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矩阵和向量范数

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数值分析8(向量范数与矩阵范数)

数值分析8(向量范数与矩阵范数)

20:22
16/16
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11/16
A 2 ( A A), 其中 ( B ) max{| i ( B ) |}
T i
2 T T 证: 2 这表明矩阵ATA是对称半正定的, 是非负。设矩阵ATA的特征值为
|| Ax || x A Ax 0
1 2
所以它的特征值 都
n 0
并设对应的特征向量为
v1 , 由于ATA是对称,故 v1 ,
vi
20:22
2
1, i 1,
, vn , v n 是Rn的标准正交基: T , n vi v j 0, i j
12/16
对于向量 x 可被特征向量系所表示 x ck v k
n n k 1
n n
n
T T T || Ax ||2 x A Ax ( c v k k )( ck k vk ) 2
Matlab内部函数: norm(A,p)。
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矩阵算子范数
设 ||x||是Rn上的向量范数,A∈Rn×n,则A的非 负函数 || Ax ||
|| A || max
x 0
|| x ||
称为矩阵A的算子范数(或诱导范数)。 注1 矩阵算子范数由向量范数诱导出, 如
|| Ax ||2 || A ||2 max x 0 || x || 2
1 i n
, xn

Matlab内部函数: norm(x,p)。特别的, norm(x) 等价于norm(x,2)。 范数概念是我们熟悉的距离概念的一种自然的 推广。 k *
lim || x x || 0
k
则称序列{xk}在范数||.||下收敛于x*。

向量和矩阵范数

向量和矩阵范数

|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||

证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )

向量与矩阵的范数

向量与矩阵的范数

那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB

向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数一、引言向量和矩阵是线性代数中最基本的概念之一，而范数则是线性代数中一个非常重要的概念。

范数可以用来度量向量或矩阵的大小，也可以用来衡量它们之间的距离。

在本文中，我们将讨论向量和矩阵的范数。

二、向量范数1. 定义向量范数是一个函数，它将一个向量映射到一个非负实数。

它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的向量x，有||x||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和向量x，有||αx||=|α|·||x||；（3）三角不等式：对于任意的向量x和y，有||x+y||≤||x||+||y||。

2. 常见范数（1）L1范数：也称为曼哈顿距离或城市街区距离。

它定义为所有元素绝对值之和：||x||1=∑i=1n|xi| 。

（2）L2范数：也称为欧几里得距离。

它定义为所有元素平方和再开平方根：||x||2=(∑i=1nxi^2)1/2 。

（3）p范数：它定义为所有元素p次方和的p次方根：||x||p=(∑i=1n|xi|^p)1/p 。

（4）无穷范数：它定义为所有元素绝对值中的最大值：||x||∞=ma xi|xi| 。

三、矩阵范数1. 定义矩阵范数是一个函数，它将一个矩阵映射到一个非负实数。

它满足以下条件：（1）非负性：对于任意的矩阵A，有||A||≥0；（2）齐次性：对于任意的标量α和矩阵A，有||αA||=|α|·||A||；（3）三角不等式：对于任意的矩阵A和B，有||A+B||≤||A||+||B||。

2. 常见范数（1）Frobenius范数：也称为欧几里得范数。

它定义为所有元素平方和再开平方根：||A||F=(∑i=1m∑j=1naij^2)1/2 。

（2）一范数：它定义为每列元素绝对值之和的最大值：||A||1=maxj(∑i=1m|aij|) 。

（3）二范数：它定义为矩阵A的最大奇异值：||A||2=σmax(A) 。

（4）∞范数：它定义为每行元素绝对值之和的最大值：||A||∞=maxi(∑j=1n|aij|) 。

向量与矩阵的范数

向量与矩阵的范数

a12 a1n A 1 max ai j 列范数 1j n i1 n a22 a2n A max aij 行范数 1i n j1 T an2 ann A 2 λm a x( A A) AF
|λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X ||
由X ≠0 ,所以 || X || >0 ,
计算方法三⑤
故有:
|λ | ≤|| A ||
所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||
18/35
定理3.7 设A为任意n阶方阵，则对任意 矩阵范数||A||，有： ρ(A)≤||A|| 定理3.8 设A为n阶对称方阵，则有: ||A||2= ρ(A)
1 2 3 A 4 5 6 7 8 0
计算方法三⑤
14/35
例6. 计算矩阵A的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
解: E A ( 1) ( 2)
2
(A) 2
计算方法三⑤
17/35
矩阵范数与谱半径之间的关系为: ρ(A) ||A|| 定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范 数||A||，有： ρ(A)≤||A||
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX= λ X 两边取范数,得: || A X || = ||λ X || =|λ | || X ||

第3章 范数

第3章 范数
n
1
2
例题：设x = (3,12,0,4 ) , 计算 x 1 , x ∞ , x
T
2
x 1 = 3 + 12 + 0 + 4 = 19 x
∞
= max{3,12,0,4} = 12
x 2 = 32 + (12) 2 + 0 2 + (4) 2 = 13
向量和矩阵的范数
2 矩阵范数 定义
任一矩阵A ∈ R n×n，都对应于一个实数N ( A)( N ( A)为R n×n上的实值函数 ), N ( A) = A ，且满足以下条件：
1≤i ≤ n
( A的特征值按模的最大值)
为矩阵的谱半径。
若λi为实数，则λi 是指绝对值 若λi为复数（λi = a + bi），则λi 是指模, λi = a 2 + b 2
例题
1 0 1 设A = 2 2 1, 计算A的谱半径。 1 0 0 λ 1 0 1
解： λI A) = 2 det( 1
几种矩阵范数
设x ∈ R n , A ∈ R n×n , 则
(1) A 1 = max ∑ aij
1≤ j ≤ n n
( A的列范数 )
(2) A ∞ = max ∑ aij
1≤i ≤ n j =1
i =1 n
( A的行范数 )
(3) A 2 = λmax ( AT A) (其中λmax ( AT A)表示矩阵AT A的绝对值( 模)最大的特征值)
a11 a12 a13 三阶方阵A = a21 a22 a23 则A的行列式 a31 a32 a33 det( A) = a11a22 a33 + a21a32 a13 + a12 a23a31 a13 a22 a31 a12 a21a33 a23 a32 a11

向量和矩阵的范数


证明:略
第一章 绪论
例4 设矩阵A与矩阵B是对称的，求证
常用的矩阵范数
第一章 绪论
n
(1)
A
1
max 1 jn i1
aij
A的每列绝对值之和大 的值 最, 称A的列范数
n
(2)
A
max

j1
aij
A的每行绝对值之和大 的值 最, 称A的行范数
(3)
A
2
ma(xATA)
称A的2范数
其中 ma(xATA)为ATA的特征值的绝大 对值 值的最
例2
对于某种向 x和 量算 范子 数A范 , 数
AxA x
而
Ax x x
因此
x A x
即 所以
A
(A) A
第一章 绪论
即矩A阵 的谱半径不超任 过何 矩一 阵种 的算子范数
定理1. 设是Rnn上的一种算,子 A范 Rnn数 ,
若 A 满A 足 1,则 IA 非奇 ,且异
(I A)1 1 1 A
1 jn i1
aij
ma {2,x5,2}5 1jn
n
A
max
1in
j1
aij
m{a3,4 x,2}4 1in
A 2 ma(xATA)
第一章 绪论
因此先A求 TA的特征值
第一章 绪论
1 1 0 1 2 0 2 0 1
AT A
2 0
2 1
1 1
1 0
2 1
1 1
0 1
9 1
1 2
A2
容易计算 使用最广泛
计算较复杂
对矩阵元素的 变化比较敏感
性质较好 使用最广泛

研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数


我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2


2

例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2

解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max

X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：

向量范数和矩阵范数

向量范数和矩阵范数在数值计算、线性代数和机器学习等领域中具有广泛的应用，它们可 以用于衡量向量和矩阵的大小、距离和相似度等概念。
2. L1范数：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的L1范数定义为 ||x||1 = |x1| + |x2| + ... + |xn|。它表示向量各个元素的绝对值之和。
向量范数和矩阵范数
3. 无穷范数（L∞范数）：对于n维向量x=(x1, x2, ..., xn)，它的无穷范数定义为 ||x||∞ = max(|x1|, |x2|, ..., |xn|)。它表示向量各个元素的绝对值的最大值。
矩阵范数是对矩阵进行度量或衡量的方式，它是一个将矩阵映射到非负实数的函数。常见 的矩阵范数有谱范数、F范数和1-范数。
1. 谱范数：对于n×n矩阵A，它的谱范数定义为 ||A||2 = max(σ)，其中σ是A的特征值的 模的最大值。谱范数衡量了矩阵的最大特征值的大小，表示矩阵的最大奇异值。
向量范数和矩阵范数
2. F范数：对于m×n矩阵A，它的F范数定义为 ||A||F = √(∑∑|aij|^2)，其中aij表示A的第i 行第j列的元素。F范数衡量了矩阵所有元素的平方和的平方根。
3. 1-范数：对于m×n矩阵A，它的1-范数定义为 ||A||1 = max(∑|aij|)，其中∑表示对所有 列求和。1-范数衡量了矩阵列向量绝对值之和的最大值。
向量范数和矩阵范数
向量范数是对向量进行度量或衡量的方式，它是一个将向量映射到非负实数的函数。常见 的向量范数有欧几里得范数（L2范数）、L1范数和无穷范数（L∞范 ..., xn)，它的欧几里得范数定义为 ||x||2 = √(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)。它表示向量的长度或大小，也可以理解为向量的2范数。

第五章 向量与矩阵的范数


A
F
= ( ∑∑ aij )
2 i =1 j =1
X
2
= ( ∑ xi )
i =1
n
2 12
= (X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到 不等式可以得到 根据
AX ≤
m 2 2
=
n
∑ ∑
i =1
m
n
2
j =1
a ij x
n
j
≤
2 j
∑
m
i =1
( ∑ a ij x j ) 2
j =1
n
∑ [( ∑
AB = n max
i, j i ,k
∑a
k =1 k, j
n
ik kj
b ≤ n max ∑ aik bkj
i, j k =1
n
≤ n ⋅ n max aik max bkj = n max aik ⋅ n max bkj
i ,k k, j
= A B
因此 的范数。 A 为矩阵 A 的范数。
例3
p
= ( ∑ ai )
p i =1
n
1
p
∑a
i =1
n
i
（2）2－范数 ） －
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 欧氏范数 （3）∞ －范数 α ∞ = lim α ） p →∞ 定理
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明 令
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 维线性空间， 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 α 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 按照某一确定法则对应着一个实数， 范数， 实数称为 α 的范数，记为 α ，并且要求 范数满足下列运算条件： 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 ）非负性： 有且仅有当 α = 0, （2） 齐次性： ） 齐次性： 意数。 意数。
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绪论0.1数值计算方法与算法数值计算方法：在算机上使用的解数学问题的方法，简称计算方法。

1.准确解和数值解数学是在寻求准确解（解析解）中不断发展●“数”的定义●“数”的运算规则2. 计算方法: 一种研究并解决数学问题的数值近似解方法计算对象：●理论上有解而无计算公式（没有解析解的数学问题）例如，计算6阶矩阵的全部特征值●有计算公式而无法承受计算量。

例如，用克莱姆方法解一个有100个未知量的线性方程组；。

3.科学计算和计算方法科学方法：理论、实验、科学计算（第三种科学方法）算法的改进对性能的贡献超过处理器速度的提高。

计算方法是一门理论性和实践性都很强的学科，计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨性，又有实用性和实验性的技术特征。

计算方法的前提课程是微积分，线性代数，常微分方程和一门计算机语言。

4.课程内容微积分，线性代数，常微分方程中数学问题的数值解使用方法套用计算公式、修改计算公式和创建计算公式中，都需要不同程度的专业知识和数学基础。

要注重学习计算方法中的逼近和迭代等数学思想和常用手法，获取近似计算的能力，并能触类旁通地应用到各个领域中。

例如，样条函数、快速富里叶变换和有限元方法都是有创造力的工程师们创建的，再由数学家们完善这些方法的理论基础，并从理论上进行提高和推广。

从方法的计算公式到在计算机上实际运行，两者之间还有距离，这是数学能力与计算机应用技术能力之间的距离，为了缩小两者之间的距离，将给出部分计算公式的算法描述。

用算法容易准确而简便地描述计算公式，在算法中能简洁地表达计算公式中的“循环”和“迭代”等操作。

纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。

5. 课程要求按时交作业，编程题2-3教材中提供了部分上机作业题，可以自选编程题。

0.2 误差与有效数字绝对误差与绝对误差界近似计算必然产生误差，误差表示精确值与近似值的距离。

定义0.1 设*x 为精确值（或准确值），x 是*x 的一个近似值，称 x x e -=*为近似值x 的绝对误差或误差。

绝对误差 = 精确值 - 近似值误差e 的值可正可负，如果得不到精确值*x ，也就算不出绝对误差e 的值。

常用限制误差绝对值的范围ε 描述和控制误差的范围。

定义0.2 如果精确值*x 与近似值x 的误差的绝对值不超过某正数ε，即 ε≤-=||||*x x e 称ε 为绝对误差限或误差限。

精确值*x 也可表示为：ε±=x x *。

通常，在误差允许的范围内的近似值x 即认为是精确值，这也是计算中控制循环中止的常用手段。

例0.1 若经四舍五入得到 456.123=x ，计算x 的误差限。

对于数4559.123,,4555.123 4564.123,4561.123的近似值都是456.123=x ， 即第四位小数大于5时，必然进位到第三位小数；第四位小数小于5时，必然舍去。

它的误差限是：34*1021510||||--=⋅≤-=x x e 若0123456.0*=x ，则它的误差限是：78*1021510||||--=⋅≤-=x x e 相对误差与相对误差限定义0.3 设*x 为精确值，x 是*x 的一个近似值称 ***xxx x e e r -== 为近似值x 的相对误差。

在实际计算中，有时得不到精确值*x ，当r e 较小时*x 可用近似值x 代替，即xxx x e e r -==*相对误差 =绝对误差精确值 或 相对误差 =近似值绝对误差相对误差r e 的值也可正可负，与绝对误差一样不易计算，常用相对误差限控制相对误差的范围。

定义0.4 如果有正数r ε使得 r r xee ε≤=||* ，则称r ε为*x 的相对误差限。

产生误差的因素很多，产生误差的原因主要有 原始误差由客观存在的模型抽象到物理模型产生的误差。

包括模型误差和原始数据误差。

截断误差用有限项近似无限项时，由截取函数的部分项产生的误差，称为截断误差。

例如：∑∞==+++++=02!!!21n n k xn x k x x x e ，在计算中用∑∑∞==≈=00!!n n N n n xn x n x e 舍入误差在数值计算中，通常都按有限位进行运算。

例如，按照4舍5入的原则，2 / 3=0.666667 或2 / 3=0.667，由舍入产生的误差，称为舍入误差。

在实际计算中的数据通常是近似值，它们由观察、估计或一些计算而得到，这些数在计算机表示后也会带来进一步误差，即误差的积累和传播。

关于误差的传播似乎没有多少统一的理论，通常积累误差的界是以通例分析为基础而建立的。

有效位数定义0.5 当x 的误差限为某一位的半个单位，则这一位到第一个非零位的位数称 为x 的有效位数。

例如，x = 12.34 ,y = 0.004067均有4位有效数字，而3.00与3.0000分别有3位和5位有效位数。

有效位的多少直接影响到近似值的绝对误差和相对误差，因此，在计算中也应注意保持一定的有效位数。

数值计算的近似计算免不了有误差相随，只能尽量约束和控制误差。

选择收敛的稳定的方法对同一问题选择不同的数值计算方法，可能得到不同的计算结果。

在计算方法中，除了给出方法的数值计算公式，还要讨论计算公式的收敛性、稳定性和截断误差的特性。

选择收敛性要求低、稳定性好的方法是约束误差扩张最重要的措施。

例如，样条插值函数比高次多项式的效果好的多，是构造插值函数的首选方法。

提高数值计算精度数值在计算机中存放的位数称为字长。

有限位的字长是带来舍入误差和抑制数值计算精度的根源。

对同一种方法，在字长大的计算机上的计算效果要比在字长小的计算机上优越。

同一计算问题，简化计算步骤、减少运算次数、控制除法中分母的值等措施都会约束和减少舍入误差.例如：将多项式表达式 0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，改写为011))((()(a x a x a x a x f n n ++++=-在计算机上，用同一种数值计算方法对数据选用不同的数值类型，有时会直接影响到计算效果。

例如，对病态的线性方程组，同样使用消元方法采用单精度数据，其数据解大大失真，而用双精度数据却可得到满意的数值解。

0.3 矩阵和向量范数0.3.1向量范数 1. 向量范数的定义在一维空间中，实轴上任意两点a b ,的距离用两点坐标差的绝对值||a b -表示. 绝对值是单变量的一种度量距离的定义.范数是在广义长度意义下，对函数、向量和矩阵的一种度量定义. 任何对象的范数值都是一个非负实数. 使用范数可以测量两个函数、向量或矩阵之间的距离. 向量范数是度量向量长度的一种定义形式. 范数有多种定义形式，只要满足定义1.1中的三个条件即可定义一个范数.对任一向量n R X ∈，按照一个规则确定一个非负实数与它对应，记该实数为X ，若X 满足下面三个性质：(1) 任取 n R X ∈，有X ≥0,当且仅当X =0时，X =0 （非负性） (2) 任取 R R X n∈∈α,， 有ααX X =|| （齐次性）(3) 任取 n R Y X ∈,，有X Y X Y +≤+ (三角不等式） 那么称实数X 为向量X 的范数.定义 0.6 向量X x x x n T=(,,,)12 的p L 范数（Holder 范数）定义为 ()Xx pi ni p p==∑11||/ , 1≤≤+∞p （0.1）其中，经常使用三种p L 向量范数是∞=,2,1p . 1-范数(曼哈顿范数) ||||||||2111n ni i x x x x X+++==∑=2-范数(欧几里得范数) 22221122nni i x x x xX+++==∑= 或写成 ),(2X X X=∞-范数|}|,|,||,max{||}{|max 211n i n i x x x x X==≤≤∞注：1/12lim(||||||)p p p p n p Xx x x ∞→∞=+++1/1211111||||||max{||}lim()max{||}max{||}max{||}max{||}p p ppn i p p p p i n ii i i ni ni ni i nx x x x x x x x →∞≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤=+++=例0.2 计算向量Ta X ),3,1(=的向量范数. ||4||311a a X +=++=,22/1222210)31(a a X +=++=|}|,3max{|}|,3,1max{a a X==∞例0.3 设A 是一个正定矩阵，对任何向量nX R ∈，定义函数 AX = A X ||||是一种向量范数.例0.4 当01p <<，()X x pi ni p p==∑11||/不是向量范数.证明 取 (1,0,,0),(0,,0,1)T T αβ== 则||||1,||||1p p αβ==，||||||||2p p αβ+=1/||||22,p p αβ+=>||||||||||||p p p αβαβ+>+ ∴01p << 不是向量范数.例2. 不同向量范数的关系同一向量，在不同的范数定义下，得到不同的范数值. 定理0.1给出有限维线性空间R n中任意向量范数都是等价的.定理0.1 若12(),()R X R X 是R n上两种不同的范数定义，则必存在∞<<<M m 0，使nR X ∈∀，均有212()()()mR X R X MR X ≤≤ （0.2） 或 m ()≤≤R X R X M 12()()X ≠0 （证明略）可以验证，对于向量的1、2和∞范数有下列等价关系1||||||||||||X X n X ∞∞≤≤，121||||||||||||X X X ≤≤22||||||||||||X X X ∞≤≤ 例0.5 图示2R 中向量1范数、2范数、4范数和∞范数的单位“圆”.图0-1范数的单位“圆” 向量的极限向量范数的定义提供了度量两个向量的距离标准，即可定义向量的极限和收敛概念了. 定义 0.7 设},,2,1,{)(n k X k =为R n 上向量序列，若存在向量α∈n R有0lim )(=-∞→αk k X，则称向量列)(k X 是收敛的，α称为该向量序列的极限.由向量范数的等价性，向量序列是否收敛与选取哪种范数无关. 向量的极限是通过它的所有分量的极限定义的。

不论选取那种范数,向量序列()()()()12(,,,)m m m m Tn X x x x = 收敛的充分必要条件为其序列的每个分量收敛，即)(lim k ik x ∞>-存在. 若i k ik x x =∞>-)(lim ，则T n x x x X ),,,(21 =就是向量序列},,2,1,{)(n k X k =的极限. 在数值计算中，当迭代的向量序列中相邻两个向量的误差<-+||||)()1(k k X X 给定精度时，视)1(+k X 为极限向量*X .0.3.2矩阵范数 1. 矩阵范数定义设A R n n ∈⨯，记方阵A 的范数为A ，矩阵范数满足下列性质：(1) 0||||≥A 当且仅当A =0时，A =0 （非负性） （2） ,n nA RR λ⨯∈∀∈ λλA A =|| （齐次性）（3） 对于任意两个同阶矩阵B A , 有A B A B +≤+ (三角不等式）（4）设B A ,为同阶矩阵,则 ||||||||||||AB A B ≤ （相容性） （5）设A 为n 阶阵,对nX R ∀∈，恒有 ||||||||||||AX A X ≤⋅只要满足(1) (2) (3)就可以定义一个矩阵范数。