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1向量,矩阵范数与谱半径

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数值计算方法-范数

数值计算方法-范数

0
1 k 2k 1 1 例 求向量序列x ,(1 ) , 的极限向量 k k 11 k 1 解：首先求出每个分量向量的极限，即
(k )
T
1 k 2k 1 1 lim x lim ,(1 ) , k k k 1 k k 11 T k 1 2k 1 1 lim ,lim 1 ,lim k k 1 k k k 11 k
k k k
反之，设（ A） 1，且为矩阵A的任一特征值，x为其 对应的特征向量，其中 = （A）,
则有 从而
k
Ax x x
k k 2 2
2
A
k 2

Ak x x
2
2
1，
即lim Ak 0不成立，假设不成立，原命题正确。
误差分析
例 设线性方程组: 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解： 易求该方程组的精确解为x (1,1)T 。
从上述定理可以推知,向量的P-范数（p=1,2,）有如下 等价关系：
1 x1 x n


x2 x1
注：定义在同一个R n空间中的所有范数都是等价的
向量序列的极限：
(k ) (k ) T 设x ( k ) ( x1( k ) , x2 , , xn ) R n , k 0,1, ，为R n中的一个
|| Ax ||2 T T ② || A ||2 max = （ A A ） ；（ 为 A A特征值 max n xR || x || 2 || x|| 0

向量范数

向量范数

向量范数定义1. 设,满足1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=02. 齐次性:║cx║=│c│║x║,3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)易得║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞定理中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使m║x║α≤║x║β≤M║x║可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→∞)其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k) →x(k→∞),或 .三、矩阵范数定义2. 设,满足1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=02. 齐次性:║cX║=│c│║X║,3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:║Ax║≤║A║║x║所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性或者说是相容的.单位矩阵的算子范数为1可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:║x║=║X║,X=(xx…x)常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的最大特征值.∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.四、矩阵谱半径定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称为A的谱半径.谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:ρ(A)≤║A║因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的相容性和齐次性就导出结果.定理 3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)。

向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数

|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。

||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||

1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||

max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)

矩阵范数理论及其应用

矩阵范数理论及其应用
1
n 2 2 x k k E ，成立着 A x k B x 。 k 1 k 1
证明： x

k 1 k
n
k
0 时，令 y
x

k 1
n
， f (1 , 2 ,
2 k
, n ) y ，则 f (1 , 2 ,
p p
n 定理 1：对于 n 维向量 x C ， lim x
x 。
注：几何意义上，向量 PQ 的 2-范数、 ∞-范数和1-范数分别是斜边 PQ 长度、直角边 PR 长 度以及两直角边 PR 和 RQ 的长度之和。
三、范数的等价性
定义 3：对任意 x V ，满足不等式 C1 x

x
j 1
设 A ( aij ) C
n
n n
， x (1 , 2 ,
, n )T C n ， 令 Ax y (1 ,2 ,
,n )T ， 其 中
,n。 i a i j j， i 1, 2,
j 1
Ax

y

max i max aij j max ( aij j ) x max aij 。
中范数，且 P, Q C
F
都是酉矩阵，则
n n
PA
F
AQ
F
A F ，即给 A 左乘或右乘以酉矩阵后其
值不变 (在 A R
时P 和
Q 都是正交矩阵 )。
证明： PA
F
[tr ( AH P H PA)] 2 [tr ( AH A)] 2 A F 。
1
1
由 A
F
( aij )

第四章_线形方程组求根

第四章_线形方程组求根

max | aij |
1 i n j 1
n
max表示A ' A的最大特征值
§1
向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
2 0 0 A 0 1 0 0 0 1
n 1 j n i 1 n
例子：设有方阵A，求其1-范数,2-范数及-范数。
其中
A 1 max | aij | max(2 ,1 ,1 ) 2 A

max | aij | max(2 ,1 ,1 ) 2
1 i n j 1
§1
向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
X BX ( I B ) X 0 X 0, ( I B ) 0 det( I B ) 0 2 0 0 2 0 0 4 0 0 A' A 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 || A ||2 max ( A ' A) 4 2
|| X ||2 x12 x2 2 ... xn 2 ( xi )
i 1
1-范数
1 2 2
i 1 n
2-范数
|| X || max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |} max{| xi |}
1i n
其中x1,x2, …,xn分别是X的n个分量 -范数 上述范数都是p范数的特例 || X || p ( xi )
§1
向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
|| A ||F
F-范数(Frobenius OR Euclid范数)
i , j 1
a

矩阵论范数知识点总结

矩阵论范数知识点总结

矩阵论范数知识点总结一、概述矩阵论是线性代数的一个分支，它研究矩阵及其性质。

矩阵的范数是矩阵的一种性质的度量，它在矩阵分析、数值线性代数、优化理论等领域中有着广泛的应用。

本文将对矩阵范数的定义、性质、应用以及相关的其他知识点进行总结和介绍。

二、矩阵的定义在数学中，矩阵是一个按照矩形排列的复数或实数集合。

也可以看成是一个数域上的矩形阵列。

矩阵的元素可以是实数、复数或者是其他的数学对象。

一个n×n矩阵A是一个由n×n个元素（a_ij）组成的矩形数组。

三、范数的定义在数学中，范数是定义在向量空间中的一种函数，它通常被用来衡量向量的大小或长度。

对于矩阵来说，范数是一种度量矩阵大小的方法。

对于一个矩阵A，它的范数通常记作||A||。

矩阵的范数满足以下性质：1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||四、矩阵范数的种类矩阵范数一般有几种不同的类型。

1. Frobenius范数：矩阵A的Frobenius范数定义为||A||_F = sqrt(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n|a_ij|^2)2. 1-范数：矩阵A的1-范数定义为||A||_1 = max(Σ_(i=1)^n |a_ij|)3. 2-范数：矩阵A的2-范数定义为||A||_2 = max(Σ_(i=1)^m Σ_(j=1)^n |a_ij|^2)^(1/2)4. ∞-范数：矩阵A的∞-范数定义为||A||_∞ = max(Σ_(j=1)^n |a_ij|)五、矩阵范数的性质矩阵范数具有一些重要的性质，下面将介绍其中一些主要性质。

1. 非负性：||A|| ≥ 0，并且当且仅当A = 0时，||A|| = 02. 齐次性：对于任意标量c，||cA|| = |c| * ||A||3. 三角不等式：||A+B|| ≤ ||A|| + ||B||4. 乘法范数：||AB|| ≤ ||A|| * ||B||5. 谱半径：对于任意矩阵A，它的谱半径定义为rho(A) = max|λ_i(A)|6. 对称矩阵：对于对称矩阵A，其2-范数定义为rho(A)，即||A||_2 = rho(A)，其中rho(A)是A的最大特征值六、矩阵范数的应用矩阵范数在数学和工程领域有着广泛的应用，下面将介绍一些主要的应用。

向量与矩阵的范数


那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB

数值计算方法第3章3-04范数


是收敛的，称 A 为矩阵序列 A(k) 的收敛极限。
矩阵的收敛
记矩阵序列 A(k) 是收敛于 A 为： lim A(k) A 。 k
Rnn 上 的 矩 阵序 列 A(k) 是 收 敛 于 A 的 充 要 条件 为
lim
k
a(k ij
)
aij
。
其中
a(k ij
矩阵范数的另一个定义 设A Rnn ，矩阵A
A sup Ax
x 1 xR n
的范数
4 常用的矩阵范数
设 A [aij ]nn常用的矩阵范数有行（无穷）范数和列（一）范数。
n
A max aij 1in j1
n
A 1 max aij 1 jn i 1
)
和 aij
分别表示
A( k )
和
A
的第 i 行第
j
列的元素。
定义 设 A Rnn ，如果存在 R 使
Ax x
则称 为A 的一个特征值。x 就是特征值 对应的特征向量。
谱半径
定义 6：对于 Rnn 上的矩阵 A ，设 A 的特
征值为 1, 2 , , n ，称 ( A) max{1, 2 , ,n} 为 矩 阵 A 的 谱 半
但在各种范数下，考虑向量序列收敛性时结论时一致的，一致的含义
是收敛都收敛，且有相同的极限。
提出各种范数是为解不同问题时用的，即对某一个问题可能是某一种
范数方便，而另一种范数不方便。
向量范数的等价定理 给定 x Rn ，对于Rn

，


，总存在与x 无关的正常数m

，M
对一切 x Rn 成立。

数值分析第五章-矩阵分析基础1


定理5.2.5 （对角优势定理） 若矩阵 A 为严格对角占优阵，
或者为不可约且弱对角占优阵，则
det(A) 0
历史与注记
阿尔斯通·豪斯霍德(Alston Scott Householder，1904–1993 )Householder 1904 年生于美国伊利诺州的洛克福特。1937 年取得了芝加哥大学博士学位之后他获得洛克菲勒基金会的 资助，在芝加哥大学从事研究， 1944年被提升为数学和生物 物理学的副教授。二战后他为美国海军研究实验室作数学顾
h1n
h2
n

H

h32 h33 L OO
hM3n

hnn1 hnn
的矩阵 H 为上Hessenberg（海森伯格）阵，或拟上三角阵。
如果次对角线元素hi,i1(i 2,3,L , n)全不为零，则称该矩阵为 不可约的上Hessenberg阵。
定理5.2.4 对任意矩阵A Rnn，总存在正交阵Q使得 Q1AQ
1


O

Li Li (li ) E(li , ei ;1) I lieiT

1 li1,i 1

为初等下三角阵。

M
O

lni
1
定理5.2.1 初等下三角阵 Li具有如下性质： (1) Li1(li ) Li (li ), Li 1 ；
lim
k
Ak

A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1Βιβλιοθήκη 4. 矩阵的条件数定义5 设矩阵 A 为非奇异矩阵，则称

第五章 向量与矩阵的范数


A
F
= ( ∑∑ aij )
2 i =1 j =1
X
2
= ( ∑ xi )
i =1
n
2 12
= (X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到 不等式可以得到 根据
AX ≤
m 2 2
=
n
∑ ∑
i =1
m
n
2
j =1
a ij x
n
j
≤
2 j
∑
m
i =1
( ∑ a ij x j ) 2
j =1
n
∑ [( ∑
AB = n max
i, j i ,k
∑a
k =1 k, j
n
ik kj
b ≤ n max ∑ aik bkj
i, j k =1
n
≤ n ⋅ n max aik max bkj = n max aik ⋅ n max bkj
i ,k k, j
= A B
因此 的范数。 A 为矩阵 A 的范数。
例3
p
= ( ∑ ai )
p i =1
n
1
p
∑a
i =1
n
i
（2）2－范数 ） －
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 欧氏范数 （3）∞ －范数 α ∞ = lim α ） p →∞ 定理
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明 令
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 维线性空间， 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 α 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 按照某一确定法则对应着一个实数， 范数， 实数称为 α 的范数，记为 α ，并且要求 范数满足下列运算条件： 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 ）非负性： 有且仅有当 α = 0, （2） 齐次性： ） 齐次性： 意数。 意数。
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向量、矩阵范数与谱半径
1.向量的范数
由以上三个公式可以容易看出：向量的2范数各项平方和的开方，1范数就是各项绝对值之和，无穷范数就是各项绝对值最大。

例：向量
解：
2.矩阵的范数
可以（这个看的不太容易）看出：矩阵的无穷范数是行绝对值之和最大值，又称“行和范数”；1范数是列绝对值之和最大值，又称“列和范数”。

而2范数是需要求解的，也是经常要用到的！
例：矩阵解：
下面来教大家求矩阵的2范数：
求最大特征值
故
3.
谱半径
矩阵A的特征值的按模最大值成为A的谱半径，即：
例：还是矩阵
解：
故：。