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摘要自适应滤波器理论是现代信号处理技术的重要组成部分，他对复杂信号的处理具有独特的功能。
自适应滤波器在信号处理中属于随机信号处理的范畴。
自适应滤波算法作为自适应滤波器的重要组成部分，直接决定着滤波性能的优劣。
目前针对它的研究是自适应信号处理领域中最为活跃的研究课题之一。
本文在论述自适应滤波基本原理的基础上，首先介绍了目前主要的自适应滤波算法及其应用，其中对LMS 算法和RLS 算法进行了较深入的理论分析和研究。
接着对一些典型的变步长LMS 算法和RLS 算法的性能特点进行分析比较，给出了算法性能的综合评价。
最后本文提出了几种改进的变步长LMS 算法和RLS 算法。
关键词：自适应滤波，LMS算法，RLS算法ABSTRACTThe theory of self-adapting filter is an important part of modern signal processing technology, which has unique function to complex signal processing. Self-adapting filter belongs to the category of random signal processing. Adaptive filtering algorithm, which decides directly the performance of filtering; is seemed as the important part of the adaptive fiter. Presently the research on it is one of the most active tasks.Based on the basic adaptive filtering principle, firstly, this paper introduces the present main adaptive filtering algorithms and their applications. Especially the LMS algorithm and RMS algorithm are deeply analyzed. Secondly, this paper introduces several typical variable step size LMS and RMS algorithms, and compares and evaluates their performance. Finally, the paper presents several kinds of modified variable step size LMS and RMS algorithms.KEY WORDS: self-adapting filter, LMS algorithm, RMS algorithm1 绪论1.1 研究背景自适应滤波是近30 年以来发展起来的一种最佳滤波方法。
自适应滤波的方法
自适应滤波是一种对信号进行滤波的方法，其可以根据观测到的信号实时调整滤波器参数，以提高滤波效果。
常用的自适应滤波方法包括：
1. 最小均方（LMS）自适应滤波器：该方法依据最小均方误差准则进行滤波，在每一时刻根据观测信号对滤波器系数进行更新。
2. 递归最小二乘（RLS）自适应滤波器：该滤波器通过在线解最小二乘问题，实现对噪声的最优抑制。
3. Kalman滤波器：该滤波器是一种最优化滤波器，它最小化误差的平方和，同时考虑信号的先验知识。
由于需要计算协方差矩阵和卡尔曼增益，计算量较大。
4. 无参数自适应滤波器：这种方法不依赖于任何先验的信号统计信息，仅根据观测信号本身对滤波器系数进行估计，常见的方法包括快速自适应滤波器（FNLMS）和非线性自适应滤波器（NLA）。
这些方法比起传统滤波，具有更好的适应性和鲁棒性，并且可以用于实时处理信号。
最小二乘滤波原理以最小二乘滤波原理为标题，本文将介绍最小二乘滤波的原理及其应用。
最小二乘滤波是一种常用的信号处理方法，它通过最小化误差的平方和来估计信号的未知参数，从而提高信号的可靠性和准确性。
最小二乘滤波原理的核心思想是通过对已知信号和未知参数之间的关系进行建模，然后通过最小化残差（即观测值与模型估计值之间的差异）的平方和来确定未知参数的最佳估计值。
这种方法的基本假设是观测误差是高斯分布的，而且各个观测值之间是相互独立的。
最小二乘滤波可以用于多种应用场景，例如信号处理、图像处理、通信系统等。
在信号处理中，最小二乘滤波可以用于信号去噪、频谱估计、信号预测等。
在图像处理中，最小二乘滤波可以用于图像去噪、图像恢复、图像增强等。
在通信系统中，最小二乘滤波可以用于信道均衡、自适应滤波等。
最小二乘滤波可以通过求解正规方程组来得到最佳估计值。
正规方程组是通过对残差的平方和进行求导并令导数等于零得到的线性方程组。
解这个方程组可以得到未知参数的最佳估计值。
最小二乘滤波还可以通过矩阵方法进行求解。
将观测值和模型估计值构成的矩阵表示为Y和X，未知参数的最佳估计值表示为θ，那么最小二乘滤波的目标可以表示为min||Y-Xθ||^2，通过对这个目标进行求导并令导数等于零，可以得到最佳估计值的闭式解。
最小二乘滤波的优点是具有良好的数学性质和较小的估计误差。
它可以通过最小化误差的平方和来估计未知参数，从而提高信号的可靠性和准确性。
此外，最小二乘滤波还可以通过引入先验信息来提高估计的效果，例如通过加权最小二乘滤波来处理具有不同重要性的观测值。
然而，最小二乘滤波也存在一些限制和局限性。
首先，最小二乘滤波假设观测误差是高斯分布的，而且各个观测值之间是相互独立的，这在实际应用中并不总是成立。
其次，最小二乘滤波对异常值比较敏感，即一个极端值会对估计结果产生较大影响。
此外，最小二乘滤波在处理非线性问题时会遇到困难，需要引入非线性最小二乘滤波方法。
递推最小二乘法原理递推最小二乘法（Recursive Least Squares, 简称RLS）是一种经典的自适应滤波算法，它在信号处理、通信系统、控制系统等领域得到了广泛的应用。
本文将介绍递推最小二乘法的原理及其在实际应用中的一些特点。
首先，让我们来了解一下最小二乘法。
最小二乘法是一种数学优化方法，用于寻找一组参数，使得给定的模型与观测数据之间的误差平方和最小。
在线性回归问题中，最小二乘法可以用来拟合一个线性模型，以最小化观测数据与模型预测值之间的差异。
最小二乘法的基本思想是通过最小化误差的平方和来寻找最优的参数。
递推最小二乘法是最小二乘法的一种变种，它的特点在于可以实时地更新参数估计，适用于需要动态调整的系统。
在实际应用中，由于系统参数可能随时间变化，传统的最小二乘法在每次参数更新时都需要重新计算整个数据集，计算复杂度较高，不适合实时性要求高的场景。
而递推最小二乘法则可以通过递推的方式，实时地更新参数估计，适用于动态环境下的参数估计问题。
递推最小二乘法的原理可以用数学公式来描述。
假设我们有一个线性模型，\[y_k = \theta^T x_k + e_k\]其中\(y_k\)是观测数据，\(x_k\)是输入向量，\(\theta\)是待估计的参数，\(e_k\)是噪声。
我们的目标是通过观测数据\(y_k\)和输入向量\(x_k\)来估计参数\(\theta\)。
递推最小二乘法的核心思想是通过递推的方式，实时地更新参数\(\theta\)的估计值。
具体来说，我们可以通过以下递推公式来更新参数\(\theta\)的估计值，\[\theta_k =\theta_{k-1} + \frac{P_{k-1}x_k}{1 + x_k^T P_{k-1} x_k}(y_k x_k^T \theta_{k-1})\]其中\(\theta_k\)是第\(k\)次的参数估计值，\(\theta_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计值，\(P_{k-1}\)是第\(k-1\)次的参数估计误差的协方差矩阵。
最小二乘自适应滤波器前面所研究的自适应滤波算法根据的最佳准则为最小均方误差准则。
自适应算法的目标在于，使滤波器输出与需要信号的误差的平方的统计平均值最小。
这个准则根据输入数据的长期统计特性寻求最佳滤波。
然而，我们通常已知的仅是一组数据，因而只能对长期统计特性进行估计或近似。
LMS算法、格形梯度算法都是这样。
能否直接根据一组数据寻求最佳呢？最小二乘算法就可解决这个问题。
换句话说，根据最小均方误差准则得到的是对一类数据的最佳滤波器，而根据最小二乘法得到的是对一组已知数据的最佳滤波器。
对同一类数据来说，最小均方误差准则对不同的数据组导出同样的“最佳”滤波器；而最小二乘法对不同的数据组导出不同的“最佳”滤波器。
因而常说最小二乘法导出的最佳滤波器是“精确”的。
本章首先叙述最小二乘法的基础，并推导递推最小二乘(RLS)算法；然后介绍线性空间的概念，并在此基础上讨论两种重要的最小二乘自适应算法——最小二乘格形(LSL)算法和快速横式滤波器(FTT)算法。
4.14.1.1设已知n个数据x (1), …, x (i), …, x (n)，我们要根据这些数据，利用图4.1的m阶线性滤波器来估计需要信号d(1) , …, d (i), …, d (n)。
对d (i)的估计式可表为m ˆd(i),w(n)x(i,k，1) (4.1.1) ,mk,1k估计误差mˆ e(i),d(i),d(i),d(i),w(n)x(i,k，1) (4.1.2) ,mk,1k若假设i<1及i<n时x (i)=d (i)=0，我们有如下n+m-1个估计误差1e(1),d(1),w(n)x(1),1m,e(2),d(2),w(n)x(2),w(n)x(1)12mm,,？？,e(m),d(m),w(n)x(m),？？,w(n)x(1),1mmm (4.1.3) ,？？,,e(n),d(n),w(n)x(n),？？,w(n)x(n,m，1)1mmm,？？,,e(n，m,),,w(n)x(n)mm,其余的e (i)均为零。
第三章 递归最小二乘(RLS ）自适应均衡算法§3.1 引言在自适应滤波系统中,最陡梯度（LMS)法由于其简单获得了广泛的应用.但各种LMS 算法均有收敛速度较慢（收敛所需码元数多）, 对非平稳信号的适应性差(且其中有些调整延时较大)的缺点。
究其原因主要是LMS 算法只是用以各时刻的抽头参量等作该时刻数据块估计时平方误差均最小的准则, 而未用现时刻的抽头参量等来对以往各时刻的数据块均作重新估计后的累积平方误差最小的原则（即所谓的最小平方(LS ）准则）。
为了克服收敛速度慢, 信号非平稳适应性差的缺点, 根据上述内容, 可采用新的准则, 即在每时刻对所有已输入信号而言重估的平方误差和最小的准则（即LS 准则)。
从物理概念上可见, 这是个在现有的约束条件下利用了最多可利用信息的准则, 即在一定意义上最有效, 信号非平稳的适应性能也应最好的准则。
这样建立起来的迭代方法就是递归最小二乘（RLS:Recursive Least Square ）算法, 又称为广义Kalman 自适应算法。
用矩阵的形式表示RLS 算法非常方便, 因此我们首先定义一些向量和矩阵。
假定在时刻 , 均衡器的输入信号为 ,线性均衡器对于信息符号的估计可以表示为∑-=--=K K j j t j r t c t I )1()(ˆ 式(3—1)让 的下标 从 到 , 同时定义 , 则 变为∑-=--=10)()1()(ˆN j jj t y t c t I )()1(t Y t C N N-'= 式(3-2） 其中 和 分别为均衡器系数 , 和输入信号 , 的列向量。
类似的,在DFE 均衡器结构中, 均衡器系数 , 的前 个系数为前向滤波器系数, 剩下的 为反馈滤波器系数。
用来预测 的数据为 , 其中 为判决器先前作出判决的数据。
这里, 我们忽略判决器判错的情况,因而 .同时为方便起见定义⎪⎩⎪⎨⎧-≤<≤≤=--+-+)1()0()(1111N j K I K j v j t y j K t j K t 式(3-3） 因此])1(,),1(),([)('+--=N t y t y t y t Y N],,,,,,[2111'=--++K t t t t K t I I r r r 式（3-4）§3。
