结构动力学课件—applica

第二章
单自由度 体系模型
运动方程的建立
y (t) c m k F (t)
质量块m，用来表示结构的质量和惯性特性 自由度只有一个：水平位移y(t) 无重弹簧，刚度为 k，提供结构的弹性恢复力 无重阻尼器，阻尼系数c，表示结构的能量耗散，提供结 构的阻尼力 随时间变化的荷载F(t)
cy ky F ( t ) （2-3） m y
12 EI 12 EI cy m y l3 l3 y FP ( t ) 2 1
令： k FS 1 FS 2
12 EI 12 EI 3 3 ；k 为（等效）刚度系数。 l1 l2
y (t) FD FS FI F (t)
平衡方程：
FI FD FS F ( t ) FI m y
惯性力： 根据d’Alembert原理： 弹性力： 等于弹簧刚度与位移的乘积：
FS ky
FD cy
阻尼力： 阻尼力等于阻尼系数与速度的乘积：
由此得到体系的运动方程：
cy ky F ( t ) m y
建立体系运动方程的方法
直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。 虚功法: 根据虚功原理，即作用在体系上的全部力在虚位移 上所做的虚功总和为零的条件，导出以广义坐标表示的运 动方程。 变分法: 通过对表示能量关系的泛函的变分建立方程。根据 理论力学中的哈密顿原理或其等价形式的拉格朗日方程导 出以广义坐标表示的运动方程。
地震作用

惯性力 M点位移
F i m y
y Fi m y
m y 0 y
13.2.1 单自由度体系自由振动微分方程建立
建立方程
1）刚度法：
m
y
y yst yd
k ( yst yd ) m( st d ) W 0 y y
ky
kyst W st 0 y
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
具体例子比较:
y 1.例如设:st 0.4cm, h 10cm

h
则
g 980 49.5rad / s yst 0.4
A 0.42 2 10 0.4 2.86cm
0.4 arctg ( ) arctg 0.141 0.14rad 2 10
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第二类问题：反应分析（结构动力计算）
输入 （动力荷载） 结构 （系统）
输出 （动力反应）
13.1.2 动力荷载的分类
第三类问题：荷载识别
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
第四类问题：控制问题
输入 （动力荷载） 结构 （系统） 输出 （动力反应）
建筑抗震设计原则 结构“小震不破坏，中震可修复，大震不倒塌。”
13.1.3 动力计算的自由度
动力自由度： 确定全部质量的位臵，所需独立几何参数的个数。 这是因为：惯性力取决于质量分布及其运动方向。 例：简支梁：
m
m
E、A、I、 R
m y
(忽略m )
体系振动自由度为？ 无限自由度
忽略轴向变形 忽略转动惯量
13.2.3 结构的自振周期和自振频率

0


P
sin t
计算步骤: 1.求振型、频率;
2.求广义质量、广义荷载;
3.求组合系数;
4.按下式求组合系数;
N
y(t)


Y
i
Di
(t )
i 1
15
例一.求图示体系的稳态振幅.
Psin t
m1 m2 m 3.415 EI / ml3
m1
m2
EI
解:
1 5.692
6
为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所 附加的约束， Ritz 提出了改进方法：
1、假设多个近似振型 2、将它们进行线性组合
1,2 n 都满足前述两个条件。 Y(x) a1 1 a2 2 an n
（a1、a2、·········、an是待定常数）

j
Y T j

2 j

K
* j
/
M
* j
k Y j


2 j
Y
T j
mY j
折算体系
13
一.振型分解法(不计阻尼)
P1(t) P2 (t)
PN (t)
运动方程
m1 m2
mN
my(t) ky(t) P(t)
设
N
y(t) Yi Di (t)
EI
D2 (t)


2 2
D2
(t )

P2* (t)
/
M
* 2
D2 (t)

0.1054
10 2
Pl 3 EI
s in t
例一.求图示体系的稳态振幅.

my cy ky FP (t)
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
➢刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性 元件中）
➢分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成）
➢只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
x
p( x,t
)
=p
)
3
B'
M I1
E'
D'
F' G'
A
D
E
B
F
G
C
fD1
fI1
fS1
f D2
f I2
f S2
a
2a
a aa a
Z(t )
f S1
k1(EE')
3 4
k1Z (t )
f D1
d c1( dt
DD')
1 4
c1Z (t )
fS2
k1(GG')
1 3
k2
Z
(t
)
fD2 c2Z (t)
f
I1
m1
1 2
Z(t)
3. 有限单元法
—— 将有限元法的思想用于解决结构的动力计算问题。
要点：
▪ 先把结构划分成适当（任意）数量的单元；
▪ 对每个单元施行广义坐标法，通常取单元的节点位移作 为广义坐标；
▪ 对每个广义坐标取相应的位移函数 （插值函数）；
▪ 由此提供了一种有效的、标准 化的、用一系列离散坐标 表示无限自由度的结构体系。
建立体系运动方程的方法
▪ 直接平衡法，又称动静法，将动力学问题转化为任一时刻 的静力学问题：根据达朗贝尔原理，把惯性力作为附加的 虚拟力，并考虑阻尼力、弹性力和作用在结构上的外荷载， 使体系处于动力平衡条件，按照静力学中建立平衡方程的 思路，直接写出运动方程。

m
EI = ∞
W=2
m m>>m梁 m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m 2I
I
单自由度体系 三个自由度体系
v(t) u(t) θ(t)
三个自由度 水平振动时的计算体系
三个自由度 顶板简化成刚性块
多自由度体系
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
§15-2 单自由度体系的运动方程 15建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法” 虚功法、 建立运动方程的方法很多，常用的有“动静法”、虚功法、 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法” 变分法等。下面介绍建立在达朗泊尔原理基础上的“动静法”。 m
P(t )
&&(t ) y
m&&(t ) = P(t ) y
运动方程
m
P(t )
一、柔度法
− m&&(t ) y
惯性力 && 柔度法步骤： 柔度法步骤(t ) f I = −my ： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； P(t ) + [−m&&(t )] = 0 y 2.求外力和惯性力引起的位移； 形式上的平衡方程， 形式上的平衡方程，实质上的运动方程 3.令该位移等于体系位移。
∆
δ 11
P (t )
柔度法步骤： 柔度法步骤： 1.在质量上沿位移正向加惯性力； 2.求外力和惯性力引起的位移； 3.令该位移等于体系位移。
三、列运动方程例题 例3.
&& my + ky = P(t )
P(t )
P(t )
m
EI1 = ∞

§14-1 概 述
一、结构动力计算的特点 动力荷载作用下，结构将发生振动，各种量值均随时间而变化。
1、内容： （1）研究动力荷载作用下，结构的内力、位移等计算原理和计算方法。 求出它们的最大值并作为结构设计的依据。
（2）研究单自由度及多自由度的自由振动、强迫振动。 2、静荷载和动荷载 （1）静荷载：荷载的大小和方向不随时间变化（如梁板自重）。 （2）动荷载：荷载的大小和方向随时间变化，需要考虑惯性力。 3、特点 (1)必须考虑惯性力。 （2）内力与荷载不能构成静平衡。必须考据惯性力。依达朗伯原理， 加惯性力后，将动力问题转化为静力问题。
动力自由度的确定方法：加附加链杆约束质点位移，最少链杆数即为自 由度
图刚架上有四个集中质点，但只需要加三根链杆 便可限制全部质点的位置。如图e。
自由度=3 或
图示梁，其分布质量集度为m，可看作有无穷多 个mdx的集中质量，是无限自由度结构。
自由度的数目与结构是否静定或超静定无关
§14-2 结构振动的自由度
2、运动方程的解：
方程
y2y0
为一常系数线性齐次微分方程，其通解为
y (t) A 1 co t s A 2sitn
A1和A2为任意常数，可有初始条件来确定。
振动的初始条件为 t 0 时 y y ， 0 ， y y 0
式中y0—初位移， y0—初速度。则有Fra bibliotekA1y0，A2
y0
可得
yy0cots y0si nt
第十四章 结构动力学
§14-1 概 述 §14-2 结构振动的自由度 §14-3 单自由度结构的自由振动 §14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-5 单自由度结构在任意荷载作用下的强迫振动 §14-6 多自由度结构的自由振动 §14-7 多自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 §14-8 振型分解法 §14-9 无限自由度结构的振动 §14-10 计算频率的近似法

ANSYS瞬态动力分析的主要步骤有7步： (1) 模型建立和网格划分(前处理) (2) 建立初始条件 ANSYS中可以施加三种初始条件：初始位移、初始速度和初始加速度。 GUI：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Initial Condit’n>Define (3) 设定求解器及其参数 该步骤中可以求解器和其他参数，如求解选项、非线性选项和高级非线性选项。 GUI：Main Menu>Solution> Analysis Type>Sol’n Control (4) 设定求解的其它选项参数 该步骤中可以设置应力刚化效应、牛顿-拉普森选项、蠕变选项、输出控制等，另 外还包括预应力、阻尼和质量阵。 ①预应力影响：ANSYS中允许包含预应力 命令：PSTRES GUI：Main Menu>Solution>Unabridged Menu>Analysis Type>Analysis Options ②阻尼选项：在瞬态动力学分析中设置如下几种阻尼有材料阻尼(MP,DAMP)和单 元阻尼(COMBIN7等)，其中材料阻尼施加方法如下。 命令：MP,DAMP
一般而言缩减法比完全法，所需要的计算时间及计算机内存 会大大减少。但它的缺点主要有两个方面：(1) 缩减法只适用 于线性分析，因为它控制方程式假设式是线性的；(2) 缩减法 是针对线性静力分析的问题而发展出来的，对线性静力分析 而言是一个很好的方法，并没有引进任何假设，所以不会引 进任何额外的误差。但是动力学的平衡方程式在静力分析方 程的基础上还需加上惯性力和阻尼力两项，求解过程只是一 个近似的计算。总而言之，缩减法对动学力求解而言是一个 近似的方法，这个方法会产生一定的误差。

中南大学
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17:04
§14-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
结构力学
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是 简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。 F
r
m
F (t) F t
θ t
o
简谐荷载
l/ 2
l/ 2
非简谐性周期荷载
F (t)
例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
o
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17:04
§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。 初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 m （2）结构具有初始速度 Δ st 静平衡位置 （3）上述二者同时存在
yd
结构力学
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
k11
m
FS (t )
yd
W
FI ( t )
1. 不考虑阻尼时的自由振动

由静止状态考虑一个瞬时冲量的影响。dS FE( )d
FE(t)
dS=FE()d
mdy
dy( ) FE ( )d
m
d
t
dy( ) FE ( ) (d )2
2m
0
瞬时激振作用效果就在于使质点在τ时
t
刻产生一个初速度，而初位移为零。质
点作以此初始条件引起的自由振动。
dy(t) dy0 sin(t )
y 0
2
A0
A1
A2
arctan
y0
y 0
A0 ——振幅（amplitude of vibration）
——初始相位角。
总动力位移
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第三节 单自由体系自由振动
1、无阻尼的自由振动 ( ＝ 0 )
T
2
f1 T
称周期（振动一次所需的时间） 称工程频率（单位时间内振动次数）
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第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法
y
Ae
y
t
s
i
n
(dt
)
发现
1/
衰减性振动；
Ae t
2/ 非周期性振动； 3/ 质点两次通过平衡位
o
t
置的时间间隔相等
2
Td d 准周期
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第三节 单自由体系自由振动
3、确定体系阻尼比的方法 ① 阻尼对自振频率的影响.
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第四节 单自由体系受迫振动
1、单自由体系受迫振动的一般解
整个加载过程可以考虑成是由一系列瞬时冲量对同一时

矩阵M和K两边相乘的是同一个振型向量φi时, 它们的乘 积等于一个数:
Mi Mi

Mi 称为广义质量. Ki 称为广义刚度.
i Ki Ki
T
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自测题
一、判断题
1. 动力荷载对结构的影响不仅随时间而变化，而 且使结构产生不容忽视的惯性力。（ √ ） 2. 动力位移总是要比静力位移大一些。（ ╳ ） 3. 多自由度体系， 刚度系数与柔度系数的关系是： kij=1/δij 。 （ ╳） 4. 图示体系作动力计算时，若不计轴向变形影响则为 m 单自由度体系。（ ╳ ）
F F
t 1
自测题
三、考研题选解
1. 在动力计算中，图a、b所示体系的动力自由度分 别为：（ A ）（4分）（西南交通大学1997年）
A. 1，4
(a)
B. 2，3
(b)
C. 2，2
(c)
D.3，4
(d) (d)
(a)
(b)
(c)
提示:用附加链杆法分析，附加链杆分别如图 c、d， 有几个附加链杆，就有几个自由度。
4. 建立运动方程的方法
基本方法是惯性力法，即在体系的各运动质点上加入惯性力并认 为各质点处于瞬时的平衡状态，采用静力学方法列出运动方程。 y ，速 注意，通常取静平衡位置为位移 y的坐标原点，位移 度 、加速度 y 的正方向取为一致。 y
（1）刚度法
FI (t ) Fc (t ) Fe (t ) Fp (t ) 0 (t ) cy (t ) k11 y(t ) Fp (t ) m y
X (1) X (2) X X (n)

1 X (2) X (1) X ( n ) X ( 1 )