形，如果最后两架轰炸机的平面坐标分别为A ()2,1-和B ()2,3--，那么第一架炸机C 的平面坐标是（ ）A ．()2,1B ．()3,1-C ．()2,1-D ．()3,15．点()1,3P --向右平移3个单位，再向上平移5个单位，则所得到的点的坐标为（ ）A ．()4,2-B ．()2,2C ．()4,8--D ．()2,8- 6．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为()2,0-，点B 的坐标为()1,4，则点A 的坐标为（ ）A ．()6,3-B ．()3,6-C ．()4,3-D ．()3,4- 7．已知点P(a+5，a-1)在第四象限，且到x 轴的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(4，-2)B ．(-4，2)C ．(-2，4)D ．(2，-4) 8．如图，动点Р在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)……按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点Р的坐标是（ ）A ．(2019,2)B ．(2019,0)C ．()2019,1D ．(2020,1) 9．在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m 其行走路线如图所示，第1次移动到1A ，第2次移动到2A ，…第n 次移动到n A ．则32020OA A △的面积是（ ）A ．2504.5mB ．2505mC ．2505.5mD ．21010m10．若把点A (－5m ，2m －1)向上平移3个单位后得到的点在x 轴上，则点A 在( ) A ．x 轴上 B ．第三象限 C ．y 轴上 D ．第四象限 11．如图，将点A 0（-2，1）作如下变换：作A 0关于x 轴对称点，再往右平移1个单位得到点A 1，作A 1关于x 轴对称点，再往右平移2个单位得到点A 2，…，作A n －1关于x 轴对称点，再往右平移n 个单位得到点A n （n 为正整数），则点A 64的坐标为（ ）A ．（2078，-1）B ．（2014 ，-1）C ．（2078 ，1）D ．（2014 ，1）二、填空题12．在x 轴上方的点P 到x 轴的距离为3，到y 轴距离为2，则点P 的坐标为________． 13．如图，将边长为1的正方形OABP 沿x 轴正方向连续翻转，点P 依次落在点1P ，2P ，3P ，4P ，…的位置，那么2016P 的坐标是________．14．写一个第三象限的点坐标，这个点坐标是_______________．15．在平面直角坐标系中，与点A （5，﹣1）关于y 轴对称的点的坐标是_____． 16．若点M （5，a ）关于y 轴的对称点是点N （b ，4），则（a+b ）2020= __17．已知点A （2m +，3-）和点B （4，1m -），若直线//AB x 轴，则m 的值为______． 18．直角坐标系内，一动点按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（-1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，-2），……，按这样的运动规律，动点第2021次运动到的点的坐标为____________．19．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次运动到点(2，0)，第3次运动到点(3，-1)，…，按照这样的运动规律，点P 第17次运动到的点的坐标为__________．20．点A （m ，﹣3），点B （2，n ），AB //x 轴，则n=_____．21．对于平面坐标系中任意两点()11,A x y ，()22,B x y 定义一种新运算“*”为：()()()11221221,*,,x y x y x y x y =．若()11,A x y 在第二象限，()22,B x y 在第三象限，则*A B 在第_________象限．三、解答题22．如图1，长方形OABC 的边OA 在数轴上，O 为原点，长方形OABC 的面积为12，OC 边长为3（1）数轴上点A 表示的数为______．（2）将长方形OABC 沿数轴水平移动，移动后的长方形记为O A B C ''''，移动后的长方形O A B C ''''与原长方形OABC 重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S①设点A 的移动距离AA x '=．当4S =时，x =______．②当S 恰好等于原长方形OABC 面积的一半时，求数轴上点A '表示的数为多少． 23．已知三角形ABC 在平面直角坐标系中，点(3,6)A ，点()1,3B ，点(4,2)C ，则三角形ABC 的面积为多少？24．如图，在平面直角坐标系中，点C （-1，0），点A （-4，2），AC ⊥BC 且AC=BC ， 求点B 的坐标．25．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点都在格点上，其中A点坐标为（﹣2，﹣1），C点坐标为（3，3）．（1）填空：点B到y轴的距离为，点B到直线AD的距离为；（2）求四边形ABCD的面积；（3）点M在y轴上，当△ADM的面积为12时，请直接写出点M的坐标．。

平面直角坐标系【思维入门】1.如图3- 11 —1是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用(0, 0)表示新宁崀山的位置，用(1, 5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为()A. (2, 1)B. (0, 1)C. (—2，—1) D . (—2, 1)2 •在平面直角坐标系中，点A(2，—3)在第几象限()A .一B.二C.三 D .四3. 如图3—11 —2,在平面直角坐标系中，点A(—3，0)，B(5, 0)，C(3, 4)，D(—2, 3).求四边形ABCD的面积.图3—11—24. 如图3—11 —3,点A, B, C 的坐标分别是(2, 2), (2,—1), (0,—2).(1) 求线段AB的长及△ ABC的面积；(2) 若在直线AB上有一点M，且线段AM = a(a>0)，求△ BMC的面积.5. 在平面直角坐标系中有两点A( —2, 2), B(3, 2), C是坐标轴上的一点，若△ ABC是直角三角形，则满足条件的点有()A . 1个B . 2个C. 4个 D . 6个6 •在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(1，.3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为()A . 4B . 5 C. 6 D . 87.如图3—11 —4,在直角坐标系中，0是原点，已知A(4，3)，P是坐标轴上的一点，若以0, A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有____ 个，写出其中一个点P的坐标是_____ .8.如图3—11 —5,已知坐标平面内的三个点A(1, 3), B(3, 1), 0(0, 0),求厶ABO的面积.【思维升华】9•如图3- 11 —6，弹性小球从点P（0, 3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1,第2次碰到矩形的边时的点为P2,…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，贝U点P3的坐标是____ ;点P2 014的坐标是_____ .10.如图3—11 —7,在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1,0），A4（2, 0）,…，那么点A4n+1（n是自然数）的坐标为 .图3—11—711.如图3—11 —8,在平面直角坐标系中，点A, B, C的坐标分别为（1, 0）, （0, 1）,（—1, 0）.一个电动玩具从坐标原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称，….照此规律重复下去，则点P2 013的坐标为________________ .—----- 4---------- ——1 -- 1——>C °A耳图3- 11—812•在平面直角坐标系xOy中，对于点P(x, y)，我们把点P'—y+ 1, x+ 1)叫做点P的伴随点，已知点A1的伴随点为A2，点A2的伴随点为A3，点A的伴随点为A4,这样依次得到A1, A2, ______ A3,…，A n,…，若点A1的坐标为(3，1)，则点A3的坐标为，点A2014的坐标为____ ;若点A1的坐标为(a, b),对于任意的正整数n,点A n均在x轴上方，则a, b应满足的条件为 _____ .平面直角坐标系【思维入门】1.如图3- 11 —1是我市几个旅游景点的大致位置示意图，如果用(0, 0)表示新宁崀山的位置，用(1, 5)表示隆回花瑶的位置，那么城步南山的位置可以表示为A. (2, 1)B. (0, 1)C. (—2，—1) D . (—2, 1)2 •在平面直角坐标系中，点A(2，—3)在第几象限(D )A .一B.二C.三 D .四3.如图3—11 —2,在平面直角坐标系中，点A(—3，0)，B(5, 0)，C(3, 4)，D(—2, 3).求四边形ABCD的面积.-r - - T -- nt- - - -ir ■-! 1 1 V 1 1 1 I i i i fl&-i - = - -i- - - ii1 l< 1 4 1 Vi ii i ii i i1 1 i i i I1 1 i I 1 11 H 1 1 1 1I b 丨厂i i * 1i 1 h i IP * 1 \ «■1_ _ J_ - JL____________ Y J _ I I1 1 1 * p ■1[I 1 1 f1 ■」K H 1 \ H 1 * i B i \i i iJ 1 \ I _ n1'! 1 P / 1 1i 1 1 i f1 11 1 1 1 f1 1r I \ i ii h 1 i \ 1 11 N 1 «\ ■1r■ r7" -n J i r -i i ■i ■；11 !r 1 1= = i (- A r--1»i> i i \i »、i i i j r i：4-5 ：\A\:0 ：；；: #5 ；戈图3—11—2解：作DE丄x轴于E, CF丄x轴于F，如答图，1 1 1四边形ABCD 的面积=ADE + S四边形CDEF+BCF = ?X 1 X 3+(3 + 4) X (3 + 2) + 2 X 4 = 23.4•如图3- 11 —3,点A, B, C 的坐标分别是(2, 2), (2,—1), (0,—2).⑴求线段AB的长及△ ABC的面积；(2)若在直线AB上有一点M，且线段AM = a(a>0)，求△ BMC的面积.解：(1) •••点A, B的坐标分别是(2, 2), (2,—1),••• AB丄x轴，二AB= 2—(—1)= 3,1S A ABC = 2 X 3X 2 = 3.⑵当M点在BA的延长线上时，MB = a+ 3,1△ BMC 的面积=2X2X (a+ 3)= a+ 3;当M点在线段AB上时，0<a<3, MB = 3 —a,1△ BMC 的面积=2X 2X (3 —a) = 3 —a；当M点在AB的延长线上时，a>3, MB = a —3,1△ BMC 的面积=^X 2X (a—3)= a — 3.【思维拓展】5.在平面直角坐标系中有两点A( —2, 2), B(3, 2), C是坐标轴上的一点，若△ ABC是直角三角形，则满足条件的点有(D )A . 1个B . 2个C. 4个 D . 6个【解析】因为A, B的纵坐标相等，所以AB// x轴•因为C是坐标轴上的一点，所以过点A向x轴引垂线，过点B向x轴引垂线，分别可得一点，以AB为直径作圆，可与坐标轴交于4点，所以满足条件的点共有6个.6 •在平面直角坐标系中，0为坐标原点，点A的坐标为(1，3)，M为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为(C )A . 4B . 5 C. 6 D . 8【解析】如答图，满足条件的点M的个数为6,分别为(—2, 0)，(2, 0)，(0，2 3)，(0，2), (0, —2), 0,斗3.故选 C.r r 4 :'甌! 1* 1 3-----T -------------- -- 1 ----- i1 n ■* 1 t ! U…上II 1 J( 11 11 11 |L _ _ L1 1 H ■1 七\ \帆1 1; --- 「［-■「1/M L42 0 11II 1;1 2M2_________ J__________ ::;-1i 1Il i1；：：■；：：：* 1 p 1 ____ L - 1- ■------------------- ----------- ---------------- ----------第6题答图7•如图3—11 —4,在直角坐标系中，O是原点，已知A(4, 3), P是坐标轴上的一点，若以O, A, P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有一8—个，写出其中一个点P的坐标是(0, 6),答案不唯一.8.如图3- 11 —5,已知坐标平面内的三个点A(1, 3), B(3, 1), 0(0, 0),求厶ABO的面积.3= 4+ 3- 3= 4.-gxix解：如答图，S A ABO=第8题答图【思维升华】9•如图3- 11 — 6，弹性小球从点P(0, 3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1次碰到矩形的边时的点为 P 1,第2次碰到矩形的边时的点为 P 2,…，第n 次碰到矩形的边时的点为 P n ，贝U 点 P 3的坐标是 —(8, 3)__;点P2 014的坐标是__(5，0)__,当点P 第3次碰到矩形的边时，点P 3的坐标为(8, 3);••• 2 014 £= 335……4 ,•••当点P 第2 014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，点P 2 014的坐 标为(5, 0).10. 如图3— 11 — 7,在平面直角坐标系中，一动点从原点O 出发，按向上、向右、向下、 向右的方向依次不断地移动，每次移动一个单位，得到点 A 1(0, 1), A 2(1, 1), A 3(1, 0), A 4(2, 0),…，那么点A 4n +1(n 是自然数)的坐标为__(2n , 1)__.J h y A 2 A .沖 4 凡 ^10 /h1 j t 1 鼻 1 J (. 1 * 1 t 一 t A 0 〒 k 尸 k Aj J 44 A lx A ]2 【解图 3- 11— 7【解析】 由图可知，n = 1时，4X 1+ 1 = 5•点A 5(2, 1),n = 2 时，4X 2+ 1 = 9,点 A 9(4, 1),n = 3 时，4X 3+ 1 = 13,点 A 13(6, 1),所以，点 A 4n + 1(2n , 1).11. 如图3— 11 — 8,在平面直角坐标系中，点A , B , C 的坐标分别为(1, 0), (0, 1),(— 1, 0). —个电动玩具从坐标原点 O 出发，第一次跳跃到点 P 1，使得点P 1与点O 关 于点A 成中心对称；第二次跳跃到点P 2,使得点P 2与点P 1关于点B 成中心对称；第 三次跳跃到点P 3,使得点P 3与点P 2关于点C 成中心对称；第四次跳跃到点 P 4,使 得点P 4与点P 3关于点A 成中心对称；第五次跳跃到点 P 5，使得点P 5与点P 4关于点 B 成中心对称，….照此规律重复下去，则点P2 013的坐标为_(0,— 2)_ .7 +-4 ------------- b ——' -- 1——>C 0 A 兀图 3— 11— 8【解析】 点 P 1（2, 0）, P 2（ — 2, 2）, P 3（0,— 2）, P 4（2, 2）, P 5（ — 2, 0）, P 6（0, 0）,P 7(2, 0),从而可得出6次一个循环,•••点P 2 013的坐标为（0,— 2）. 12. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点P(x , y)，我们把点P '—y + 1, x + 1)叫做点P 的 伴随点，已知点A 1的伴随点为A 2,点A 2的伴随点为A 3,点A 3的伴随点为A 4,这样 依次得到A 1, A 2, A 3,…，A n ，…，若点A 1的坐标为(3, 1),则点A 3的坐标为 (— 3, 1)__,点A2 014的坐标为_(0, 4)_；若点A 1的坐标为(a , b)，对于任意的正整 数n ,点A n 均在x 轴上方，则a , b 应满足的条件为1v a v 1且0v b v 2 .【解析】：A 1的坐标为(3, 1),•-A 2(0, 4), A 3( — 3, 1), A 4(0,— 2), A 5(3, 1),…， 2 013= 6 =335 3,以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，2 014-4 = 503……2,•••点A 014的坐标与A2的坐标相同，为（0, 4）;•••点A i的坐标为（a，b）,• - A2（—b + 1，a+ 1），A3（—a，—b+ 2），A4（b—1，—a + 1），A5（a，b），…，以此类推，每4个点为一个循环组依次循环，•••对于任意的正整数n,点A n均在X轴上方，a+ 1>0，•丿…a+ 1>0，b+ 2>0，4>0，解得—1<a<1，0<b<2.。

平面直角坐标系（讲义及答案）平面直角坐标系（讲义）➢课前预习1. 在电影票上，“3 排6座”与“6 排3座”（填“是”或“不是”）同一个座位，所以在电影院选择座位需要个数据．2.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个点，回答下列问题C A B D-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5（1）点C关于点A的对称点表示的数是；点D关于点B 的对称点表示的数是．（2）点C向右平移3个单位后表示的数是；点B向左平移2个单位后表示的数是．（3）点A关于点B的对称点向左平移2个单位后表示的数是．3.如图是某市的部分简图，每个小正方形的边长均为500 米，我们用(2，6)表示文化宫的位置，请回答下列问题：（1）说出体育场与超市的位置；（2）小明家在火车站以东 1 000米，再往北500米处；小聪家在超市以北500 米，再往西 1 500米处，在图中标出小明和小聪家的位置．（3）上周六，小华的活动路线是(1，8)→(2，6)→(7，7)→(7，2)，说一说他这一天去了哪些地方．➢ 精讲精练1.写出图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标，并指出它们所在的象限．解：A ( ， )，第_ 象限； B ( ， )， 第 象 限 ； C ( ， )， 第 象 限 ； D ( ， )， 第 象 限 ； E ( )， 象限； F ( )， 象限．2.在平面直角坐标系中， 点(-2，-3)在第 象限；点(，)在第 象限；点( -1，1- )在第 象限；点(-2，a 2+1)在第 象限．3. 若 a <b <0，则点 A (a -b ，b )在第 象限．4. 在平面直角坐标系中，若点 P (a ，b )在第二象限，则点Q (1-a ，-b )在第 象限．5.在平面直角坐标系中描出下列各点，并将各组内这些点依次用线段连接起来．（1）A (-3，5)，B (-7，3)，C (1，3)，A (-3，5)； （2）D (-6，3)，E (-6，0)，F (0，0)，G (0，3)．6 5 4 3 观察所描出的图形，解答下列问题： ①坐标轴上的点有 ，且 x 轴上的点 坐标等于零，y 轴上的点 坐标等于零． ②线段 B C 与 x 轴 ，点 B 和点 C 坐标相同，线段 BC 上其他点的 坐标都相同． ③线段 D E 轴 ，点 E 坐标相同，线段 D E 上其他点的 坐标都相同．y21 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 -2 - 1O 1 x6.若点M(a+3，4-a)在x轴上，则点M的坐标为．7.若过A(1，m)，B(n，-3)两点的直线与x轴平行，且A B=4，则m= ，n= ．8.如图，正方形A BCD 在平面直角坐标系中，其中三个顶点的坐标分别为(-2，-2)，(-2，3)，(3，-2)，则第四个顶点的坐标为．第8题图第9题图9.如图，若在象棋盘上建立直角坐标系，使“帅”位于点(-1，-“马”位于点(2，-2)，则“兵”位于点( ，)．10.如图，长方形ABCD 的长与宽分别是6，4，建立适当的平面直角坐标系，并写出各个顶点的坐标．D CA B11.如图，对于边长为4 的等边三角形ABC，建立适当的平面直角坐标系，写出各个顶点的坐标．CA B12.已知点P(-3，2)，它到x轴的距离为，到y轴的距离为，到原点的距离为．13.在平面直角坐标系中，第二象限内有一点P，若点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是5，则点P的坐标为．14.点M在x轴的上方，距离x轴4个单位长度，距离y轴3个单位长度，则点M的坐标为（）A．(4，3) B．(-4，3)或(4，3)C．(3，4) D．(-3，4)或(3，4)15.若点A(x，4)到原点的距离为5，则x= ．16.如图，△ABC 在平面直角坐标系中，则S△ABC= ．17.已知点A(0，4)，点B在x轴上，若A B 与坐标轴围成的三角形的面积为2，则点B的坐标为．18.（1）作图，将△ABC 各顶点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1，顺次连接这些点，所得三角形与△ABC 关于轴对称；（2）如图，△DEF 与△ABC 关于轴对称，它们相应顶点的横坐标、纵坐标．19.如果点A(a，b)与点B 关于x 轴对称，点B 与点C(2，3)关于y 轴对称，那么a= ，b= ，点A和点C的位置关系是．20.若点A(a，4)，点B(3，b)关于x 轴对称，则(a+b)2 016 的值为21.若点P(b-3，-2b)在y轴上，则点P关于x轴对称的点的坐标为．22.若点A(a，b)沿x轴向左平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1单位长度得到点A′(1，2)，则点A的坐标为．23.如图，将三角形向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别为（）A．(-1，-1)，(2，3)，(5，1)B．(-1，1)，(3，2)，(5，1)C．(-1，1)，(2，3)，(5，1)D．(1，-1)，(2，2)，(5，1)24.如图，把图1 中的△ABC 经过一定的变换得到图2 中的△A′B′C′，如果图1中△ABC 上点P的坐标为(a，b)，那么这个点在图2中的对应点P′的坐标为．图1 图2【参考答案】➢课前预习1. 不是，两2. （1）0；-2 （2）-1；-1 （3）23. （1）体育场(1，8)，超市(7，2)（2）略（3）他这一天去的地方：体育场、文化宫、宾馆、超市➢知识点睛1.两2.互相垂直，公共原点，数轴x 轴，横轴，y 轴，纵轴，x 轴，y 轴3.作垂线，横坐标，纵坐标，有序实数对4. 四，(-，+)，(-，-)，(+，-)6. （1）纵；横（2）纵；横（3）相同，互为相反数，互为相反数，相同（4）左右，上下➢精讲精练1. (-1，3)，二；(-2，-1)，三；(-1，-2)，三；(3，-2)，四(3，1)，第一；(2，3)，第一2.三；一；四；二3.三4.四5.图形略①E，F，G，纵，横②平行，纵，纵③平行，横，横6. (7，0)7. -3，-3 或58. (3，3)9. (-3，1)10.略11.略12. 2，3，13. (-5，4)14. D15. 3 或-316. 917. (1，0)或(-1，0)18.（1）x；（2）y，互为相反数，相同19.-2，-3，关于原点中心对称20. 121. (0，6)22. (3，1)23. A24. (a+3，b+1)第 10 页。