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5-3 向量范数和矩阵范数的相容

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范数

范数

‖Ax‖≤‖A‖‖x‖
则称矩阵范数‖A‖与向量范数‖x‖相容.
Frobenius范数:
|| A ||F
| a ij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i 1 j 1
n
n
|| 可以证明,对方阵 A R nn和 x R n 有: ， Ax ||2 || A ||F || x ||2
|| A || 1

② ( I A)1 A( I A)1 ( I A)( I A)1 I
( I A)1 I A( I A)1
|| ( I A)1 || 1 || A || || ( I A)1 ||
§1.5 线性方程组的性态（误差分析）
算子范数 ( operator norm ),又称为从属的矩阵范数: 由向量范数 || · p 导出关于矩阵 A Rnn 的 p 范数: ||
利用Cauchy 不等式 则 || AB ||p || A ||p || B ||p || Ax ||p || A ||p max max|| Ax ||p y | ||x || || y || |x 2 2 x 0 || x|| p 1 || x ||p || Ax || || A || || x ||
如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立，
那么,称向量x*是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的.
定理1.4.2 对任意一种向量范数‖· ‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x*的充分必要条件是
lim || xk x || 0
* k
矩阵范数 ( matrix norms )
2 2 || A || 1,|| B || 1,|| AB AB 2 2 || AB |||| A |||| B || 从而

第五章--向量范数和矩阵范数

第五章--向量范数和矩阵范数
圆范数。
当 x 时，|| x ||A 0 ；当 x θ 时由 A 对称
正定知 xH Ax 0 ，即 || x ||A 0 。
对于任意 k C ，有 || k x ||A (kx)T A(kx) | k | xT Ax | k | || x ||A
由于 A 为Hermite正定矩阵，故存在酉矩阵 U ，使得
|| x ||2
| x1 |2 | x2 |2
| xn |2
定义的|| ||2 是 F n上的向量范数，称为2-范数或 l2
范数，也称为 Euclid 范数。
例 7 对任意 x ( x1, x2, , xn) T F n，由
|| x ||p
1/ p n
| xi |p , p 1
i1
定义的|| ||p 是 F n 上的向量范数，称为p -范数或 lp
UT AU Λ diag( λ1, λ2, , λn)
这里 A 的特征值 λi (i 1, 2, , n) 都为正数。
从而有
A UΛUT U Λ Λ UT BT B
此时
|| x ||A xT Ax xT BT Bx (Bx)T Bx || Bx ||2
因此对任意 y C n ， || x y ||A || B( x y) ||2
数 || A || 表示对于任意向量 x F n ， A 可以 “拉伸”向量 x 的最大倍数，即使得不等式
|| A x || C || x || 成立的最小的数 C 。称 || A || 为范数 || || 和 || ||
j1
n
| xj
j1
yj |; yj |;
yj |;
1
yj |m m;
以及与椭圆范数类似的Mahalanobis距离：

向量与方阵的范数

向量与方阵的范数

x2 L xn ) ∈ R n ， n 维向量空间 R n 上常用的向量范数有：
T
2 2 2
（1） ．2-范数： || x || 2 = x1 + x 2 L + x n ； （2） ．1-范数： || x ||1 =| x1 | + | x 2 | + L + | x n | ； （3） ． ∞ 范数： || x ||∞ = max{ xi }；
− A → 0 (k → ∞) 。
练习
⎛ 2 − 4⎞ ⎛ 1 ⎞ 1．设 A = ⎜ ⎟，x = ⎜ ⎟ 。求： x 1 ， x 2 ， x ∞ ， A 1 ， A 2 ， A ∞ 。 ⎜1 − 3⎟ ⎜ − 2⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
2．设 A 是 n × n 矩阵，证明： n −1 A 2 ≤ n
−1 2
1≤i ≤ n
（4） ． p -范数： x
p
=
p
x1 + L + xn
p
p
。
可以证明，它们满足定义 1 中的三条性质。 例1 解：
|| x || 2 = 12 + ( −3) 2 + 0 2 + 2 2 = 14 ；
计算向量 x = (1 − 3 0 2 ) 的 2-范数，1-范数， ∞ 范数和 4-范数。
n
1≤ j ≤ n
（1）1-范数： A 1 = max ∑ aij ；
i =1
（2） ∞ 范数： || A || ∞ = max ∑ aij ；
1≤i ≤ n j =1
n
（3）2-范数： || A || 2 = λ max ， λ max 为 AT A 的最大特征值； （4）Frobenius 范数： || A || F =

向量范数与矩阵范数的相容性

向量范数与矩阵范数的相容性

x v 1
v
例3 证明由n维向量的1-范数， ∞-范数和2-范数
所诱导的算子范数分别是(设A=(aij)n×n)
n
(1)
A
1

max j
i 1
aij
为从属于向量1 – 范数的矩阵范数
列模和之最大者：列和范数
n
(2)
A


max i
j 1
x
F
2
因此，可以用||A||F来刻画变换A 的结果。
对于给定的某种向量是否一定存在与它相容的矩阵 范数？
任意一个矩阵范数都有与之相容的向量范数吗？
从属于向量范数的矩阵范数
定理1 给定C n 上的向量范数 v ，ACnn 定义
Ax A max v
x x v
则
是Cnn上与向量范数
aij
2
2

与向量范数
证明：设 A (aij ) C n，n x 1,2 , ,n T C n
Ax 2
n i 1
a n
2
k 1 ik k

n(
i 1
n k 1
aikk
)2

n (
i 1
a n
k 1 ik
k )2

n [(
i 1
n k 1
aik
2 )(
n k 1
k
2
)]

n i 1
a n
2
k 1 ik
n
2
k1 k
A x
F
2
||A||F 与 ||x||2 相容的性质反映了 ||A||F 是像 Ax 的2-范 数 ||Ax||2 与原像 x 的2-范数之比的最大值，即

矩阵范数理论及其应用

矩阵范数理论及其应用

第四章 矩阵范数理论及其应用知识要点：1、向量范数及其性质（范数与赋范空间，n 维向量的1-范数1x 、2-范数2x 、p -范数px 和∞范数x∞，pp lim xx ∞→∞=，aP a xPx =，2H H PxPx x P Px ==，有限维赋范空间的范数是等价的）2、矩阵范数及其相容性（Frobenius 范数，FEn =，相容性：AB A B ≤，1E ≥）3、算子范数（定义，列范数，行范数，谱范数）4、矩阵范数的应用（矩阵序列及幂级数的收敛性，矩阵条件数，摄动理论、矩阵的谱半径）§4.1 向量范数及其性质一、范数与赋范线性空间定义1：如果线性空间V 中的任一向量x ，都对应—个实值函数()f x （记为x ），并满足以下三个条件（称为范数公理）：(1)非负性：0x ≠时, x ＞0；0x =时, x =0。

(2)齐次性：ax =a x ,a K ∈，x V ∈。

(3)三角不等式：x y +≤x +y ，,x y V ∈。

则称x 为V 上向量x 的范数（norm ），V 称为赋范线性空间（normed linear space ）。

易证x y -满足距离公理，称之为x 与y 的范数诱导的距离。

若0n x x -→，则称nx 收敛于x ，记为n x x →。

例1：对于连续函数空间[,]C a b 中的向量()f x ，可如下定义范数为：1()()baf t f t dt =⎰，()max ()a t bf t f t ∞≤≤=，1()()bpppa f t f t dt ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰，1p ≤<∞。

分别称之为1-范数，∞-范数，p -范数。

注：需要用到数学专业的一些函数不等式，才能证明上述范数的正确性。

性质1：对于赋范线性空间V 上任意的x ，定义实函数()f x x =，则()f x 为V 上的连续函数，即0x x →时，0()()f x f x →，其中0x V ∈。

向量和矩阵的范数

向量和矩阵的范数

|| k Ax || | k ||| Ax || 2) || k A || max max | k ||| A || x0 x0 || x || || x || || Ax || 3) 由 || A || max ，则 || Ax |||| A |||| x || x R n x 0 || x || 于是 || ( A B ) x || || Ax Bx |||| A |||| (|| A || || B ||) || x ||
法则对应于一非负实数 ||
n
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
设向量x ( x1 , x2 ,..., xn )T || ||
x || | x |
1 i 1 i
n
x || || x ||
( | xi | ) ( x, x) ( xT x) 2
i 1
3.5 病态方程组与矩阵的条件数
例3.5.1 设线性方程组 0.99 x1 1.99 1 0.99 0.98 x 1.97 2 试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生 什么样的变化 ? 解 该方程组的精确解为x (1,1)T 。

||
Hale Waihona Puke x ||2 n ||
x ||

1 例如 : || n
1 n x ||1 | xi | || n i 1
x ||

max{| xi |} | xi |
1i n i 1
n
向量的收敛性
定义3.4.2 设R n中一向量序列{ x ( k ) }( k 1,2,...), 其中 (i 1,2,..., n)

矩阵范数理论及其应用

矩阵范数理论及其应用
1
n 2 2 x k k E ，成立着 A x k B x 。 k 1 k 1
证明： x

k 1 k
n
k
0 时，令 y
x

k 1
n
， f (1 , 2 ,
2 k
, n ) y ，则 f (1 , 2 ,
p p
n 定理 1：对于 n 维向量 x C ， lim x
x 。
注：几何意义上，向量 PQ 的 2-范数、 ∞-范数和1-范数分别是斜边 PQ 长度、直角边 PR 长 度以及两直角边 PR 和 RQ 的长度之和。
三、范数的等价性
定义 3：对任意 x V ，满足不等式 C1 x

x
j 1
设 A ( aij ) C
n
n n
， x (1 , 2 ,
, n )T C n ， 令 Ax y (1 ,2 ,
,n )T ， 其 中
,n。 i a i j j， i 1, 2,
j 1
Ax

y

max i max aij j max ( aij j ) x max aij 。
中范数，且 P, Q C
F
都是酉矩阵，则
n n
PA
F
AQ
F
A F ，即给 A 左乘或右乘以酉矩阵后其
值不变 (在 A R
时P 和
Q 都是正交矩阵 )。
证明： PA
F
[tr ( AH P H PA)] 2 [tr ( AH A)] 2 A F 。
1
1
由 A
F
( aij )

向量范数与矩阵范数

向量范数与矩阵范数
(2) 对任意的数 k∈R，有
kA max kAx k max Ax k A .
x 1
x 1
(3) 对任意的n×n矩阵 A 和 B, 有
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max Ax Bx x 1
max Ax max Bx A B
正定性三角不等式积的范数小于等于范数的积矩阵范数与向量范数的相容性定义给定向量范数和矩阵范数如果对任和任意的nn矩阵a它们总满足则称所给的矩阵范数与向量范数是相容的
§1.3 向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对 Rn 中 向量或 Rn×n 中矩阵的“大小”引进某种 度量----向量或矩阵的范数。向量范数是 三维欧氏空间中向量长度概念的推广，在 数值分析中起着重要作用。
1.3.1 向量范数
向量的范数是刻画向量大小的量, 又叫向量的模.
❖定义 Rn 上的实值函数‖·‖称为向量范数，如果 对任意的 x, y∈Rn, 它均满足下列3条性质:
(1)正定性: || x ||,且 0 x 0;|| x || 0
(2)齐次性:对 k ,有R
|| kx |;|| k | || x ||
以及
A. F
解 x | 3| | 5| |1| 9, 1
x 32 (5)2 12 35 2
x max{| 3|,| 5|,|1|} 5,
|1| | 2 | | 3 |,
A
1

max

|
5
|

|1|

|
8
|,

2.2-2 矩阵范数与向量范数的相容性

2.2-2 矩阵范数与向量范数的相容性

矩阵论/矩阵分析视频公开课武汉理工大学理学院统计学系金升平本视频内容：矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数矩阵范数与向量范数的相容性的概念，为矩阵与向量的联合起来进行分析，提供了理论保障“矩阵范数诱导的向量范数”将告诉我们：对于任意矩阵范数，都可找到与之相容的向量范数二、矩阵范数与向量范数的相容性1. 矩阵范数与向量范数的相容性定义3,v m v Ax A x ≤⋅则称矩阵范数∙m 与向量范数∙v 相容.设∙m 是Cn×n上矩阵范数，∙v 是C n上向量范数，如果, ,n nnA Cx C ⨯∀∈∈下标使用的原因：矩阵--m atrix ，向量--v ector定理1(1) 矩阵范数分别与相容；1, m F ⋅⋅12, ⋅⋅(2) 矩阵范数与向量范数相容.m ∞⋅12, , ∞⋅⋅⋅以矩阵范数与向量范数为例证之.1m ⋅1⋅设(),n nij A a C⨯=∈()12,,,.Tnn x x x x C =∈则11111nnnnij j ij i j i j jAx a x a x =====≤∑∑∑∑和的绝对值小于等绝对值之和。

将x j 放大11111.n n ij m i j nk k a x A x ===⎛⎫⎪⎝≤⎭=⋅∑∑∑2. 由矩阵范数诱导的向量范数, .Hnvmx xax C =∈设是上一个矩阵范数，取,0.na C a ∈≠且m⋅n nC⨯定义可以证明，它是上的向量范数，称为由矩阵范数nC ∙m所诱导的向量范数.事实上，(1) 正定性：当0≠x ∈C n时，xa H≠OHvmxxa =>而当x =0Hxxa ==（2）齐次性：当时，C λ∈HHvvmmxxaxaxλλλλ===（3）三角不等式：()HH Hv mmx y x y axa ya+=+=+HHmmxaya≤+v vx y=+定理2Cn×n上任意一矩阵范数∙m与它所诱导的向量范数∙v 相容.()Hv mAx Ax a=证明只需证相容性即可()HmA xa=()Hm mA xa≤m vA x=See you next time武汉理工大学理学院统计学系金升平矩阵论/矩阵分析视频公开课矩阵范数与向量范数的相容性矩阵范数诱导的向量范数（完）下一讲内容：向量范数诱导的矩阵范数。

向量与矩阵的范数

向量与矩阵的范数

那么
n
X X H *
xi
X 1
i 1
矩阵旳谱半径及其性质
定义：设 A C mn ，A 旳 n 个特征值为 1, 2, , n ，我们称
( A) max{ 1 , 2 , , n }
为矩阵 A 旳谱半径。 例 1 ：设 A C mn ，那么
( A) A
这里 A 是矩阵 A 旳任何一种范数。
F
F
于是有
AB A B
F
F
F
例 4 ：对于任意 A C nn ，定义
A
[Tr
(
AH
A)]
1 2
证明如此定义旳 A 是矩阵 A 旳范数。
证明： 首先注意到这么一种基本事实，
即
[Tr( AH
1
A)] 2
(
m
n
aij
2
)
1 2
i1 j1
由一种例题可知此定义满足范数旳性质。
Frobenious范数旳性质：
(1)' n
1
(2)' n
2
1
2
(3)' n
2
引理（Hoider不等式）：设
a1, a2, , an T , b1, b2, , bn T Cn
则
n
n
aibi (
ai p ) 1 p ( n
bi
q)
1 q
i 1
i 1
i 1
其中 p 1,
q1 且
1p
是矩阵范数。
证明：非负性，齐次性和三角不等式轻易 证得。目前我们考虑乘法旳相容性。设
A C nn , B C nn ，那么
n
n
AB

向量与矩阵范数

向量与矩阵范数

向量与矩阵范数在欧氏空间与酉空间中，我们通过向量的内积定义了下列的长度，对于一般的线性空间，能否引入一个类似于长度而又比其更广泛的概念呢？这就是范数的概念。

向量范数与矩阵范数是应用非常广泛的重要概念，从范数可导出向量与向量，矩阵与矩阵之间的距离，进而引进向量序列和矩阵序列收敛性问题.它是矩阵分析与计算的基础.§1 向量范数定义1．1 设V 是数域()或C R 上的线性空间，如果对于任意V ∈x 按照某种法则对应于一个实数x，且满足：1） 非负性0≥x .当且仅当=x 0时，0=x ； 2） 齐次性k k =x x；3） 三角不等式 对任意,V ∈x y 总有，+≤+x y x y；则称实数x为线性空间V 上向量x 的范数.简称向量范数.定义了范数的线性空间V 称为赋范线性空间.由定义1.1可以看出，向量范数是定义在线性空间上的非负实值函数，它具有下列性质：（1） 当≠x 0时，11||||=x x ；（2） 对任意向量V ∈x ，有||||||||-=x x ；（3）||||||||||||||y -≤-x y x ； （4）||||||||||||||y -≤+x y x .性质（1）与（2）是显然成立的，下面证明性质（3） 因为||||||||||||||||=-+≤-+x x y y x y y ， 所以||||||||||||-≤-x y x y .同理可证||||||||||||||()||||||-≤-=--=-y x y x x y x y ， 即||||||||||||-≥--x y x y .综上有||||||||||||||y -≤-x y x .若用y -代替性质（3）中的y ，便得到性质（4）.n C 上最著名的范数是p 范数，也称赫尔德（hölder ）范数11()nppi pk x ==∑x，T 12(,,,)n n x x x =∈x C .这里1p ≤<∞，其中最常用的是1,2p =时的p 范数，即11nik x ==∑x ；12221()ni k x ==∑x 。

范数

范数

几个常见的矩阵范数
设
A aij
m n
C mn
max aij
1 j n i 1 m
1-范数： A
1
（最大列和）
T A ( AA ) max 谱范数： 2
大的 特的征值的 AAT 的最大特征值的平方根
aij （最大行和） ∞-范数：A max 1i n j 1
向量范数与矩阵范数
为了研究线性方程组近似解的误差估 计和迭代法的收敛性，我们需要对Rn中 向量或Rn2中矩阵的“大小”引进某种度 量——范数。
向量范数
定义 设V是数域P上的线性空间，若对于V 中的任意向量α，都有一非负实数ǁαǁ与之 对应，并且满足下列三个条件： （1）正定性：当α≠0时，都有ǁαǁ>0; 当且仅当α=0时， ǁαǁ=0； （2）齐次性：对任意kϵP,有ǁkαǁ=│k│ǁαǁ；
即有 则 Ax
2）
A max
x0
0
A =0， ，若 x ， 可得A=0；
Ax 0
kA max
x0
kAx x
max
x0
k Ax x
k A；
nn A B R 3）对 有： A B x
A B max
x0
x
Ax Bx max x x
2
i 1
而且，由 x 2 1 ，得
n n i 1 i 1
2 a i 1 i 1
n
n
这样，AH Ax AH A ai x (i ) ai AH Ax (i ) ai i x (i )
i 1
由此，
n n (i ) Ax 2 x, A Ax ai x , ai i x ( i ) i 1 i 1 n 2 2 2 2 1 a1 2 a2 n an 1 ai 1 i 1 2 H

第5章-3向量、范数、欧式范数等

第5章-3向量、范数、欧式范数等
5. (Cauchy-Schwarz不等式)
(x, y) ≤ x 2 ⋅ y 2,
等号当且仅当 x与 y 线性相关时成立； 6. 三角不等式
x + y 2 ≤ x 2 + y 2.
3
向量的欧式范数可以看成是对 Rn中向量“大小”的一 种度量. 也可以用其他办法来度量向量的“大小”. 例如，对于 x = (x1, x2 )T ∈R2 , 可以用一个 x的函数
Rn 或 n 设 x, y∈ （ C ), 则
1. (x,x)=0,
当 仅 x=0 时 立 且 当 成 ；
2
2. (αx, y)=α(x, y), α为 数 实 , (或(αx, y)=α (x, y), α为 数 ； 复 ）
3. (x, y) =( y,x)(或(x, y) =( y,x));
4. (x1 + x2, y) = (x1, y) + (x2, y);
f (x′) = m f (x) = c1, in
x∈ S
′ f (x′ ) = m f (x) = c2. ax
x∈ S
设 x ∈R 且 x ≠ 0, 则
n
x ∈S, 从而有 x∞
x ≤ c2 , c ≤ f 1 x ∞
（5.3）
显然 c1, c2 > 0, 上式为
12
1. x ≥0 ( x =0 当 仅 x=0 ) ( 正 条 ） 且 当 定 件 ，
2. αx = α ⋅ x , ∀ ∈Rn (或 ∈ n ), α α C
3. x+ y ≤ x + y (三 不 式 ， 角 等 ）
（5.1）
则称 N(x)是 Rn (或 Cn )上的一个向量范数(或模). 由(3)

研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数

研究生数值分析(2)向量范数与矩阵范数

我们用其度量向量 X (x1, x2, x3)T 的“大小”。
实质上向量范数 X 是一个实值函数， 它满足如下3个条件： (1非负性). 对任意 X R3 ，都有 X 0
当且仅当 X 0 X 0
(2齐次性). 对任意 a R 和向量 X R3 ,
aX a X
(3三角不等式). 对任意 X ,Y R3 , 都有
n
X 2 2
xi
2
n max{
x1 2 ,
x2 2 ,, xn 2} n
X
2
i 1
即有 X n X ，故有 X X n X
2


2

例5 设
X (1, 2, 3)
，求
X ,X ,X
1
2

解：由向量 X 的1，2， 范数定义
X 1 2 3 6 1
X r X 0
rr
r
证毕。
常用的3种算子范数的定义与算式为：p10-11
AX
n
1―范数（列模）
A max
1
X 0
X
1 1
max 1 jn
i 1
aij
2―范数（谱模）
AX
A max 2
X 2
X 0
max ( AT A)
2
∞―范数（行模）
AX
n
A max

X 0
X (1)2 22 (3)2 14 2
X max{ 1 , 2 , 3} 3
(2) 矩阵的范数
定义2 设 N(A) A 是定义在 Rnn 上的实值函数， 如果它满足4个条件：

关于范数的理解或定义

关于范数的理解或定义

I 、向量的范数向量x ∈R n的范数f(x )是定义在R n空间上取值为非负实数且满足下列性质的函数：1对于所有的x ≠ 0,x ∈R n有f(x )>0; (非负性） 2 对于所有的α∈R 有f(αx ）=αf(x ); （正齐性） 3对于所有的x,y ∈R n有f(x+y )≤f(x )+f(y ). （三角不等式）一、 一般情况下，f(x )的具体模式如下：p x = p ni pix 11)(∑=，p 1≥ 也称它为p-范数。

下证p-范数满足上述的三个性质：1、对于所有的x ∈R n，x ≠ 0，p ni pix 11)(∑=显然是大于0的，故性质1 成立。

2、 由pxα = pni pix 11)(∑=α = αp ni pi x 11)(∑= = αp x 知性质2 成立。

3、欲验证性质3，我们的借助下列不等式：设p>1,q>1,且p 1 + q1 = 1，则对所有的0,≥βα有αββα≥+qpqp证：考虑函数p tptt -=1)(ϕ，因为)1(1)(11'-=-p t pt ϕ，由()t 'ϕ=0 t=1,又因为01)1(''<-=pqϕ，所以当t = 1的时候)(t ϕ取最大值，则有：p p ttp111-≤-， 令t = q pβα,代入可得： q p p q ppq p1111=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛βαβα, 化简之后即得： αββα≥+qpqp证毕！又令∑=)(1i px x piα，∑=)(1i qy y qiβ，代入上不等式可得：∑∑+)()(iq i i p iy y x x qqpp∑∑≥)()(11y x yx i qi pqpii，两边同时对i 求和，并利用关系式p 1 + q1 = 1可知：∑∑≥+=∑∑∑∑∑)()(11)()(1y x yx y y x x i qi piq i ip i qpiiqqpp从而有：∑∑≤∑)()(11y x y x i qi pqpii另一方面，又有：∑+∑++=-yx y x y x iip pi i ii 1)(1y x y x ii p ii +≤∑+-yy x x y x ip ip i i i i ∑+∑+--+=11()()()()()()∑∑-+∑∑-≤++y y x x y x ipiiq p ipiiq p pqpq111111()()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑-=+∑+y x y x ipip piiqp pq1111()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∑∑=+∑+y x y x ipip piippq111 左右两边同时除以()∑+y x iipq1得：()()()∑∑≤∑++y x y x ipipiip ppp111。

第五章 向量与矩阵的范数

第五章 向量与矩阵的范数

A
F
= ( ∑∑ aij )
2 i =1 j =1
X
2
= ( ∑ xi )
i =1
n
2 12
= (X X )
H
12
根据Hoider不等式可以得到 不等式可以得到 根据
AX ≤
m 2 2
=
n
∑ ∑
i =1
m
n
2
j =1
a ij x
n
j
≤
2 j
∑
m
i =1
( ∑ a ij x j ) 2
j =1
n
∑ [( ∑
AB = n max
i, j i ,k
∑a
k =1 k, j
n
ik kj
b ≤ n max ∑ aik bkj
i, j k =1
n
≤ n ⋅ n max aik max bkj = n max aik ⋅ n max bkj
i ,k k, j
= A B
因此 的范数。 A 为矩阵 A 的范数。
例3
p
= ( ∑ ai )
p i =1
n
1
p
∑a
i =1
n
i
（2）2－范数 ） －
α 2 = ( ∑ ai ) = (α α )
2 12 H i =1
n
12
也称为欧氏范数。 也称为欧氏范数。 欧氏范数 （3）∞ －范数 α ∞ = lim α ） p →∞ 定理
p
α
∞
= max ai
1≤i ≤ n
证明 令
第五章
向量与矩阵的范数
定义： 定义： 设 V 是实数域 R （或复数域 C ）上 维线性空间， 的 n 维线性空间，对于 V 中的任意一个向量 α 按照某一确定法则对应着一个实数，这个 按照某一确定法则对应着一个实数， 范数， 实数称为 α 的范数，记为 α ，并且要求 范数满足下列运算条件： 范数满足下列运算条件： （1）非负性：当 ）非负性： 有且仅有当 α = 0, （2） 齐次性： ） 齐次性： 意数。 意数。

范数及条件数

范数及条件数

(i 1, 2,L , n) 称
i
(A) max i 为A的谱半径。 1in
定理：(A) A , A 为 A 的任意矩阵范数
( Ax x x , Ax A x x A x A (A) A )
例：设A = (aij)nn，||A||为其算子 范数，如果||A|| < 1,则 I – A可逆，
x 1
x 1
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1
x 1
x 1
A B.
矩阵的范数性质（续1）
4，对任意n维非零向量x,
有 Ax A 即 Ax A x . x
故有 AB max ( AB)x max A(Bx)
x 1
x 1
max A Bx max A B x
1
A 为矩阵的谱范数或欧几里德范数。 2
推论 设A为对称矩阵,则 || A ||2 | max( A) |,
又若A非奇异, 则
||
A1
||2
||
1 m in
(
A)
||。
对称矩阵范数
证明：由AT A知
|| A ||22 max( AT A) max( A2 ) | max( A) |2 所以有 || A ||2 | max( A) |
因为AT
A
2 1
2 2
4
2
1 8
4
10
10
17
由 | I AT A | 8
10 0
10 17
解得1 23.466, 2 1.534，故 || A ||2 23.466 4.844。
1
|| A ||F [22 (1)2 (2)2 42 ]2 5

2.2矩阵的范数

2.2矩阵的范数

§2.2 矩阵的范数我们知道：向量本身可以看作是矩阵，而一般的矩阵又有自身的运算特点，比如矩阵的乘法运算。

因此，我们定义矩阵的范数时需要考虑矩阵的本身的特点，这就有了我们以下要讨论的内容：一、 矩阵的范数1.矩阵范数的定义设||||:m n C R ×→i 是实值函数，若它满足下述三个条件： （1） 非负性：,||||0,and ||||00m n A C A A A ×∀∈≥=⇔= （2） 齐次性：,,||||||||||m n k C A C kA k A ×∀∈∈= （3） 三角不等式：,,||||||||||||m n A B C A B A B ×∀∈+≤+ 则称||||i 为广义矩阵范数，若||||i 还满足下述第四个性质： （4） 相容性：,,||||||||||||m n n l A C B C AB A B ××∀∈∈≤i 则称||||i 为矩阵范数。

注：在相容性的定义中，n l B C ×∈，m l AB C ×∈，实数||||B ，||||AB 的定义规则与实数||||A 的定义规则相同。

2. 矩阵范数的连续性与向量的情况一样，对于矩阵序列而言，它也有极限的概念。

设矩阵序列(){}k A ，其中()k m n A C ×∈，若()k A 的每一个元素()k ij a 均有极限ij a ，则称矩阵序列(){}k A 有极限()ij A a =，或者说(){}k A 收敛到矩阵A ，记作()()lim ()k k k A A A A →+∞=→不收敛的矩阵序列称为发散的。

当然，也可按照范数定义矩阵的收敛性。

即若()lim 0k k A A →∞−=则称(){}k A 在范数||||i 意义下收敛于A 。

由三角不等式，可推知,,m n A B C ×∀∈有||||||||||||||A B A B −≥−。

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的向量范数。 的向量范数。如果对任意的 A ∈ C n×n ( R n×n ), x ∈ C n ( R n ) 都有： 都有： Ax α ≤ A β x α
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则称矩阵范数 A β 与向量范数 x α 是相容的
定理1： 范数和F- 范数分别与 定理 ：在Cn×n上的矩阵 m − 1 范数和 上的向量1–范数和 范数和2–范数相容 定义 在 Cn 上的向量 范数和 范数相容
≤ =
∑ [(∑
n i=1 n
n
k =1
aik )(∑k=1 ξk )]
2 2
∑ ∑
i=1
n k =1
aik
∑
n k =1
ξk
2
= AF⋅ x 2
所以,矩阵的 范数与向量的2 所以 矩阵的F – 范数与向量的 – 范数相容 矩阵的
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定理2： 上的矩阵 m∞ − 上的向量1定理 ： n×n 范数与Cn上的向量 、2 -、 、 C 范数均相容 ∞− 证明： 证明：矩阵 m∞ − 范数与向量∞−范数的相容性
(1), (2),
A = max Ax
x γ =1
γ γ
y = x ⇔ x v =1 令 yv
A = max Ax
x γ ≤1
都是由 • γ 诱导出的算子范数
y = max A y≠0 yv
证(1) A = max
y≠0
Ay v yv
Ay = max y≠0 yv : x v = 1}
v
v
= max{ Department of MathematicsAx v
x≠0
= A+B
Ax v xv
)≥
Ax v xv
Ax v ≤ A x v
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即矩阵范数
⋅
相容， 与向量范数 ⋅ v相容，由于此条件
是矩阵范数定义第4条 相容性） 是矩阵范数定义第 条（相容性）的必要条件
AB ≤ A ⋅ B
• γ 是 C n ( R n ) 上的向量范数 则 定理3: 上的向量范数,则 定理 设
A = (aij ) ∈Cn×n x = (ξ 1 , ξ 2 ,⋯ , ξ n )T ∈ C n 证明： 证明：设 ，
Ax 1 = ∑i=1 ∑k=1 aikξk ≤ ∑i=1(∑k=1 aik ξk )
n n n n
≤ ∑i=1[(∑k=1 aik )(∑k=1 ξk )]
n n n
= (∑i=1 ∑k=1 aik )(∑k=1 ξk )
n n n
= Am x
1
1
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再证矩阵的F 范数与向量的2 再证矩阵的 – 范数与向量的 – 范数相容
Ax 2 =
n
Ax, Ax =
n 2
∑ ∑
n i=1
n 2Leabharlann nk =1 ik k
aξ
2
Cauchy-Schwarz不等式 不等式 n n 2 ≤ ∑i=1(∑k=1 aikξk ) = ∑i=1(∑k=1 aik ξk )
A 是 C n×n ( R n×n ) 上的矩阵范数， x 是C n ( R n ) 上的矩阵范数， 若
(R 上的向量， Ax 仍是C n ( R n )上的向量， 上的向量范数， 上的向量范数，由于
所以： 所以： Ax ≤ A x
n× n n× n n n x 定义1:设 上的矩阵范数， 定义 设 A β 是C ( R ) 上的矩阵范数， α 是 C ( R )上
A = max
x≠0
Ax v xv
相容的矩阵范数， 则 ⋅ 是Cn×n上与向量范数 ⋅ v相容的矩阵范数， 导出的算子范数 从属于向 算子范数或 称 ⋅ 为由向量范数 ⋅ v 导出的算子范数或从属于向 量范数 ⋅ v的矩阵范数 证明：在证 ⋅ 是矩阵范数的过程中，很容易证得 证明： 是矩阵范数的过程中， 其绝对齐性和正定性， 其绝对齐性和正定性，下面只证 ⋅ 满足三角不等 式和相容性。 式和相容性。
定理4: 定理 (1) 设A = (aij )∈Cn×n ，则:
A 1 = max ∑i=1 aij
n j
列模和之最大者： 列模和之最大者：列和范数
从属于向量 范数的矩阵范数 向量1 为从属于向量 – 范数的矩阵范数 (2)
A ∞ = max ∑j=1 aij
n i
行模和之最大者： 行模和之最大者：行和范数
为从属于向量2 为从属于向量 – 范数的矩阵范数 (3) A = λM 2
λM = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
谱范数
为从属于向量 ∞−范数的矩阵范数
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证明: 证明 令
A 1 = max
x≠0
Ax 1 x1
Ax v xv
A 2 = max
2 2
AV 2 = V H AH = AH = A 2
UAV 2 = AV 2 = A 2
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3. 当A是正规矩阵时，存在 阶酉矩阵 ，使得 是正规矩阵时， 阶酉矩阵U， 是正规矩阵时 存在n阶酉矩阵
U H AU = diag(λ1 λ2 ⋯ λn )
AH
2
的 个特征 λ2 ⋯ λn 是A的n个特征 1 值，则 A 2 = max λk k
λM = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
′ λM = max{λ :det(λI − AAH ) = 0}
′ = λM
( AH A)H = AH A
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(U H AU)H = U H AHU = diag(λ1 λ2 ⋯ λn )
(U H AU)H (U H AU) =U H AHUU H AU =U H AH AU
= diag(λλ1 λ2λ2 ⋯ λnλn ) = diag( λ1 1
A 2 = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
x≠0
Ax 2 x2
A ∞ = max
x≠0
Ax ∞ x∞
A = max
x≠0
A = max{ Ax v : x v =1 }
取 x 1 =1，得 A 1 = max ∑i=1 aij j
n
Ax 1 x1
≤ A1
Ax 2 x2
Ax ∞ x∞
≤ A 2 取 x 2 =1 ， 得
A 2 = max{λ :det(λI − AH A) = 0}
≤ A ∞ 取 x =1，得 ∞
A ∞ = max ∑j=1 aij
n i
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A 2 范数的性质
设 1.
A∈C ， 和 是 阶酉矩阵，则
AH
2
n×n，U和V是n阶酉矩阵，则 和 是 阶酉矩阵，
= A2
A 2范数的酉不变性
2. UA 2 = AV 2 = UAV 2 = A 2 3. 若A是正规矩阵， 是正规矩阵， 是正规矩阵 λ 证明： 证明：1. A = λM 2
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第 五 章
向量与矩阵的重要数字特征
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§5.3 矩阵范数与向量范数的相容性 在矩阵范数中,相容性 尤为重要， 在矩阵范数中 相容性 AB ≤ A B 尤为重要，那么 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？ 矩阵范数与向量范数之间有类似的性质？
1.
m
三角不等式 ∀x, y ∈Cn
m
x + y v = ( x + y)α H
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≤ xα H
m
+ yα H
m
= xv+ yv
2, 绝对齐性 ∀λ ∈C
λx v = (λx)αH
3, 正定性
m
= λ xαH
m
=λ xv
x≠0
x =0
xα ≠ 0
H
x v = xα
= n⋅ max aik ⋅ max ξk
i ,k
∞
k
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= Am ⋅ x ∞
与矩阵范数相容的向量范数的存在性 上的一种矩阵范数， 设 ⋅m 是定义在 Cn×n 上的一种矩阵范数，则在 Cn 上必存在与它相容的向量范数 证明：用构造法证明。 证明：用构造法证明。取定 0 ≠ α ∈Cn ,则 x v = xαH 则 就是 Cn 上与 ⋅ m相容的向量范数。 相容的向量范数。 首先, 上的范数： 首先 证明 ⋅ v 是 Cn 上的范数：
x=
设 ξ1 ξ2
⋮ ξn
∈Cn
A = (aij ) ∈C
n i
n×n
n
Ax ∞ = max ∑k=1 aikξk ≤ max ∑k=1 aik ξk
i
≤ max aik max ∑k=1 ξk
n i,k k
≤ max aik ⋅ n⋅ max ξk
i,k k
AH A 与AAH的非零特征值相同
AH
2
= A2
2. UA = max{λ :det(λI − (UA)HUA) = 0} 2
= max{λ :det(λI − AHU HUA) = 0} = max{λ :det(λI − AH A) = 0} = A2