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反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。
在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。
本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。
一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。
二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。
三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。
四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。
五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。
六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。
七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。
八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。
结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。
这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。
希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。
反比例函数中有关图形面积问题的解法类型一 利用反比例函数k 的几何意义解决有关图形的面积问题如图1－Y －1，过反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任意一点P (x ，y )，作x 轴、y 轴的垂线P A ，PB ，则有：(1)矩形P AOB 的面积S ＝P A ·PB ＝|y |·|x |＝||xy ＝||k (当k ＞0时，S ＝k ；当k ＜0时，S ＝－k )；(2)S △PBO ＝S △P AO ＝|k |2(当k ＞0时，S △PBO ＝S △P AO ＝k 2；当k ＜0时，S △PBO ＝S △P AO＝－k2)．图1－Y －11．位于第一象限的点E 在反比例函数y ＝kx 的图象上，点F 在x 轴的正半轴上，O 是坐标原点．若EO ＝EF ，△EOF 的面积等于2，则k 的值为( )A ．4B ．2C ．1D ．－22．如图1－Y －2，直线l 和双曲线y ＝kx (k >0)交于A ，B 两点，P 是线段AB 上的点(不与点A ，B 重合)，过点A ，B ，P 分别向x 轴作垂线，垂足分别是C ，D ，E ，连接OA ，OB ，OP ，设△AOC 的面积是S 1，△BOD 的面积是S 2，△POE 的面积是S 3，则( )图1－Y －2A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 1>S 2>S 3C ．S 1＝S 2>S 3D ．S 1＝S 2<S 33．如图1－Y －3，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边都平行于坐标轴，点C 在反比例函数y ＝k 2＋2k ＋1x的图象上．若点A 的坐标为(－2，－2)，则k 的值为( )图1－Y －3A ．1B ．－3C ．4D ．1或－34．如图1－Y －4，A ，B 是双曲线y ＝6x 上的点，分别过点A ，B 作x 轴和y 轴的垂线段．若图中阴影部分的面积为2，则两个空白矩形面积的和为________．图1－Y －45．如图1－Y －5，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 1＝k 1x (x >0)及y 2＝k 2x (x >0)的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB .已知△ABO 的面积为2，则k 1－k 2＝__________．图1－Y －56．过反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上一点A 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为B ，C ，若△ABC的面积为3，则k 的值为________．7．如图1－Y －6，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的面积为12，点B 在y 轴上，点C 在反比例函数y ＝kx(x <0)的图象上，则k 的值为________．图1－Y －68．如图1－Y －7，已知点P (6，3)，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，反比例函数y ＝kx 的图象交PM 于点A ，交PN 于点B .若四边形OAPB 的面积为12，则k ＝________．图1－Y －79．如图1－Y －8，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都在双曲线y ＝kx (x >0)上，且x 2－x 1＝4，y 1－y 2＝2.分别过点A ，B 向x 轴、y 轴作垂线段，垂足分别为C ，E 和D ，F ，AC 与BF 相交于点G ，四边形FOCG 的面积为2，五边形AEODB 的面积为14，则双曲线的解析式为____________．图1－Y －8类型二 利用反比例函数k 的代数意义解决有关图形的面积问题(1)已知反比例函数y ＝kx(k ≠0)图象上一点的坐标为(x ，y )，则有k ＝xy ；(2)如图1－Y －9，已知反比例函数y ＝kx (k ≠0)图象上的两点A (x ，y )，D (m ，n )，则有xy＝mn .图1－Y －910．如图1－Y －10，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y ＝8x (x >0)的图象交于点A ，B ，与x 轴交于点C ，且B 是AC 的中点，分别过点A ，B 作x 轴的平行线，与反比例函数y ＝2x(x >0)的图象交于点D ，E ，连接DE ，则四边形ABED 的面积为________．图1－Y －1011．如图1－Y －11，点A ，B 在反比例函数y ＝kx (k >0)的图象上，AC ⊥x 轴，BD ⊥x 轴，垂足C ，D 分别在x 轴的正、负半轴上，CD ＝k .已知AB ＝2AC ，E 是AB 的中点，且△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍，则k 的值是________．图1－Y －1112．如图1－Y －12，已知双曲线y ＝kx 与直线y ＝－x ＋6相交于A ，B 两点，过点A 作x 轴的垂线与过点B 作y 轴的垂线相交于点C ，若△ABC 的面积为8，则k 的值为________．图1－Y －1213．如图1－Y －13，已知反比例函数y ＝kx 的图象与直线y ＝－x ＋b 都经过点A (1，4)，且该直线与x 轴的交点为B .(1)求反比例函数和直线的解析式； (2)求△AOB 的面积．图1－Y －1314．如图1－Y －14，在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，双曲线y ＝kx(k ≠0，x ＞0)过点D .(1)求双曲线的解析式；(2)作直线AC 交y 轴于点E ，连接DE ，求△CDE 的面积．图1－Y －14类型三 利用正比例函数与反比例函数图象的中心对称性解决有关图形的面积问题 如图1－Y －15所示．图1－Y －15(1)(2)S △BOC ＝S △ODB ＝S △AOC ＝||k 2，S △ABC ＝||k .15．直线y ＝mx (m >0)与双曲线y ＝kx (k >0)交于点A ，B .过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连接BM .若S △ABM ＝1，则k 的值是( )A ．1B ．m －1C ．2D ．m16．如图1－Y －16，正比例函数y ＝x 与反比例函数y ＝1x 的图象相交于A ，C 两点．AB⊥x 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ，则四边形ABCD 的面积为( )图1－Y －16A ．1 B.32 C ．2 D.5217．如图1－Y －17，某正比例函数与反比例函数y ＝2x 的图象相交于A ，C 两点，过点A 作x 轴的垂线，垂足为B ，连接BC ，则△BOC 的面积为________．图1－Y －1718．如图1－Y －18所示，已知直线y ＝12x 与双曲线y ＝kx (k ＞0)交于A ，B 两点，且点A的横坐标为4.(1)求k 的值；(2)若双曲线y ＝kx(k ＞0)上一点C 的纵坐标为8，求△AOC 的面积；(3)过原点O 的另一条直线l 交y ＝kx (k ＞0)于P ，Q 两点(点P 在第一象限)，若由点A ，B ，P ，Q 为顶点组成的四边形的面积为24，求点P 的坐标．图1－Y －18详解1．B [解析] 如图，过点E 作EM ⊥x 轴于点M ，因为EO ＝EF ，所以OM ＝MF ， 所以S △MEO ＝S △MEF ＝12S △EOF ＝1，所以k2＝1，所以k ＝2.2．D [解析] 结合题意可得点A ，B 都在双曲线y ＝kx 上，则有S 1＝S 2.直线AB 上点A与点B 之间的部分在双曲线上方，故有S 1＝S 2＜S 3.故选D.3．D [解析] 设C (x ，y )．∵四边形ABCD 是矩形，对角线BD 经过坐标原点，∴S △BCD＝S △BAD ，S △BEO ＝S △BFO ，S △DHO ＝S △DGO ，∴S 矩形CEOH ＝S 矩形AFOG ， ∴k 2＋2k ＋1＝||－2×||－2＝4， ∴k ＝1或k ＝－3.故选D.4．8 [解析] 如图，∵A ，B 是双曲线y ＝6x上的点，∴S 矩形ACOG ＝S 矩形BEOF ＝6. ∵S 阴影＝2，∴S 矩形ACED ＋S 矩形BDGF ＝6＋6－2－2＝8. 故答案为8.5．4 [解析] ∵反比例函数y 1＝k 1x (x ＞0)及y 2＝k 2x (x ＞0)的图象均在第一象限内，∴k 1＞0，k 2＞0.∵AP ⊥x 轴，∴S △OAP ＝12k 1，S △OBP ＝12k 2，∴S △ABO ＝S △OAP －S △OBP ＝12(k 1－k 2)＝2，∴k 1－k 2＝4. 6．6或－67．－6 [解析] 如图，连接AC ，交y 轴于点D ，∵四边形OABC 为菱形，∴AC ⊥OB ，且CD ＝AD ，BD ＝OD . ∵菱形OABC 的面积为12， ∴△CDO 的面积为3， ∴│k │＝6.∵反比例函数图象的一个分支位于第二象限， ∴k <0，则k ＝－6.故答案为－6.8．6 [解析] 由点P (6，3)，得点A 的横坐标为6，点B 的纵坐标为3，代入反比例函数y ＝kx，得点A 的纵坐标为k 6，点B 的横坐标为k3，即AM ＝k 6，NB ＝k3.∵S 四边形OAPB ＝12，∴S 矩形OMPN －S △OAM －S △NBO ＝12，即6×3－12×6×k 6－12×3×k3＝12，解得k ＝6. 故答案为6.9．y ＝6x [解析] ∵x 2－x 1＝4，y 1－y 2＝2，∴AG ＝2，BG ＝4，∴S △ABG ＝12AG ·BG ＝4.∵S长方形AEOC ＝S 长方形BFOD ＝||k ＝k ，∴k ＋k－2＋4＝14，∴k ＝6，即y ＝6x.10.92 [解析] ∵点A ，B 在反比例函数y ＝8x (x >0)的图象上， ∴设点B 的坐标为(8m，m )．∵B 为线段AC 的中点，且点C 在x 轴上， ∴点A 的坐标为(4m，2m )．∵AD ∥x 轴，BE ∥x 轴，且点D ，E 都在反比例函数y ＝2x (x >0)的图象上，∴点D 的坐标为(1m ，2m )，点E 的坐标为(2m ，m )，∴S 四边形ABED ＝12×(4m －1m ＋8m －2m )×(2m －m )＝92.故答案为92.11.3 72 [解析] ∵E 是AB 的中点，∴S △ABD ＝2S △ADE ，S △BAC ＝2S △BCE .又∵△BCE 的面积是△ADE 的面积的2倍， ∴2S △ABD ＝S △BAC .设点A 的坐标为(m ，k m )，点B 的坐标为(n ，kn)，则有⎩⎪⎨⎪⎧m －n ＝k ，k m ＝－2×k n，（m －n ）2＋（k m －k n ）2＝2km，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3 72，m ＝72，n ＝－7或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－3 72，m ＝－72，（舍去）.n ＝7 故答案为3 72. 12．5 [解析] 由A ，B 两点在直线y ＝－x ＋6上，可设点A ，B 的坐标分别为(m ，－m＋6)，(n ，－n ＋6)，所以AC ＝n －m ，BC ＝n －m ，所以S △ABC ＝12AC ·BC ＝12(n －m )2＝8，所以n －m ＝4，即m ＝n －4，所以点A 的坐标为(n －4，10－n )．又A ，B 两点在双曲线y ＝k x上，所以(n －4)(10－n )＝n (－n ＋6)，解得n ＝5，所以点B 的坐标为(5，1)，故k ＝5.13．解：(1)把A (1，4)代入y ＝k x，得k ＝1×4＝4， 所以反比例函数的解析式为y ＝4x. 把A (1，4)代入y ＝－x ＋b ，得－1＋b ＝4，解得b ＝5，所以直线的解析式为y ＝－x ＋5.(2)在y ＝－x ＋5中，令y ＝0，即－x ＋5＝0，解得x ＝5，则B (5，0)， 所以△AOB 的面积＝12×5×4＝10. 14．解：(1)∵在平行四边形ABCD 中，点A ，B ，C 的坐标分别是(1，0)，(3，1)，(3，3)，∴点D 的坐标是(1，2)． ∵双曲线y ＝k x(k ≠0，x ＞0)过点D ， ∴2＝k 1，得k ＝2， 即双曲线的解析式是y ＝2x.(2)S △CDE ＝S △EDA ＋S △ADC ＝（2－0）×12＋（2－0）×（3－1）2＝1＋2＝3. 15．A [解析] 由直线y ＝mx 与双曲线y ＝k x均关于原点对称，可得S △ABM ＝||k ，所以||k ＝1.又因为k >0，所以k ＝1.故选A.16．C [解析] 由直线y ＝x 与双曲线y ＝1x均关于原点对称，可得S △ADC ＝S △ABC ＝||k ＝1，∴四边形ABCD 的面积为2.故选C.17．118．解：(1)∵点A 的横坐标为4，点A 在直线y ＝12x 上，∴当x ＝4时，y ＝2， ∴点A 的坐标为(4，2)．又∵点A 在双曲线y ＝k x(k >0)上， ∴k ＝4×2＝8.(2)如图，分别过点C ，A 作x 轴的垂线，垂足为E ，F .∵点C 在双曲线y ＝8x上，当y ＝8时，x ＝1，∴点C 的坐标为(1，8)．∵点C ，A 都在双曲线y ＝8x上， ∴S △COE ＝S △AOF ＝4，∴S △COE ＋S 梯形CEF A ＝S △AOC ＋S △AOF ，∴S △AOC ＝S 梯形CEF A .∵S 梯形CEF A ＝12×(2＋8)×3＝15，∴S △AOC ＝15.(3)∵反比例函数的图象是关于原点O 的中心对称图形， ∴OP ＝OQ ，OA ＝OB ，∴四边形APBQ 是平行四边形，∴S △POA ＝14S 平行四边形APBQ ＝14×24＝6. 设点P 的横坐标为m (m >0且m ≠4)，则点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫m ，8m . 分别过点P ，A 作x 轴的垂线，垂足为E ，F .∵点P ，A 在双曲线上，∴S △POE ＝S △AOF ＝4.若0＜m ＜4，如图①，∵S △POE ＋S 梯形PEF A ＝S △POA ＋S △AOF ，∴S 梯形PEF A ＝S △POA ＝6，即12·⎝⎛⎭⎫2＋8m ·(4－m )＝6， 解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，∴P (2，4)．若m ＞4，如图②，∵S △AOF ＋S 梯形PEF A ＝S △POA ＋S △POE ，∴S 梯形PEF A ＝S △POA ＝6，即12·⎝⎛⎭⎫2＋8m ·(m －4)＝6， 解得m ＝8或m ＝－2(舍去)，∴P (8，1)． 综上，点P 的坐标是(2，4)或(8，1)．。
２０２２年８月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀例谈与反比例函数有关的图形面积问题◉湖北省建始县教学研究室㊀李翠芝㊀㊀摘要:反比例函数是初中数学的重点内容,也是中考考点之一．其中与反比例函数有关的图形面积问题又是重中之重,几乎年年考．有关解决反比例函数与图形面积问题的两种常用方法,一是直接利用反比例函数解析式中k 的几何意义求解,二是利用反比例函数关系式巧设点的坐标求解,这也是数形结合思想在初中数学中最直观的运用．关键词:反比例函数;图形面积;数形结合１引言反比例函数的学习是初中数学的一大难点,也是重点,是每年必考的内容．而数形结合思想是解决初中数学问题最重要㊁最基础的数学思想方法．如,借助数轴求不等式组的解集㊁借助画线段图解行程问题等都是运用数形结合思想．解决与反比例函数有关的图形面积问题时,如果我们也能运用数形结合思想,往往可以使复杂的问题简单化．下面举例说明．２基础题型引例㊀如图１,双曲线y ＝kx上点P 的坐标为(a ,b ),过点P 分别作x 轴,y 轴的垂线,垂足分别为M ,N ．则有下列结论:①S 矩形P M O N ＝a b ＝a b ＝k ;②连接P O ,则S әP O M ＝S әP O N ＝１２k．图１㊀㊀㊀图２３简单应用例１㊀如图２,已知反比例函数y ＝６x和反比例函数y ＝３x在第一象限内的图象分别是C １和C ２,点P 在C １上,P A 垂直于x 轴于点A ,交C ２于点B ,则әP O B 的面积为㊀㊀㊀．解析:S әP O B ＝S әP O A －S әB O A＝１２ˑ６－１２ˑ３＝３２．故填:３２．变式㊀如图３,直线A B 平行于x 轴,与函数y ＝k １x (k １＞０,x ＞０)的图象交于点A ,与y ＝k ２x(k ２＞０,x ＞０)的图象相交于点B ,点A 在点B 的右侧,与y 轴交于点D ,点C 为x 轴上的一个动点,若әA B C 的面积为３,则k １－k ２的值为㊀㊀．图３图４图５解析:如图４,连接O A ,O B ,则S әA B C ＝S әA B O ＝S әA O D －S әB O D＝１２k １－１２k ２＝１２(k １－k ２)＝３．所以,k １－k ２＝６．故填:６．例２㊀如图５,已知双曲线y １＝１x(x ＞０),y ２＝４x (x ＞０),点P 为双曲线y ２＝４x 上的一点,且P A 垂直于x 轴于点A ,P B 垂直于y 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y １＝１x于D ,C 两点,则әP C D 的面积为㊀㊀㊀．解析:设点P 的坐标为a,４a æèçöø÷,则点C 的坐标为a ４,４a æèçöø÷,点D 的坐标为a ,１a æèçöø÷．所以,S әP C D ＝１２P D P C＝１２４a －１a æèçöø÷a －a ４æèçöø÷＝９８．故填:９８．４常考类型与中点相关这类题主要是利用线段的中点得到图形之间的３５Copyright 博看网 . All Rights Reserved.解法探究２０２２年８月下半月㊀㊀㊀面积关系,一般只需直接应用k 的几何意义求解,但有时设坐标求解也比较简单．图６例３㊀如图６,A ,B 是双曲线y ＝kx上的两点,过点A 作A C 垂直于x 轴,交O B 于点D ,垂足为点C ．若әA D O 的面积为１,D 为O B 的中点,则k 的值为(㊀㊀)．A．４３㊀㊀㊀B ．８３㊀㊀㊀C ．３㊀㊀㊀D．４图７分析:如图７,过点B 作x 轴的垂线,垂足为E ．由条件可知,S әC O D ＝１４S әB O E ＝１４ˑ１２k ＝１８k ＝１８k ,而S әA O C －S әC O D ＝S әA O D ,即１２k －１８k ＝１,所以k ＝８３．故选:B ．点评:此题也可以设A ,D ,B 中任意一点的坐标,表示出另外两点的坐标,再根据面积求解．图８拓展㊀如图８,四边形O A B C 是矩形,边O A 在x 轴上,边O C 在y 轴上,双曲线y ＝kx与边B C 交于点D ,与对角线O B 交于点E ,且E 是O B 的中点,若әO B D 的面积为５,则k 的值是㊀㊀．解析:如图９,过点E 作E F 垂直于y 轴于点F．图９易证әO E F ʐәO B C ．由中点条件易得S әB O C ＝４S әE O F ＝４ˑ１２k ＝－２k ．S әB O C －S әC O D ＝S әB O D ,即－２k －１２ˑ(－k )＝５．解得,k ＝－１０３．故填:－１０３．图１０提升㊀如图１０,在平面直角坐标系中,矩形A B C D 的顶点A ,B 在x 轴的正半轴上,反比例函数y ＝kx(k ＞０,x ＞０)的图象经过顶点D ,分别与对角线A C ,边B C 交于点E ,F ,连接E F ,A F ,若E 为A C 的中点,әA E F 的面积为２,则k 的值为(㊀㊀)．A．２４５B ．３C ．４D．６分析:此题的矩形和三角形顶点都不在原点,不能直接用k 值表示图形面积,适合设坐标求解．解析:设A (a ,０)．由四边形A B C D 是矩形,点D 在y ＝k x 上,得D a ,k a æèçöø÷,则点C 的纵坐标为k a ．因为E 为A C 的中点,所以点E 的纵坐标为k２a,E ２a,k ２a æèçöø÷．于是,C ３a ,k a æèçöø÷,F ３a ,k ３a æèçöø÷．由әA E F 的面积为２,A E ＝E C ,得S әA C F ＝４,即１２ˑk a －k ３a æèçöø÷ˑ２a ＝４,解得k ＝６．故选:D ．５直击中考综合题举例图１１例４㊀如图１１,在平面直角坐标系中,坐标原点O 是R t әA O B的直角顶点,øO A B ＝３０ʎ,若点A 在反比例函数y ＝１２x(x ＞０)的图象上．(１)求经过点B 的反比例函数解析式;(２)设点B 的坐标为(－２,a ),过点B 作B E 平行于x 轴,与反比例函数y ＝１２x(x ＞０)交于点E ,求әA O E 的面积．图１２分析:(１)如图１２,分别过点A 和点B 作x 轴的垂线,垂足分别为D ,C ．易证әA O D ʐәO B C ,于是S әO B C ʒS әA O D ＝(O B ʒO A )２＝(１ʒ３)２＝１ʒ３．所以,S әO B C ＝１３S әA O D ＝１３ˑ１２k ＝１６ˑ１２＝２．因此,经过点B 的反比例函数的解析式为y ＝－４x．(２)先求点B 的纵坐标,由此可得点E 的纵坐标,再把点E 的纵坐标代入y ＝１２x可求得点E 的坐标,利用A ,E 的坐标可求әA O E 的面积．点评:第(１)问也可设点A 的坐标,利用三角形相似,由线段之间的关系表示出点B 的坐标再求函数关系式．写反比例函数关系式时要注意k 值的正负．第(２)问的解答要过点E 作x 轴的垂线,关键是把求三角形的面积转化成直角梯形的面积问题．６结语综上所述,在解与反比例函数有关的图形面积问题时,一般有两种途径:一是直接利用反比例函数解析式中k 的值求解;二是利用函数解析式和图形中的点之间的特殊关系巧设点的坐标求解．即要解决形的问题,我们抓住形的特征,以及形和数之间的特殊关系,把形的问题直接转化成数的问题来求解．这里转化的桥梁就是反比例函数图象上点的坐标．Z４５Copyright 博看网 . All Rights Reserved.。
