反比例函数与几何图形的面积

反比例函数求面积公式大全《反比例函数求面积公式大全》引言：反比例函数是数学中的一种特殊函数，其特点是当自变量x增加时，因变量y会以相反的趋势减小。

在数学和实际应用中，使用反比例函数可以描述许多重要的关系，尤其是与面积相关的问题。

本文将为读者提供一份反比例函数求面积的公式大全，帮助读者更好地理解和应用反比例函数。

一、长方形1. 长方形的面积与其长度（l）和宽度（w）成反比例关系，即S = k/(l×w)，其中k为常数。

二、正方形1. 正方形的面积与其边长（s）的平方成反比例关系，即S = k/s²，其中k为常数。

三、圆1. 圆的面积与其半径（r）的平方成反比例关系，即S = πr²，其中π为圆周率，约等于3.14159。

四、椭圆1. 椭圆的面积与其长轴（2a）和短轴（2b）的乘积成反比例关系，即S = πab，其中a和b分别为长轴和短轴的半长。

五、三角形1. 三角形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = (1/2)bh。

六、平行四边形1. 平行四边形的面积与其底（b）和高（h）的乘积成反比例关系，即S = bh。

七、等腰梯形1. 等腰梯形的面积与其上底（a）、下底（b）和高（h）的关系为S = (a + b)h/2。

八、圆环1. 圆环的面积与其外半径（R）、内半径（r）和π的关系为S = π(R² - r²)。

结论：通过反比例函数求面积的公式大全，读者可以更加方便地计算各种几何形状的面积。

这些公式对于数学学习、几何推导以及实际生活中的建模和计算都具有重要意义。

希望读者能够掌握这些公式，并在实际中运用自如，提高数学应用的能力和解决问题的水平。

四、反比例函数图象中的面积规律（1）过双曲线上任意一点作轴的垂线，则垂足、已知点及原点这三点所构成的三角形面积为S ＝k 21。

（2）反比例函数y=k x (k ≠0)中比例系数k 的几何意义,即过双曲线y=k x(k ≠0)上任意一点引x 轴、y 轴垂线,所得矩形面积为│k │.1、如图，A 为反比例函数xk y =图象上一点，AB ⊥x 轴与点B ，若3=∆AOB S ，则k 为（ ） 2、已知，如图所示的P 是反比例y=k x 函数图象上的一点，•若图中阴影部分的矩形面积为2，则这个反比例函数的关系式为（ ）A ．y=2x B ．y=－2x C ．y=12x D ．y=－12x3、如图：A ，B 是函数x y 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点。

AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，求△ABC 的面积。

4、正比例函数y=x 与反比例函数y=1x的图象相交于A 、C 两点.AB ⊥x 轴于B,CD ⊥y 轴于D(如图),则四边形ABCD 的面积为( ) A.1 B.32 C.2 D.52例3、如图，点A 在反比例函数)0(≠=k xk y 的图象上，AB 垂直于x 轴，若S △AOB=4，那么这个反比例函数的解析式为 。

X O例3 变式议练1 变式议练2变式议练1、如图，过反比例函数xy 1=（x ＞0）的图形上任意两点A 、B 分别作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连结OA 、OB 。

设AC 与OB 的交点为E ，△AOE 与梯形ECDB 的面积分别为S1，S2，比较它们的大小，可得（ ）A. S1＞S2B. S1=S2C. S1＜S2D. 大小关系不能确定变式议练2、如图，A 、B 是函数xy 1=的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S ，则（ ）A. S=1B. 1＜S ＜2C. S=2D. S ＞22、反比例函数与斜三角形面积例4、如图，函数kx y -=（0≠k ）与xy 4-=的图象交于A 、B 两点，过点A 作AC 垂直于y 轴，垂足为点C ，则△BOC 的面积为 。

反比例函数中与面积有关的问题知识点回忆由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进展考察。

这种考察方式既能考察函数、反比例函数本身的根底知识内容，又能充分表达数形结合的思想方法，考察的题型广泛，考察方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。

下面就反比例函数中与面积有关的问题的几种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，那么两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k故S=|k|从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于以下三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一k与三角形的面积k〔k＞0〕经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直※1、如图，双曲线y=x角边AB相交于点C．假设△OBC的面积为6，那么k=______．最正确答案过D点作DE⊥x轴，垂足为E，1k,由双曲线上点的性质，得S△AOC=S△DOE=2∵DE⊥x轴，AB⊥x轴，∴DE∥AB，∴△OAB∽△OED，又∵OB=2OD，∴S△OAB=4S△DOE=2k，由S△OAB-S△OAC=S△OBC，得2k-21k=6，解得：k=4．故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x＞0)的图象上任意两点A、B作x 轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OA、OB，设△AOC和△BOD的面积分别是S 1、S2,，比拟它们的大小，可得A.S1＞S2B.S1=S2C.S1＜S2D.S1、S2大小不确定。

反比例函数求三角形面积
三角形是广泛存在于自然界中的一种几何形状，也是许多数学问题研究中的一个重要元素。

本文通过反比例函数求解三角形的面积。

首先需要知道的是，反比例函数是一种特殊的比例函数，其关系式可以表示为y = k/x，其中k为常量，x为变量。

该函数表示的是y与x呈反比例关系，当x变大时，y会变小，当x变小时，y会变大。

三角形的面积是根据三角形的三条边长度表示的，用一般式子表示如下：
S=√(p(p-a)(p-b)(p-c))
其中，S表示三角形的面积，p为三角形的半周长，a,b,c分别表示三角形的三条边长。

由此可以看出，三角形的面积S与半周长p成正比，S与三角形的三条边长成反比例，其关系式可以表示为：
S= k/(a*b*c)
由此可以得出，三角形的面积S与三角形的三条边长成反比例，可以使用反比例函数来求解三角形面积S。

本文介绍了如何使用反比例函数求解三角形面积。

当我们需要求解三角形的面积时，可以利用该函数来计算。

因为它的工作原理是要将边长的反比例关系转换成面积与边长的正比关系，这样就可以自动计算出三角形的面积。

特别要指出的是，在求解三角形面积问题时，我们除了使用反比
例函数外，还可以使用比例函数、勾股定理等方式来求解。

然而，使用这些方法求解时需要掌握更多的公式，且求解过程较为复杂，而使用反比例函数却可以节省许多求解时间。

本文介绍了利用反比例函数求解三角形面积的方法，可以有效提高求解三角形面积问题的效率。

同时，本文也为其他求解几何图形面积问题提供了一定参考，希望能帮助读者更好地理解反比例函数的概念，从而有效提高求解几何图形问题的效率。

反比例函数图象与几何图形的面积 签名_______一. 反比例函数与矩形面积 1. 如图，P 是反比例函数y kxk =≠()0的图象上一点，过P 点分别向x 轴、y 轴作垂线，所得到的图中阴影部分的面积为6，求这个反比例函数的解析式。

二. 反比例函数与三角形面积 2．如图，点A 在反比例函数y kxk =≠()0的图象上，AB 垂直于x 轴，若S AOB ∆=4，那么这个反比例函数的解析式为_____________。

评析：如图，若A 点是反比例函数y k xk =≠()0图象上的任意一点，且AB 垂直于x 轴，垂足为B ，AC 的垂直于y 轴，垂足为C ，则矩形面积=ABOC S ；三角形AOB 的面积=∆AOB S _____,常做的辅助线是过图像上的点做X 轴或者Y 轴的垂线构建矩形或者直角三角形。

1．如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=1的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线交x 轴于B ，连结BC ，若∆ABC 面积为S ，则________.练习：1. （2010湖北孝感）如图，点A 在双曲线1y x =上，点B 在双曲线3y x=上， 且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为 . 2. 如图，A 、B 是函数y x=1的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，∆ABC 的面积为S ，则（ ） A. S ＝1 B. 12<<SC. S ＝2D. S >23、 如图，正比例函数y kx k =>()0与反比例函数y x=2的图象相交于A 、C 两点，过A 点作x 轴的垂线，交x 轴于B ，过C 作x 轴的垂线，交x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为____________。

4、如图，反比例函数y=xk(x>0)与矩形OABC 的边AB 、BC 交于F 、E 两点，且BE=CE ，四边形OEBF 的面积为2 ；求三角形OAF 的面积和k5、如图，双曲线)0(2>=x xy 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 .x。

反比例函数求面积反比例函数是数学中一种常见的函数形式，其表达式为y =k/x，其中k为常数。

反比例函数具有一定的特点，其中最常见的应用就是求解面积相关问题。

在几何学中，很多问题可以通过反比例函数来求解面积，以下将介绍几个常见的例子。

1. 矩形的面积：可以将矩形的长记为x，宽记为y，则矩形的面积为S = xy。

如果已知矩形的面积S和宽y，可以通过反比例函数求解矩形的长x。

我们知道xy = S，对上式两边同时取倒数，得到yx = 1/S，可以看到yx符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解矩形的长。

2. 圆的面积：圆的面积公式为S = πr²，其中r为圆的半径。

如果已知圆的面积S，可以通过反比例函数求解圆的半径r。

我们知道S = πr²，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 1/(πr²)，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解圆的半径。

3. 三角形的面积：三角形的面积公式为S = 1/2bh，其中b为底边的长度，h为高的长度。

如果已知三角形的面积S和底边长度b，可以通过反比例函数求解高h。

我们知道S = 1/2bh，对这个式子两边同时取倒数，得到1/S = 2/bh，可以看到1/S符合反比例函数的形式，因此可以通过反比例函数求解三角形的高。

在实际问题中，反比例函数也有着广泛的应用。

例如，汽车行驶的时间和速度之间就存在着反比例关系。

假设一辆汽车行驶的距离为d，速度为v，行驶的时间为t。

根据定义，速度等于距离除以时间，即v = d/t。

如果我们已知汽车行驶的距离d和行驶的时间t，可以通过反比例函数求解汽车的速度v。

在数学教育中，反比例函数也是一个重要的概念，它可以帮助学生理解函数的性质和图像的变化。

学生可以通过绘制函数图像、计算函数的值等方式来探究反比例函数的特点，并且可以通过实际应用问题来加深对反比例函数的理解。

综上所述，反比例函数是求解面积问题常用的数学工具之一。

万能解题模型(一) 反比例函数中的面积问题万能解题模型(一)：反比例函数中的面积问题类型1：单支双曲线上一点一垂直形成的三角形的面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$A(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，点 $P(x_1,0)$ 为$A$ 点向 $x$ 轴作垂线段的底部交点，则 $\triangle AOP$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1y_1$，同时 $\triangle ABC$ 的面积为 $S=\frac{1}{2}x_1\cdot\frac{k}{x_1}=\frac{1}{2}k$，因此$\triangle AOP$ 和 $\triangle ABC$ 面积的比值为$\frac{S_{\triangle AOP}}{S_{\triangleABC}}=\frac{\frac{1}{2}x_1y_1}{\frac{1}{2}k}=\frac{y_1}{k} $，即 $S_{\triangle AOP}=|k|\cdot S_{\triangle ABC}$。

类型2：单支双曲线上一点两垂直形成的矩形面积设单支双曲线方程为 $y=\frac{k}{x}$，点$P(x_1,y_1)$ 为单支双曲线上的一点，$AC$ 和 $DE$ 分别为$P$ 点向 $x$ 轴和 $y$ 轴作垂线段的线段，$B$ 点为 $AC$ 和$DE$ 的交点，则四边形 $PMON$ 的面积为 $S=|x_1y_1|$，同时四边形 $ACDE$ 的面积为$S=\frac{1}{2}|x_1|\cdot|y_1|=\frac{1}{2}S_{\square PMON}$，因此四边形 $PMON$ 和四边形 $ACDE$ 面积的比值为$\frac{S_{\square PMON}}{S_{\squareACDE}}=\frac{2S}{|x_1|\cdot|y_1|}=2|k|$，即 $S_{\square PMON}=|k|\cdot S_{\square ACDE}$。

专题四反比例函数中“K”与面积一:问题背景反比例函数y＝kx中，比例系数k有一个很重要的几何意义，那就是：过反比例函数y＝kx图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N（如图1所示），则矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|=|k|。

所以，对双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，它们与x轴、y轴所围成的矩形面积为常数|k|,由此基本图形带来的衍生图形也很多，他们与K都有固定的结论。

在解有关反比例函数的问题时，若能灵活运用这些基本图形，会给解题带来很多方便。

二：基本图形S四边形PEOF =|K|S△ABO=|K|S△ABM=|K|S△ABC=2|K|S四边形ABCD=2|K|S△AOC=S四边形ACEF基础题型1、如图,直线y=mx与双曲线y＝kx交于点A,B、过点A作AM⊥x轴,垂足为点M,连接BM.若△ABM的面积为1,则k的值是________2、如图A,B是函数y=的图象上关于O原点对称的任意两点,AC∥Y 轴,BC∥X轴,△ABC的面积记为S,则S=_________3、如图，点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向X轴、Y轴作垂线段，若S阴影=1，则S1+S2=________4、如图，点A是反比例函数y＝kx图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为点B，点C为y轴上的一点，连接AC，BC.若△ABC的面积为3，则k的值是。

5、如图,点A在函数y=的图象上,点B在函数y＝kx(x﹥0)的图象上,连接AB,AB垂直x轴于点M,且AM︰MB=1︰2,则k=。

6、如图，点A在双曲线y=上，点B在双曲线y=上，且AB∥x 轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则S ABCD=。

7、双曲线y1、y2在第一象限的图象如图，y1=，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若S△AOB=1，则y2的解析式是_____。

第1讲 反比例函数的有关面积问题（一）【学习目标】1．理解并掌握反比例函数中的比例系数k 的几何意义；2．会灵活运用k 的几何意义求图形面积或由图形面积求k 的值．【重难点】k 的几何意义和面积的转化．知识点与方法技巧梳理：k 的几何意义1．过反比例函数y ＝kx图象上任意一点P （x ，y ）作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P 点组成一个矩形，则矩形的面积S ＝|x |·|y |＝|x y |＝|k |．2．反比例函数y ＝kx图象上任意一点P （x ，y ）作x 轴或y 轴的垂线，垂足、原点、P 点组成一个直角三角形，则三角形的面积S ＝1 2 |x |·|y |＝1 2 |x y |＝12|k |．【例1】若直线y ＝kx （k ＞0）与函数y ＝1x的图象交于A 、C 两点，AB ⊥x 轴于B ，则△ABC 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．kD ．k2【变式】如图，A 、B 是函数y ＝2x的图象上关于原点O 对称的任意两点，AC ∥y 轴，BC ∥x 轴，则△ABC的面积为____________．【例2】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，分别过这些点作x 轴的垂线与反比例函数y ＝2x的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，连接OP 1，A 1P 2，A 2P 3，A 3P 4，A 4P 5，得到Rt △OP 1A 1，Rt △A 1P 2A 2，Rt △A 2P 3A 3，Rt △A 3P 4A 4，Rt △A 4P 5A 5，设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，S 5，则S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝_____________．【变式】如图，在x 轴的正半轴上依次间隔相等的距离取点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n ，分别过这些点作x轴的垂线与反比例函数y ＝1x的图象相交于点P 1，P 2，P 3，P 4，…，P n ，再分别过P 2，P 3，P 4，…，P n 作P 2B 1⊥A 1P 1，P 3B 2⊥A 2P 2，P 4B 3⊥A 3P 3，…，P n B n －1⊥A n －1P n －1，垂足分别为B 1，B 2，B 3，B 4，…，B n －1，连接P 1P 2，P 2P 3，P 3P 4，…，P n －1P n ，得到Rt △P 1B 1P 2，Rt △P 2B 2P 3，Rt △P 3B 3P 4，…，Rt △P n －1B n －1P n ，设它们的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n ＝_____________．（用含n 的式子表示）【例3】如图，正方形OABC 的面积为9，点B 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 是反比例函数图象上异于点B 的一点，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为E 、F ．设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合的两部分的面积和为S ，当S ＝92时，求点P 的坐标．【变式】如图，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数y ＝kx（k ＞0，x ＜0）的图象上，若点R 是该反比例函数图象上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S ＝m （m 为常数，且0＜m ＜4）时，求点R 的坐标（用含m 的代数式表示）．【例3】如图，在△OAB 中，C 是AB 的中点，反比例函数y ＝kx（k＞0）在第一象限的图象经过A 、C 两点，若△OAB 的面积为9，则k 的值为____________．【变式1】如图，A 、B 是双曲线y ＝kx上的两点，过A 点作AC ⊥x 轴于C ，交OB 于D ，若D 为OB 的中点，△ADO 的面积为1，则k 的值为____________．【变式2】如图，反比例函数y ＝k x （k ＞0，x ＞0）的图象经过Rt △AOB 的斜边OA 上的点C ，且 OC OA ＝ 13，与AB 边交于点D ，连接OD ，若△AOD 的面积为8，则k 的值为【能力提升】1．如图，正方形ABCD 的边长为2，AB ∥x 轴，AD ∥y 轴，顶点A在双曲线y ＝12x上，边CD 、BC 分别交双曲线于E 、F ，且线段AE 恰好经过原点，则△AEF 的面积为2A （－1，0），B （0，－2），AD 边交y 轴于点E ，S四边形BCDE ＝5S △ABE ．反比例函数ky x的图象经过点C ，与BC 边交于另一点F ，则点F 的坐标为____________．3．已知直线y ＝1 2 x 与双曲线y ＝kx（k ＞0）交于A 、B 两点，且点A 的横坐标为4．过原点O 的另一条直线交双曲线y ＝kx（k ＞0）于C 、D 两点（点C 在第一象限），若以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形的面积为24，则点C 的坐标为________________．4．如图，A 、B 两点在第一象限，点A 在反比例函数y ＝kx的图象上，交反比例函数y ＝k x 的图象于D ，连接OB 交反比例函数y ＝kx图中阴影部分的面积和最小时，点C 的坐标为____________．5．如图，双曲线2y x =、2y x=-O 是对角线AC 与BD 的交点，若阴影部分的面积为10，AB 所在直线的解析式为y ＝2x ＋b ，则点A 的坐标为____________． 6．已知A （－3，0），B （0，－4），P 为反比例函数y ＝12x（x ＞0）图象上的动点，PC ⊥x 轴于C ，PD ⊥y 轴于D ，则四边形ABCD 面积的最小值为____________．7．一次函数y ＝ax ＋b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数ky x=的图象相交于点C 、D ，作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，连接EF ．（1）如图1，若点C 、D 在反比例函数图象的同一分支上，试证明：①EF ∥AB ；②AC ＝BD ； （2）如图2，若点C 、D 在分别在反比例函数图象的不同分支上，（1）中的结论是否还成立，请证明．图1 图2第2讲 反比例函数的有关面积问题（二）【学习目标】1．理解并掌握反比例函数中的比例系数k 的几何意义；2．会灵活运用k 的几何意义求图形面积或由图形面积求k 的值．【重难点】k 的几何意义和面积的转化．【例1】如图，双曲线交矩形OABC 的边于点D 、E ，若BD ＝2AD ，四边形ODBE 的面积为8，则k 的值为____________．【变式1】如图，反比例函数y ＝kx（k＞0）的图象与矩形ABCO 的两边相交于E 、F 两点．若E 是AB 的中点，S △BEF ＝2，则k 的值为____________．【变式2】如图，知矩形OABC 的一边OA 在x 轴上，OC 在y 轴上，O 为坐标原点，连接OB ；双曲线y＝kx交BC 于D ，交OB 于E ，连接OD ，若BE ＝2OE ，△OBD 的面积等于S ，则k 的值为____________．【例2】如图，点A 在反比例函数y ＝kx（x＞0）的图象上，AB ⊥y 轴于B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC＝2AB ，点E 在线段AC 上，且AE ＝3EC ，D 是OB 的中点，△ADE 的面积是9，则k ＝_____________．【变式】如图，B 、D 两点均在双曲线y ＝kx上，BC ⊥y 轴于C ，点D 为AB 的中点，点E 在线段OC 上，且CE ＝2OE ，若△BDE 的面积为7，则k 的值为_____________．【例3】如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y ＝－k2＋5k －62x的图象上．若点A 的坐标为（－3，－2），则k 的值为【变式】如图，平面直角坐标系中，□OABC 的顶点C 的坐标为（3，4），边OA 在x 轴正半轴上，P 为对角线AC 上一点，过点P 分别作DE ∥OC ，FG ∥OA 交平行四边形各边，若反比例函数y ＝kx的图象经过点D ，四边形BCFG 的面积为8，则k 的值为_____________．【例4】如图，在平面直角坐标系xO y 中，直线y ＝3 2x 与双曲线y ＝6x相交于A ，B 两点，C 是第一象限内双曲线上一点，连接CA 并延长交y 轴于点P ，连接BP ，BC ．若△PBC 的面积是20，则点C 的坐标为_____________．【变式】如图，点A 、B 在双曲线y ＝k x 的第一象限分支上，AO 的延长线交第三象限的双曲线y ＝kx于点C ，AB 的延长线与x 轴交于点D ，连接CD 与y 轴交于点E ，若AB ＝BD ，S △ODE＝94，则k ＝___________．【能力提升】1．如图，A 是反比例函数ky x＝2OC ，CD ⊥x 轴于D ，交反比例函数图象于点B ，若S △ABC ＝8，则2．如图，矩形OABC 中，D 是对角线OB 上的一点，OD ＝2 3OB ，反比例函数y ＝kx（x ＞0）的图象经过点D ，分别与边AB 、BC 交于点E 、F ，若四边形BFDE 的面积为 56，则k 的值为_____________，矩形OABC 的面积为_____________．3．Rt △ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，∠ACB ＝90°，AC ＝2BC ，反比例函数y ＝kx在第一象限的图象与AB 边交于点D （2，m ），与BC 边交于点E （4，n ），且△BDE 的面积为2，则k ＝__________． 4．如图，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（－2，0），过点C （2，0）的直线交AO 于D ，交AB 于E ，E5．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的中心在原点O ，且一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y ＝kx（k＞0）的图象与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积为14，则k 的值为____________．6．如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x 图象上的两点，AC ⊥y 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，AC ＝BD ＝ 14OC ，S 四边形ABDC＝14，则k ＝____________．7．如图，已知平行四边形OABC 的面积为18，对角线AC 、OB 交于点D ，双曲线y ＝kx（k ＞0）经过C 、D 两点，则k 的值为____________．8．如图，平行四边形OABC的边OA在x轴的负半轴上，顶点B、C在第二象限，反比例函数y＝kx的图象经过点C，与线段OB、AB分别交于点D、E，若BD＝2OD，△OCE的面积为8，则k的值为____________．9．如图，平行四边形ABCD中，点C在y轴正半轴上，点D在反比例函数y＝kx（x＞0）的图象上，且CD∥x轴，AC的延长线交x轴于点E，若△BCE的面积为2，则k的值为_____________．10．如图，四边形ABCD的顶点都在坐标轴上，AB∥CD，△ABD与△ACD的面积分别为10和20，若双曲线y＝kx恰好经过BC的中点E，则k的值为____________．第3讲 反比例函数经典题1．如图，在平面直角坐标系中，□OABC 的顶点A 在x 轴上，顶点B 的坐标为（2k，2k），反比例函数y ＝kx在第一象限的图象将□OABC 分成上、下两部分，其面积分别为S 1、S 2，则S 1、S 2的大小关系是_____________．变式3：如图，直线y ＝kx ＋b （k ＜0，b ＞0）与x 轴、y 轴交于点A 、B ，与反比例函数my=的图象交于点C 、D ．若BD ＝DC ，△OCD 的面积为6，求反比例函数的解析式．3．如图，一次函数y ＝mx （m ＞0）与反比例函数y ＝kx的图象的图象交于A 、B 两点，点P 是第一象限内反比例函数图象上的动点，直线P A 、PB 与y 轴分别交于点C 、D，求证：PC ＝PD ．4．如图，点A 、B 是直线y ＝x 上的两点，过A 、B 两点分别作y 轴的平行线交双曲线y ＝1x（x ＞0）于C 、D 两点．若BD ＝2AC ，则4OC 2－OD 2的值为____________．5．如图，直线l 与x 轴、y 轴交于点A （2，0）、B （0，2），点P 双曲线2(0)y x =>上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，分别交直线l 于E 、F ． （1）求AF ·BE 的值； （2）求证：∠EOF ＝45°．6．如图，直线y ＝－x ＋1与x 轴、y 轴交于点A 、B ，点P 为双曲线(00)ky k x x=>>，上一动点，过点P 作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N ，分别交直线AB 于E 、F ，∠EOF ＝45°． （1）求证：△AOF ∽△BEO ； （2）求双曲线的解析式．7．如图，P 为双曲线y ＝3x上的一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－3x ＋m 于D 、C 两点，若直线y ＝－3x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，则AD ·BC 的值为____________．8．如图，在Rt △OAB 中，O 为坐标原点，直角顶点A 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，AB ＝4，反比例函数y＝kx（k＞0）的图象分别与边OB 、AB 交于点C 、D ，若以B 、C 、D 为顶点的三角形与△BAO 相似，则k 的值为____________．9．11．如图，矩形OABC 的面积为2，反比例函数y ＝kx（k＞0）的图象与矩形的两边AB 、BC 分别交于点E 、F ，则四边形OAEF 面积的最大值为___________．12．如图，矩形OABC 的面积为定值，反比例函数y ＝kx（k＞0）的图象与矩形OABC 的边AB 、BC 分别交于点E 、F ，若四边形OAEF 面积的最大值为 54，则k ＝___________，矩形OABC 的面积为___________．13．如图，直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于点E 、F ，交反比例函数y ＝kx（k＞0，x＞0）的图象于点A 、C （A 在C 的左侧），AB ⊥x 轴于B ，CD ⊥x 轴于D ，连接OA 、BC ，若BD ＝OB ＋DE ，S △AOF＋S △CDE＝1，则△ABC 的面积为_____________．14．如图，点A 、B 在反比例函数y ＝1x（x＞0）的图象上，点A 在点B 的左侧，且OA ＝OB ，点A 关于y 轴的对称点为A ′，点B 关于x 轴的对称点为B ′，连接A ′B ′ 分别交OA 、OB 于点D 、C ，若四边形ABCD 的面积为65，则点A 的坐标为______________．15．如图，矩形AOBC 中，OA ＝4，OB ＝6，反比例函数y ＝k x（k ＞0）的图象与边AC 、BC 分别交于点E 、F ，将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上，则k ＝____________．17．18．如图，点A 是反比例函数y ＝ 22 x的图象第一象限分支上的动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连接BP ，当BP 平分∠ABC 时，点C 的坐标是____________．20．如图，点A （a ，3）在反比例函数y ＝ k x （k ＞0，x ＞0）的图象上，点P 为反比例函数y ＝ k x（k＞0，x＞0）图象上的一个动点，当△OAP 为等腰三角形且满足条件的P 点恰好只有2个时，k 的值为_____________．21．在平面直角坐标系xO y 中，等边△PQM 的顶点P 、Q 在x 轴上，顶点M 在反比例函数y ＝ 3x的图象上，若P 点坐标为（t ，0），且满足条件的等边△PQM 恰好有三个，则t 的值为_____________．4．如图，双曲线交矩形OABC 的边于点D 、E ，求证：DE ∥AC ．5．如图，点A、B在双曲线的同一分支上，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D，求证：DC∥AB．12．如图P是函数y＝kx（k＞0，x＞0）图象上一点，直线y＝－x＋1分别交x轴、y轴于点A、B，过点P 分别作PM⊥x轴于点M，交AB于点E，作PN⊥y轴于点N，交AB于点F，则AF·BE的值为___________．（用含k的代数式表示）13．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO＝∠ADB＝90°，反比例函数y＝kx在第一象限的图象经过点B，若OA2－AB2＝12，则k的值为__________．14．如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA＝4，AB＝5，点D在反比例函数y＝kx（k＞0）的图象上，DA⊥OA，点P在y轴负半轴上，PD⊥BD，OP＝7，则k的值为_________xO MPABNEFADBCO xy12。

反比例函数面积问题反比例函数是一种特殊的函数形式，具有以下的一般形式： y =k/x （其中k为常数，x不等于0）。

反比例函数经常在数学和科学领域中出现，特别是在描述多种关系和量之间的相互影响时。

在这篇文章中，我们将探讨反比例函数面积问题。

面积问题是在求解几何形体的面积时经常遇到的一类问题。

反比例函数面积问题就是基于反比例函数的特性来解决与面积相关的问题。

让我们从一个具体的实例开始，以更好地理解反比例函数在面积问题中的应用。

假设有一个矩形，其长度为x，宽度为y。

我们知道，矩形的面积可以通过计算长度乘以宽度来得到。

我们将根据反比例函数的定义来描述此问题。

根据反比例函数的定义，我们有y = k/x。

将x和y分别替换为矩形的长度和宽度，我们得到y = k/x = l*w （其中l表示矩形的长度，w表示矩形的宽度）。

我们可以看到，在这个例子中，矩形的面积与其长度和宽度之间存在反比例关系。

当长度增加时，宽度会减小，以保持面积不变；反之亦然。

现在让我们来尝试解决一个具体的反比例函数面积问题。

问题：假设有一个矩形，其长度为8 cm，面积为24 cm²。

当长度增加到10 cm时，矩形的面积是多少？解法：我们可以使用反比例函数来解决这个问题。

根据反比例函数的定义，我们有y = k/x。

这里，y表示矩形的面积，x表示矩形的长度。

根据题目中给出的条件，我们可以将面积和长度表示为y = 24/x。

我们将已知的长度和面积带入公式，得到24 = 8/x。

现在我们可以解这个方程，求得反比例函数的常数k的值。

通过求解方程，我们得到k = 24*8 = 192。

现在我们可以使用得到的常数k来求解问题中给出的具体情况。

根据反比例函数的形式y = k/x，我们有y = 192/10 = 19.2 cm²。

所以，当长度增加到10 cm时，矩形的面积为19.2 cm²。

通过这个具体的例子，我们可以看到反比例函数如何在解决面积问题中发挥作用。