北师大版高中数学必修5课件：3.3.1基本不等式(共27张PPT)

二、探索新知
a2 b2 2ab(a, b R) 当且仅当a b时,等号成立
证明 当a, b R时， ( a b) 2 0
a 2 2ab b 2 0 a 2 b 2 2ab 当且仅当a b时(a b) 2 =0 即：当a, b R时，a 2 b 2 2ab 当且仅当a b时,等号成立.
分别以 a , b (a 0, b 0)代替a, b会得到什么结果？
( a) ( b) 2 a b
2 2
a b 2 ab
ab ab 2
基本不等式 如果 a , b 都是非负数,那么
算术 平均数
ab 2
ab
几何 平均数
（当且仅当 a b 时,等号成立） 基本不等式又称为均值不等式
2
2
E
a
B
b
C
二、探索新知 当 BE CE时，中间的小正方形缩为一点
A
a b 2ab
2 2
D
E
a b
2
2
a
B
b
C
二、探索新知
根据以上图形，归纳猜想
如果 a, b R ,那么
a b 2ab
2 2
（当且仅当 a b 时,等号成立）
二、探索新知
a2 b2 2ab(a, b R) 当且仅当a b时,等号成立
2 2
ab ab (a 0, b 0) 2 异：适用范围不同.
同：取等号的条件相同 a b.
四、思维升华 ab ab 2 常见变形：
(a 0, b 0)
a b 2 ab
ab ab 2
2

1 1 1 即 ＋ ＋ ≥9. a b c
证法二：∵a，b，c 为正实数，
1 1 1 1 1 1 ∴a＋b＋ c＝(a＋b＋c)a＋b＋ c
b c a c a b ＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋ c＋ c＋1
b a c a c b ＝3＋a＋b＋a＋ c＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝9.
• 2．已知a，b∈R＋，且a＋b＝2，则( • A．ab≤4 B．ab≥4 • C．ab≤1 D．ab≥1
a＋b 解析： 由 a，b∈R ，∴ 2 ≥ ab，
＋
)
∴ ab≤1，∴ab≤1.
• 答案： C
a－c 3．已知 a＞b＞c，则 a－bb－c与 2 的大小关系是 ________． 解析： ∵a－b＞0，b－c＞0， a－b＋b－c a－c ∴ a－bb－c≤ ＝ 2 . 2
≥ • 1．由不等式性质可知，对任意a，b∈R，(a－
b)2 ≥ 0，因此a2＋b2 2ab.什么时候等号能成立 a＝b 呢？当且仅当 时，取等号． • 2．还记得等差中项和等比中项吗？ a＋b • 两个正数a与b的等差中项为 ，正的等 ab 2 比中项为 . 5 • 例如，2与8的等差中项为 ，正的等比中项为 4，？
1 1 1 bc 2 得a－1b－1c－1≥2· a ·
＋
ac 2 ab b · c ＝8，
1 当且仅当 a＝b＝c＝ 时取等号． 3 ∴原不等式成立．
a＋b＋c a＋b＋c a＋b＋c 证法二：左边＝ －1 －1 －1 a b c b c a c a b ＝a＋ab＋bc＋c
x y x ④由 xy＜0，得y、x均为负数，但在推导过程中将整体y
x y y ＋x提出负号后，－y、－x均变为正数，符合均值不等式

探究结果
1. 对于任意实数a，b，总有 a2 b2 2ab 如何证明？
当且仅当a=b时，等号成立.
特别地，如果 a 0,b 0 ，我们用 a , b 分别代替a，b，可得
a b 2 ab，即a b ab， 2
当且仅当a=b时，等号成立.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
2. 如果a，b都是
，那么 a b ab 2
当且仅当a=b时，等号成立.
我们称上述不等式为
ab ，其中 2 称为a，b的算术
平均数， ab 称为a，b
. 因此，基本不等式又被称为
均值不等式.
探究结果 1. 对于
a，b，总有 a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立.
当且仅当a=b时，等号成立.
文字语言可叙述为：两个非负实数的算术平均数不小于它们 的几何平均数.
从数列的角度看：两个正实数的等差中项不小于它们正的等 比中项.
课堂升华 几何解释
如图，AB是圆O的直径，AC=a,BC=b,过点C作CD⊥AB交圆O上半
圆于D. 由射影定理可知
D
CD ab, 而OD a b ,
同向相加可得 a b c ab ac bc, 当且仅当a b c时，等号成立.
例题讲解
例2 若a b 1，比较P lg a lg b，Q 1 (lg a lg b)， 2
R lg a b 的大小关系. 2
解 因为a b 1，所以 lg a lg b 0,
由 ab a b , 2
证明 (方法2)
ab
2
ab 2ab
ab(b a) 2ab
11
ba

(2)因为 a>0，b>0，c>0，且 a＋b＋c＝1， 所以1a＋1b＋1c＝a＋ab＋c＋a＋bb＋c＋a＋cb＋c＝3＋(ab＋ba)＋(ac ＋ac)＋(bc＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当 a＝b＝c＝13时，取等号．
——易错警示系列—— 基本不等式应用错误 在使用基本不等式解决一些问题(求范围、最值等)时，尤其 要注意“一正，二定，三相等”是否全部满足，否则很容易导致 错误．
【例 4】 已知 a>b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2 2(a－b)． 【思路探究】 由条件，将 a2＋b2 配方为(a－b)2 的结构， 再利用基本不等式即得证．
【证明】 ∵a>b，∴a－b>0. ∵ ab ＝ 1 ， ∴ a2 ＋ b2 ＝ a2 － 2ab ＋ b2 ＋ 2ab ＝ (a － b)2 ＋ 2≥2 a－b2×2＝2 2(a－b)，当且仅当(a－b)2＝2，即 a－b＝ 2 时取等号．
[答一答] 2．利用均值不等式求最值时应注意什么？
提示：利用均值不等式求最值应注意以下 3 点： ①a，b 一定都是正数． ②求积 ab 的最大值时，应看和 a＋b 是否为定值； 求和 a＋b 的最小值时，应看积 ab 是否为定值． ③看等号是否能够成立． 以上三点可简记为“一正、二定、三相等”．
B．ab≥12 D．a2＋b2≤3
解析：∵a≥0，b≥0，且 a＋b＝2， ∴4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)． ∴a2＋b2≥2.当且仅当 a＝b＝1 时，等号成立．故选 C.
2．已知 x，y∈R，下列不等关系中正确的是( A ) A．x2＋y2≥2|xy| B．x2＋y2≤2|xy| C．x2＋y2>2|xy| D．x2＋y2<2|xy|

错解:因为 x>0,y>0,
所以 1= 1 + 4≥2× 2 = 4 .
������ ������
������������
������������
所以 ������������≥4,从而 x+y≥2 ������������≥2×4=8.
故 x+y 的最小值为 8.
错解分析:上述解法中,连续使用两次基本不等式:x+y≥2 ������������与
中正确的是( ).
A.②④
B.①②
C.②③ D.①②④
解析:①因为式子
x+
1 ������
≥2
中
x
的取值范围没有规定,所以当
x>0
时,x+ 1≥2,当且仅当 x=1 时,等号成立,当 x<0 时,x+ 1 =
������
������
−
(-������)
+
1 (-������)
≤-2,当且仅当
x=-1
2,
������2 + ������2 ������ + ������ 2 ∴2≥2 .
������
2
+������
2
,
2
S随堂演练 UITANGYANLIAN
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12
12
∴ ������ + + ������ + ≥ 2
§3 基本不等式
-1-
3.1 基本不等式

③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使ba
＋ab≥2 成立的条件有( )
A．1 个
B．2 个
C [当ba，ab均为正 数时，ba＋ab≥2，故只须 a、b 同号即可，∴①③ ④均可以．]
C．3 个
D．4 个
2．不等式 x＋4≥4 x(x＞0)中等号成立的条件是________． x＝4 [由 a＋b≥2 ab(a＞0，b＞0)中等号成立的条件是 a＝b 知 x＝4.]
31
4．设 a＞0，b＞0，c＞0，且 ab＋bc＋ac＝1，求证 a2＋b2＋c2≥1. [证明] a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac， 相加可得(a2＋b2)＋(b2＋c2)＋(a2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac. 即 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1. 当且仅当 a＝b＝c 时等号成立．
2 ac×ac＋2 bc×bc＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当 a＝b＝c＝3 时等号成立，
即 a＋b＋c≥9.
24
利用基本不等式证明不等式的技巧 (1)证明不等式时要对其进行合理的拆分，如例 3 中把 a＋b＋c 拆 分为 a＋b，b＋c 和 c＋a，以便应用基本不等式得出不等关系． (2)证明不等式时要注意应用不等式的性质，如不等式的可加性、 可乘性等．
[提示] 成立，证明如下：由 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，知 a2＋
b2≥2ab.
(2)设 x＞0，y＞0，比较1x＋1y和
2 的大小． xy
[提示]
在不等式 a＋b≥2
ab中令 a＝1x，b＝1y可得1x＋1y≥
2 xy.
2．基本不等式的证明 一般地，对于任意实数 a，b，我们有 a2＋b2≥2ab， 当且仅当_a_＝__b__时，等号成立． 特别地，如果 a>0，b>0，我们用__a__，__b__分别代替 a，b 可得 a＋b≥_2___a_b_， 通常我们把上式写作 ab≤a＋2 b(a>0，b>0)．

)
[答案] B
[解析] 因为a2－4a＋4＝(a－2)2≥0， 当且仅当a＝2时取“＝”，所以a＝2.
第三章
§3
第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5
4 4．已知 x>0，函数 y＝x ＋x 的最小值为________．
[ 答案]
[ 解析]
4
4 4 ∵x>0，∴x >0，∴y＝x＋x ≥2 4 x· x ＝4.
a＋b 等差中项 ， ab看作是正数 a，b 的 看作是正数 a ， b 的 __________ 2
两个正数的等差中 等比中项 ，基本不等式又可叙述为：________________ 正的__________
项不小于它们正的等比中项 ______________________________________.
几何平均数 ．因此基本 算术平均数 ， ab称为 a，b 的___________ a，b 的___________ 均值不等式 ． 不等式又被称为______________
第三章
§3
第1课时
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两个正数的算术 对于基本不等式， 用文字语言可叙述为： _______________ 平均数不小于它们的几何平均数 但 从 数 列 的 角 度 看 ， 可 把 _____________________________.
[方法总结]
运用基本不等式比较大小应注意等号成立的
条件．特殊值法是解决不等式的一个有效方法，但要使特殊值
具有一般性．
第三章 §3 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·北师大版 ·数学 ·必修5

即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立.
类型三 例3
用基本不等式比大小
某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第
三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，a，b，x均大于零，则 a ＋b a ＋b A.x＝ 2 B.x≤ 2
a ＋b C.x＞ 2
1
2
3
4
2.若0<a<b，则下列不等式一定成立的是 答案
解析
a＋b A.a> 2 > ab>b
a＋b B.b> ab> 2 >a a＋b D.b>a> 2 > ab
√
a＋b C.b> 2 > ab>a
a ＋b ∵0<a<b，∴2b>a＋b，∴b> 2 . a＋b ∵b>a>0，∴ab>a ，∴ ab>a.故 b> 2 > ab>a.
立的条件相同，所以最终能取到等号.
跟踪训练2
已 知 a ， b ， c 都 是 正 实 数 ， 求 证 ： (a ＋ b)(b ＋ c)· (c ＋
a)≥8abc. 证明
∵a， b， c 都是正实数， ∴a＋b≥2 ab>0， b＋c≥2 bc>0， c＋a≥2 ca>0. ∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2 ab· 2 bc· 2 ca＝8abc.
过点Q作PQ垂直AB于Q，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，
PQ的长度？ 答案
AB a＋b PO＝ 2 ＝ 2 .易证 Rt△APQ∽Rt△PBQ， 那么 PQ2＝AQ· QB，即 PQ＝ ab，显然， a＋b 2 ≥ ab.

a＋b 基本不等式 ab≤ (a>0，b>0)；在应用时要注意 2 a>0，b>0 必须同时成立，当且仅当 a＝b 时取等号；若不具备这条 件，必须通过变形使其满足 a>0，b>0.
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法二
1 令 a＝b＝ ，则 a＋b＝1， 2
2 2
1 1 1 1 1 1 2 ab＝1，a ＋b ＝ ，2ab＝2× × ＝ ，再令 a＝ ，b＝ ，a＋ 2 2 2 2 2 8 1 1 5 b＝ ＋ ＝ ，2 ab＝2 2 8 8 ∴a＋b 最大． 1 1 1 × ＝ ， 2 8 2
【题后反思】 当已知条件中有一个多项式的和为1时，要 注意“1”的代换，这种方法体现了换元的思想，通过换元 可以化繁为简，化难为易，将未知变为已知，使思路豁然 开朗．
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a b 已知 a＞0，b＞0，x＞0，y＞0， ＋ ＝1， 【训练3】 x y 求证：x＋y≥( a＋ b)2. a b a b 证明 法一 ∵1＝ ＋ ，∴x＋y＝(x＋y) ＋ x y x y
b a (3) ＋ ≥2(ab＞0) a b a＋b (4) ≤ ab≤ ≤ 1 1 2 ＋ a b 2 a2＋b2 (a，b∈R＋ )． 2
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题型一
利用基本不等式比较大小
2, 则 a2 【例1】 已知 0＜a＜1,0＜b＜1， a＋b,2 ab， ＋b 2ab 中哪一
个最大？
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名师点睛
1．对于概念的理解 (1)基本不等式成立的条件：a＞0 且 b＞0；其中等号成立的条 a＋b 件：当且仅当 a＝b 时取等号，即若 a≠b 时，则 ab≠ ， 2 a＋b 即只能有 ab＜ . 2 a＋b (2)基本不等式 ab≤ (a＞0，b＞0)又称为均值不等式，其 2 a＋b 中 叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数， 2 因此两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

2．算术平均数和几何平均数 (1)定义：
a＋b 叫作正实数 a，b 的算术平均数． 2 ab 叫作正实数 a，b 的几何平均数．
(2)关系： 两个正实数的算术平均数 不小于 它们的几何平均数．
对于两个不等式 a＋b ①a ＋b ≥2ab，② ≥ ab 2
2 2
(1)两个不等式成立的条件不同．不等式①中a，b 都是实数；不等式②要求a，b都是非负数．
[例2]
(12分)已知，a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＋c＝1，
1 1 1 求证：a＋b＋ c≥9.
[思路点拨] 巧妙利用a＋b＋c＝1，用a＋b＋c去乘式 1 1 1 子 a ＋ b ＋ c 然后展开，便可构造出基本不等式的模型，进而 可证明不等式．
[精解详析] 因为 a＞0，b＞0，c＞0 且 a＋b＋c＝1， 1 1 1 所以a＋b＋c 1 1 1 ＝(a＋b＋c )(a＋b＋c) b a c a c b ＝3＋(a＋b)＋(a＋ c)＋(b＋c)≥3＋2＋2＋2＝9. (4 分) (10 分)
(2)“当且仅当a＝b时，等号成立”的含义 a＋b 两个不等式a ＋b ≥2ab和 ≥ 2
2 2
ab 中都带有
“＝”，当且仅当a＝b时，“等号成立”其含义是“a＝ a＋b b⇔a ＋b ＝2ab”或“a＝b≥0⇔ ＝ ab”． 2
2 2
[例1]
已知a、b、c为正数，
b＋c－a c＋a－b a＋b－c 求证： a ＋ b ＋ c ≥3.
1 1 5．若 x＞0，y＞0，x＋y＝1，求证：(1＋ )(1＋ )≥9. x y
1 1 证明：法一：左边＝(1＋x)(1＋ y) x＋y 1 1 1 1 ＝1＋x＋y＋xy＝1＋y 2 2 1 (当且仅当x＝y＝ 时等号成立) 2