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1 向量范数与方阵范数(1)

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向量范数

向量范数

计算方法
2
常用向量范数
设向量 x = ( x1 , x2 ,..., xn ) || x ||1 = ∑ | xi |
n i =1 n
T
|| x ||2 = ( ∑ | xi | ) = ( x , x ) = ( x T x )
i =1
1 2 2
1 2
1 2
|| x ||∞ = max{| xi |}
定义
设λi(i = 1,2 ,...,n)为矩阵 A的特征值 , 则称
1≤ i ≤ n
ρ ( A) = max{| λi |}
的谱半径。 为矩阵 A的谱半径。 矩阵A的谱半径 ρ ( A)不是A的一种范数 , 但易证
ρ ( A) ≤ A
定义2 定义2
若
Ax ≤|| A || ⋅ || x || ∀x ∈ R n , ∀A ∈ R n× n
称矩阵范数与向量范数是相容的. 称矩阵范数与向量范数是相容的. 相容的
2 − 1 例4 ： 设矩阵 A = − 2 4 , 求 || A ||1 , || A ||2, || A ||∞ 。 解： || A || = max{ 2+ | −2 |, | −1 | +4} = 5 1
1≤ i ≤ n
计算方法
T || || 例3：已知 x = (1, 2, − 3 ) , 求 || x ||1 ， x ||2 ， x ||∞
解： x
1
= x1 + x2 + x3 = 1+2+3= 6
2 2 x12 + x2 + x 3 = 1 + 4 + 9 = 14
x2=
x
∞

西北工业大学矩阵论课件PPT第二章例题 范数理论

西北工业大学矩阵论课件PPT第二章例题 范数理论

1
则 A0 1 1， x0 1，但是
A0 x0 (n,0,,0)T
从而
A0 x0 n 1 A0 1 x0
故矩阵1-范数与向量的∞-范数不相容。
例 已知
0 Ai
i 1
1i ，
x
1 0
(i 1)
1 i 0
1
则 A ( 3 )， A 2 (1 2 )， Ax 1 ( 4 )。
第二章 范数理论
§1 向量的范数
例1 对 x (x1, x2,, xn )T Cn，规定
n
x 2
xi 2 xH x
i 1
则它是一种向量范数，称为向量2-范数。
注 直接证明第三条公理时要用到Cauchy
-Schwarz不等式
n
n
n
( xi yi )2
xi 2
yi 2
x
2 2
y
2 2
A F 1 4 2 9 25 11 4 111 4 16
70
A m 45 20， A 1 max6, 8, 5, 5 2 8， A max3 2, 9, 4, 8 9
例 判断矩阵1-范数与向量的∞-范数是否相容?
解取
1
A0
0
1 0
1
0
，
x0
1 1
0 0 0
U使得
U H AU diag(1,2,,n ) (i 0，i 1,2,,n)
于是
A U diag(1,2,,n )U H
U diag( 1, 2 ,, n ) diag( 1, 2 ,, n )U H PHP
其中 P diag( 1, 2 ,, n )U H是可逆矩阵。
从而

向量和矩阵范数

向量和矩阵范数

|| x ||
|| b ||
➢ 设 精b确，A有误差 ，得到的A 解为
，即 x x
|| A || || A1 || 是关键
( A 的A误的A差状)放态(大数x因(条子件，数称x)，)为 b
记为cond (A) ,
A(x x) A(x x) b (A A)x (A A) x b
I A 1 1
1 || A ||

证明： ① 若不然，则
(I A有)x非零0解，即存在非零向量 使得
x0
Ax0 x0
|| Ax0 || 1 || x0 ||
|| A || 1 ✓
② (I A)1 A(I A)1 (I A)(I A)1 I
(I A)1 I mA(I A)1
，即
A(x x) b b
x x
绝对误差放大因子
x A1 b
|| x |||| A1 || || b ||
相对误差放大因子
又 || b || || Ax || || A || || x || 1 || A || || x || || b ||
|| x || || A || || A1 || || b ||
主要性质
性质1:‖-x‖=‖x‖
性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖
性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数.
范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
,则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价。
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ, k=1,2，….,
|| A1A |||| A1 || || A || 1 )

向量与方阵的范数

向量与方阵的范数

x2 L xn ) ∈ R n ， n 维向量空间 R n 上常用的向量范数有：
T
2 2 2
（1） ．2-范数： || x || 2 = x1 + x 2 L + x n ； （2） ．1-范数： || x ||1 =| x1 | + | x 2 | + L + | x n | ； （3） ． ∞ 范数： || x ||∞ = max{ xi }；
− A → 0 (k → ∞) 。
练习
⎛ 2 − 4⎞ ⎛ 1 ⎞ 1．设 A = ⎜ ⎟，x = ⎜ ⎟ 。求： x 1 ， x 2 ， x ∞ ， A 1 ， A 2 ， A ∞ 。 ⎜1 − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
2．设 A 是 n × n 矩阵，证明： n −1 A 2 ≤ n
−1 2
1≤i ≤ n
（4） ． p -范数： x
p
=
p
x1 + L + xn
p
p
。
可以证明，它们满足定义 1 中的三条性质。 例1 解：
|| x || 2 = 12 + ( −3) 2 + 0 2 + 2 2 = 14 ；
计算向量 x = (1 − 3 0 2 ) 的 2-范数，1-范数， ∞ 范数和 4-范数。
n
1≤ j ≤ n
（1）1-范数： A 1 = max ∑ aij ；
i =1
（2） ∞ 范数： || A || ∞ = max ∑ aij ；
1≤i ≤ n j =1
n
（3）2-范数： || A || 2 = λ max ， λ max 为 AT A 的最大特征值； （4）Frobenius 范数： || A || F =

向量范数与矩阵范数的相容性

向量范数与矩阵范数的相容性

x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1

max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A


max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2

与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k

n(
i 1
n k 1
aikk
)2

n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2

n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]

n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即

向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数

|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。

||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||

1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||

max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)

Chapter1_2_向量范数与矩阵范数


设 b 精确，A有误差 A ，得到的解为 x x ，即 || A || || A1 || 是关键 的误差放大因子，称为 ( A A的状态数(条件数)， b A)( x x) 记为cond (A) , A( x x) A( x x) b ( A A) x ( A A) x b ( A A) x Ax x A1 A( x x) A( I A1 A) x Ax || x || || A1 || || A || || x x || x ( I A1 A)1 A1 Ax || A || 1 (只要 A充分小，使得
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB || p || A || p || B || p || Ax || p || A || p max max || Ax || p y | ||x || || y || |x 2 x0 | |x | |p 1 || x || p || Ax || p || A || p || 2 || p x
命题(P26，推论1） 若A对称，则有: || A ||2 ( A)
证明：|| A ||2 max ( A A) max ( A )
T 2
A对称
若 是 A 的一个特征根，则2 必是 A2 的特征根。
max ( A2 ) 2 ( A) 对某个 A 的特征根 成立
又：对称矩阵的特征根为实数，即 2(A) 为非负实数， 所以2-范数亦称为 故得证。 谱范数。

向量与矩阵的范数


那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB

范数理论(第二章)

= ，p范数： =（Σk=1n p）1/p， 范数： =maxk
4，构造新的范数：设A ，设 是Cm上的一种范数，对任意x Cn，规定 ，则 是Cn中的范数。
5，等价：设 是Cn上的两种范数，如果存在正数α、β使对任意x Cn都有 ≤ 则称范数 等价。
6，Cn上所有向量范数等价。
【易得常见范数的等价： ≤ ≤n ； 】
2，6种常见范数：
（1）m1范数： = ，（2）m∞范数： =nmaxi，j
（3）1范数： ，（4）∞范数：
（5）2范数： ，其中，λi为AHA的最大特征值。
（6）F范数： =
【*所有丨丨都是模长。例如：丨i丨=1。】
【m1范数和m∞范数同向量1范数和向量∞定义一致。】
其中，2范数、F范数的酉不变性：设A ，则对任意n阶酉矩阵U和V恒有 ；2范数的另一性质： = 。
3，矩阵范数与向量范数的相容性：设Cn×n上的矩阵范数 ，Cm上的向量范数 ，如果对任意A 和x 都有： ≤ 则称矩阵范数 与向量范数 相容。
4，设 是Cn×n上的某种矩阵范数，则在Cn上必存在与之相容的向量范数。
5，从属范数：已知Cn上的向量范数 对任意A ，规定 = （或写作： ），则 是 上与向量范数 相容的矩阵范数，且 .称之为由向量范数 导出的矩阵范数或从属于向量范数 的矩阵范数，简称导出范数或从属范数。即构造了一种范数使 .
【范数等价证明：任意范数 与无穷范数 等价：】
证明存在 ＞0，使得 对一切x Cn等价， ≥0，记s= ，s为一个有界封闭集， 在s上连续故 在s上存在最大值和最小值x‘和x’‘。令 =α， =β，设x≠0，故有 ， ， ，即 。
2
1，方阵的范数：若对于任意A ，都有一个实数 与之对应，且满足：（1）非负性（2）齐次性（3）三角不等式（4）相容性（A，B ，有 ≤ ）则称 为Cn×n上矩阵A的向量范数，简称矩阵范数。

向量与矩阵的范数


a12 a1n A 1 max ai j 列范数 1j n i1 n a22 a2n A max aij 行范数 1i n j1 T an2 ann A 2 λm a x( A A) AF
|λ | || X ||= ||λ X ||= || A X || ≤|| A || || X ||
由X ≠0 ,所以 || X || >0 ,
计算方法三⑤
故有:
|λ | ≤|| A ||
所以特征值的最大值≤||A||，即ρ(A)≤||A||
18/35
定理3.7 设A为任意n阶方阵，则对任意 矩阵范数||A||，有： ρ(A)≤||A|| 定理3.8 设A为n阶对称方阵，则有: ||A||2= ρ(A)
1 2 3 A 4 5 6 7 8 0
计算方法三⑤
14/35
例6. 计算矩阵A的各种范数
1 2 A= 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 9
解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9]; n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, 'fro') n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564
解: E A ( 1) ( 2)
2
(A) 2
计算方法三⑤
17/35
矩阵范数与谱半径之间的关系为: ρ(A) ||A|| 定理3.7设A为任意n阶方阵，则对任意矩阵范 数||A||，有： ρ(A)≤||A||
证:设λ为A的任意一个特征值, X为对应的特征向量 AX= λ X 两边取范数,得: || A X || = ||λ X || =|λ | || X ||
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J. G. Liu
例1
设
1 X 3 , 2
求 X , X , X
1 2

解:
X 6, X 14, X
1 2

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n
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例2 设 A是 n阶正定矩阵, X R 列向量,
证明|| X || ( X AX ) 是向量范数(称为加权范
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-范数:
|| A || max | a |
1 i n j 1 ij
n
即 A 的各行向量的1-范数的最大值, 称为行范数.
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向量范数与矩阵范数
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n 1 2 n
|| X || p ( | xi | ) , (1 p )
i 1
n || X || C 则 是 中的范数,称为 p -范数.
p
n
p
1 p
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例3
2 1 A 0 4
1 2 F
求 A , A , A , A
解:
A 5,
1
A 4,

A ( A A) 4.1594,( 3.7, 17.3)
1 2 n
|| X || max | x |
1 i n i
n || X || 则 是 C 上的一种范数, 称为 -范数.

可以证明, || X || 满足向量范数的定义.

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Fribonius范数: 设 A C , 定义
nn
|| A ||F ( | aij | )
2 i 1 j 1
n
n
1 2
称 || A || 为
F
A
的Frobeius范数.
简称为F-范数. 注: 为向量2-范数的自然推广!
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② a R, 都有
|| aX || ((aX ) A(aX ))
T A
2 T 1 2
1 2
(a X AX ) | a | || X ||A
③ 因为 A正定, 所以存在矩阵 B 使
A B B
T
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A 2 2 2
A
2
|| BX || || BY || || X || || Y ||
A
由知① ② ③ || X || 是向量范数.
A
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T A 1 2
数或椭圆范数). 证明 ①X R , X 0 由A正定知 || X || 0
n
A
显然成立.
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2. 几个常见的范数 范数:
X C ,
n
X ( x , x ,, x ) 规定
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注:
C 上的任意两个范数 || X || ,|| X || 等价
n
a b
即
c , c R , s.t .X C , 有
n 1 2
c || X || || X || c || X ||
1 b a 2
b
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X V ,有一个实数|| X || 与之对应, 满足:
①正定性: || X || 0, 且 X =0 X =0,X V ; ②齐次性:
|| aX ||| a | || X ||, a C , X V ;
③三角不等式： || X Y |||| X || || Y ||, X ,Y V . 则称 || X ||是 V 中向量 X 的范数,
p
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定理 p -范数 || X || , 取 p 1, p 2, p 即得1 -范数, 2 -范数及 -范数.
证明
设
p 1, p 2 时结论显然.
p
1 2 n
以下看
情况.
n k i i
X ( x , x , , x ) C , X 0, | x | max | x | 0
20
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注:
C 上的任意两个范数 || A || ,|| A || 等价,
nn
a b
即
c , c R , s.t .A C , 有
p p 1 i n i
记为 || X || lim || X || max | x |
p p 1 i n i
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p 1 p
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|| A || p ( | aij | )
i 1 j 1
——矩阵的p-范数 2.几个常见的方阵范数 1-范数:
|| A || 1 max | a | ij 1 j n
i 1
n
即 A 的各列向量的1-范数的最大值, 称为列范数.
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向量范数
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1. 定义: V是 n维复数域C上的线性空间,
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1-范数：
X C , X ( x , x ,, x ) 规定
n 1 2 n
|| X ||1 | xi |
i 1
n
则|| X || 是 C 上的范数, 称为 1-范数.
n
1
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矩阵范数
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1. 矩阵范数的概念
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定义1
AC
nn
, 规定一个非负实函数,
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2-范数: 定义 设 A , A 的所有特征值 , ,,
nn 1 2
n
的模最大者称为 A 的谱半径，记作 ( A) . 称