2020高二上期中数学试卷解析版

2020-2021学年山东省实验中学高二（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．47．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．二.多选题（共4小题）.9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0 10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．812．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共8小题）.1．直线3x+2y﹣1＝0的一个方向向量是（）A．（2，﹣3）B．（2，3）C．（﹣3，2）D．（3，2）解：依题意，（3，2）为直线的一个法向量，∴则直线的一个方向向量为（2，﹣3），故选：A．2．椭圆+＝1的离心率是（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1，可得a＝3，b＝2，则c＝＝，所以椭圆的离心率为：＝．故选：B．3．两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0间的距离为d，则a，d分别为（）A．a＝6，B．a＝﹣6＝﹣6，C．a＝﹣6，D．a＝6，解：根据两条平行直线2x﹣y+3＝0和ax﹣3y+4＝0，可得＝≠，可得a＝6，可得两条平行直线即6x﹣3y+9＝0和6x﹣3y+4＝0，故它们间的距离为d＝＝，故选：D．4．如图，四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，设，，，E是PC的中点，则（）A．B．C．D．解：∵四棱锥P﹣OABC的底面是矩形，，，，E是PC的中点，∴＝+＝﹣+＝﹣+（+）＝﹣+（﹣+）＝﹣﹣+，故选：B．5．空间直角坐标系O﹣xyz中，经过点P（x0，y0，z0）且法向量为的平面方程为A（x﹣x0）+B（y﹣y0）+C（z﹣z0）＝0，经过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为的直线l的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，经过（0，0，0）直线l 的方程为，则直线1与平面α所成角的正弦值为（）A．B．C．D．解：∵平面α的方程为3x﹣5y+z﹣7＝0，∴平面α的一个法向量为＝（3，﹣5，1），∵经过（0，0，0）直线l的方程为，∴直线l的一个方向向量为＝（3，2，﹣1），设直线1与平面α所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，∴直线1与平面α所成角的正弦值为．故选：B．6．已知圆x2+y2﹣6x＝0，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1B．2C．3D．4解：由圆的方程可得圆心坐标C（3，0），半径r＝3；设圆心到直线的距离为d，则过D（1，2）的直线与圆的相交弦长|AB|＝2，当d最大时弦长|AB|最小，当直线与CD所在的直线垂直时d最大，这时d＝|CD|＝＝2，所以最小的弦长|AB|＝2＝2，故选：B．7．已知l，m是异面直线，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m，AB＝2，CD＝1，则异面直线l，m所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°解：由AC⊥m，BD⊥m，可得AC⊥CD，BD⊥CD，故可得＝0，＝0，∴＝（）•＝+||2+＝0+12+0＝1，∴cos＜，＞＝＝，∵与夹角的取值范围为[0，π]，故向量的夹角为60°，∴异面直线l，m所成的角等于60°．故选：C．8．已知F1，F2是椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是C的左顶点，点P 在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为（）A．B．C．D．解：由题意可知：A（﹣a，0），F1（﹣c，0），F2（c，0），直线AP的方程为：y＝（x+a），由∠F1F2P＝120°，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则P（2c，c），代入直线AP：c＝（2c+a），整理得：a＝4c，∴题意的离心率e＝＝．故选：D．二.多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.）9．过点P（2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程为（）A．x+y﹣5＝0B．2x+y﹣4＝0C．3x﹣2y＝0D．4x﹣2y+5＝0解：当直线经过原点时，直线的斜率为k＝，所以直线的方程为y＝x，即3x﹣2y＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x+y＝a，代入点P（2，3）可得a＝5，所以所求直线方程为x+y＝5，即x+y﹣5＝0．综上可得，所求直线方程为：x+y﹣5＝0或3x﹣2y＝0．故选：AC．10．已知曲线C：mx2+ny2＝1．（）A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线解：曲线C：mx2+ny2＝1．若m＞n＞0，方程化为，得＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，故A 正确；B错误；若m＝n＞0，方程化为，则C是圆，其半径为，故C错误；若m＝0，n＞0，方程化为，即y＝，则C是两条直线，故D正确．故选：AD．11．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0）若圆C 上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的可能取值为（）A．7B．6C．5D．8解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6，最小值为4，再由∠APB＝90°，可得以AB为直径的圆和圆C有交点，得PO＝|AB|＝m，即4≤m≤6，结合选项可得，m的值可能取6和5．故选：BC．12．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，动点在椭圆上，∠F1PF2的平分线与x轴交于点M（m，0），则m的可能取值为（）A．1B．2C．0D．﹣1解：由椭圆方程可得F1（，0），F2（），由y1＞，可得＜x1＜，则直线PF1的方程为，即，直线PF2的方程为，即．∵M（m，0）在∠F1PF2的平分线，∴，①∵＝，＝，﹣＜m＜，∴①式转化为，即m＝，又＜x1＜，∴＜m＜．结合选项可得m的可能取值为1，0，﹣1，故选：ACD．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，若α⊥β，则y﹣x＝1．解：∵平面α的一个法向量，平面β的一个法向量，α⊥β，∴＝﹣x+y﹣1＝0，解得y﹣x＝1．故答案为：1．14．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是线段DD1的中点，F是线段BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E的距离为．解：如图，取C1C的中点G，连接BG，可得BF∥C1G，BF＝C1G，则四边形BGC1F为平行四边形，∴C1F∥BG．连接EG，得EG∥CD∥AB，EG＝CD＝AB，则四边形ABGE为平行四边形，得BG∥AE，则FC1∥AE，∵AE⊂平面AB1E，FC1⊄平面AB1E，∴FC1∥平面AB1E，∴直线FC1到平面AB1E的距离等于F到平面AB1E的距离，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中的棱长为1，∴，AE＝，，则cos∠EAB1＝，∴sin，则＝．设F到平面AB1E的距离为h，由，得，即h＝．∴直线FC1到平面AB1E的距离为．故答案为：．15．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，弦AB过点F1，若△ABF2的内切圆的周长为2π，A，B两点的坐标是（x1，y1）（x2，y2），则|y1﹣y2|＝．解：由椭圆，得a2＝25，b2＝16，∴a＝5，b＝4，c＝＝3，∴椭圆的焦点分别为F1（﹣3，0）、F2（3，0），设△ABF2的内切圆半径为r，∵△ABF2的内切圆周长为2π，∴r＝1，根据椭圆的定义，得|AB|+|AF2|+|BF2|＝（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）＝4a＝20．∴△ABF2的面积S＝（|AB|+|AF2|+|BF2|）×r＝×20×1＝10，又∵△ABF2的面积S＝+＝×|y1|×|F1F2|+×|y2|×|F1F2|＝×（|y1|+|y2|）×|F1F2|＝3|y2﹣y1|（A、B在x轴的两侧），∴3|y1﹣y2|＝10，解得|y1﹣y2|＝．故答案为：．16．2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图：Q （0，﹣3）是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O；点L、S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O．（1）若直线l与圆L、圆S均相切，则l截圆Q所得弦长为3；（2）若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝．解：（1）根据条件得到两圆的圆心坐标分别为（﹣4，0），（4，0），设公切线方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则，解得k＝±，m＝0，故公切线方程为y＝±x，则Q到直线l的距离d＝，故l截圆Q的弦长＝2＝3；（2）设方程为y＝kx+m（k≠0）且k存在，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1＝，d2＝，d3＝，则d2＝4（4﹣d12）＝4（4﹣d22）＝4（9﹣d32），即有（）2＝（）2，①4﹣（）2＝9﹣（）2，②解①得m＝0，代入②得k2＝，则d2＝4（4﹣）＝，即d＝，故答案为：3；．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（Ⅰ）在△ABC中，求边AC中线所在直线方程；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标及边BC的长度；（Ⅲ）求△ABC的面积．解：（1）设AC边的中点为M，则M（，），∴直线BM斜率k＝＝，∴直线BM的方程为y+1＝（x+2），化为一般式可得9x﹣5y+13＝0，∴AC边中线所在直线的方程为：9x﹣5y+13＝0（2）设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，∴有，解得，∴D（3，8），∵B（﹣2，﹣1），C（2，3）∴；（3）由B（﹣2，﹣1），C（2，3）可得直线BC的方程为x﹣y+1＝0，∴点A到直线BC的距离d＝＝2，∴△ABC的面积S＝×4×2＝8．18．（12分）已知△ABC的边AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，M（2，0）满足，点T（﹣1，1）在AC边所在直线上且满足．（1）求AC边所在直线的方程；（2）求△ABC外接圆的方程；（3）若动圆P过点N（﹣2，0），且与△ABC的外接圆外切，求动圆P的圆心的轨迹方程．解：（1）∵∴AT⊥AB，又T在AC上∴AC⊥AB，△ABC为Rt△ABC，又AB边所在直线的方程为x﹣3y﹣6＝0，所以直线AC的斜率为﹣3．又因为点T（﹣1，1）在直线AC上，所以AC边所在直线的方程为y﹣1＝﹣3（x+1）．即3x+y+2＝0．（2）AC与AB的交点为A，所以由解得点A的坐标为（0，﹣2），∵∴M（2，0）为Rt△ABC的外接圆的圆心又r＝．从△ABC外接圆的方程为：（x﹣2）2+y2＝8．（3）因为动圆P过点N，所以|PN|是该圆的半径，又因为动圆P与圆M外切，所以，即．故点P的轨迹是以M，N为焦点，实轴长为的双曲线的左支．因为实半轴长，半焦距c＝2．所以虚半轴长．从而动圆P的圆心的轨迹方程为．19．（12分）在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM＝BN＝a（0＜a＜）．（Ⅰ）求MN的长；（Ⅱ）a为何值时，MN的长最小并求出最小值；（Ⅲ）当MN的长最小时，求平面MNA与平面MNB夹角的余弦值．解：如图建立空间直角坐标系，A（1，0，0），C（0，0，1），F（1，1，0），E（0，1，0），∵CM＝BN＝a，∴M（，0，1﹣），N（，，0）．（Ⅰ）＝；（Ⅱ）＝，当a＝时，|MN|最小，最小值为；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当M，N为中点时，MN最短，则M（，0，），N（，，0），取MN的中点G，连接AG，BG，则G（，，），∵AM＝AN，BM＝BN，∴AG⊥MN，BG⊥MN，∴∠AGB是平面MNA与平面MNB的夹角或其补角．∵，，∴cos＜＞＝＝．∴平面MNA与平面MNB夹角的余弦值是．20．（12分）椭圆C1：的长轴长等于圆C2：x2+y2＝4的直径，且C1的离心率等于，已知直线l：x﹣y﹣1＝0交C1于A、B两点．（Ⅰ）求C1的标准方程；（Ⅱ）求弦AB的长．解：（Ⅰ）由题意可得2a＝4，∴a＝2，∵，∴c＝1，∴b＝，∴椭圆C1的标准方程为：．（Ⅱ）联立直线l与椭圆方程，消去y得：7x2﹣8x﹣8＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴|AB|＝＝＝．21．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形ABB1A1为菱形，∠AA1B1＝，平面ABB1A1⊥平面ABC，AB＝BC，AC＝，E为AC的中点．（Ⅰ）求证：B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ABB1A1为菱形，AB＝BC，AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，得AB⊥BC，又平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，∴BC⊥平面ABB1A1，又B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）取A1B1的中点O，A1C1的中点N，连接OA，ON，∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴ON⊥平面ABB1A1，得ON⊥OA1，ON⊥OA，又四边形ABB1A1为菱形，，O是A1B1的中点，∴OA⊥A1B1，故OA1，ON，OA两两互相垂直．以O为坐标原点，分别以OA1、ON、OA所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，∴B1（﹣1，0，0），C1（﹣1，2，0），E1（﹣1，1，），B（﹣2，0，），由图可知，平面EB1C1的一个法向量为，设平面BB1C1C的一个法向量为，则，取z＝1，得．设平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为θ，则cosθ＝|cos＜＞|＝||＝，又∵θ∈（0，]，∴，故平面EB1C1与平面BB1C1C所成角的大小为．22．（12分）已知点A（1，0），点P是圆C：（x+1）2+y2＝8上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线CP交于点E．（Ⅰ）求点E的轨迹方程；（Ⅱ）过点A的直线l与轨迹E交于不同的两点M，N，则△CMN的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由题意可知：|EP|＝|EA|，|CE|+|EP|＝2，∴|CE|+|EA|＝2＞|CA|＝2，∴点E的轨迹是以C，A为焦点的椭圆，且2a＝2，c＝1，∴其轨迹方程为．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨设y1＞0，y2＜0，由题意可知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x＝my+1，联立方程，消去x得：（m2+2）y2+2my﹣1＝0，则，，∴＝，∴＝＝＝，当且仅当即m＝0时，△CMN的面积取得最大值，此时直线l的方程为x＝1．。

2020-2021学年山西省太原市高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题）.1．（3分）直线x﹣2y+6＝0的斜率为（）A．2B．﹣2C．D．﹣2．（3分）长方体的长、宽、高分别为，，1，且其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．3πB．6πC．12πD．24π3．（3分）已知A（0，0），B（1，1），直线l过点（2，0）且和直线AB平行，则直线l的方程为（）A．x﹣y﹣2＝0B．x+y﹣2＝0C．2x﹣y﹣4＝0D．2x+y﹣4＝0 4．（3分）圆（x﹣1）2+（y+2）2＝1的一条切线方程是（）A．x﹣y＝0B．x+y＝0C．x＝0D．y＝05．（3分）已知直线a，b，c满足a⊥b，a⊥c，且a⊂α，b，c⊂β，有下列说法：①a⊥β；②α⊥β；③b∥c．则正确的说法有（）A．3个B．2个C．1个D．0个6．（3分）直线x﹣2y+2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣1＝0C．2x+y﹣3＝0D．2x+y﹣4＝0 7．（3分）在三棱锥A﹣BCD中，E，F分别为AC，AD的中点，设三棱锥A﹣BCD的体积为V1，四棱锥B﹣CDFE的体积为V2，则V1：V2＝（）A．4：3B．2：1C．3：2D．3：18．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为（）A．8B．7C．2D．19．（3分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是（）A．BC⊥平面APCB．BC⊥PC，AP⊥PCC．AP⊥PB，AP⊥PCD．AP⊥PC，平面APC⊥平面BPC10．（3分）已知半径为1的圆经过直线x+2y﹣11＝0和直线2x﹣y﹣2＝0的交点，那么其圆心到原点的距离的最大值为（）A．4B．5C．6D．711．（3分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1的中点为N，则异面直线AB1与CN 所成角的余弦值是（）A．B．C．D．012．（3分）在同一平面直角坐标系中，直线y＝k（x﹣1）+2和圆x2+y2﹣4x﹣2ay+4a﹣1＝0的位置关系不可能是（）A．①③B．①④C．②④D．②③二、填空题（共4小题）.13．（4分）空间直角坐标系中，已知点A（4，1，2），B（2，3，4），则|AB|＝．14．（4分）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积为．15．（4分）已知圆C：x2+y2﹣2mx﹣4y+m2＝0（m＞0）被直线l：x﹣y+3＝0截得的弦长为2，则m＝．16．（4分）已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为，若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为．三、解答题（本大题共3小题，共48分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（8分）已知直线l1经过点M（2，1），在两坐标轴上的截距相等且不为0．（1）求直线l1的方程；（2）若直线l2⊥l1，且过点M，求直线l2的方程．18．（10分）如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AC，BD为圆锥底面的两条直径，M为母线PD上一点，连接MA，MO，MC．（1）若M为PD的中点，证明：PB∥平面MAC；（2）若PB∥平面MAC，证明：M为PD的中点．19．（10分）已知圆C经过点A（0，1），B（2，1），M（3，4）．（1）求圆C的方程；（2）设点P为直线l：x﹣2y﹣1＝0上一点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为E，F．若∠EPF＝60°，求点P的坐标．四.（本小题满分10分）说明：请同学们在（20）、（21）两个小题中任选一题作答。

2020-2021学年山东省烟台市高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列说法正确的是( )A. 任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B. 空间的基底有且仅有一个C. 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D. 直线的方向向量有且仅有一个2.直线的倾斜角是( )A. B. C.D.3.已知，，，若P ，A ，B ，C 四点共面，则( )A. 9B.C. D. 34.已知实数x ，y 满足，那么的最小值为( )A. B.C. 2D. 45.直线的一个方向向量是( )A.B.C.D.6.正四面体ABCD 中，M ，N 分别是BC ，AD 的中点，则直线AM 和CN 夹角的余弦值为( )A.B.C. D.7.棱长为1的正方体中，O 是面的中心，则O 到平面的距离是( )A.B.C. D.8.已知圆C 的方程为，过直线l ：上任意一点作圆C 的切线，若切线长的最小值为，则直线l 的斜率为( )A. 4B.C.D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列叙述正确的有( )A. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率B. 平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角C. 若，则D. 任意两个空间向量共面10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆C：上有且仅有一个点P满足，则r的取值可以为( )A. 2B. 4C. 6D. 811.如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为，的中点，则( )A. 直线与底面ABCD所成的角为B. 平面与底面ABCD夹角的余弦值为C.直线与直线AE的距离为D. 直线与平面的距离为12.设有一组圆：，下列说法正确的是( )A. 这组圆的半径均为1B.直线平分所有的圆C.直线被圆截得的弦长相等D. 存在一个圆与x轴和y轴均相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年江苏省连云港市高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.命题，的否定是( )A. ，B. ，C. ，D. ，2.双曲线的渐近线方程是( )A. B. C. D.3.若，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件4.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…满足，那么…( )A. B. C. D.5.焦点为的抛物线标准方程是( )A. B. C. D.6.已知数列中，，，对都有，则等于( )A. 10B.C. 64D. 47.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作x轴垂线交椭圆于P，若，则该椭圆的离心率是( )A. B. C. D.8.数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二除以3余，五五数之剩三除以5余，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则该数列共有( )A. 132项B. 133项C. 134 项D. 135 项二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.若，则( )A. B. C. D.10.下列命题正确的是( )A. ，B. 是的充分不必要条件C. ，D. 若，则11.下列有关双曲线的性质说法正确的是( )A. 离心率为B. 顶点坐标为C. 实轴长为4D. 虚轴长为12.已知数列是等差数列，前n项和为，且，下列结论中正确的是( )A.最小 B. C. D.三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知，则的最小值是______ .14.已知椭圆过点，其长轴长的取值范围是，则该椭圆离心率的取值范围是______ .15.等差数列的前n项和为，公差为d，满足，，，则______ .16.若干个正整数之和等于10，这些正整数乘积的最大值为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

2020-2021学年辽宁省沈阳市郊联体高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知复数，则的虚部为( )A. 1B.C. iD.2.设向量是空间一个基底，则一定可以与向量构成空间的另一个基底的向量是( )A. B.C. D.或3.已知圆：与圆：的位置关系是( )A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切4.已知空间A 、B 、C 、D 四点共面，但任意三点不共线，若P 为该平面外一点且，则实数x 的值为( )A. B.C. D.5.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为( )A.B. C.D.或6.已知三棱锥中，，且，则直线PA 与底面ABC 所成角的正弦值为( )A.B.C. D.7.在平面直角坐标系xOy 中，已知的顶点，，顶点B 在椭圆上，则( )A. B.C.D.8.设，过定点A 的动直线和过定点B 的动直线交于点，则的最大值是( )A. 4B. 10C. 5D.二、多选题（本大题共4小题，共20分。

在每小题有多项符合题目要求）9.已知方程表示双曲线，则此时( )A. 双曲线的离心率为B. 双曲线的渐近线方程为C. 双曲线的一个焦点坐标为D. 双曲线的焦点到渐近线的距离为110.设几何体是棱长为a的正方体，与相交于点O，则( )A. B.C. D.11.下列说法错误的是( )A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件B. 直线的倾斜角的取值范围是C. 过，两点的所有直线的方程为D. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为12.已知圆上到直线l：的距离等于1的点至少有2个，则实数a的值可以为( )A. B. C. 0 D. 2三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.设复数z满足，z在复平面内对应的点为，则x，y满足的关系式为______.14.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且，设向量，，，则______用表示15.已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．若是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________.16.若直线与曲线没有公共点，则实数m的取值范围是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。

高二数学上学期期中试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修2-1，选修2-2第三章.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(1)z i i =-+-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：先化简复数z,再看复数z 在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得13324z i i i =-+++=+，所以复数z 在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系.2.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（ ） A. y 2=-4x B. y 2=4xC. x 2=-4yD. x 2=4y【答案】B 【解析】 【分析】由题意设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0），结合焦点坐标求得p ，则答案可求． 【详解】由题意可设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0），由焦点坐标为（1，0），得P12=，即p=2． ∴抛物的标准方程是y 2=4x ． 故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.关于命题，下列判断正确的是（ ） A. 命题“每个正方形都是矩形”是特称命题 B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称命题C. 命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题，与全称命题的概念，可判断AB ；根据全称命题的否定，可判断C ，D. 【详解】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是特称命题，故B 错；C 选项，命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数不都是有理数”，故D 错； 故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记全称命题与特称命题的概念，以及含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型. 4.椭圆223530x y +=的离心率为（ ）A.25B.35【答案】C 【解析】 【分析】先将椭圆方程化为标准形式，得到210a =，26b =，再由离心率的定义，即可得出结果.【详解】因为椭圆方程：223530x y +=可化为221106x y +=，所以210a =，26b =，因此离心率：5c e a ====. 故选：C【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型. 5.“213k =”是“直线y kx =与圆22(2)1x y ++=相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断．【详解】当直线y kx =与圆22(2)1x y ++=1=，则213k =，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型．6.点()00,P x y 是抛物线2:8C x y =上一点，则P 到C 的焦点的距离为（ ） A. 02x - B. 02y - C. 02x + D. 02y +【答案】D 【解析】 【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由抛物线的定义，即可得出结果.【详解】因为抛物线2:8C x y =的准线方程为2y =-，点()00,P x y 是抛物线2:8C x y =上一点，由抛物线的定义可得：0||2PF y =+. 故选：D【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到到焦点的距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础7.当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A. 33i -+ B. 33i + C. 13i -D. 13i --【答案】C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。

河南省2020年高二数学上学期期中考试卷（一）（理科）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣80582．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣2x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）4．已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．120°5．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（2，+∞）C．[2，+∞）D．R6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A． B．C．y=sin2x D．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S10=110，则的最小值为（）A．7 B．8 C． D．8．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．log239．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）A． B．C．1 D．410．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=（）A．B． C．D．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S19＞0，S20＜0，则，，，…，中最大项为（）A． B． C．D．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=λ•+μ•，则用n、m、k表示μ=（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中横线上．13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．14．设S n是数列{a n}的前n项和（n∈N*），若a1=1，S n﹣1+S n=3n2+2（n≥2），则S101=．15．设S n为数列{a n}的前n项之和，若不等式n2a n2+4S n2≥λn2a12对任何等差数列{a n}及任何正整数n恒成立，则λ的最大值为．16．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列命题正确的是（写出正确命题的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A．③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于；⑤若a＜tb（0＜t≤1），则A＜tB．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．（10分）设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a，b∈M．（Ⅰ）证明：|a+b|＜；（Ⅱ）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）已知△ABC不是钝角三角形，且c=2，sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．19．（12分）已知a＞0，b＞0，a+b=1．（Ⅰ）求的最小值．（Ⅱ）求证：．20．（12分）已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足（a n+1﹣a n）（b n+1﹣b n）=c n（n∈N*）．（1）若{b n]为等差数列，b1=c1=2，a n=2n，求数列{b n}的前n项和S n；（2）设c n=2n+n，a n=．当b1=1时，求数列{b n]的通项公式．21．（12分）f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．（Ⅰ）f（﹣1）=0且任意x∈R，x≤f（x）≤，求f（x）；（Ⅱ）若|f（x）|＜1的解集（﹣1，3），求a的范围．22．（12分）已知数列{a n}、{b n}中，对任何正整数n都有：a1b n+a2b n+a3b n﹣2…+a n﹣1b2+a n b1=2n+1﹣n﹣2．﹣1（1）若数列{a n}是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列{b n}是等比数列；（2）若数列{b n}是等比数列，数列{a n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；（3）若数列{a n}是等差数列，数列{b n}是等比数列，求证： + +…+＜．参考答案一．单项选择题：1．D2．A3．A．4．A．5．B．6．C．7．D8．B．9．B．10．B．11．C12．C．二．填空题：13．答案为：﹣3．14．答案为：15451．15．答案为：．16．答案为：①④⑤三．解答题：17．解：（Ⅰ）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…（3分）∵a、b∈M，∴|a|＜，|b|＜，∴|a+b|≤|a|+|b|＜．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…（9分）所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…（10分）18．解：（Ⅰ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，tan，得到，所以，所以sinC=，又C∈（0，π），所以C=或者；（Ⅱ）∵sinC+sin（B﹣A）=sin（B+A）+sin（B﹣A）=2sinBcosA，而2sin2A=4sinAcosA∴由sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，得sinBcosA=2sinAcosA当cosA=0时，∠A=，可得b==2，可得三角△ABC的面积S=bc=；当cosA≠0时，得sinB=2sinA，由正弦定理得b=2a…①，∵c=2，∠C=60°，c2=a2+b2﹣2abcosC∴a2+b2﹣ab=12…②，联解①②得a=2，b=4；∴△ABC的面积S=absinC=×2×4×sin60°=2．19．证明：（Ⅰ）∵．∵，∵=，令，∵，；{t1＜t2t1＜t2，，∵t1﹣t2＜0，t1t2﹣2＜0，∴y1﹣y2＞0，∴y在上是减函数，∴；（Ⅱ）∵由（Ⅰ）20．解：（1）记数列{b n]的公差为d，依题意，（a2﹣a1）（b2﹣b1）=c1，∴（4﹣2）d=2，即d=1，∴b n=2+（n﹣1）=n+1，∴S n==；（2）∵a n=，∴a n+1﹣a n=﹣=（﹣1）n+1，∵c n=2n+n，∴b n+1﹣b n==（﹣1）n+1•（2n+n），∴b n﹣b n﹣1=（﹣1）n•（2n﹣1+n﹣1）（n≥2），b n﹣1﹣b n﹣2=（﹣1）n﹣1•（2n﹣2+n﹣2），b3﹣b2=（﹣1）3•（22+2），b2﹣b1=（﹣1）2•（21+1），当n=2k时，以上各式相加得：b n﹣b1=（2﹣22+23﹣…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+3﹣…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+，∴b n=b1++=++；当n=2k﹣1时，b n=b n+1﹣（﹣1）n+1（2n+n）=++﹣2n﹣n=﹣﹣+；综上所述，b n=．21．解：（Ⅰ）f（﹣1）=0，a﹣b+c=0，又x=1，1≤f（1）≤1，∴f（1）=1即a+b+c=1∴又∵x≤ax2+bx+c恒成立，∴…（4分）（Ⅱ）①a＞0，ax2+bx+c＜1解集（﹣1，3）且f（x）min＞﹣1，∴，∴f（x）=ax2﹣2ax+1﹣3a，∴f（x）min=a﹣2a+1﹣3a＞﹣1，∴…（8分）②若a＜0，则﹣ax2﹣bx﹣c＜1解集（﹣1，3）且f max（x）＜1，∴，∴f（x）=ax2﹣2ax﹣3a﹣1，∴f（x）max=a﹣2a﹣3a﹣1＜1，∴综上述或…（12分）22．解：（1）b1=1，b2=2，依题意数列{a n}的通项公式是a n=n，故等式即为b n+2b n﹣1+3b n﹣2+…+（n﹣1）b2+nb1=2n+1﹣n﹣2，b n﹣1+2b n﹣2+3b n﹣3+…+（n﹣2）b2+（n﹣1）b1=2n﹣n﹣1，（n≥2），两式相减可得b n+b n﹣1+…+b2+b1=2n﹣1，得b n=2n﹣1，数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）设等比数列{b n}的首项为b，公比为q，则b n=bq n﹣1，从而有：bq n﹣1a1+bq n﹣2a2+bq n﹣3a3+…+bqa n﹣1+ba n=2n+1﹣n﹣2，又bq n﹣2a1+bq n﹣3a2+bq n﹣4a3+…+ba n﹣1=2n﹣n﹣1（n≥2），故（2n﹣n﹣1）q+ba n=2n+1﹣n﹣2，a n=×2n×n，要使a n+1﹣a n是与n无关的常数，必需q=2，即①当等比数列{b n}的公比q=2时，数列{a n}是等差数列，其通项公式是a n=；②当等比数列{b n}的公比不是2时，数列{a n}不是等差数列．（3）由（2）知a n b n=n•2n﹣1，显然n=1，2时++…+＜，当n≥3时++…+=+…+＜++…+=1=．河南省2020年高二数学上学期期中考试卷（二）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一．单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（）A．4029 B．﹣4029 C．8058 D．﹣80582．如图：D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点仰角分别是β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB等于（）A．B．C．D．3．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x+b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣2x）＜0的解集是（）A．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）B．（﹣，）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，）4．已知a，b，c分别是△内角A，B，C的对边，且（b﹣c）（sinB+sinC）=（a﹣）•sinA，则角B的大小为（）A．30°B．45°C．60° D．120°5．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（）A．（4，+∞）B．（2，+∞）C．[2，+∞）D．R6．设x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为2，则的图象向右平移后的表达式为（）A． B．C．y=sin2x D．7．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2=4，S10=110，则的最小值为（）A．7 B．8 C． D．8．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a x=b y=2.2a+b=8，则的最大值为（）A．2 B．3 C．4 D．log239．若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则的最小值为（）A． B．C．1 D．410．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，{S n+na n}为常数列，则a n=（）A．B． C．D．11．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S19＞0，S20＜0，则，，，…，中最大项为（）A． B． C．D．12．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，向量=（n，），=（m，），=（k，）（n，m，k∈N*），且=λ•+μ•，则用n、m、k表示μ=（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若关于x的不等式|ax﹣2|＜3的解集为{x|﹣＜x＜}，则a=．14．设S n是数列{a n}的前n项和（n∈N*），若a1=1，S n﹣1+S n=3n2+2（n ≥2），则S101=．15．已知点G是斜△ABC的重心，且AG⊥BG， +=，则实数λ的值为．16．已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法：①3a﹣4b+10＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③＞2；④当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．其中，所有正确说法的序号是．三．解答题：本大题共6小题，共70分.17．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3（2）如果∀x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．18．已知向量=（sinx，），=（cosx，﹣1）．（1）当∥时，求cos2x﹣sin2x的值；（2）设函数f（x）=2（）•，已知在△ABC中，内角A、B、C 的对边分别为a、b、c，若a=，b=2，sinB=，求f（x）+4cos（2A+）（x∈[0，]）的取值范围．19．已知a＞0，b＞0，a+b=1，则的最小值是．20．已知数列{a n}，{b n}，{c n}满足（a n+1﹣a n）（b n+1﹣b n）=c n（n∈N*）．（1）若{b n]为等差数列，b1=c1=2，a n=2n，求数列{b n}的前n项和S n；（2）设c n=2n+n，a n=．当b1=1时，求数列{b n]的通项公式．21．f（x）=ax2+bx+c（a≠0）．（Ⅰ）f（x）=x的二实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜对x∈（0，x1），比较f（x）与x1的大小；（Ⅱ）若|f（x）|＜1的解集（﹣1，3），求a的范围．22．已知数列{a n}、{b n}中，对任何正整数n都有：a1b n+a2b n﹣1+a3b n+…+a n﹣1b2+a n b1=2n+1﹣n﹣2．﹣2（1）若数列{a n}是首项和公差都是1的等差数列，求b1，b2，并证明数列{b n}是等比数列；（2）若数列{b n}是等比数列，数列{a n}是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由．参考答案一．单项选择题：1．D2．A3．A．4．A．5．B．6．C．7．D8．B．9．B．10．B．11．C12．C．二．填空题：13．答案为：﹣3．14．答案为：15451．15．答案为：16．答案为：③④三．解答题：17．解：（1）若a=﹣1，函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|=|x﹣1|+|x+1|，表示数轴上的x对应点到1、﹣1对应点的距离之和，而﹣1.2和1.5 对应点到1、﹣1对应点的距离之和正好等于3，故不等式f（x）≥3的解集为{x|≤﹣1.5，或x≥1.5}．（2）由于∀x∈R，f（x）≥2，故函数f（x）的最小值为2．函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1、a对应点的距离之和，它的最小值为|a﹣1|，即|a﹣1|=2，求得a=3 或a=﹣1．18．解：（1）∵∴∴（2）由正弦定理得，（a＜b，即A＜B），所以A=∵∴所以19．解：由已知，∴．∴由于f（t）=t+﹣2在上单调递减，∴当且仅当时，取最小值．故答案为：．20．解：（1）记数列{b n]的公差为d，依题意，（a2﹣a1）（b2﹣b1）=c1，∴（4﹣2）d=2，即d=1，∴b n=2+（n﹣1）=n+1，∴S n==；（2）∵a n=，∴a n+1﹣a n=﹣=（﹣1）n+1，∵c n=2n+n，∴b n+1﹣b n==（﹣1）n+1•（2n+n），∴b n﹣b n﹣1=（﹣1）n•（2n﹣1+n﹣1）（n≥2），b n﹣1﹣b n﹣2=（﹣1）n﹣1•（2n﹣2+n﹣2），b3﹣b2=（﹣1）3•（22+2），b2﹣b1=（﹣1）2•（21+1），当n=2k时，以上各式相加得：b n﹣b1=（2﹣22+23﹣…﹣2n﹣2+2n﹣1）+[1﹣2+3﹣…﹣（n﹣2）+（n﹣1）]=+=+，∴b n=b1++=++；当n=2k﹣1时，b n=b n+1﹣（﹣1）n+1（2n+n）=++﹣2n﹣n=﹣﹣+；综上所述，b n=．21．解：（Ⅰ）∵f（x）﹣x=a（x﹣x1）（x﹣x2），∴f（x）=a（x﹣x1）（x﹣x2）+x，∴f（x）﹣x1=a（x﹣x1）（x﹣x2）+（x﹣x1）=（x﹣x1）[a（x﹣x2）+1]，∵，∵a＞0∴a（x﹣x1）+1＞0x﹣x1＜0，∴f（x）﹣x1＜0∴f（x）＜x1…（Ⅱ）①a＞0，ax2+bx+c＜1，解集（﹣1，3）且f（x）min＞﹣1，∴，∴f（x）=ax2﹣2ax+1﹣3a，∴f（x）min=a﹣2a+1﹣3a＞﹣1，∴…②若a＜0，则﹣ax2﹣bx﹣c＜1解集（﹣1，3）且f max（x）＜1，∴，∴f（x）=ax2﹣2ax﹣3a﹣1，∴f（x）max=a﹣2a﹣3a﹣1＜1，∴综上述或…22．解：（1）证明：依题意数列a n的通项公式是a n=n，n=1时，a1b1=4﹣1﹣2=1；n=2时，a1b2+a2b1=8﹣2﹣2=4，则b1=1，b2=2，故等式即为b n+2b n﹣1+3b n﹣2+…+（n﹣1）b2+nb1=2n+1﹣n﹣2，b n﹣1+2b n﹣2+3b n﹣3+…+（n﹣2）b2+（n﹣1）b1=2n﹣n﹣1（n≥2），两式相减可得b n+b n﹣1+…+b2+b1=2n﹣1，得b n=2n﹣1，对n=1也成立．则数列{b n}是首项为1，公比为2的等比数列．（2）设等比数列{b n}的首项为b，公比为q，则b n=bq n﹣1，从而有：bq n﹣1a1+bq n﹣2a2+bq n﹣3a3+…+bqa n﹣1+ba n=2n+1﹣n ﹣2，又bq n﹣2a1+bq n﹣3a2+bq n﹣4a3+…+ba n﹣1=2n﹣n﹣1（n≥2），故（2n﹣n﹣1）q+ba n=2n+1﹣n﹣2，a n=•2n+•n+，要使a n+1﹣a n是与n无关的常数，必需q=2．即①当等比数列b n的公比q=2时，数列{a n}是等差数列，其通项公式是a n=；②当等比数列b n的公比不是2时，数列{a n}不是等差数列．河南省2020年高二数学上学期期中考试卷（三）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设，是向量，命题“若，则”的逆命题是（）A．若，则B．若，则C．若，则 D．若，则2．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则￢p为（）A．∃x∈R，sinx≥1 B．∀x∈R，sinx≥1 C．∃x∈R，sinx＞1 D．∀x ∈R，sinx＞13．要从已编号（1～60）的60枚最新研制的某型导弹中随机抽取6枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的6枚导弹的编号可能是（）A．5、10、15、20、25、30 B．3、13、23、33、43、53C．1、2、3、4、5、6 D．2、4、8、16、32、484．抛物线x=﹣2y2的准线方程是（）A．B．C．D．5．如下图，在半径为1的半圆内，放置一个边长为的正方形ABCD，向半圆内任投一点，该点落在正方形内的概率是（）A．πB． C．D．2π6．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（）A． B． C． D．7．执行如图所示的程序框图，运行的结果是4，则输入的x的值可以是（）A．2，4或16 B．﹣2，2或4 C．﹣2，2或16 D．﹣2，4或16 8．等轴双曲线C的中心在原点，右焦点与抛物线的焦点重合，则C的实轴长为（）A．B．2C．4 D．89．设F1、F2是椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．10．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|=3，则△AOF的面积为（）A． B．C．D．211．现有五个球分别记为A，C，J，K，S，随机放进三个盒子，每个盒子只能放一个球，则K或S在盒中的概率是（）A． B．C． D．12．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，与双曲线x2﹣y2=1的渐近线有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（）A． +=1 B． +=1 C． +=1 D． +=1二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知某公司准备投资一个项目，为慎重起见，该公司提前制定了两套方案，并召集了各部门的经理对这两套方案进行研讨，并对认为合理的方案进行了投票表决，统计结果如茎叶图所示，试说明方案比较稳妥的是．14．若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则p的值为．15．命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，则a的取值范围是．16．双曲线=1（a＞0，b＞0）的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2．若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D，则该双曲线的离心率e=．三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．已知盒中装有仅颜色不同的玻璃球6个，其中红球2个、黑球3个、白球1个．（I）从中任取1个球，求取得红球或黑球的概率；（II）列出一次任取2个球的所有基本事件．（III）从中取2个球，求至少有一个红球的概率．18．（1）已知命题p：（x+2）（x﹣10）≤0，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0，若q是p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．（2）已知命题p：|a|＜2，命题q：一次函数f（x）=（2﹣2a）x+1是增函数，若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．19．已知三点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）．（Ⅰ）求以F1、F2为焦点且过点P的椭圆标准方程；（Ⅱ）设点P、F1、F2关于直线y=x的对称点分别为P′、F1′、F2′，求以F1′、F2′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．20．某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：（a，b），（a，），（a，b），（，b），（，），（a，b），（a，b），（a，），（，b），（a，），（，），（a，b），（a，），（，b）（a，b）其中a，分别表示甲组研发成功和失败，b，分别表示乙组研发成功和失败．（Ⅰ）若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；（Ⅱ）若该企业安排甲、乙两组各自研发一样的产品，试估计恰有一组研发成功的概率．21．如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ 的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值．22．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交抛物线C的准线l于点M，已知，，求λ1+λ2的值．参考答案一、单项选择题1．D2．C3．B4．D．5．C．6．A．7．C．8．C．9．C．10．B．11．D12．D．二、填空题13．解：首先将茎叶图的数据还原：第一套方案：8 25 20 24 38 41 55 58 64 67 66 73 72 70，第二套方案：6 5 12 14 19 19 21 36 37 42 42 45 54 61，第一套方案在14个部门的经理得票数为681票，第二套方案在14个部门的经理得票数为413票，第一套方案要比第二套方案得票率高得多，故第一套方案比较稳妥，故答案为：第一套方案14．解：由椭圆+=1，可得a2=6，b2=2，∴c==2，∴右焦点F（2，0）．由抛物线y2=2px可得焦点．∴=2，解得p=4．故答案为：4．15．解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0成立”是真命题①．当a=0时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0或，∴a＜0或a≥3故答案为：（﹣∞，0）∪[3，+∞）．16．解：∵双曲线的虚轴两端点为B1、B2，两焦点为F1，F2．∴F1（﹣c，0），B1（0，b），可得直线F1B1的方程为y=（x+c），即bx﹣cy+bc=0．∵双曲线的两顶点为A1、A2，以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，∴点O到直线F1B1的距离等于半径，即=a，化简得b2c2=a2（b2+c2），∵b2=c2﹣a2，∴上式化简为（c2﹣a2）c2=a2（2c2﹣a2），整理得c4﹣3a2c2+a4=0．两边都除以a4，得e4﹣3e2+1=0，解之得e2=∵双曲线的离心率e＞1，∴e2=，可得e==故答案为：三、解答题：17．解：（Ⅰ）从6只球中任取1球得红球有2种取法，得黑球有3种取法，得红球或黑球的共有2+3=5种不同取法，任取一球有6种取法，所以任取1球得红球或黑球的概率得，（II）将红球编号为红1，红2，黑球编号为黑1，黑2，黑3，则一次任取2个球的所有基本事件为：红1红2红1黑1红1黑2红1黑3红1白红2白红2黑1红2黑2红2黑3黑1黑2黑1黑3黑1白黑2黑3黑2白黑3白（III）由（II）知从6只球中任取两球一共有15种取法，其中至少有一个红球的取法共有9种，所以其中至少有一个红球概率为．18．解：（1）命题p：（x+2）（x﹣10）≤0，∴﹣2≤x≤10，命题q：1﹣m≤x≤1+m，m＞0∴1﹣m≤x≤1+m，∵q是p的充分不必要条件，p：x∈[﹣2，10]，q：x∈[1﹣m，1+m]∴[1﹣m，1+m]⊂[﹣2，10]，∴，解得：，当1﹣m=﹣2时，m=3，[﹣2，4]⊂[﹣2，10]，∴m=3成立，∴实数m的取值范围是[3，+∞）；（2）若命题p：|a|＜2，则﹣2＜a＜2，命题q：一次函数f（x）=（2﹣2a）x+1是增函数，则2﹣2a＞0，解得：a＜1，若p∨q为真，p∧q为假，则p，q一真一假，p真q假时：，解得：1≤a＜2，p假q真时：，解得：a≤﹣2，综上：a∈（﹣∞，﹣2]∪[1，2）．19．解：（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为（a＞b＞0），其半焦距c=6∴，b2=a2﹣c2=9．所以所求椭圆的标准方程为（2）点P（5，2）、F1（﹣6，0）、F2（6，0）关于直线y=x的对称点分别为点P′（2，5）、F1′（0，﹣6）、F2′（0，6）．设所求双曲线的标准方程为由题意知，半焦距c1=6，，b12=c12﹣a12=36﹣20=16．所以所求双曲线的标准方程为．20．解：（Ⅰ）甲组研发新产品的成绩为1，1，1，0，0，1，1，1，0，1，0，1，1，0，1，则=，==乙组研发新产品的成绩为1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，0，1，0，1，1则=，==．因为所以甲的研发水平高于乙的研发水平．（Ⅱ）记E={恰有一组研发成功}，在所抽到的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是（a，），（，b），（a，），（，b），（a，），（a，），（，b）共7个，故事件E发生的频率为，将频率视为概率，即恰有一组研发成功的概率为P（E）=．21．解：（Ⅰ）由题意得|MC|﹣|MA|=|MC|﹣|MQ|=|CQ|=2＜2，∴轨迹E是以A，C为焦点，实轴长为2的双曲线的左支…∴轨迹E的方程为=1（x）…（Ⅱ）设切线l的方程为y=x﹣，代入=1，消元得x2﹣4x ﹣8=0．设B，D两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=﹣8所以|BD|==4．22．解：（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，∴Q一定在线段FO的中垂线上，∵抛物线x2=2py的焦点F（0，），O（0，0）∴FO的中垂线为：y=，设Q（x Q，y Q），得y Q=，结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为﹣（﹣）=，解之得p=2由此可得，抛物线C的方程为x2=4y；（Ⅱ）由已知得直线l的斜率一定存在，由抛物线x2=4y的焦点F为（0，1），准线方程为y=﹣1，所以可设l：y=kx+1，则M点坐标为（﹣，﹣1），设直线l交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），由直线与抛物线方程联立，可得x2﹣4kx﹣4=0∴x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，又由，，∴（x1+，y1+1）=λ1（﹣x1，1﹣y1），∴x1+=﹣λ1x1，∴λ1=﹣﹣1，同理λ2=﹣﹣1，∴λ1+λ2=﹣﹣1﹣﹣1=﹣﹣2=0．河南省2020年高二数学上学期期中考试卷（四）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．△ABC中，A=45°，B=30°，a=10，则b=（）A．5B．10C．10D．52．下列命题中，正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则a＞c B．若ac＞bc，则a＞bC．若＜，则a＜b D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd3．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2+y2≥4”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7 B．5 C．﹣5 D．﹣75．若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式中，恒成立的是（）A．a2+b2＞2ab B． C．D．6．数列{a n}中，a1=1，a2=2，a n+2=a n+1﹣a n，则{a n}的前51项和S51=（）A．1 B．2 C．3 D．47．在△ABC中，b=3，c=3，B=30°，则a的值为（）A．3 B．23 C．3D．28．已知0＜x＜1，a=2，b=1+x，c=，则其中最大的是（）A．a B．b C．c D．不确定9．在△ABC中，cos2B＞cos2A是A＞B的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10．实数x，y满足不等式组，则ω=的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣1，] C．[﹣1，1）D．[﹣，1）11．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若，且A、B、C三点共线（该直线不过原点O），则S200=（）A．100 B．101 C．200 D．20112．设a＞0，b＞0，且不等式++≥0恒成立．则实数k的最小值等于（）A．4 B．0 C．﹣2 D．﹣4二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．在等比数列{a n}中，若a4=5，a8=6，则a2a10=．14．不等式﹣6x2﹣x+2≤0的解集是．15．已知x＞0，y＞0，x+2y=16，则xy的最大值为．16．设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为6，则的最小值为．三、解答题：（本题共6小题，共70分．）17．设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA （Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）若，c=5，求b．18．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．（1）若b=4，求sinA的值；（2）若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．19．设等差数列{a n}第10项为24，第25项为﹣21．（1）求这个数列的通项公式；（2）设S n为其前n项和，求使S n取最大值时的n值．20．关于x的不等式：x2﹣（1+a）x+a＞0．（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）当a∈R时，解不等式．21．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，已知acos2+ccos2=b（1）求证：a、b、c成等差数列；（2）若B=，S=4求b．22．已知{a n}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．（Ⅰ）求q的值；（Ⅱ）设{b n}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S n，当n≥2时，比较S n与b n的大小，并说明理由．参考答案一、单项选择题1．A．2．C3．A．4．D5．D6．D7．C．8．C．9．C10．D．11．A12．D．二、填空题13．答案为：30．14．答案为：{x|x≥，或x≤﹣}．15．答案为32．16．答案为：三、解答题17．解：（Ⅰ）由a=2bsinA，根据正弦定理得sinA=2sinBsinA，所以，由△ABC为锐角三角形得．（Ⅱ）根据余弦定理，得b2=a2+c2﹣2accosB=27+25﹣45=7．所以，．18．解：（1）∵cosB=＞0，且0＜B＜π，∴sinB==．由正弦定理得=，∴sinA===．（2）∵S△ABC=acsinB=×=4，∴c=5．由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=22+52﹣2×2×5×=17，∴b=．19．解：（1）∵等差数列{a n}第10项为24，第25项为﹣21，∴，解得a1=51，d=﹣3，∴a n=51+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+54．（2）∵a1=51，d=﹣3，∴S n=51n+=﹣+=﹣（n﹣）2+，∴n=16，或n=17时，S n取最大值．20．解：（1）当a=2时，原不等式化为x2﹣3x+2＞0，即（x﹣1）（x ﹣2）＞0，解得x＞2或x＜1．∴原不等式的解集为{x|x＞2或x＜1}．（2）原式等价于（x﹣a）（x﹣1）＞0，当a＞1时，解得x＞a或x＜1，故解集是{x|x＞a或x＜1}；当a=1时，不等式化为（x﹣1）2＞0，故其解集是{x|x≠1}；当a＜1时，解得x＞1或x＜a，故解集是{x|x＞1或x＜a}．21．解：（1）由正弦定理得：sinAcos2+sinCcos2=sinB，即sinA•+sinC•=sinB，∴sinA+sinC+sinAcosC+cosAsinC=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∵sin（A+C）=sinB，∴sinA+sinC=2sinB，由正弦定理化简得：a+c=2b，∴a，b，c成等差数列；（2）∵S=acsinB=ac=4，∴ac=16，又b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac，由（1）得：a+c=2b，∴b2=4b2﹣48，即b2=16，解得：b=4．22．解：（1）由题意可知，2a3=a1+a2，即a（2q2﹣q﹣1）=0，∴q=1或q=﹣；（II）q=1时，S n=2n+=，∵n≥2，∴S n﹣b n=S n﹣1=＞0当n≥2时，S n＞b n．若q=﹣，则S n=，同理S n﹣b n=．∴2≤n≤9时，S n＞b n，n=10时，S n=b n，n≥11时，S n＜b n．河南省2020年高二数学上学期期中考试卷（五）（文科）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1．不等式≥0的解集为（）A．（﹣1，2]B．[﹣1，2]C．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）2．已知命题p：“∀x∈R，x+1≥0”的否定是“∀x∈R，x+1＜0”；命题q：函数y=x﹣3是幂函数，则下列命题为真命题的是（）A．p且q B．p或q C．￢q D．p且（￢q）3．已知在等差数列{a n}中，a2=6，a4=14，则数列{a n}前10项的和为（）A．100 B．400 C．380 D．2004．若△ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则△ABC（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5．“a=﹣5”是“直线y=x+4与圆（x﹣a）2+（y﹣3）2=8相切”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．函数f（x）=（x2﹣1）2+2的极值点是（）A．x=1 B．x=﹣1C．x=1或x=﹣1或x=0 D．x=07．已知数列{a n}满足log3a n+2=log3a n+1（n∈N*）且a2+a4+a6=9，则log（a5+a7+a9）的值是（）A．﹣8 B．﹣ C．8 D．8．已知曲线+=1（k∈R）表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（﹣∞，3）C．（1，+∞）D．（1，3）9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则n﹣m=（）A．﹣5 B．﹣6 C．5 D．610．抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是（）A．4 B．C．D．811．已知实数4，m，9构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A．B．C．或D．或712．已知定义在R上的函数f（x）、g（x）满足f（x）=a x g（x），且f′（x）g（x）＜f （x）g′（x），且+=，若有穷数列{}（n∈N*）的前n项和等于，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.、共20分.13．已知函数f（x）=lnx﹣f′（﹣1）x2+3x﹣4，则f′（）=______．14．若点（2，1）是抛物线y2=2px（p＞0）的一条弦的中点，且这条弦所在的直线的斜率为1，则p的值是______．15．若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，最小值为______．16．已知函数f（x）=x3+ax2+2bx+c，函数f（x）在区间（0，1）内取极大值，在区间（1，2）内取极小值，则u=的取值范围是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．19．已知函数f（x）=﹣2x2+lnx，其中a为正常数．（1）若a=1，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间[2，4]上为单调递增函数，求实数a的取值范围．20．设抛物线C：y2=4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A、B两点．（1）设L的斜率为2，求|AB|的大小；（2）求证：•是一个定值．21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax+2，曲线y=f（x）在点（0，2）处的切线与x轴交点的横坐标为﹣2．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）证明：当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．22．如图，椭圆长轴端点为A，B，O为椭圆中心，F为椭圆的右焦点，且，．（1）求椭圆的标准方程；（2）记椭圆的上顶点为M，直线l交椭圆于P，Q两点，问：是否存在直线l，使点F 恰为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．参考答案一、单项选择题1．A．2．B 3．D．4．C 5．A．6．C．7．A．8．D．9．B．10．C．11．C．12．C．二、填空题13．解：∵f（x）=lnx﹣f′（﹣1）x2+3x﹣4，∴f′（x）=﹣2f′（﹣1）x+3∴f′（﹣1）=﹣1+2f′（﹣1）+3，∴f′（﹣1）=﹣2，∴f′（）=2﹣2×（﹣2）×+3=7，故答案为：7．14．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则y12=2px1，y22=2px2，两式相减，得（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），依题意x1≠x2，∴k AB==1，于是y1+y2=2p=2，因此p=1．故答案为：1．15．解：双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，由题意可得﹣=tan=﹣，即有b=a，c=2a，e==2，则==（a+）≥•2=．当且仅当a=2时，取得最小值．故答案为：．16．解：f（x）=x3+ax2+2bx+c，∴f′（x）=x2+ax+2b，∵函数f（x）在区间（0，1）内取得极大值，在区间（1，2）内取得极小值∴f′（x）=x2+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0即，画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得：A（﹣3，1），则u=的几何意义表示平面区域内的点与（1，2）的直线的斜率，而K AB=，K BC=1，故u∈，故答案为：．三、解答题17．解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===18．解：（Ⅰ）由cos2A﹣3cos（B+C）=1，得2cos2A+3cosA﹣2=0，即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0，解得（舍去）．因为0＜A＜π，所以．（Ⅱ）由S===，得到bc=20．又b=5，解得c=4．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故．又由正弦定理得．19．解：（1）若a=1，则f（x）=3x﹣2x2+ln x，该函数的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣4x+3==（x＞0）．…当x∈（0，1），f′（x）＞0时，函数f（x）=3x﹣2x2+ln x单调递增．当x∈（1，+∞），f′（x）＜0时，函数f（x）=3x﹣2x2+ln x单调递减．故函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）．…（2）f′（x）=﹣4x+，若函数f（x）在区间[2，4]上为单调递增函数，即在区间[2，4]上，f′（x）=﹣4x+≥0，即﹣4x+≥0在[2，4]上恒成立．…即≥4x﹣．令h（x）=4x﹣，因为函数h（x）在[2，4]上单调递增，所以，即≥，…解之得，∴实数a的取值范围为．…20．解：（1）依题意得F（1，0），∴直线L的方程为y=2（x﹣1），设直线L与抛物线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y整理得x2﹣3x+1=0，∴x1+x2=3，x1x2=1．法一：|AB|==•=．法二：|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=3+2=5．（2）证明：设直线L的方程为x=ky+1，设直线L与抛物线的交点A（x1，y1），B（x2，y2），由消去x整理得y2﹣4ky﹣4=0．∴y1+y2=4k，y1y2=﹣4，∵═（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=（ky1+1）（ky2+1）+y1y2=k2y1y2+k（y1+y2）+1+y1y2=﹣4k2+4k2+1﹣4=﹣3．∴是一个定值为﹣3．21．解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=3x2﹣6x+a；f′（0）=a；则y=f（x）在点（0，2）处的切线方程为y=ax+2，∵切线与x轴交点的横坐标为﹣2，∴f（﹣2）=﹣2a+2=0，解得a=1．（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3﹣3x2+x+2，设g（x）=f（x）﹣kx+2=x3﹣3x2+（1﹣k）x+4，由题设知1﹣k＞0，当x≤0时，g′（x）=3x2﹣6x+1﹣k＞0，g（x）单调递增，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，当x＞0时，令h（x）=x3﹣3x2+4，则g（x）=h（x）+（1﹣k）x＞h（x）．则h′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）单调递增，∴在x=2时，h（x）取得极小值h（2）=0，g（﹣1）=k﹣1，g（0）=4，则g（x）=0在（﹣∞，0]有唯一实根．∴g（x）＞h（x）≥h（2）=0，∴g（x）=0在（0，+∞）上没有实根．综上当k＜1时，曲线y=f（x）与直线y=kx﹣2只有一个交点．22．解．（1）如图建系，设椭圆方程为，则c=1又∵即（a+c）•（a﹣c）=1=a2﹣c2，∴a2=2故椭圆方程为（2）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且F恰为△PQM的垂心，则设P（x1，y1），Q（x2，y2），∵M（0，1），F（1，0），故k PQ=1，于是设直线l为y=x+m，由得3x2+4mx+2m2﹣2=0，又F为△PQM的垂心，则MP⊥FQ，故又y i=x i+m（i=1，2）得x1（x2﹣1）+（x2+m）（x1+m﹣1）=0即2x1x2+（x1+x2）（m﹣1）+m2﹣m=0由韦达定理得解得或m=1（舍）经检验符合条件，此时直线l的方程为y=x﹣．河南省2020年高二数学上学期期中考试卷（六）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．已知集合M={x|﹣4≤x≤7}，N={x|x2﹣x﹣12＞0}，则M∩N为（）A．{x|﹣4≤x＜﹣3或4＜x≤7} B．{x|﹣4＜x≤﹣3或4≤x＜7}C．{x|x≤﹣3或x＞4} D．{x|x＜﹣3或x≥4}2．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．23．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9=（）A．63 B．45 C．36 D．274．有下列四个命题：①“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题；②“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题；其中真命题为（）A．①②B．①③ C．②③ D．③④5．在△ABC中，“A＞30°”是“sinA＞”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也必要条件6．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n7．在△ABC中，a=2，b=2，B=，则A等于（）A．B．C．或D．或8．若x、y满足条件，则z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣C．2 D．﹣59．已知椭圆+=1（m＞0 ）的左焦点为F1（﹣4，0），则m=（）A．2 B．3 C．4 D．910．已知双曲线C：﹣=1的离心率e=，且其右焦点为F2（5，0），则双曲线C 的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．已知点F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF2为正三角形，则该椭圆的离心率e是（）A．B．C．D．12．若x，y∈R+，且2x+8y﹣xy=0，则x+y的最小值为（）A．12 B．14 C．16 D．18二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上。