人教版选修1-2 第三章 复数(学生版)

本章整合知识网络注：以上a ，b ，c ，d 都是实数．专题探究专题一 复数的概念及其几何意义复数的概念是复数的基本内容，是解决复数问题的基础．在解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，依据是“两个复数相等的充要条件”．此外，这类问题还常以方程的形式出现，与方程的根有关，这时将已知根代入(或设出后代入)，利用复数相等的充要条件再进行求解．复数的几何意义实质是复数与复平面上的点以及从原点出发的向量建立了一一对应关系，因此还常常利用数形结合的思想来解决复数问题．【例1】已知m ∈R ，复数z ＝m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R ；(2)z 是纯虚数；(3)z 对应的点位于复平面的第二象限；(4)z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．解：(1)由m 2＋2m －3＝0且m －1≠0得m ＝－3，故当m ＝－3时，z ∈R .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1＝0，m 2＋2m －3≠0，解得m ＝0或m ＝2.∴当m ＝0或m ＝2时，z 为纯虚数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧ m (m －2)m －1＜0，m 2＋2m －3＞0，解得m ＜－3或1＜m ＜2，故当m ＜－3或1＜m ＜2时，z 对应的点位于复平面的第二象限．(4)由m (m －2)m －1＋(m 2＋2m －3)＋3＝0， 得m (m 2＋2m －4)m －1＝0. 解得m ＝0或m ＝－1±5.∴当m ＝0或m ＝－1±5时，z 对应的点在直线x ＋y ＋3＝0上．专题二 复数的四则运算与共轭复数历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上；熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题可结合加法与减法的几何意义进行求解．【例2】若z 1＝a ＋2i ，z 2＝3－4i ，且z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：z 1z 2＝a ＋2i 3－4i ＝(a ＋2i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a ＋6i ＋4a i －825＝3a －8＋(6＋4a )i 25. 因为z 1z 2为纯虚数，所以3a －8＝0且6＋4a ≠0， 所以a ＝83. 答案：83专题三 复数的综合应用复数是一个重要的知识载体和知识交会点，数学中很多问题都与复数有关．解决复数的综合问题时，仍然要以复数的概念以及复数的运算为主，同时注意结合其他知识以及常见的数学思想方法．【例3】复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点Z 在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i)＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i. 由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形，∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，②代入①得，|b |＝1.又∵Z 点在第一象限，∴a ＜0，b ＜0.由①②得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1. 【例4】已知复数z 满足|z ＋2－2i|＝1，求|z －3－2i|的最小值．解法一：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|x ＋y i ＋2－2i|＝1，即|(x ＋2)＋(y －2)i|＝1.∴(x ＋2)2＋(y －2)2＝1.∴|z －3－2i|＝(x －3)2＋(y －2)2 ＝(x －3)2＋1－(x ＋2)2＝－10x ＋6. 由(y －2)2＝1－(x ＋2)2≥0，得x 2＋4x ＋3≤0.∴－3≤x ≤－1，∴16≤－10x ＋6≤36.∴4≤－10x ＋6≤6.∴当x ＝－1时，|z －3－2i|的最小值为4.解法二：由复数及其模的几何意义知：满足|z ＋2－2i|＝1，即|z －(－2＋2i)|＝1，复数z 所对应的点是以C (－2,2)为圆心，半径r ＝1的圆，而|z －3－2i|＝|z －(3＋2i)|的几何意义是：复数z 对应的点与点A (3,2)的距离．由圆的知识可知|z－3－2i|的最小值为|AC|－r. 又|AC|＝(3＋2)2＋(2－2)2＝5，所以|z－3－2i|的最小值为5－1＝4.。

3．1.2 复数的几何意义填一填1.复平面的定义如图所示，点Z 的横坐标为a ，纵坐标为b ，复数z ＝a ＋b i 可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．2．复数的几何意义复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内的点Z (a ，b )及以原点为起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →是一一对应的．3．复数的模复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对应的向量为OZ →，则向量OZ →的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|.由模的定义可知：|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．判一判1.解析：实数的虚部为0，对应纵坐标为0的实轴上点，故正确．2．若|z1|＝|z2|，则z1＝z2.(×)解析：例z1＝1＋i，z2＝1－i有|z1|＝|z2|，但是z1与z2不相等，故错误．3．虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上．(×)解析：原点在虚轴上不表示虚数，故错误．4．第一象限的点都表示实部为正数的虚数．(√)解析：第一象限的点横坐标为正，对应复数的实部，故正确．5．实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限．(√)解析：实部为正虚部为负的虚数对应的点的横坐标为正，纵坐标为负，是第四象限点，故正确.想一想1.提示：任何一个复数z＝a＋b i，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系．2．平面向量能够与复数一一对应的前提是什么？提示：向量的起点是原点与复数一一对应．3．复数的模一定是正数吗？提示：当z＝0时，|z|＝0；反之，当|z|＝0时，必有z＝0.故复数的模不一定是正数，复数的模是非负数，即|z|≥0.4．若复数z满足|z|＝1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？提示：点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆．思考感悟：练一练1．已知复数z＝m－2－(4－m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m 的值为()A．0 B．2C．－2 D．±2解析：当点在虚轴上时，实部m－2＝0，∴m＝2.答案：B2．当0<m<1时，z＝(m＋1)＋(m－1)i在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z＝(m＋1)＋(m－1)i对应的点为(m＋1，m－1)，∵0<m <1，∴1<m ＋1<2，－1<m －1<0， ∴点(m ＋1，m －1)位于第四象限． 答案：D3．向量OZ →＝(0，－3)对应的复数是________． 解析：易知向量OZ →对应的复数为z ＝0＋(－3)i ＝－3i. 答案：－3i4．已知复数z ＝2＋i(i 是虚数单位)，则|z |＝________. 解析：|z |＝4＋1＝ 5.答案： 5知识点一复数的几何意义1.当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，∴点(3m －2，m －1)在第四象限． 答案：D2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析：由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0，解得－3<m <1，故选A.答案：A3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i解析：由题意知A (6,5)，B (－2,3)，则AB 中点C (2,4)对应的复数为2＋4i. 答案：C4.已知复数z A ．±1 B ．±iC ．a ＋b i(a ，b ∈R )，且a 2＋b 2＝1D ．1＋i解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1.故选C. 答案：C5．复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝－2＋i ，如果|z 1|<|z 2|，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：∵|z 1|＝a 2＋4，|z 2|＝5，∴a 2＋4<5，∴－1<a <1.答案：A6．复数z ＝－5－12i 在复平面内对应的点到原点的距离为________． 解析：∵|z |＝(－5)2＋(－12)2＝13，∴对应点到原点的距离为13. 答案：137.的顶点D 所对应的复数．解析：方法一：由已知，得点A ，B ，C 的坐标分别为A (0,1)，B (1,0)，C (4,2)，则AC 的中点为E ⎝⎛⎭⎫2，32. 由平行四边形的性质，知E 也是BD 的中点．设D 点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＝2，y ＋02＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.即D 点的坐标为(3,3)． ∴D 点对应的复数为3＋3i.方法二：由已知，得OA →＝(0,1)，OB →＝(1,0)，OC →＝(4,2)， ∴BA →＝(－1,1)，BC →＝(3,2)． ∴BD →＝BA →＋BC →＝(2,3)． ∴OD →＝OB →＋BD →＝(3,3)．∴点D 对应的复数为3＋3i.8．已知复数z ＝2＋cos θ＋(1＋sin θ)i(θ∈R )，试确定复数z 在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线．解析：设复数z 与复平面内的点(x ，y )相对应，则由复数的几何意义可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ.由sin 2θ＋cos 2θ＝1可得(x －2)2＋(y －1)2＝1.所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以(2,1)为圆心，1为半径的圆．基础达标一、选择题1．已知复数z 1＝2＋i ，z 2＝－i ，则|z 1||z 2|＝( )A.55B.15C. 5 D ．5解析：由已知得|z 1|＝5，|z 2|＝1，所以|z 1||z 2|＝ 5.答案：C2．复数z 与它的模相等的充要条件是( ) A ．z 为纯虚数 B ．z 为实数 C ．z 为正实数 D ．z 为非负实数解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，依题意有x 2＋y 2＝x ＋y i ，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2＝x ，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＝x ，所以y ＝0，x ≥0，即z 为非负实数． 答案：D3．已知复数z ＝(x －1)＋(2x －1)i 的模小于10，则实数x 的取值范围是( ) A ．－45<x <2 B ．x <2C ．x >－45D ．x <－45或x >2解析：由条件，得(x －1)2＋(2x －1)2<10，所以5x 2－6x －8<0，故－45<x <2.故选A.答案：A4．已知i 为虚数单位，若x ＋x i ＝y －3i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．6 B ．3 2 C ．3 D. 3解析：因为x ＋x i ＝y －3i ，所以x ＝－3，y ＝x ＝－3，所以|x ＋y i|＝|－3－3i|＝32，故选B.答案：B5．设复数z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．复数z 对应的点在第一象限 B ．复数z 一定不是纯虚数 C ．复数z 对应的点在实轴上方D．复数z一定是实数解析：因为2t2＋5t－3＝0的Δ＝25＋24＝49>0，所以方程有两根，所以2t2＋5t－3的值可正可负可为零，故选项A、B不正确．又t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1>0，所以选项D不正确，故选C.答案：C6．已知0<a<26，复数z的实部为a，虚部为1，则|z|的取值范围是()A．(1,5) B．(1,26)C．(1，5) D．(1,25)解析：由已知，得|z|＝a2＋1.由0<a<26，可得0<a2<24，所以1<a2＋1<25，所以|z|＝a2＋1∈(1,5)．故选A.答案：A7．已知z∈C，i为虚数单位，且|z|＝2，则|z－i|的最大值为()A．3 B．2C. 3 D．1解析：设z＝x＋y i，因为|z|＝2，所以x2＋y2＝4，易得|z－i|＝|x－i＋y i|＝x2＋(－1＋y)2＝5－2y，因为－2≤y≤2，所以5－2y的最大值为3，即|z－i|的最大值为3，故选A.答案：A二、填空题8．已知i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.解析：在复平面内，复数z1＝2－3i与点(2，－3)对应．因为点(2，－3)关于原点对称的点为(－2,3)，则复数z 2＝－2＋3i.答案：－2＋3i9．在复平面内，已知O 为坐标原点，点Z 1，Z 2分别对应复数z 1＝4＋3i ，z 2＝2a －3i(a ∈R )，若OZ 1⊥OZ 2，则a ＝__________.解析：因为z 1＝4＋3i ，z 2＝2a －3i(a ∈R )，所以OZ 1→＝(4,3)，OZ 2→＝(2a ，－3)．因为OZ 1→⊥OZ 2→，所以8a ＝9，即a ＝98.答案：9810．复数z ＝cos 40°－icos 50°的模等于________． 解析：|z |＝cos 240°＋(－cos 50°)2＝cos 240°＋sin 240°＝1.答案：111．设z 1＝1＋i ，z 2＝－1＋i ，O 为原点，复数z 1和z 2在复平面内对应的点分别为A ，B ，则△AOB 的面积为________．解析：由已知可得A (1,1)，B (－1,1)，O 为原点， ∴△AOB 中，AB 与x 轴平行，|AB |＝2， ∴S △AOB ＝12×2×1＝1.答案：112．若复数z 对应的点在直线y ＝－2x 上，且|z |＝5，则复数z ＝________. 解析：依题意可设复数z ＝a －2a i(a ∈R )，由|z |＝5得a 2＋4a 2＝5，解得a ＝±1，故z ＝1－2i 或z ＝－1＋2i.答案：1－2i 或－1＋2i三、解答题13．已知复数z ＝(a 2＋1)＋a i(a ∈R )．求：(1)z 在复平面内对应的点所在的位置；(2)复数z 在复平面内对应的点的轨迹方程．解析：(1)因为a 2＋1≥1>0，复数z ＝(a 2＋1)＋a i 在复平面内对应的点为(a 2＋1，a )，所以复数z 在复平面内对应的点在第一、四象限或实轴的正半轴上．(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2＋1，y ＝a ， 消去a 可得x ＝y 2＋1，所以复数z 在复平面内对应的点的轨迹方程为y 2＝x －1.14．设z ∈C ，则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形？ 解析：方法一：由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ →的长度等于5，即点Z 到原点的距离等于5.因此，满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以5为半径的圆．方法二：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则|z |2＝x 2＋y 2.因为|3＋4i|＝5，所以由|z |＝|3＋4i|得x 2＋y 2＝25，故点Z 的集合是以原点为圆心，以5为半径的圆.能力提升15.已知关于x 的方程x 2)有实数根，求锐角θ和方程的实数根．解析：设x 0是方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0的实数根，则x 20－(tan θ＋i)x 0－(2＋i)＝0，即x 20－x 0tan θ－2－(x 0＋1)i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0tan θ－2＝0x 0＋1＝0，解得x 0＝－1，tan θ＝1， 又θ为锐角，所以θ＝π4. 16．已知复数ω＝(m 2－2m －3)＋(m 2－m －12)i(m ∈R ，i 为虚数单位)．(1)若ω为实数，求m 的值；(2)若复数ω对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．解析：(1)因为ω为实数，所以m 2－m －12＝0⇒m ＝－3或m ＝4.(2)由复数ω对应的点在第四象限得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3>0⇒m >3或m <－1m 2－m －12<0⇒－3<m <4， 所以－3<m <－1或3<m <4，即实数m 的取值范围为(－3，－1)∪(3,4)．。