反比例函数与几何图形的面积问题

专题九反比例函数与图形的面积(教材P147作业题第3题)已知反比例函数y＝kx(k≠0)的图象上一点的坐标为(－1，－4)，求这个反比例函数的表达式，并画出它的图象．解：y＝4x，图略．【思想方法】反比例函数k的几何意义：反比例函数图象上的点(x，y)的横，纵坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴分别作垂线，两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为常数，即S＝|k|.一反比例函数与矩形的面积[2011·漳州]如图1，点P(x，y)是反比例函数y＝3x的图象在第一象限分支上的一个动点，P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，随着自变量x的增大，矩形OAPB的面积(A)图1A．不变B．增大C．减小D．无法确定[2012·丹东]如图2，点A是双曲线y＝kx在第二象限分支上的任意一点，点B，C，D分别是点A关于x轴，坐标原点，y轴的对称点．若四边形ABCD的面积是8，则k的值为(D)图2A．－1B．1C．2D．－2【解析】先判定出四边形ABCD是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用k表示出四边形ABCD的面积．∵四边形ABCD的面积是8，∴4×|－k|＝8，解得|k|＝2，又∵双曲线位于第二、四象限，∴k＜0，∴k＝－2.[2012·黔东南州]如图3，点A是反比例函数y＝－6x(x<0)的图象上的一点，过点A作▱ABCD，使点B、C在x轴上，点D在y轴上，则▱ABCD的面积为(C)图3A．1 B．3 C．6 D．12【解析】过点A作AE⊥OB于点E.变形3答图因为矩形ADOE的面积等于AD·AE，平行四边形ABCD的面积等于AD·AE，所以▱ABCD的面积等于矩形ADOE的面积，根据反比例函数k的几何意义可得：矩形ADOE的面积为6，即可得平行四边形ABCD的面积为6.故选C.如图4，A、B是双曲线y＝kx上的点，分别过A、B两点作x轴、y轴的垂线段．S1，S2，S3分别表示图中三个矩形的面积，若S3＝1，且S1＋S2＝4，则k值为(C)图4A．1 B．2 C．3 D．4如图5，反比例函数y＝kx(x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E.若四边形ODBE的面积为9，则k的值为(C)图5A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 由题意，得点E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S △OCE ＝|k |2，S△OAD ＝|k |2.过点M 作MG ⊥y 轴于点G ，作MN ⊥x 轴于点N ，则S 矩形ONMG ＝|k |， 又∵点M 为矩形ABCO 对角线的交点，则S 矩形ABCO ＝4S 矩形ONMG ＝4|k |.∵函数图象在第一象限，∴k ＞0，则k 2＋k2＋9＝4k ，解得k ＝3.故选C.[2013·泸州]如图6，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，…，P n (x n ，y n )在函数y ＝1x (x ＞0)的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n －1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n －1A n 都在x 轴上(n 是大于或等于2的正整数)，则点P 3的坐标是__(3＋2，3－2)__；点P n 的坐标是__(n ＋n －1，n －n －1)__(用含n 的式子表示)．图6二 反比例函数与三角形的面积[2012·毕节]如图7，双曲线y ＝kx (k ≠0)上有一点A ，过点A 作AB ⊥x轴于点B，△AOB的面积为2，则该双曲线的表达式为__y＝－4x__．图7如图8，点A，B是函数y＝2x的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则(B)图8A．S＝2B．S＝4C．2＜S＜4 D．S＞4【解析】设点A的坐标为(x，y)，则B为(－x，－y)，xy＝2.∴AC＝2y，BC＝2x.∴△ABC的面积为2x·2y÷2＝2xy＝2×2＝4.[2012·岳阳]如图9，一次函数y1＝x＋1的图象与反比例函数y2＝2x的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连结AO，BO.下列说法正确的是(C)图9 A．点A和点B关于原点对称B．当x<1时，y1>y2C．S△AOC＝S△BODD．当x>0时，y1，y2都随x的增大而增大正比例函数y＝x与反比例函数y＝1x的图象相交于A、C两点．AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D(如图10)，则四边形ABCD的面积为(C)图10A．1 B.5 2C．2 D.2 5三反比例函数与其他几何图形如图11，菱形OABC的顶点B在y轴上，顶点C的坐标为(－3，2)，若反比例函数y＝kx(x>0)的图象经过点A，则k的值为(D)图11 A．－6B．－3C．3D．6[2012·荆门]如图12，点A是反比例函数y＝2x(x＞0)的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝－3x的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中点C，D在x轴上，则S▱ABCD为(D)图12A．2 B．3 C．4 D．5【解析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b.把y＝b代入y＝2x ，得b＝2x，则x＝2b，即A的横坐标是2b；同理可得B的横坐标是－3b.则AB＝2b －(－3b)＝5b.则S▱ABCD＝5b·b＝5.如图13，已知函数y＝2x和函数y＝kx的图象交于A、B两点，过点A作AE⊥x轴于点E.若△AOE的面积为4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P点坐标是__P1(0，－4)，P2(－4，－4)，P3(4，4)__．图13[2012·丽水]如图14，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y＝kx(k>0)经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4.图14(1)求该双曲线所表示的函数解析式；(2)求等边△AEF的边长．解：(1)过点C作CG⊥OA于点G.∵点C是等边△OAB的边OB的中点，∴OC＝2，∠AOB＝60°，∴OG＝1，CG＝3，∴点C的坐标是(1，3)．由3＝k1，得k＝3，∴该双曲线所表示的函数解析式为y＝3x.(2)过点D作DH⊥AF于点H，设AH＝a，则DH＝3a，∴点D的坐标为(4＋a，3a)．上的点，由xy＝3，得∵点D是双曲线y＝3x3a(4＋a)＝3，即a2＋4a－1＝0，解得a1＝5－2，a2＝－5－2(舍去)，∴AD＝2AH＝25－4.∴等边△AEF的边长是(45－8)．。

反比例函数求三角形面积
三角形是一种最基本的多边形，也是最古老的几何图形，它的几何原理也是广泛应用于现代生活中的。

如果想要计算三角形的面积，我们可以利用反比例函数来解决。

反比例函数是一种特殊的函数，它表示的是“y随x的变化而变化，但其变化率随着x的增大而减小”的函数关系，它可以用来解决各种科学和数学问题。

在计算三角形面积时，我们可以利用反比例函数，根据所给的三角形的边长，经过变换以后，计算的三角形的面积就会更加准确。

假设现在有一个三角形，其三条边的长度分别是a、b、c，那么我们可以用反比例函数来解决计算面积的问题。

其具体求解步骤如下：（1）把三角形的边长a、b、c替换为反比例函数的变量x、y、z，即a=x,b=y,c=z；
（2）建立反比例函数的表达式，即f(x,y,z)=0；
（3）代入原来的变量a、b、c，求解得到反比例函数的解，即
f(a,b,c)=0；
（4）根据以上解析出的f(a,b,c)的函数式，利用三角形面积的公式S=1/2*a*b*sinC，求出三角形的面积。

在实际应用中，反比例函数在计算三角形面积时非常有效。

首先，反比例函数只要给定三角形的边长就可以求出准确的解，这能节省许多计算时间和运算量；其次，它可以有效地避免测量误差，从而计算出更准确的面积，让计算结果更加精确。

总之，反比例函数在求解三角形面积方面的应用非常广泛，它的计算结果更加准确，能够节省大量的时间和运算量。

希望通过本文的介绍，对大家计算三角形面积有所帮助。

反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。

在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。

本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。

一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。

二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。

三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。

四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。

五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。

六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。

七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。

八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。

结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。

这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。

希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。

反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。

这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。

反比例函数求三角形面积
三角形是广泛存在于自然界中的一种几何形状，也是许多数学问题研究中的一个重要元素。

本文通过反比例函数求解三角形的面积。

首先需要知道的是，反比例函数是一种特殊的比例函数，其关系式可以表示为y = k/x，其中k为常量，x为变量。

该函数表示的是y与x呈反比例关系，当x变大时，y会变小，当x变小时，y会变大。

三角形的面积是根据三角形的三条边长度表示的，用一般式子表示如下：
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
其中，S表示三角形的面积，p为三角形的半周长，a,b,c分别表示三角形的三条边长。

由此可以看出，三角形的面积S与半周长p成正比，S与三角形的三条边长成反比例，其关系式可以表示为：
S= k/(a*b*c)
由此可以得出，三角形的面积S与三角形的三条边长成反比例，可以使用反比例函数来求解三角形面积S。

本文介绍了如何使用反比例函数求解三角形面积。

当我们需要求解三角形的面积时，可以利用该函数来计算。

因为它的工作原理是要将边长的反比例关系转换成面积与边长的正比关系，这样就可以自动计算出三角形的面积。

特别要指出的是，在求解三角形面积问题时，我们除了使用反比
例函数外，还可以使用比例函数、勾股定理等方式来求解。

然而，使用这些方法求解时需要掌握更多的公式，且求解过程较为复杂，而使用反比例函数却可以节省许多求解时间。

本文介绍了利用反比例函数求解三角形面积的方法，可以有效提高求解三角形面积问题的效率。

同时，本文也为其他求解几何图形面积问题提供了一定参考，希望能帮助读者更好地理解反比例函数的概念，从而有效提高求解几何图形问题的效率。

反比例函数图象与几何图形的面积 签名_______一. 反比例函数与矩形面积 1. 如图，P 是反比例函数y kxk =≠()0的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。

二. 反比例函数与三角形面积 2．如图，点A 在反比例函数y kxk =≠()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。

评析：如图，若A 点是反比例函数y k xk =≠()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积=ABOC S ；三角形AOB 的面积=∆AOB S _____,常做的辅助线是过图像上的点做X 轴或者Y 轴的垂线构建矩形或者直角三角形。

1．如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=1的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则________.练习：1. （2010湖北孝感）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上， 且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 2. 如图，A 、B 是函数y x=1的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 12<<SC. S ＝2D. S >23、 如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=2的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。

4、如图，反比例函数y=xk(x>0)与矩形OABC 的边AB 、BC 交于F 、E 两点，且BE=CE ，四边形OEBF 的面积为2 ；求三角形OAF 的面积和k5、如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .x。

反比例函数求面积反比例函数是数学中一种常见的函数形式，其表达式为y =k/x，其中k为常数。

反比例函数具有一定的特点，其中最常见的应用就是求解面积相关问题。

在几何学中，很多问题可以通过反比例函数来求解面积，以下将介绍几个常见的例子。

1. 矩形的面积：可以将矩形的长记为x，宽记为y，则矩形的面积为S = xy。

如果已知矩形的面积S和宽y，可以通过反比例函数求解矩形的长x。

我们知道xy = S，对上式两边同时取倒数，得到yx = 1/S，可以看到yx符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解矩形的长。

2. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr²，其中r为圆的半径。

如果已知圆的面积S，可以通过反比例函数求解圆的半径r。

我们知道S = πr²，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 1/(πr²)，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解圆的半径。

3. 三角形的面积：三角形的面积公式为S = 1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。

如果已知三角形的面积S和底边长度b，可以通过反比例函数求解高h。

我们知道S = 1/2bh，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 2/bh，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解三角形的高。

在实际问题中，反比例函数也有着广泛的应用。

例如，汽车行驶的时间和速度之间就存在着反比例关系。

假设一辆汽车行驶的距离为d，速度为v，行驶的时间为t。

根据定义，速度等于距离除以时间，即v = d/t。

如果我们已知汽车行驶的距离d和行驶的时间t，可以通过反比例函数求解汽车的速度v。

在数学教育中，反比例函数也是一个重要的概念，它可以帮助学生理解函数的性质和图像的变化。

学生可以通过绘制函数图像、计算函数的值等方式来探究反比例函数的特点，并且可以通过实际应用问题来加深对反比例函数的理解。

综上所述，反比例函数是求解面积问题常用的数学工具之一。