江苏省南大附中2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题

南京师范大学附属实验学校2020-2021学年度第一学期高一年级10月份考试数学试卷分值：150分 时间：90分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.已知集合A={}7531，，，，B={}5432，，，，则B A = A ．{}3 B ．{}5 C ．{}53，D ．{}754321，，，，， 2.若1∈{}2x x ，，则x =A ．1B ．﹣1C ．0或1D ．0或1或﹣13.已知集合A={}2|x x x =，B={}21，，m ，B A ⊆若，则实数m 的值为 A ．2B ．0 C ．0或2D ．14.不等式021>--x x 的解集为 A ．{}12|->-<x x x 或 B ．{}21|><x x x 或 C ．{}21|<<x x D ．{}12|-<<-x x5.已知m ，n ∈R ，则“m ≠0”时“mn ≠0”的A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件6.如图，在一块长为22m ，宽为17m 的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪的面积不小于300m 2.设道路宽为xm ，根据题意可列出的不等式为A ．()()3001722≤--x xB ．()()3001722≥--x xC ．()()3001722>--x xD ．()()3001722<--x x7.函数432--=x x y 的零点是A ．（﹣1，0）B ．（4，0）C ．（﹣1，0）或（4，0）D ．﹣1或48.若关于x 的一元二次不等式012≥++mx x 的解集为R ，则实数m 的取值范围是A ．22≥-≤m m 或B ．-2≤m ≤2C ．22>-<m m 或D ．-2<m <2二、 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分， 共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9.如果集合A={}1|->x x ，那么A ．0∈AB ．{}A ∈0C ．A ∈∅D ．{}A ⊆010.已知下列命题中，真命题的是A ．012>+∈∀x R x ，B ．12≥∈∀x N x ，C ．13<∈∃x Z x ，D ．32=∈∃x Q x ，11.下列命题为真命题的是A ．若22bc ac b a >>，则B ．若32<<-a ，21<<b ，则24<-<-b aC ．若bm a m m a b ><<<，则，00D ．若a >b ，c >d ，则ac >bd12.设正数m ，n 满足m +n =2，则下列说法正确的是A ．222321++的最小值为n m B ．212的最大值为mn C ．2的最小值为n m +D ．222的最小值为n m +三、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知命题p ：“0322>-+∈∀x x R x ，”，请写出命题p 的否定：.14.已知命题p ：1<m ≤2是假命题，则m 的取值范围是.15.已知二次函数122++=ax ax y 只有一个零点，则实数a =.16.已知集合A 中的元素均为整数，对于k ∈A ，如果A k A k ∉+∉-11且，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定集合{}87654321，，，，，，，=S ，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个四、解答题（本大题共5小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分14分）设全集U=R ，集合A={}41|<≤x x ，B={}a x a x -<≤32|.（1）若a =—2，求A B ，()A C B U .（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.18.（本小题满分14分）若不等式0252>-+x ax 的解集是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<221|x x (1)求a 的值；(2)求不等式01522>-+-a x ax 的解集.19.（本小题满分14分）(1)求函数()3331>+-=x x y 的最小值； (2)已知x >0，y >0，且111=+yx ，求x +y 的最小值.20.（本小题满分14分）已知a >0，试比较a 与a1的大小.21.（本小题满分14分）某投资公司计划投资A ，B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y 1与投资金额x 的函数关系为10180181+-=x y ，B 产品的利润y 2与投资金额x 的函数关系为52x y =（注：利润与投资金额单位：万元）.(1)该公司已有100万元资金，并全部投入A ，B 两种金融产品，其中x 万元资金投入A 产品，试把A ，B 两种产品利润总和表示为x 的函数，并写出x 的取值范围；(2)在(1)的条件下，试问：怎样分配这100万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？。

（新课标）最新苏教版高中数学必修一高一（上）9月月考数学试卷一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填写在题中横线上）1．下列所给关系正确的个数是．①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M= ．3．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B= ．4．已知f（x）=，则f[f（0）]= ．5．函数f（x）=+的定义域为．6．函数，使函数值为5的x的值是．7．设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B= ．8．若函数f（x）在实数集R上是增函数，且f（x）＞f（1﹣x），则x的取值范围是．9．满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是．10．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有个．11．已知集合A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．若C∩A=C，则a的取值范围是．12．已知全集U=R，函数y=+的定义域为集合A，函数y=的定义域为集合B．则集合（∁U A）∩（∁U B）= ．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））=g（f（x））的x值为．x 1 2 3 4f（x） 1 3 1 3x 1 2 3 4g（x） 3 2 3 214．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，则f（1）= ．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．集合A={﹣2}，B={x|ax+1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值．16．求下列函数的值域（1）y=﹣，x∈[﹣3，0）∪（0，1]；（2）y=x2+4x+1，x∈[﹣3，0]．17．已知集合M是由三个元素﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4组成，若2∈M，求x．18．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）及f（2）．19．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．20．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f （x）+f（y）﹣1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m﹣2）≤3．参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填写在题中横线上）1．下列所给关系正确的个数是 2 ．①π∈R；②∉Q；③0∈N*；④|﹣4|∉N*．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系进行判断．【解答】解：对于①π∈R：R是一切实数集，π是一个元素，所以π∈R是正确的，故A对．②∉Q：无理数，Q是有理数集，所以∉Q是正确的，故B对．③0∈N*：N*是大于0的正整数集，所以0∉N*，故C不对．④|﹣4|∉N*：N*是大于0的正整数集，|﹣4|=4∈N*，故D不对．综上所述：①②正确．故答案为：2．2．设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M= {3，5，6} ．【考点】补集及其运算．【分析】题目是用列举法给出了两个数集，直接利用补集运算进行求解．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁U M={3，5，6}．故答案为：{3，5，6}．3．设集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，则A∪B= {x|﹣1＜x＜3} ．【考点】并集及其运算．【分析】利用交集性质直接求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，集合B={x|1＜x＜3}，∴A∪B={x|﹣1＜x＜3}．故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．4．已知f（x）=，则f[f（0）]= ﹣5 ．【考点】函数的值．【分析】根据定义域的范围代值计算即可．【解答】解：由题意，f（x）=，当x=0时，则f（0）=﹣1，那么f[f（0）]=f（﹣1），当x=﹣1时，f（﹣1）=﹣5．即f[f（0）]=f（﹣1）=﹣5故答案为﹣55．函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）6．函数，使函数值为5的x的值是﹣2 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】根据分段函数的分段标准进行分类讨论，分别建立方程，求出满足条件的x即可．【解答】解：①当x≤0时，x2+1=5解得x=﹣2②当x＞0时，﹣2x=5解得x=﹣（舍去）综上所述，x=﹣2，故答案为﹣27．设A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，则A∩B= {（1，2）} ．【考点】交集及其运算．【分析】直接联立方程组，求出方程组是解，就是A与B的交集．【解答】解：由题意可知A={（x，y）|y=﹣4x+6}，B={（x，y）|y=5x﹣3}，所以解得，所以A∩B={（1，2）}．故答案为：{（1，2）}．8．若函数f（x）在实数集R上是增函数，且f（x）＞f（1﹣x），则x的取值范围是（，+∞）．【考点】函数单调性的性质．【分析】直接利用函数在R上是增函数，f（x）＞f（1﹣x）转化为x＞1﹣x求解即可．【解答】解：由题意：函数f（x）在实数集R上是增函数，由f（x）＞f（1﹣x），可得：x＞1﹣x，解得：x故答案为（，+∞）．9．满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}的集合M的个数是8 ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】根据已知中M满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，列举出所有满足条件的集合M，可得答案．【解答】解：若M满足条件{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，则M可能为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共8个，故答案为：810．已知一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，这样的函数有9 个．【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】由题意知，函数的定义域中，1和﹣1至少有一个，2和﹣2中至少有一个．【解答】解：∵一个函数的解析式为y=x2，它的值域为{1，4}，∴函数的定义域可以为{1，2}，{﹣1，2}，{1，﹣2}，{﹣1，﹣2}，{1，﹣1，2}，{﹣1，1，﹣2}，{1，2，﹣2}，{﹣1，2，﹣2}，{1，﹣1，﹣2，2}，共9种可能，故这样的函数共9个，故答案为9．11．已知集合A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．若C∩A=C，则a的取值范围是a≤﹣1 ．【考点】交集及其运算．【分析】由C∩A=C，得C⊆A，然后分C是空集和不是空集分类求解实数a的取值范围．【解答】解：由C∩A=C，得C⊆A，∵A={x|1≤x＜5}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．当﹣a≥a+3，即a时，C=∅，满足C⊆A；当C≠∅时，有，解得：﹣＜a≤﹣1．综上，a的取值范围是a≤﹣1．故答案为：a≤﹣1．12．已知全集U=R，函数y=+的定义域为集合A，函数y=的定义域为集合B．则集合（∁U A）∩（∁U B）= {x|x＜﹣2} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】分别求出集合A，B，再求补集，即可得到交集．【解答】解：A={x|}={x|x≥2}，A={x|x＜2}．UB={x|}={x|x≥﹣2且x≠3}，B={x|x＜﹣2或x=3}，U则（∁U A）∩（∁U B）={x|x＜﹣2}．故答案为：{x|x＜﹣2}．13．已知函数f（x），g（x）分别由下表给出：则满足f（g（x））=g（f（x））的x值为2，4 ．x 1 2 3 4f（x） 1 3 1 3x 1 2 3 4g（x） 3 2 3 2【考点】函数的值．【分析】结合表格，先求出内涵式的函数值，再求出外函数的函数值；分别将x=1，2，3，4代入f[g（x）]，g[f（x）]，判断出满足f[g（x）]=g[f（x）]的x．【解答】解：x=1时，f（g（1））=f（3）=1；g（f（1））=g（1）=3，不满足f（g（x））=g（f（x））；x=2时，f（g（2））=f（2）=3；g（f（2））=g（3）=3，满足f（g（x））=g（f（x））；x=3时，f（g（3））=f（1）=1；g（f（3））=g（1）=3，不满足f（g（x））=g（f（x））；x=4时，f（g（4））=f（2）=3；g（f（4））=g（3）=3，满足f（g（x））=g（f（x））；故答案为：2，414．函数f（x）=2x2﹣mx+3，当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，则f（1）= ﹣3 ．【考点】二次函数的性质．【分析】利用当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，得到2是函数的对称轴，然后求出m，直接代入求f（1）即可．【解答】解：函数f（x）=2x2﹣mx+3的对称轴为．∵当x∈[2，+∞）时是增函数，当x∈（﹣∞，2]时是减函数，∴x=2是函数f（x）=2x2﹣mx+3的对称轴，即，解得m=8．∴f（x）=2x2﹣8x+3，即f（1）=2﹣8+3=﹣3．故答案为：﹣3．二、解答题：（本大题共6小题，共90分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．集合A={﹣2}，B={x|ax+1=0，a∈R}，若A∩B=B，求a的值．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【分析】由A∩B=B即得，B⊆A，所以B的可能情况为：B=∅，或B={﹣2}，所以得到a=0，或．【解答】解：∵A∩B=B；∴B⊆A；∴B=Ø或B={﹣2}；当B=Ø时，方程ax+1=0无解，此时a=0；当B={﹣2}时，﹣2a+1=0，∴；∴a=0，或．16．求下列函数的值域（1）y=﹣，x∈[﹣3，0）∪（0，1]；（2）y=x2+4x+1，x∈[﹣3，0]．【考点】函数的值域．【分析】（1）可看出函数在[﹣3，0），（0，1]上都是增函数，从而根据单调性求出该函数的值域；（2）只需配方便可求出该函数的最大、最小值，从而得出该函数的值域．【解答】解：（1）在[﹣3，0），（0，1]上都是增函数；∴﹣3≤x＜0时，，0＜x≤1时，y≤﹣4；∴该函数值域为；（2）y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3；∴x=0时，y取最大值1，x=﹣2时，y取最小值﹣3；∴该函数的值域为[﹣3，1]．17．已知集合M是由三个元素﹣2，3x2+3x﹣4，x2+x﹣4组成，若2∈M，求x．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】集合M由3个元素组成，﹣2是其中一个，若2也是M中元素，需讨论3x2+3x﹣4=2和x2+x﹣4=2两种情况，根据集合的互异性，正确选取合适的答案即可．【解答】解：∵2∈M，当3x2+3x﹣4=2时，即x2+x﹣2=0，则x=﹣2或x=1．经检验，x=﹣2，x=1均不合题意，违反了集合的互异性．当x2+x﹣4=2时，即x2+x﹣6=0，则x=﹣3或2．经检验，x=﹣3或x=2均合题意．故答案为：x=﹣3或x=2．18．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x﹣1，求f（x）及f（2）．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】设f（x）=ax+b，a≠0，代入已知式子，比较系数可得a、b的方程组，解之可得解析式及f（2）．【解答】解：由题意设f（x）=ax+b，a≠0∵f[f（x）]=f（ax+b）=a（ax+b）+b=a2x+ab+b又f[f（x）]=4x﹣1，∴a2x+ab+b=4x﹣1比较系数可得解得或．∴f（x）=2x﹣，或f（x）=﹣2x+1，f（2）=4﹣=，或f（2）=﹣4+1=﹣3．19．求证：函数f（x）=﹣﹣1在区间（0，+∞）上是单调增函数．【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】首先，设两个自变量，然后，比较它们函数值的大小，最后，得到结论．【解答】解：任设x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2，∴f（x1）﹣f（x2）==，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴在区间（0，+∞）上是单调增函数．20．函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f （x）+f（y）﹣1，且f（4）=5．（1）求f（2）的值；（2）解不等式f（m﹣2）≤3．【考点】抽象函数及其应用；函数单调性的性质．【分析】（1）令x=y=2，通过f（4）=5以及f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1即可求f（2）的值；（2）利用（1）的结果，通过函数的单调性的性质，直接求解不等式f（m﹣2）≤3．【解答】解：（1）对任意的x，y∈（0，+∞），都有f（x+y）=f（x）+f（y）﹣1，且f（4）=5，令x=y=2，则f（4）=f（2+2）=2f（2）﹣1=5，解得f（2）=3．（2）由f（m﹣2）≤3，f（2）=3，得f（m﹣2）≤f（2）．∵f（x）是（0，+∞）上的增函数，m﹣2≤2且m﹣2＞0；⇒m≤4且m＞2 ∴2＜m≤4．不等式的解集为：{m|2＜m≤4}．2017年1月10日。

江苏省南京大学附属中学2020-2021学年高三上学期第一次阶段检测数学试题一、单选题(★) 1. 设集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则( )A．B．C．D．(★★) 3. 《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说，书中有这样一个情节：一座阁楼到处挂满了五彩缤纷的大小灯球，灯球有两种，一种是大灯下缀2个小灯，另一种是大灯下缀4个小灯，大灯共360个，小灯共1200个.若在这座楼阁的灯球中，随机选取两个灯球，则至少有一个灯球是大灯下缀4个小灯的概率为（）A．B．C．D．(★★★) 4. 已知为上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（）A．B．C．D．或(★★★) 5. 函数的图象大致为（）B．A．C．D．(★★★) 6. 函数的图象如图所示，为了得到的图象，只需将的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度(★★) 7. 已知，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生二、多选题(★★★) 9. 已知，，下列四个结论正确的是（）A．的图象向左平移个单位长度，即可得到的图象B．当时，函数取得最大值C．图象的对称中心是，D．在区间上单调递增(★★★) 10. 已知函数 f( x)＝，则下列结论正确的是（）A．函数f(x)不存在两个不同的零点B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值C．当－e<k<0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根D．若x∈[t，＋∞)时，f(x)max＝，则t的最大值为2(★★★) 11. 在长方体中，分别为棱的中点，则下列说法正确的是（）A．A、M、N、B四点共面B．BN∥平面ADMC．直线与所成角的为D．平面平面(★★★) 12. 集合，，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为（）A．a的值可为2B．a的值可为C．a的值可为D．a的值可为三、填空题(★★) 13. 若集合，，且，则实数的值为_____(★) 14. 函数且的图象所过定点的坐标是________ .(★★★) 15. 《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.在这个问题中，甲所得为________．(★★) 16. 已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________四、解答题(★★) 17. 已知函数．（1）若，求的值；（2）求的单调增区间．(★★★) 18. 如图，四棱锥 S— ABCD的底面是正方形， SD 平面 ABCD，，点 E是上的点，且（1）求证：对任意的，都有（2）设二面角 C— AE— D的大小为，直线BE与平面 ABCD所成的角为，若，求的值(★★★★★) 19. 已知函数，，.（1）讨论的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.(★★★) 20. 在中国，不仅是购物，而且从共享单车到医院挂号再到公共缴费，日常生活中几乎全部领域都支持手机支付.出门不带现金的人数正在迅速增加.中国人民大学和法国调查公司益普索合作，调查了腾讯服务的6000名用户，从中随机抽取了60名，统计他们出门随身携带现金(单位：元)如茎叶图如示，规定：随身携带的现金在100元以下(不含100元)的为“手机支付族”，其他为“非手机支付族”.（1）根据上述样本数据，将2×2列联表补充完整，并判断有多大的把握认为“手机支付族”与“性别”有关?（2）用样本估计总体，若从腾讯服务的用户中随机抽取3位女性用户，这3位用户中“手机支付族”的人数为，求随机变量的期望；（3）某商场为了推广手机支付，特推出两种优惠方案，方案一：手机支付消费每满1000元可直减100元；方案二：手机支付消费每满1000元可抽奖2次，每次中奖的概率同为，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8.5折.如果你打算用手机支付购买某样价值1200元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析，选择哪种优惠方案更划算?附：(★★★) 21. 己知向量，，设函数，且的图象过点和点.（1）当时，求函数的最大值和最小值及相应的的值；（2）将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若在有两个不同的解，求实数的取值范围.(★★★) 22. 已知函数（，且），且.（1）求的值，并写出函数的定义域；（2）设函数，试判断的奇偶性，并说明理由；（3）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.。

2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞03．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，47．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．68．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥29．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b310．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为212．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京师大附中高一（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、单项选择题1．（3分）不等式x2﹣3x﹣4＜0的解集为（）A．（﹣1，4）B．（﹣4，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）D．[﹣1，4]【分析】把不等式化为（x﹣4）（x+1）＜0，求出解集即可．【解答】解：不等式x2﹣3x﹣4＜0可化为（x﹣4）（x+1）＜0，解得﹣1＜x＜4，所以不等式的解集为（﹣1，4）．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次不等式的求解问题，是基础题．2．（3分）命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”的否定是（）A．存在x∈Z使x2+2x+m＞0B．不存在x∈Z使x2+2x+m＞0C．对任意x∈Z使x2+2x+m≤0D．对任意x∈Z使x2+2x+m＞0【分析】根据命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题，其否定命题是全称命题，将“存在”改为“任意的”，“≤“改为“＞”可得答案．【解答】解：∵命题“存在x∈Z使x2+2x+m≤0”是特称命题∴否定命题为：对任意x∈Z使x2+2x+m＞0故选：D．【点评】本题主要考查全称命题与特称命题的转化．注意：全称命题的否定是特称命题．3．（3分）已知M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，则（∁R M）∩N＝（）A．[2，3]B．（2，3]C．（﹣∞，﹣1]∪[2，3]D．（﹣∞，﹣1]∪（2，3]【分析】进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵M＝{x|﹣1＜x≤2}，N＝{x|x≤3}，∴∁R M＝{x|x≤﹣1或x＞2}，（∁R M）∩N＝（﹣∞，﹣1]∪（2，3]．故选：D．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集和补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．4．（3分）“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据绝对值的意义，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：∵“|a﹣b|＝|a|+|b|”，∴平方得a2﹣2ab+b2＝a2+2|ab|+b2，即|ab|＝﹣ab，∴ab≤0，即“|a﹣b|＝|a|+|b|”是“ab＜0”的必要不充分条件．故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据绝对值的意义是解决本题的关键，比较基础．5．（3分）已知命题“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0是假命题，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，3）C．（﹣3，+∞）D．（﹣3，1）【分析】写出原命题的否命题，据命题p与￢p真假相反，得到2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立，令判别式小于0，求出a的范围．【解答】解：∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”的否定为“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“∵“∃x∈R，2x2+（a﹣1）x+≤0”为假命题∴“∀x∈R，2x2+（a﹣1）x+＞0“为真命题即2x2+（a﹣1）x+＞0恒成立∴（a﹣1）2﹣4×2×＜0解得﹣1＜a＜3故选：B．【点评】本题考查含量词的命题的否定形式：将量词”∀”与“∃”互换，同时结论否定、考查命题与其否定真假相反、考查二次不等式恒成立从开口方向及判别式两方面考虑．6．（3分）已知不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），则a，b的取值分别为（）A．1，2B．2，1C．﹣1，3D．﹣1，4【分析】解法一、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，由根与系数的关系求出a、b的值．解法二、利用不等式的解集得出对应方程的实数根，把根代入方程求出a的值，再解不等式求出b的值．【解答】解：解法一、不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为（﹣∞，1）∪（b，+∞），所以不等式对应的方程ax2﹣3x+2＝0的实数解为1和b，由根与系数的关系知，，解得a＝1，b＝2．解法二、因为不等式ax2﹣3x+2＞0的解集为{x|x＜1或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根且a＞0，把x＝1代入方程ax2﹣3x+2＝0中，得a﹣3+2＝0，解得a＝1；将a＝1代入ax2﹣3x+2＞0，得x2﹣3x+2＞0，解得x＜1或x＞2，所以b＝2．故选：A．【点评】本题考查了二次函数和二次不等式的关系应用问题，也考查了解不等式的问题，是基础题．7．（3分）已知a＞b＞1且b＝，则a+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【分析】由已知结合a，b的关系代入后利用基本不等式即可直接求解．【解答】解：因为a＞b＞1且b＝，所以a+＝a+＝a﹣1+＝3，当且仅当a﹣1＝即a＝2时取等号，此时取得最小值3．故选：A．【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．8．（3分）已知命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，若p，q为假命题，则实数m的取值范围是（）A．﹣2≤m≤2B．m≤﹣2或m≥2C．m≤﹣2D．m≥2【分析】直接利用存在性问题和恒成立问题的应用及真值表的应用求出结果．【解答】解：命题p：∃x0∈R，mx02+1≤0为假命题，所以m≥0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0，所以△＝m2﹣4＜0，解得﹣2＜m＜2，由于该命题为假命题，所以m≥2或m≤﹣2．当p，q为假命题时，故，整理得m≥2．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：恒成立问题和存在性问题，真值表，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9．（3分）设a，b，c∈R，且a＞b，则（）A．ac＞bc B．C．a2＞b2D．a3＞b3【分析】对于A、B、C可举出反例，对于D利用不等式的基本性质即可判断出．【解答】解：A、3＞2，但是3×（﹣1）＜2×（﹣1），故A不正确；B、1＞﹣2，但是，故B不正确；C、﹣1＞﹣2，但是（﹣1）2＜（﹣2）2，故C不正确；D、∵a＞b，∴a3＞b3，成立，故D正确．故选：D．【点评】熟练掌握不等式的基本性质以及反例的应用是解题的关键．10．（3分）不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件有（）A．x∈（0，2）B．x∈[1，+∞）C．x∈（0，3）D．x∈（1，3）【分析】不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．即可判断出结论．【解答】解：不等式x（x﹣2）＜0⇔0＜x＜2．∵{x|0＜x＜2}⫋{x|0＜x＜3}，∴不等式x（x﹣2）＜0成立的必要不充分条件是C．故选：C．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，属于基础题．11．（3分）下列说法中正确的是（）A．当x＞0时，+≥2B．当x＞2时，x+的最小值是2C．当x＜时，y＝4x﹣2+的最小值是5D．若a＞0，则a3+的最小值为2【分析】由已知结合基本不等式的应用条件分别检验各选项即可判断．【解答】解：x＞0时，≥2，当且仅当即x＝1时取等号，A正确；当x＞2时，y＝x+单调递增，故y＞，没有最小值，B错误；x＜可得4x﹣5＜0，y＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤1，即最大值1，没有最小值，C错误；＝2a，不是定值，D不正确．故选：A．【点评】本题主要考查了基本不等式的应用条件的判断，要注意一正，二定三相等条件的检验．12．（3分）函数f（x）＝x2﹣2ax+1有两个零点，且分别在（0，1）与（1，2）内，则实数a的取值范围是（）A．﹣1＜a＜1B．a＜﹣1或a＞1C．D．【分析】由题意可得f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，解得实数a的取值范围，可得答案．【解答】解：由题意可得：f（0）f（1）＜0，且f（1）f（2）＜0，即：解得，故选：C．【点评】本题考查函数的零点与方程的根的关系，得到f（0）f（1）＜0，f（1）f（2）＜0，是解题的关键．三、填空题13．（3分）已知p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是k＞2．【分析】由题意可得集合{x|x≥k}是{x|＜1}的真子集，结合数轴可得答案．【解答】解：∵p：x≥k，q：＜1，若p是q的充分不必要条件，∴集合{x|x≥k}是{x|＜1}＝{x|x＜﹣1，或x＞2}的真子集，∴k＞2，故答案为：k＞2【点评】判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．14．（3分）设集合A＝{x||2x﹣3|≤7}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是（﹣∞，3]．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据A与B并集为A，分B为空集与B不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可．【解答】解：由A中的不等式解得：﹣7≤2x﹣3≤7，解得：﹣2≤x≤5，即A＝[﹣2，5]；当B＝∅时，m+1＞2m﹣1，即m＜2，当B≠∅时，∵B＝[m+1，2m﹣1]，A∪B＝A，∴，解得：﹣3≤m≤3，综上，m的取值范围是（﹣∞，3]．故答案为：（﹣∞，3]【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．15．（3分）设题p：x2﹣4x+a2≥0恒成立：命题q：∀m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，如果命题p和q一个为真命题，一个为假命题，则实数a的取值范围是﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【分析】分别求出命题p，q都为真命题时a的取值范围，再分别讨论p真q假，p假q 真的情况，从而求出a的范围．【解答】解：x2﹣4x+a2≥0恒成立，则△＝16﹣4a2≤0，解得a≤﹣2或a≥2，对m∈[﹣1，1]，不等式a2﹣5a﹣3≥恒成立，得a2﹣5a﹣3≥（）max＝3，解得a≥6或a≤﹣1．若p真q假，则，解得2≤a＜6；若p假q真，则，解得﹣2＜a≤﹣1．综上，实数a的取值范围为﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．故答案为：﹣2＜a≤﹣1或2≤a＜6．【点评】本题考查了命题的真假，不等式恒成立问题，考查了分类讨论与转化思想，是一道中档题．16．（3分）设A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}，B＝{x|x2+ax+b≤0}，A∪B＝{x|x+2＞0}，A ∩B＝{x|1＜x≤3}，则实数a，b的值为﹣2；﹣3．【分析】由A，B，以及A与B的交集，得到3属于B，即可求出a的值．【解答】解：A＝{x|（x2+x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|﹣2＜x＜﹣1或x＞1}；A∪B＝{x|x+2＞0}＝{x|x＞﹣2}，A∩B＝{x|1＜x≤3}，∴x2+ax+b＝0的解有一个是x＝3，另一个解x＝﹣1，即，解得a＝﹣2，b＝﹣3故答案为：﹣2，﹣3．【点评】此题考查了交集、并集及其运算，熟练掌握交集，并集的定义是解本题的关键．四、解答题17．已知集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．（1）当a＝3时，求A∩B；（2）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．【分析】（1）当a＝3时，求出集合A，由此能求出A∩B．（2）推导出，由此能求出实数a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：（1）当a＝3时，集合A＝{x|﹣1≤x≤5}，B＝{x|x≤1或x≥4}．∴A∩B＝{x|﹣1≤x≤1或4≤x≤5}．（2）∵集合A＝{x|2﹣a≤x≤2+a}，B＝{x|x≤1或x≥4}．A∪B＝R，∴，解得a≥2．∴实数a的取值范围是[2，+∞）．【点评】本题考查并集、实数的取值范围的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18．求下列不等式的解集：（1）2x2+5x﹣3＜0；（2）﹣3x2+6x≤2；（3）4x2+4x+1＞0；（4）﹣x2+6x﹣10＞0．【分析】（1）方法一（因式分解法），把不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，求出解集即可．方法二（配方法），把不等式化为，求出解集即可．（2）不等式化为，求出解集即可．（3）不等式可化为（2x+1）2＞0，写出不等式的解集即可．（4）不等式可化为（x﹣3）2+1＜0，写出不等式的解集．【解答】解：（1）方法一（因式分解法）因为2x2+5x﹣3＝（2x﹣1）（x+3），所以原不等式可化为（2x﹣1）（x+3）＜0，解得，所以原不等式的解集为．方法二（配方法）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即，两边开平方，得，即，所以．所以原不等式的解集为．（2）原不等式化为，因为，所以原不等式可化为，即．两边开平方，得，即或．所以或，所以原不等式的解集为．（3）原不等式可化为（2x+1）2＞0，所以原不等式的解集为．（4）原不等式可化为x2﹣6x+10＜0，即（x﹣3）2+1＜0，即（x﹣3）2＜﹣1，原不等式的解集为∅．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．19．设p：实数x满足A＝{x|x≤3a，或x≥a（a＜0）}．q：实数x满足B＝{x|﹣4≤x＜﹣2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【分析】根据q是p的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：若q是p的充分不必要条件，则B⫋A，∴﹣2≤3a或﹣4≥a，解得a≥﹣，或a≤﹣4，∵a＜0，∴a的取值范围是[﹣，0）∪（﹣∞，﹣4]．【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，属于基础题．20．若x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30．（1）求xy的取值范围；（2）求x+y的取值范围．【分析】（1）由已知可得30﹣xy＝x+2y，从而可求；（2）由已知可得30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，解不等式可求．【解答】解：（1）因为x，y∈（0，+∞），x+2y+xy＝30，所以30﹣xy＝x+2y，当且仅当x＝2y时取等号，解可得，0＜xy≤18，（2）因为x，y∈（0，+∞），30＝x+2y+xy＝x+y+y（x+1）≤x+y+（）2，当且仅当x+1＝y时取等号，所以（x+1+y）2+4（x+1+y）﹣124≥0，解可得，x+y+1或x+y+1（舍），故x+y≥8﹣3【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，应用条件的配凑是求解问题的关键．21．某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．（Ⅰ）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？（Ⅱ）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入（x2﹣600）万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．【分析】（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，建立不等式，解不等式可得每件最高定价；（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，等价于x＞25时，有解，利用基本不等式，我们可以求得结论．【解答】解：（Ⅰ）设每件定价为x元，则提高价格后的销售量为，根据销售的总收入不低于原收入，有，（3分）整理得x2﹣65x+1000≤0，解得25≤x≤40．（5分）∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．（6分）（Ⅱ）依题意，x＞25时，不等式有解，（8分）等价于x＞25时，有解，（9分）∵（当且仅当x＝30时，等号成立），（11分）∴a≥10.2．此时该商品的每件定价为30元（12分）∴当该商品明年的销售量a至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．（13分）【点评】解决实际问题的关键是读懂题意，建立函数模型，同时应注意变量的取值应使实际问题有意义．22．已知f（x）＝﹣3x2+a（6﹣a）x+b．（1）解关于a的不等式f（1）＞0；（2）若不等式f（x）≥b+4对于x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）将f（1）带入可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，把b看成参数讨论关于a的不等式即可；（2）分离参数，利用对勾函数的性质求解最大值，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（1）＞0，可得﹣a2+6a+b﹣3＞0，即b﹣3＞a2﹣6a，那么（a﹣3）2＜6+b当b≤﹣6时，此时a无解；当b＞﹣6时，，∴所以不等式的解集为（3，3+）．（2）由f（x）≥b+4，即﹣3x2+a（6﹣a）x≥4．∵x∈[1，2]，∴a（6﹣a）≥＝，又x∈[1，2]，∴函数y＝的最大值8，此时x＝2．∴a（6﹣a）≥8，即a2﹣6a+8≤0，解得2≤a≤4；故得实数a的取值范围[2，4]．【点评】本题主要考查一元二次不等式的解法以及不等式恒成立问题，利用对勾函数求最值是解决本题的关键．。

江苏省南京市中学附属学校高一数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知=（x-）(x-)+1,并且α，β是方程=0的两根，则实数α，β，，的大小可能是（）A α＜＜β＜B ＜α＜＜βC ＜α＜β＜D α＜＜＜β参考答案：C2. 用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是（）A．圆锥B．圆柱C．球体D．以上都有可能参考答案：B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据圆锥、圆柱、球的几何特征，分别分析出用一个平面去截该几何体时，可能得到的截面的形状，逐一比照后，即可得到答案．【解答】解：用一个平面去截一个圆锥，得到的图形可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线的一支、三角形，不可能是四边形，故A不满足要求；用一个平面去截一个圆柱，得到的图形可能是圆、椭圆、四边形，故B满足要求；用一个平面去截一个球体，得到的图形只能是圆，故C不满足要求；故选B3. 函数的部分图象如图所示，则函数表达式为（）A. B.C. D.参考答案：D由图象可以看出，，则，将点代入中，得，，又函数表达式，故选D.4. 函数，其中且，在[0,1]上是减函数，则实数的取值范围是（）A．（1，2） B．（0，2） C．（0，1） D．参考答案：A5. 过点且被圆C：截得弦最长的直线l的方程是（）A． B.C. D.参考答案：B6. 在正方体内任取一点,则该点在正方体的内切球内的概率为?( )(A) ? (B) ?(C) ? (D)参考答案：B7. 若等差数列的前3项和，且，则( )A．18 B．19 C．20 D．21参考答案：D略8. 设，，，则a，b，c的大小关系是（）A．B．C．D．参考答案：D，.9. 对赋值语句的描述正确的是（）①可以给变量提供初值②将表达式的值赋给变量③不能给同一变量重复赋值④可以给一个变量重复赋值．A．①②③B．①②C．②③④D．①②④参考答案：D【考点】2K：命题的真假判断与应用；EB：赋值语句．【分析】根据赋值语句的功能，逐一分析给定四个描述的真假，可得答案．【解答】解：赋值语句可以给变量提供初值，故①正确；赋值语句是将将表达式的值赋给变量．故②正确；赋值语句可以给同一变量重复赋值，故③错误；④正确；故选：D10. 某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在如图中纵轴表示离学校的距离，横轴表示出发后的时间，则如图中的四个图形中较符合该学生走法的是( )A．B．C．D．参考答案：B【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】数形结合．【分析】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答时应充分体会实际背景的含义，根据一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程，即可获得随时间的推移离学校距离大小的变化快满，从而即可获得问题的解答．【解答】解：由题意可知：由于怕迟到，所以一开始就跑步，所以刚开始离学校的距离随时间的推移应该相对较快．而等跑累了再走余下的路程，则说明离学校的距离随时间的推移在后半段时间应该相对较慢．所以适合的图象为：故选B．【点评】本题考查的是分段函数的图象判断问题．在解答的过程当中充分体现了应用问题的特点，考查了对变化率知识的应用能力．值得同学们体会反思．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，且=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为．参考答案：3【考点】HR：余弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得： =sinC，结合余弦定理，可得3cosC=sinC，从而可求tanC，利用同角三角函数基本关系式可求cosC，从而可求c2=b2﹣2b﹣12=（b﹣）2+9，结合范围b∈[1，3]，利用二次函数的图象和性质即可解得c的最小值．【解答】解：∵ =a，∴由正弦定理可得： =sinC，整理可得：a2+b2﹣c2=，又∵由余弦定理可得：a2+b2﹣c2=2abcosC，∴2abcosC=，整理可得：3cosC=sinC，∴解得：tanC=，cosC==，∴c2=b2﹣2b﹣12=（b﹣）2+9，∵b∈[1，3]，∴当b=时，c取最小值为3．故答案为：3．12. 已知△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，AD=2，∠AEB=60°，则多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为．参考答案：16π【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】设球心到平面ABCD的距离为d，利用△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，可得E到平面ABCD的距离为，从而R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，求出R2=4，即可求出多面体E﹣ABCD的外接球的表面积．【解答】解：设球心到平面ABCD的距离为d，则∵△EAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA=EB=3，∠AEB=60°，∴E到平面ABCD的距离为，∴R2=（）2+d2=12+（﹣d）2，∴d=，R2=4，∴多面体E﹣ABCD的外接球的表面积为4πR2=16π．故答案为：16π．13. 已知角α、β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α、β∈（0，π），角β的终边与单位圆交点的横坐标是，角α+β的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos α=．参考答案：【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据角的范围及同角三角函数的基本关系求出sin β，根据α+β的范围及cos（α+β）的值求出sin （α+β）的值，利用两角差的余弦公式计算cosα=cos[（α+β）﹣β]的值．【解答】解：由题意得α、β∈（0，π），cosβ=﹣，∴sinβ=，故＜β＜π．∵sin（α+β）=，∴＜α+β＜π，∴cos（α+β）=﹣，∴cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=，故答案为．14. 设θ为第二象限角，若，则sinθ+cosθ= ．参考答案：﹣【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．【分析】已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．【解答】解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=﹣，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=﹣=﹣，sinθ==，则sinθ+cosθ=﹣=﹣．故答案为：﹣15. 在等差数列中，若则的最大值为。

江苏省南京师范大学附属中学【最新】高一上学期期中考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}2,A m =，{}2,2B m =.若A B =，则实数m =__________. 2．若幂函数()a f x x 的图像过点(2,4)，则实数a =__________．3．函数y =__________．4．若集合{1,2,3}A =，则集合A 的子集个数为__________．5．若函数2()f x x ax =-是偶函数，则a =__________．6．已知lg 2a =，lg3b =，则3log 6=__________（用含a ，b 的代数式表示）. 7．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x >时，()1f x x =+，则()2f -=__________.8．已知函数2()21f x x x =+-，函数()y g x =为一次函数，若2(())243g f x x x =++，则()g x =__________．9．若函数4,1()5,1x x f x x x ⎧<=⎨-≥⎩，则方程()2f x =所有的实数根的和为__________．10．设3log 7a =， 1.12b =， 1.10.8c =，则a ，b ，c 三者的大小关系是__________．（用“<”连接）11．已知函数2()log 3f x x x =-的零点为0x ，若0(,1)x n n ∈+，n ∈Z ，则n =__________．12．已知函数()1f x x =+在区间[),a +∞是增函数，则实数a 的取值范围是__________.13．已知函数()y f x =是定义在区间[]3,3-上的偶函数，它在区间[]0,3上的图像是如图所示的一条线段，则不等式()()f x f x x +->的解集为__________.14．如图，过原点O 的直线AB 与函数9log y x =的图像交于A ，B 两点，过A ，B 分别作x 轴的垂线，与函数3log y x =的图像分别交于D ，C 两点．若BD 平行于x 轴，则四边形ABCD 的面积为__________．二、解答题15．已知全集U R =，集合{3}A x x =<，2{log 1}B x x =≥．（1）求A B ⋂；（2）求()()U U A B ⋃．16．求值：（1）103281272-⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）2log 34log 2log 92⨯+ 17．已知函数()(1)(21)x x f x a a a =-+-，其中0a >且1a ≠，又(1)5f =．（1）求实数a 的值．（2）若[1,3]x ∈-，求函数()f x 的值域．18．某市自来水公司每两个月（记为一个收费周期）对用户收一次水费，收费标准如下：当每户用水量不超过30吨时，按每吨3元收取；当该用户用水量超过30吨时，超出部分按每吨4元收取．（1）记某用户在一个收费周期的用水量为x 吨，所缴水费为y 元，写出y 关于x 的函数解析式．（2）在某一个收费周期内，若甲、乙两用户所缴水费的和为260元，且甲、乙两用户用水量之比为3:2，试求出甲、乙两用户在该收费周期内各自的用水量和水费．19．已知函数()()log 1x a f x a =-（0a >，1a ≠） （1）当12a =时，求函数()f x 的定义域； （2）当1a >时，求关于x 的不等式()()1f x f <的解集；（3）当2a =时，若不等式()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.20．已知函数()1f x x x =-，x ∈R ．（1）求不等式()6f x <的解集．（2）记()f x 在[0,]a 上最大值为()2g a <，若()2g a <，求正实数a 的取值范围．参考答案1．0【分析】由集合相等的性质，有m=2m ，由此能求出m 的值．【详解】∵集合A={2，m}，B={2m ，2}．A=B ，∴由集合相等的性质，有m=2m ，解得m=0．故答案为0．【点睛】本题考查实数值的求法，考查集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．2【解析】将点坐标代入()a f x x ，∵224=，∴2a =．故填2. 3．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 由题得210x -≥，所以12x ≥．故填1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．8【解析】记n 是集合中元素的个数，集合A 的子集个数为3228n ==个．故填8.5．0【解析】由题得22()()200f x f x x ax x ax ax a -=∴+=-∴=∴=.故填0.6．a b b+ 【分析】由换底公式，可得l 3lg6lg2lg3log 6lg3lg3+==，由此能够准确地利用a ，b 表示log 36． 【详解】 由换底公式，3lg6lg2lg3log 6lg3lg3a b b++===. 故答案为a b b+ 【点睛】 本题考查换底公式的运用，解题时要注意公式的灵活运用．7．3-【分析】根据函数的奇偶性进行转化求解即可．【详解】根据函数的奇偶性的性质可得()()()22213f f -=-=-+=-.故答案为3-.【点睛】本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键． 8．25x +【解析】由题意，函数()y g x =为一次函数，由待定系数法，设()(0)g x kx b k =≠+，222(())(21)2243g f x k x x b kx kx b k x x =+-+=++-=++，由对应系数相等，得2243k k b k =⎧⎪=⎨⎪-=⎩所以2k =，5b =．故填25x +.9．72【解析】（1）当1x <时，42x =，所以22221x x =∴= 所以12x =．（2）当1x ≥时，52x -=，3x =．故方程()2f x =所有的实数根的和为17322+=.故填72. 10．c a b <<【解析】∵3331log 3log 7log 92=<<=， 1.11222>=， 1.1000.80.81<<=，∴c a b <<．故填c a b <<.11．2【解析】由零点定理，2(2)2log 2310f =-=-<,22(3)3log 333log 2310f =->-=>，所以(2)(3)0f f <．故填2.12．[)1,-+∞【分析】当x≥-1时，f （x ）是增函数；当x ＜-1时，f （x ）是减函数，从而区间[a ，+∞）左端点a 应该在-1的右边，由此能求出实数a 的取值范围．【详解】∵函数11111x x f x x x x +≥-⎧=+=⎨---⎩，（），＜，函数f （x ）=|x+1|在区间[a ，+∞）是增函数，当x≥-1时，f （x ）是增函数；当x ＜-1时，f （x ）是减函数，∴区间[a ，+∞）左端点a 应该在-1的右边，即a≥-1，∴实数a 的取值范围是[-1，+∞）．故答案为[-1，+∞）．【点睛】本题考查实数值的取值范围的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．13．123,7⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 【分析】由函数f （x ）过点（0，2），（3，0），223y x =-+．作出函数f （x ）在[-3，3]上的图象，当x ∈[-3，0）的时候，y=2f （x ）的图象恒在y=x 的上方，当x ∈[0，3]时，令2f （x ）=x ，得127x =，由此能求出f （x ）+f （-x ）＞x 的解集． 【详解】 由题意，函数()f x 过点()0,2，()3,0，∴223y x =-+，又因为()f x 是偶函数，关于y 轴对称，所以()()f x f x =-，即()2f x x >，又作出函数在[]3,3-上的图像，当[)3,0x ∈-的时候，()2y f x =的图像恒在y x =的上方，当[]0,3x ∈的时候，令()2f x x =，127x =，即当123,7x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭的时候，满足()2f x x >，即()()f x f x x +->. 故答案为123,7⎡⎫-⎪⎢⎣⎭. 【点睛】 本题考查不等式的解集的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．14．33log 22【解析】因为点D 和点B 的纵坐标相等，设点D 的横坐标为a ，点B 的横坐标为b ，则有39log log a b =．∵239log log a a =，∴2b a =．又9(,log )A a a ，229(,log )B a a 在一条过原点的直线上， ∴2299log 2log a a a a==，∴22a a =，∴2a =． 9(2,log 2)A ，9(4,log 4)B ，3(4,log 4)C ，3(2,2)D log ，所以399313(42)(log 4log 2)log 8log 222ABCD S =--==． 故填33log 22. 点睛：本题的难点在于找到a 的值，本题是通过9(,log )A a a ，229(,log )B a a 在一条过原点的直线上，根据相似得到的.在找方程时，注意学会根据几何条件找方程.15．（1）{23}x x ≤<；（2）{3x x ≥或}2x <【解析】【分析】(1)先化简集合A,B,再求A B ⋂.(2)先求U A ，U B ，再求()()U U A B ⋃． 【详解】（1）由题意知，{2}B x x =≥，故{23}A B x x ⋂=≤<．（2）{3}U A x x =≥，{2}U B x x =<，故()(){3U U A B x x ⋃=≥或2}x <．【点睛】本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力. 16．（1）16；（2）5 【解析】试题分析：（1）第一题，主要是利用分数指数幂和整数指数幂的运算性质解答. (2)第二题，主要利用对数的换底公式和对数恒等式解答. 试题解析： （1）原式12313221212113236-⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦． （2）原式1222log 22232log 2log 32125=⨯+=+=． 17．（1）2；（2）7,774⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【解析】试题分析：（1）第一问，根据()15f =得到关于a 的方程，解方程即可. (2)第二问，一般利用换元法设2x t =，1,82t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得到一个关于t 的二次函数，再求二次函数在区间上的最值，即可得到函数的值域.试题解析：（1）由()15f =，得()()1215a a a -+-=，解得12a =，223a =-． 又∵0a >且1a ≠，∴2a =． （2）由（1）知()()()2123x x f x =-+，设2x t =，[]1,3x ∈-，∴1,82t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()22132314f t t t t t t =-+=+-=+-，易知()f t 在1,82t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦内单调递增，故()min 1724f t f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，()()max 877f t f ==． 故()f x 的值域为7,774⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 18．（1）3,30904(30),30x x y x x ≤⎧=⎨+->⎩；（2）见解析 【解析】 试题分析：（1）第一问，主要是分类讨论得到一个关于x 的分段函数. (2)第二问，先要分析出甲、乙两用户的用水量是否超过了30吨，确定后，得到一个方程，即可得到他们搁置的用水量和水费.试题解析：（1）由题意知，()3,3090430,30x x y x x ≤⎧=⎨+->⎩． （2）假设乙用户用水量为30吨，则甲用户水量为45吨，则甲乙所交水费所缴水费之和为240260<，∴甲乙两用户用水量都超过30吨．设甲用水30吨，乙用水2a 吨，则有()()904330904230260a a +-++-=， 解得：16a =，故：甲用水48吨，水费为162元；乙用水32吨，水费为98元． 19．（1）(),0-∞；（2）()0,1；（3）21,log 3⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）由a x -1＞0，得a x ＞1 下面分类讨论：当a ＞1时，x ＞0；当0＜a ＜1时，x ＜0即可求得f （x ）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈可知() g x 在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当12a =时，()121log 12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故：1102x ->，解得：0x <，故函数()f x 的定义域为(),0-∞；（2）由题意知，()()log 1x a f x a =-（1a >），定义域为()0,x ∈+∞，用定义法易知()f x 为()0,x ∈+∞上的增函数，由()()1f x f <，知：01x x >⎧⎨<⎩，∴()0,1x ∈. （3）设()()()2221log 12log 21x xx g x f x ⎛⎫-=-+= ⎪+⎝⎭，[]1,3x ∈，设21212121x x x t -==-++，[]1,3x ∈，故[]213,9x +∈，2171,2139x t ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦，故：()min 211log 33g x g ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又∵()()2log 12x f x m -+>对任意实数[]1,3x ∈恒成立，故：()min 21log 3m g x ⎛⎫<= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．（1）(,3)-∞；（2）(0,2)【解析】试题分析：（1）第一问，先对x 分类讨论，得到一个分段函数，再解不等式. (2)第二问，分类讨论得到两个解集，再求它们的并集，从而得到正实数a 的取值范围.试题解析：（1）由题意知，()()()1,11,1x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，①当1x ≥时，令()6f x <，解得13x ≤<．②当1x <时，令()6f x <，解得1x <．综上所述(),3x ∈-∞．（2）①当1x ≥时，令()2f x <，解得12x ≤<．②当01x ≤<时，令()2f x <，解得01x ≤<．故[)0,2x ∈时，()2f x <，故正实数a 的取值范围为()0,2．点睛：本题的难点，在于思维的逻辑和灵活性，如果直接研究()f x 在[]0,a 上最大值为()2g a <，就要对a 分类讨论，比较复杂. 本题先令()2f x <，再求它们的并集就简单多了.所以我们在平时的学习中，要多思考，多总结，提高解题的灵活性.。