卵形曲线计算原理

道路卵形回旋曲线任意点坐标及方位角计算方法本文提出了卵形曲线中缓和曲线段上点位坐标计算方案，推导了其计算过程及公式，并附实例。

对始于高等级道路的平面卵形曲线的测设有重要的指导作用。

高等级公路，特别是高速公路的平面线形设计形式很多，但归根结底，它们都由直线、圆和缓和曲线( 我国《公路路线设计规范》中规定回旋线或称菲涅尔螺旋线为缓和曲线线形 ) 等公路平面线形要素组合而成。

各种平面线形设计形式，如基本形、卵形、 S 形、 C 形等等，对高速公路更加适应汽车转弯时的行车轨迹，消除曲率突变，增进线形美观及行车舒适感、安全感都有极其重要的意义，但同时，也使曲线计算及野外测设更为复杂。

本文针对在高速公路设计实际中出现的卵形曲线，推导了缓和曲线段点位坐标计算方法及公式，为现场测设人员提供了有效的计算方案和测设指导。

一、回旋线的基本特征及坐标计算回旋线上，任意一点的曲率半径ρ与该点至曲线起点的曲线长 l 之积为一常数 ( 图 1) 即ρl =A2(1) 或式中， A 2 为回旋曲线常数，表征回旋曲线曲率变化缓急程度的量，称 A 为回旋曲线参数。

图 11. 回旋曲线上任意一点坐标计算由图 1( 曲线右旋 ) ，取回旋线的起始点 ZH 处的切线方向为 x 轴，法线方向为 y 轴，任意一点的切线方向方位角为缓和曲线角β。

在缓和曲线上对任意一点 P 取微分dl=ρdβdx=dlcosβdy=dlsinβ考虑式 (1) 对β或 l 在区间 [0 ，β］或 [0 ， l ］上积分后有下列关系式成立l 2 ＝ 2A 2 β(2)(3)(4)或者(5)(6) 对于公路平面线形的基本形，其缓和曲线始于直线终于圆曲线，故缓和曲线的曲率半径ρ变化于∞～ R ( 圆曲半径 ) 。

设缓和曲线段长度为 l s, 则(7)(8)2. 回旋线的几何要素见图 1 ，回旋线的几何要素计算公式如下：任意点 P 处的曲率半径 ( 由式 (1) 和式 (2))(9)P 点的回旋曲线长(10)P 点的缓和曲线角 ( 切线方位角，由 (9) 式 )(11)上面导出了当参数分别为β和 l 时的右旋缓和曲线上任一点的坐标和几何要素公式。

基本型曲线及卵形回旋线的中（边）桩坐标、方位角计算基本型曲线一、 基本型曲线的特征在平面线型中有多种多样的曲线形式，由直线—缓和曲线—圆曲线—缓和曲线—直线形式构成的曲线称为基本型曲线。

特征：1、几何特征，基本型曲线中的缓和曲线起始于直线段，终于圆曲线，即 R ρ=∞→。

2、线形特征，缓和曲线段有始有终，具有完整性。

二、 基本参数方程（切支距方程）1、 缓和曲线段：1432222(1)2)!2(43)()n n n s L n RL ----- 1412121(1)1)!2(41)()n n n n s L n RL +----- β=sRL L 22π180（缓和曲线上某点切线方位角）注：笔者给出了按级数展开式的通式，小半径曲线可取至第7项；把β列入参数方程之一，为后续求算边桩用；:L 某点到ZH 或HZ 点的曲线长。

2、 圆曲线段：sin x R q ϕ=+ (1cos )y R p ϕ=-+RL =ϕπ1800β+注：0β:缓和曲线方位角，001802Ls R βπ=；q ：切线增长量； p ：圆曲线内移值；L : 某点至HY 或YH 点的曲线长；ϕ：其实为圆曲线上某点的切线方位角（读者可自己证明）。

三、 坐标及切线方位角计算1、 第一缓和曲线段上的中（边）桩坐标、切线方位角计算 中桩：第一缓和曲线包括ZH —YH 段，先算出切线支距坐标x 、y ，然后通过坐标转换公式转换为大地测量坐标X 、Y 。

公式为：cos sin sin cos ZH ZH X X A A x Y Y A A y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 注：当曲线为左转角时，以y y =-代入计算。

A 为上一交点（角桩）至曲线交点的导线坐标方位角或ZH 点切线方位角；ZH X 为ZH 点横坐标； ZH Y 为ZH 点纵坐标。

()cos ()sin ZH JD H ZH JD H X X S T A Y Y S T A =+-⎫⎪⎬=+-⎪⎭注：JD X 、JD Y 分别为上一交点的横、纵坐标； S 为上一交点至曲线交点的边长； H T 为曲线的切线长边桩：任意中桩之边桩（法线）坐标为：cos(90)sin(90)X X D Y Y D αα⎧=+-⎪⎨=+-⎪⎩左左cos(90)sin(90)X X D Y Y D αα⎧=++⎪⎨=++⎪⎩右右 注：X 、Y 分别为中桩横、纵坐标；D 为中桩至边桩之距离； α为中桩之切线方位角。

高等级公路卵形曲线的计算方法周烨摘要在高等级公路施工过程中，常遇到卵形曲线，而设计单位的出发点不同，中线的解算方法也大相径庭。

本文着重从卵形中线几种计算方法入手，在此基础之上阐述了卵形曲线的测设。

关键词卵形曲线复曲线匝道桥高等级公路卵形曲线是高等级公路、立交桥匝道常见的曲线形式，它由基本的三部分构成：第一圆曲线段、缓和曲线段和第二圆曲线段。

中间段缓和曲线用来连接两个不同半径的圆曲线。

其中线坐标解算方法有如下几种：1 补全缓和曲线我国公路上采用的缓和曲线为辐射螺旋线，夹在两圆曲线中间的缓和曲线为整个缓和曲线的一部分，缓和曲线上任一点半径与该点至该缓和曲线起点的距离乘积为一定值：R×L＝A，假设R1＞R2，可由两圆半径及两圆间的缓和段长ls，求缓和曲线的总长L。

Δl＝L－ls(1)Δl就是夹在两圆曲线间缓和段省去的部分，由YH点补长Δl至o点，以o点为该缓和曲线起点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y轴方向建立坐标系（图1）。

缓和曲线公式（推导过程略）如下：(2)(3)图 1利用x、y值可以求得o—YH弦与x轴的夹角：β＝3δ。

α1为YH点的切线方位角，则ox的方位：α＝α1±β。

o点的坐标可由几何关系求得为（x0，y）。

缓和段上任一点统一坐标可求得：(4)y=yo+xsinα±ycosα(5)2 曲率推算缓和曲线段曲率半径由第一段圆曲线半径R1变为第二段曲率半径R2（假设R1＞R2），则缓和曲线曲率半径变化为：(6)其中ls为中间段缓和曲线长，为求缓和曲线方程，现建立以缓和曲线起点为坐标原点，起点的切线方向为x轴，与之垂直的曲线内侧方向为y 轴的坐标系（图2），设P点为缓和曲线上任一点，距原点的曲线长为l，该点附近的微分弧长为dl，缓和曲线偏角为β，则有dx=dlcosβ(7)dy=dlsinβ(8)图 2由于将其代入上式并进行积分可得缓和曲线方程：(9)(10)中间缓和段统一坐标计算为：(11)xsinα±ycosα(12)Y＝yYHα为曲线YH点切线方位。

几种特殊缓和曲线计算方法X=L－L5÷［40（RL S）2］＋L9÷［3456（RL S）4］－L13÷［599040（RL S）6］＋L17÷［175472640（RL S）8］－L21÷［7.80337152×1010（RL S）10］Y=L3÷［6（RL S）］－L7÷［336（RL S）3］＋L11÷［42240（RL S）5］－L15÷［9676800（RL S）7］＋L19÷［3530096640（RL S）9］－L23÷［1.8802409472×1012（RL S）11］一、概念卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线。

二、卵形曲线坐标计算原理根据已知的设计参数，求出包括卵形曲线的完整缓和曲线的相关参数和曲线要素，再按缓和曲线坐标计算的方法来计算卵形曲线上任意点上的坐标。

三、坐标计算以雅攀高速公路A合同段立交区A匝道一卵形曲线为例，见图一：已知相关数据如下表：1、缓和曲线（卵形曲线）参数计算A1= √（70×50）=59.161卵形曲线参数:A2=(HY2－YH1) ×R1×R2÷(R2－R1)= (271.881－223.715) ×50×75÷(75－50)=7224.900A2=√（7224.900）=84.999A3=√（60×75）=67.0822、卵形曲线所在缓和曲线要素计算卵形曲线长度L F由已知条件知：L F=HY2－YH1=271.881－223.715=48.166卵形曲线作为缓和曲线的一段，因此先求出整条缓和曲线的长度L S，由此找出HZ｀点的桩号及坐标（实际上不存在，只是作为卵形曲线辅助计算用）L M=L S（YH1至HZ｀的弧长）=A2÷R1=7224.9÷50=144.498∴HZ｀桩号=YH1+L M=223.715+144.498=368.213L E=HY2至HZ｀的弧长=A2÷R2=7224.9÷75=96.332或L E=L M－L F=144.498－48.166=96.332卵形曲线长度L F=L M－L E=144.498－96.332=48.166（校核）HY2=HZ｀－L E=368.213－96.332=271.881（校核）以上说明计算正确3．HZ｀点坐标计算（见图2）㈠用缓和曲线切线支距公式计算，缓和曲线切线支距通式：Xn=［（－1）n+1×L4n－3］÷［（2n-2）！×22n－2×（4n－3）×（RL S）2n－2］Yn=［（－1）n+1×L4n－1］÷［（2n-1）！×22n－1×（4n－1）×（RL S）2n－1］公式中符号含义：N——项数序号（1、2、3、……n）！——阶乘R——圆曲线半径LS——缓和曲线长度㈡现取公式前6项计算（项数越多精度越高，可根据工程精度需求取项数），带入公式后计算如下：X=L－L5÷［40（RL S）2］＋L9÷［3456（RL S）4］－L13÷［599040（RL S）6］＋L17÷［175472640（RL S）8］－L21÷［7.80337152×1010（RL S）10］Y=L3÷［6（RL S）］－L7÷［336（RL S）3］＋L11÷［42240（RL S）5］－L15÷［9676800（RL S）7］＋L19÷［3530096640（RL S）9］－L23÷［1.8802409472×1012（RL S）11］公式中L为计算点至ZH ｀或HZ｀的弧长HZ｀：AK0+368.213的坐标从YH1：AK0+223.715推算，L=LS=HZ｀－YH1=368.213-223.715=144.498将L=LS带入公式（1）、（2）得：X=117.1072 Y=59.8839L对应弦长C=√（X2＋Y2）=131.5301偏角a1=arctg（Y÷X）=27°5′0.2″偏角计算用反正切公式，不要用其他公式。

曲线坐标计算一、圆曲线圆曲线要素：α---------------曲线转向角R---------------曲线半径根据α及R可以求出以下要素：T----------------切线长L----------------曲线长E----------------外矢距q----------------切曲差（两切线长与曲线全长之差）各要素的计算公式为：2αtgR T ⋅=︒⋅=180παR L (弧长))12(sec -=αR E （sec α=cos α的倒数）圆曲线主点里程：ZY=JD －TQZ=ZY ＋L ／2 或 QZ=JD －q /2 YZ=QZ ＋L ／2 或 YZ=JD ＋T －qJD=QZ＋q／2（校核用）1、基本知识◆里程：由线路起点算起，沿线路中线到该中线桩的距离。

◆表示方法：DK26＋284.56。

“+”号前为公里数，即26km，“+”后为米数，即284.56m。

CK ——表示初测导线的里程。

DK ——表示定测中线的里程。

Ｋ——表示竣工后的连续里程。

铁路和公路计算方法略有不同。

2、曲线点坐标计算（偏角法或弦切角法）已知条件：起点、终点及各交点的坐标。

1）计算ZY、YZ点坐标通用公式：2）计算曲线点坐标①计算坐标方位角i 点为曲线上任意一点。

li 为i 点与ZY点里程之差。

弧长所对的圆心角弦切角弦的方位角当曲线左转时用“-”，右转时用“+”。

计算弦长②③计算曲线点坐标此时的已知数据为：ZY（x ZY，y ZY）、αZY- i、C。

根据坐标正算原理：切线支距法这种方法是以曲线起点ZY或终点YZ为坐标原点，以切线为X轴，以过原点的半径为Y轴，则圆曲线上任意一点的切线支距坐标可通过以下公式求得：πϕϕϕ︒⋅=-==180,)cos 1(sin R l R y R x 式中利用坐标平移和旋转，该点在大地平面直角坐标系中的坐标可由以下公式求得：式中：α为ZY(YZ)点沿线路前进方向的切线方位角。

5800卵形曲线坐标计算歪哥收集整理50卵形曲线辅助点计算（即完整缓和曲线起点的支距）解算步骤卵形曲线：是指在两半径不等的圆曲线间插入一段缓和曲线。

也就是说：卵形曲线本身是缓和曲线的一段，只是在插入时去掉了靠近半径无穷大方向的一段，而非是一条完整的缓和曲线，计算前只需要把不完整的缓和曲线（也就是卵型曲线）补充完整即可。

在计算小半径的缓和曲线或卵形曲线坐标时,由于切线支距公式取项少而造成计算精度低,现有书中一般介绍也就只有2~4项,为提高计算精度就需要将支距公式多展开几项。

以下计算卵型曲线的完整缓和曲线长支距模型：重在学习掌握解算流程，现在空间里有更好的计算程序。

曲线参数A2=LS×R1×R2÷(R2-R1)=卵形曲线长×小半径×大半径÷（大半径-小半径）在同一段回旋线内,它的参数永远是不变的。

LS=卵型曲线长. （已知）完整缓和曲线长L= A2÷R1=曲线参数÷小半径当L=LS时：代入完整缓和曲线切线支距公式：(式中R均为小半径R1)E=L-L5÷[40（RLS）2]+L9÷[3456（RLS）4]–L13÷[599040（RLS）6]+L17÷[175472640（RLS）8]- L21÷[7.80337152×1010（RLS）10]F=L3÷[6（RLS）] - L7÷[336（RLS）3]+L11÷[42240（RLS）5] - L15÷[9676800（RLS）7]+L19÷[3530096640（RLS）9] - L23÷[1.8802409472×1012（RLS）11] 完整缓和曲线切线角（即两切线交角）L所对应玄长C=√（E2+F2）大半径处偏角P1=tan- 1(F2÷E2)小半径处偏角P3=180- P1-(180- p2)O=小半径处切线方位角（已知）小半径处至完整缓和曲线起点方位角Q=O±P3 (右向取+号；左向取-号)完整缓和曲线（起点）坐标：X=A+CcosQY=B=CsihQ完整缓和曲线（起点）处切线方位角：O=Q+180±p2 (右向取+号；左向取-号)以起点为基点用回旋线编程计算卵型曲线上任意桩号的中边桩点位坐标。

道路测量中缓和曲线中桩坐标计算方法的研究摘要:本文讲解了在利用全站仪进行缓和曲线中桩放样时,缓和曲线的基本形和卵形两种情况下中桩坐标计算的方法。

关键词:缓和曲线、基本形、卵形、中桩坐标计算。

随着全站仪在道路工程施工测量中的普及,传统的中线放样方法逐渐被淘汰。

目前道路工程中线放样时,只要能计算出中线上任意一点的坐标,用全站仪或者GPSRTK的坐标放样功能就可很方便、快捷地完成实地放样。

道路线形是由直线、圆曲线、缓和曲线三种线形组合而成的,而直线与圆曲线组合的线形(见图一)中桩坐标计算比较简单,在此不作阐述。

下面就缓和曲线与其它两种线形组合的线形中桩坐标计算予以分析。

缓和曲线与其它两种线形组合构成的线形主要有缓和曲线的完整形(即基本形)(见图二)和非完整形(即卵形)(见图三)二种。

一、基本形曲线中桩坐标计算:1、对于第一缓和曲线及圆曲线段(ZH~YH)(如图四),建立以ZH为坐标原点,切线方向为X′轴,半径方向为Y′轴的曲线坐标系(X′O′Y′)。

先计算曲线各点在曲线坐标系下的坐标。

⑴对于第一缓和曲线段(ZH~HY)内任一点i(此时L=Ki-KZH)若圆曲线半径R≥100m时,则Xi′=L-L5/(40R2Ls12) 公式①Yi′=L3/(6RLs1) 公式②若圆曲线半径R<100m时,则X′=L-L5÷[40(RLS)2] L9÷[3456(RLS)4]–L13÷[599040(RLS)6]L17÷[175472640(RLS)8]- L21÷[7.80337152×1010(RLS)10] (公式③)Y′=L3÷[6(RLS)] - L7÷[336(RLS)3] L11÷[42240(RLS)5] -L15÷[9676800(RLS)7] L19÷[3530096640(RLS)9] -L23÷[1.8802409472×1012(RLS)11] (公式④)⑵对于圆曲线段(HY~YH)上任一点iXi′=q Rsin cent;iYi′=R(1-cos cent;i) pL=Ki-KZH cent;i=(L- Ls1)*180/(Rπ) β0内移值P=Ls12/(24R)切线增值q= Ls1/2- Ls13/(240R2)综合⑴、⑵,根据不同坐标系的相互转换,可得ZH~YH上任一点i的中桩测量坐标为:Xi=XZH cosA×Xi′-sinA×f×Yi′(公式⑤)Yi= YZH sinA×Xi′ cosA×f×Yi′(公式⑥)式中f为线路的转向系数,右转时f=1,左转时f=-1 。

2、卵形曲线计算本设计由于12~JD JD 之间的距离偏小，又都为右偏，直线长度很难满足要求，同时也为适应地形条件的变化，所以此处敷设卵形曲线。

卵形曲线设计计算如下：运用纬地软件设计卵形曲线，系将卵形曲线看做是两个同向基本型平曲线的组合对接，首先给定小圆半径以及小圆的前缓和曲线长度：1700R =，1100S L =，这个前缓和曲线的起点半径为无穷大，而后缓和曲线长度为0。

然后切换到交点2，给定前缓和曲线长100F L =，后缓和曲线长2100S L =，由于中间过渡段曲线的半径变化是从12~R R ，所以第二段曲线的前缓和曲线F L 起点给定半径为小圆半径700，终点半径即大圆曲线半径2R 采用纬地软件的“T1+Rc+S2”或“T1+S1+Rc ”反算模式，计算结果为1451.22。

卵形曲线设计参数宜满足如下三个条件： ①112F R A R ≤≤ ②120.20.8R R ≤≤ ③10.0030.03D R ≤≤已知：1212700,1451.22,100S S F R R L L L ===== 计算：（如图2.1）图2.1 卵形曲线示意图[11]122112122212121212120.27001451.220.480.8,,,242422F F F F F F F F R R D R R O O O O L L L L P P q q R R ≤==≤=--=====2212122211221221212112212112111,()1001451.22700135227.231451.22700350367.737002135227.23135227.23193.18,93.187001451.2224F F F F F F F F F F F F F F F F F F A A L L R R A R R L L L R R L R R A R R A R A R A A L L R R L P R ==-=-==-⨯⨯==-=≤=≤========反推：22222121212211293.18193.182.22,0.252470024241451.22193.1893.1896.59,46.592222749.011451.22700F F F F F F L P R L L q q O O D R R O O =====⨯⨯==========--=-1749.01 2.210.003 2.217000.00310.03D R -=≤==≤综上计算，本设计卵形曲线设计满足《公路路线设计规范》要求。