平面向量的概念(公开课)

平面向量的教案一、教学目标1. 理解平面向量的定义和性质；2. 掌握平面向量的加法、减法和数量乘法；3. 能够应用平面向量解决相关问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：平面向量的加法、减法和数量乘法；2. 教学难点：通过具体问题应用平面向量解决实际问题。

三、教学准备1. 教学工具：黑板、彩色粉笔、PPT等；2. 教学材料：相关的示例题和练习题。

四、教学过程1. 导入（5分钟）通过举例引入平面向量的概念，提问学生是否了解平面向量的定义和性质，激发学生的学习兴趣和思考。

2. 讲解平面向量的定义和性质（15分钟）解释平面向量的定义和表示方法，并介绍平面向量的性质，如平移不变性、数量乘法的性质等。

3. 平面向量的加法与减法（20分钟）介绍平面向量的加法和减法的定义和表示方法，讲解向量相加的几何意义和运算规则，并通过示例演示向量的加法和减法计算过程。

4. 平面向量的数量乘法（15分钟）讲解平面向量的数量乘法的定义和运算规则，解释数量乘法的几何意义和性质，并通过示例演示向量的数量乘法计算过程。

5. 应用题训练（25分钟）给学生提供一些应用题，要求他们运用所学的平面向量知识解决问题，如力的合成、平衡力等方面的问题。

鼓励学生积极参与讨论，互相合作解题，培养他们的思考能力和解决问题的能力。

6. 总结（10分钟）对本节课的内容进行总结，强调平面向量的定义和运算规则，以及应用平面向量解决实际问题的能力。

鼓励学生进行思考和提问，帮助他们进一步巩固所学的知识。

五、课堂延伸1. 练习题训练：布置练习题，要求学生独立完成，并及时批改和讲解；2. 拓展阅读：推荐相关的教材和参考书籍，鼓励学生进行深入阅读和学习。

六、教学反思通过本节课的教学，学生对平面向量的定义和性质有了初步的了解，能够掌握平面向量的加法、减法和数量乘法的运算规则，并能够应用所学的知识解决相关问题。

同时，本节课注重培养学生的思维能力和解决问题的能力，通过训练和讨论，学生的学习积极性和合作性也有所提高。

6.1平面向量的概念（课件）平面向量是用来描述平面上空间中的数量和方向的量。

它由有向线段（箭头表示方向）来表示，起点为向量的“原点”(通常用O表示)，终点为线段的另一个端点，长度为线段的长度。

平面向量的三要素：1.方向：表示向量的箭头指向的方向2.大小：向量的长度即线段的长度3.起点：向量的起点被视为原点设有平面向量 $\vec{a}$，它的长度为 $|\vec{a}|$，它的方向与平面内一条射线平行，这条射线的起点可以取为坐标系原点 $O$，则 $\vec{a}$ 用箭头表示为：$$ \vec{a} = \overrightarrow{OA} $$其中，$A$ 点坐标是 $(x,y)$，则上述二元数组 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ 被称为向量的坐标，一个二元数组 $(x, y)$ 也可以表示相应的向量。

两个平面向量相等，当且仅当它们的大小相等，方向相同，起点相同。

平面向量的加法和减法：设有向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$，它们的起点都是 $O$，则向量 $\vec{a} +\vec{b}$ 表示从 $O$ 出发按 $\vec{a}$ 的方向行进长度为 $|\vec{a}|$，然后沿$\vec{b}$ 方向行进长度为 $|\vec{b}|$，到达终点 $C$，则表示为：平面向量的减法同理，即 $\vec{a} - \vec{b} = \overrightarrow{OD}$，其中$\overrightarrow{BD}$ 为 $\vec{b}$ 的逆向向量。

由于 $-1 \leqslant cos\theta \leqslant 1$，因此可以通过向量的数量积来判断两个向量是否垂直，即 $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$。

其中，$|\vec{a}|$ 和 $|\vec{b}|$ 分别为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的长度，$sin\theta$ 为向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角的正弦，$\vec{n}$ 为法向量，其大小为 $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot sin\theta$，方向垂直于 $\vec{a}$ 和$\vec{b}$ 所在平面，且满足右手定则，即 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角按逆时针方向，右手法则构成的角度为向量 $\vec{a} \times \vec{b}$ 的方向。

01向量的定义向量是既有大小又有方向的量，通常用有向线段表示。

02向量的表示方法向量可以用小写字母或大写字母加箭头表示，如$vec{a}$或$overset{longrightarrow}{AB}$。

03向量的模向量的大小称为向量的模，记作$|vec{a}|$，模长是一个非负实数。

向量定义及表示方法03向量的模长等于有向线段的长度，可以通过勾股定理或三角函数计算。

向量的模长向量与正方向（通常是x 轴正方向）的夹角称为向量的方向角，记作$theta$，取值范围是$[0, pi]$或$[0, 180^circ]$。

方向角向量与坐标轴正方向的夹角的余弦值称为向量的方向余弦，可以通过方向角计算得到。

方向余弦向量模长与方向角模长为0的向量称为零向量，记作$vec{0}$，零向量没有方向。

零向量单位向量相反向量模长为1的向量称为单位向量，单位向量具有确定的方向。

与给定向量大小相等、方向相反的向量称为相反向量，记作$-vec{a}$。

030201零向量、单位向量和相反向量向量共线与平行关系向量共线如果两个向量在同一直线上或者平行于同一直线，则称这两个向量共线。

共线向量满足$vec{a} = kvec{b}$（$k$为实数）。

向量平行如果两个向量的方向相同或相反，则称这两个向量平行。

平行向量满足$vec{a} parallel vec{b}$。

共线与平行的关系在平面内，共线的向量一定平行，但平行的向量不一定共线。

加法定义两个向量相加，即将它们的对应分量相加得到新的向量。

几何意义向量的加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加的结果可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线，或者可以表示为将其中一个向量的终点连接到另一个向量的起点的向量。

01减法定义02几何意义两个向量相减，即将被减数的各分量减去减数的对应分量得到新的向量。

向量的减法可以表示为将减数向量的终点连接到被减数向量的起点的向量，这个向量与减数向量方向相反，大小相等。