2022届高考数学一轮复习讲义：第五章 5.5复数学生版

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算教师用书教案理新人教版班级：科目：第1节平面向量的概念及线性运算全国卷五年考情图解高考命题规律把握1。

考查形式本章在备考中一般为2～3个客观题.2.考查内容(1）对向量的考查，主要考查平面向量的线性运算、坐标运算、向量的平行与垂直、向量的数量积及应用，难度为容易或中档。

(2）高考主要考查复数的基本概念、复数相等的充要条件以及复数的加、减、乘、除四则运算，其中复数的运算是高考的热点,一般为选择题.平面向量的概念及线性运算[考试要求]1。

了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示.2。

掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义.3。

掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念（1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．（2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6）相反向量:长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义）运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则①交换律：a＋b＝b＋a;②结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差三角形法则a－b＝a＋（－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算①｜λa|＝｜λ｜｜a|；②当λ〉0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa）＝（λμ）a；(λ＋μ)a＝λa＋μa;λ(a＋b）＝λa＋λb向量a(a≠0）与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．[常用结论]1．P为线段AB的中点，O为平面内任意一点⇔错误!＝错误!(错误!＋错误!)．2．若G为△ABC的重心，则有（1）错误!＋错误!＋错误!＝0；（2)错误!＝错误!(错误!＋错误!）．3．首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量,一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量．4．对于起点相同、终点共线的三个向量错误!，错误!，错误!(O与P1P2不共线)，总有错误!＝u错误!＋v错误!,u＋v＝1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1.5．对于任意两个向量a，b，都有：（1)|｜a|－|b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋|b｜；（2）｜a＋b|2＋｜a－b|2＝2（｜a｜2＋|b｜2)．一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×”） (1)若两个向量共线,则其方向必定相同或相反．( ）（2）若向量错误!与向量错误!是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．（ ） (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 。

高考数学一轮复习 第五章 平面向量与复数5.3 平面向量的数量积考试要求 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理 1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角． 2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a ，b 的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b的数量积，记作a ·b投影|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影|b |cos θ叫做向量b 在a方向上的投影几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积3.向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a .(2)(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .4．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ.结论 符号表示 坐标表示模|a |＝a ·a |a |＝x 21＋y 21夹角 cos θ＝a ·b |a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22a ⊥b 的充要条件 a ·b ＝0 x 1x 2＋y 1y 2＝0|a ·b |与|a ||b |的关系 |a ·b |≤|a ||b ||x 1x 2＋y 1y 2|≤x 21＋y 21x 22＋y 22常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2； (2)(a±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a ，b .(1)若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0；若a·b >0，则a 与b 的夹角为锐角或0. (2)若a 与b 的夹角为钝角，则a·b <0；若a·b <0，则a 与b 的夹角为钝角或π. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2.( × ) (2)若a ·b >0，则a 和b 的夹角为锐角．( × )(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( √ ) (4)(a·b )·c ＝a·(b·c )．( × ) 教材改编题1．(2022·海南省临高二中模拟)设a ，b ，c 是任意的非零向量，则下列结论正确的是( )B ．a·b ＝b·c ，则a ＝cC ．a·b ＝0⇒a ＝0或b ＝0D ．(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2 答案 D2．已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 答案 2 33．已知向量a ，b 满足3|a |＝2|b |＝6，且(a －2b )⊥(2a ＋b )，则a ，b 夹角的余弦值为________． 答案 －59解析 设a ，b 的夹角为θ， 依题意，(a －2b )·(2a ＋b )＝0， 则2a 2－3a ·b －2b 2＝0， 故2×4－3×2×3·cos θ－2×32＝0， 则cos θ＝－59.题型一 平面向量数量积的基本运算例1 (1)(2021·北京)a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)，则(a ＋b )·c ＝______；a ·b ＝______. 答案 0 3解析 ∵a ＝(2,1)，b ＝(2，－1)，c ＝(0,1)， ∴a ＋b ＝(4,0)，∴(a ＋b )·c ＝4×0＋0×1＝0， a ·b ＝2×2＋1×(－1)＝3.(2)(2022·邹城模拟)在平面四边形ABCD 中，已知AB →＝DC →，P 为CD 上一点，CP →＝3PD →，|AB →|＝4，|AD →|＝3，AB →与AD →的夹角为θ，且cos θ＝23，则AP →·PB →＝________.解析 如图所示，∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形， ∵CP →＝3PD →，∴AP →＝AD →＋DP →＝14AB →＋AD →，PB →＝AB →－AP →＝34AB →－AD →，又∵|AB →|＝4，|AD →|＝3，cos θ＝23，则AB →·AD →＝4×3×23＝8，∴AP →·PB →＝⎝⎛⎭⎫AD →＋14AB →·⎝⎛⎭⎫34AB →－AD → ＝12AB →·AD →－AD →2＋316 AB →2 ＝12×8－9＋316×42＝－2. 教师备选1．(2019·全国Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 答案 C解析 因为BC →＝AC →－AB →＝(1，t －3)， 所以|BC →|＝12＋t －32＝1，解得t ＝3，所以BC →＝(1,0)，所以AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.2．在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点．①若BD →＝xBA →＋yBC →，则x ＋y ＝________；②BD →·BM →＝________. 答案 341解析 ①∵M 是BC 的中点， ∴BM →＝12BC →，∵D 是AM 的中点，∴BD →＝12BA →＋12BM →＝12BA →＋14BC →，∴x ＝12，y ＝14，∴x ＋y ＝34.②∵△ABC 是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点， ∴AM ⊥BC ，且BM ＝1，∴BD →·BM →＝|BD →||BM →|cos ∠DBM ＝|BM →|2＝1. 思维升华 计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)利用坐标运算，若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)已知向量a ＋b ＋c ＝0，|a |＝1，|b |＝|c |＝2，a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________. 答案 －92解析 由已知可得(a ＋b ＋c )2 ＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝9＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝0， 因此a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－92.(2)(2020·北京)已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足AP →＝12(AB →＋AC →)，则|PD →|＝________；PB →·PD →＝________. 答案5 －1解析 建立如图所示的平面直角坐标系，∵AP →＝12(AB →＋AC →)，∴P 为BC 的中点．∴点P 的坐标为(2,1)，点D 的坐标为(0,2)，点B 的坐标为(2,0)， ∴|PD →|＝5，PB →＝(0，－1)，PD →＝(－2,1)， ∴PB →·PD →＝－1.题型二 平面向量数量积的应用 命题点1 向量的模例2 已知向量a ，b 满足|a |＝6，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |＝__________，|a －3b |＝________. 答案 219 6 3解析 因为|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为60°， 所以a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝6×4×12＝12，(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝36＋24＋16＝76， (a －3b )2＝a 2－6a·b ＋9b 2＝36－72＋144＝108，所以|a ＋b |＝219，|a －3b |＝6 3. 命题点2 向量的夹角例3 (2020·全国Ⅲ)已知向量a ，b 满足|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝－6，则cos 〈a ，a ＋b 〉等于( ) A ．－3135B ．－1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝25－12＋36＝49， ∴|a ＋b |＝7，∴cos 〈a ，a ＋b 〉＝a ·a ＋b |a ||a ＋b |＝a 2＋a ·b |a ||a ＋b |＝25－65×7＝1935. 命题点3 向量的垂直例4 (2021·全国乙卷)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(3,4)，若(a －λb )⊥b ，则λ＝________. 答案 35解析 方法一 a －λb ＝(1－3λ，3－4λ)， ∵(a －λb )⊥b ，∴(a －λb )·b ＝0， 即(1－3λ，3－4λ)·(3,4)＝0， ∴3－9λ＋12－16λ＝0，解得λ＝35.方法二 由(a －λb )⊥b 可知，(a －λb )·b ＝0，即a ·b －λb 2＝0， 从而λ＝a ·b b 2＝1，3·3，432＋42＝1525＝35. 教师备选1．已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 B解析 设a 与b 的夹角为α， ∵(a －b )⊥b ， ∴(a －b )·b ＝0， ∴a ·b ＝b 2，∴|a |·|b |cos α＝|b |2，又|a |＝2|b |， ∴cos α＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π3.2．已知e 1，e 2是两个单位向量，且|e 1＋e 2|＝3，则|e 1－e 2|＝________. 答案 1解析 由|e 1＋e 2|＝3，两边平方， 得e 21＋2e 1·e 2＋e 22＝3.又e 1，e 2是单位向量， 所以2e 1·e 2＝1，所以|e 1－e 2|2＝e 21－2e 1·e 2＋e 22＝1， 所以|e 1－e 2|＝1.思维升华 (1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算； ②几何法：利用向量的几何意义，即利用向量线性运算的平行四边形法则或三角形法则作出所求向量，再利用余弦定理等方法求解． (2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cos θ＝a·b |a ||b |，求解时应求出a ·b ，|a |，|b |的值或找出这三个量之间的关系；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔|a －b|＝|a ＋b|(其中a ≠0，b ≠0)．跟踪训练2 (1)已知单位向量a ，b 满足a ·b ＝0，若向量c ＝7a ＋2b ，则sin 〈a ，c 〉等于( ) A.73 B.23 C.79 D.29答案 B解析 方法一 设a ＝(1,0)，b ＝(0,1)， 则c ＝(7，2)， ∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. 方法二 a ·c ＝a ·(7a ＋2b ) ＝7a 2＋2a ·b ＝7， |c |＝7a ＋2b2＝7a 2＋2b 2＋214a ·b ＝7＋2＝3，∴cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a ||c |＝71×3＝73， ∴sin 〈a ，c 〉＝23. (2)(2021·新高考全国Ⅰ改编)已知O 为坐标原点，点P 1(cos α，sin α)，P 2(cos β，－sin β)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，A (1,0)，则 ①|OP 1—→|＝|OP 2—→|； ②|AP 1—→|＝|AP 2—→|； ③OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→； ④OA →·OP 1—→＝OP 2—→·OP 3—→.以上结论正确的有________．(填序号) 答案 ①③解析 由题意可知， |OP 1—→|＝cos 2α＋sin 2α＝1， |OP 2—→|＝cos 2β＋－sin β2＝1，所以|OP 1—→|＝|OP 2—→|，故①正确； 取α＝π4，则P 1⎝⎛⎭⎫22，22，取β＝5π4，则P 2⎝⎛⎭⎫－22，22， 则|AP 1—→|≠|AP 2—→|，故②错误； 因为OA →·OP 3—→＝cos(α＋β)，OP 1—→·OP 2—→＝cos αcos β－sin αsin β＝cos(α＋β)， 所以OA →·OP 3—→＝OP 1—→·OP 2—→，故③正确； 因为OA →·OP 1—→＝cos α，OP 2—→·OP 3—→＝cos βcos(α＋β)－sin βsin(α＋β) ＝cos(α＋2β)， 取α＝π4，β＝π4，则OA →·OP 1—→＝22，OP 2—→·OP 3—→＝cos 3π4＝－22，所以OA →·OP 1—→≠OP 2—→·OP 3—→，故④错误．题型三 平面向量的实际应用例5 (2022·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况(如图所示)．假设行李包所受的重力为G ，所受的两个拉力分别为F 1，F 2，若|F 1|＝|F 2|，且F 1与F 2的夹角为θ，则以下结论不正确的是( )A ．|F 1|的最小值为12|G |B ．θ的范围为[0，π]C ．当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |D ．当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |答案 B解析 由题意知，F 1＋F 2＋G ＝0， 可得F 1＋F 2＝－G ，两边同时平方得 |G |2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2|F 1||F 2|cos θ ＝2|F 1|2＋2|F 1|2cos θ， 所以|F 1|2＝|G |221＋cos θ.当θ＝0时，|F 1|min ＝12|G |；当θ＝π2时，|F 1|＝22|G |；当θ＝2π3时，|F 1|＝|G |，故A ，C ，D 正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B 错误． 教师备选若平面上的三个力F 1，F 2，F 3作用于一点，且处于平衡状态，已知|F 1|＝1 N ，|F 2|＝6＋22N ，F 1与F 2的夹角为45°，求： (1)F 3的大小；(2)F 3与F 1夹角的大小． 解 (1)∵三个力平衡， ∴F 1＋F 2＋F 3＝0，∴|F 3|＝|F 1＋F 2|＝|F 1|2＋2F 1·F 2＋|F 2|2＝12＋2×1×6＋22cos 45°＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222＝4＋23＝1＋ 3.(2)方法一 设F 3与F 1的夹角为θ， 则|F 2|＝|F 1|2＋|F 3|2＋2|F 1||F 3|cos θ， 即6＋22＝12＋1＋32＋2×1×1＋3cos θ，解得cos θ＝－32， ∵θ∈[0，π]， ∴θ＝5π6.方法二 设F 3与F 1的夹角为θ， 由余弦定理得cos(π－θ)＝12＋1＋32－⎝⎛⎭⎪⎫6＋2222×1×1＋3＝32， ∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6.思维升华 用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3 (2022·沈阳二中模拟)渭河某处南北两岸平行，如图所示，某艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中航行速度的大小为|ν1|＝10 km/h ，水流速度的大小为|ν2|＝6 km/h.设ν1与ν2的夹角为120°，北岸的点A ′在码头A 的正北方向，那么该游船航行到北岸的位置应( )A ．在A ′东侧B ．在A ′西侧C ．恰好与A ′重合D ．无法确定答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得ν1＝(－5，53)，ν2＝(6,0)， 所以ν1＋ν2＝(1,53)，说明游船有x 轴正方向的速度，即向东的速度，所以该游船航行到北岸的位置应在A ′东侧．极化恒等式：设a ，b 为两个平面向量，则有恒等式a ·b ＝14[]a ＋b2－a －b2.如图所示．(1)在平行四边形ABDC 中，AB →＝a ，AC →＝b ， 则a·b ＝14(|AD →|2－|BC →|2)．(2)在△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，AM 为中线， 则a·b ＝|AM →|2－14|BC →|2.例1 在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案 －16解析 如图所示，由极化恒等式，易得AB →·AC →＝AM →2－MB →2＝32－52＝－16.例2 已知AB 为圆x 2＋y 2＝1的一条直径，点P 为直线x －y ＋2＝0上任意一点，则P A →·PB →的最小值是________． 答案 1解析 如图所示，由极化恒等式易知，当OP 垂直于直线x －y ＋2＝0时，P A →·PB →有最小值，即P A →·PB →＝PO →2－OB →2＝(2)2－12＝1.例3 已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( ) A ．1 B ．2 C. 2 D.22答案 C解析 如图所示，设OA →⊥OB →，记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ， M 为AB 的中点， 由极化恒等式有 (a －c )·(b －c )＝CA →·CB →＝|CM →|2－|AB →|24＝0，∴|CM →|2＝|AB →|24＝12，可知MC →是有固定起点，固定模长的动向量．点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，且点O 也在此圆上， 所以|c |的最大值为圆的直径长，即为 2.课时精练1．(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是( ) A ．a ＋2b B ．2a ＋b C ．a －2b D ．2a －b 答案 D解析 由题意得|a |＝|b |＝1， 设a ，b 的夹角为θ＝60°，故a ·b ＝|a ||b |cos θ＝12.对A 项，(a ＋2b )·b ＝a ·b ＋2b 2 ＝12＋2＝52≠0； 对B 项，(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2 ＝2×12＋1＝2≠0；对C 项，(a －2b )·b ＝a ·b －2b 2 ＝12－2＝－32≠0； 对D 项，(2a －b )·b ＝2a ·b －b 2＝2×12－1＝0.2．(2022·四川乐山第一中学模拟)已知向量a ＝(2，－2)，b ＝(2,1)，b ∥c ，a ·c ＝4，则|c |等于( ) A ．2 5 B ．4 C ．5 2 D ．4 2答案 A解析 因为b ∥c ，所以c ＝λb ＝(2λ，λ)(λ∈R )， 又a ·c ＝4λ－2λ＝2λ＝4，所以λ＝2，c ＝(4,2)，|c |＝42＋22＝2 5.3．(2022·宜昌模拟)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，则a －b 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 D解析 |a ＋b |＝|a －b |＝2|a |，等号左右同时平方，得|a ＋b |2＝|a －b |2＝4|a |2，即|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝4|a |2， 所以a ·b ＝0且|b |2＝3|a |2， 所以|a －b |＝|a －b |2＝|a |2＋|b |2－2a ·b ＝233|b |，所以cos 〈a －b ，b 〉＝a －b ·b|a －b ||b |＝－|b |2233|b |·|b |＝－32，因为〈a －b ，b 〉∈[0，π]，所以〈a －b ，b 〉＝5π6.4．已知a ＝(－2,1)，b ＝(k ，－3)，c ＝(1,2)，若(a －2b )⊥c ，则与b 共线的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫255，－55或⎝⎛⎭⎫－255，55 B.⎝⎛⎭⎫－255，－55或⎝⎛⎭⎫255，55 C.⎝⎛⎭⎫255，55 D.⎝⎛⎭⎫－255，55 答案 A解析 由题意得a －2b ＝(－2－2k ,7)， ∵(a －2b )⊥c ， ∴(a －2b )·c ＝0，即(－2－2k ,7)·(1,2)＝0，－2－2k ＋14＝0， 解得k ＝6， ∴b ＝(6，－3)， ∴e ＝±b 62＋－32＝±⎝⎛⎭⎫255，－55. 5．(2022·盐城模拟)下列关于向量a ，b ，c 的运算，不一定成立的是( ) A ．(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c B ．(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )C．a·b≤|a||b|D．|a－b|≤|a|＋|b|答案 B解析根据数量积的分配律可知A正确；选项B中，左边为c的共线向量，右边为a的共线向量，故B不正确；根据数量积的定义，可知a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a||b|，故C正确；|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝|a|2＋|b|2－2|a||b|cos〈a，b〉≤|a|2＋|b|2＋2|a||b|＝(|a|＋|b|)2，故|a－b|≤|a|＋|b|，故D正确．6．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影为－2 2C．2m＋n＝4D．mn的最小值为2答案 C解析对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，设向量a，b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝15×2＝1010，所以向量a在b上的投影为|a |cos θ＝5×1010＝22，故B 错误； 对于C ，a －b ＝(1,2)，若(a －b )∥c ，则－n ＝2(m －2)，变形可得2m ＋n ＝4，故C 正确； 对于D ，由2m ＋n ＝4，且m ，n 均为正数，得mn ＝12(2m ·n )≤12⎝⎛⎭⎫2m ＋n 22＝2，当且仅当m ＝1，n ＝2时，等号成立，即mn 的最大值为2，故D 错误．7．(2021·全国甲卷)已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,0)，c ＝a ＋k b .若a ⊥c ，则k ＝________. 答案 －103解析 c ＝(3,1)＋(k ,0)＝(3＋k ,1)，a ·c ＝3(3＋k )＋1×1＝10＋3k ＝0，得k ＝－103.8．(2020·全国Ⅰ)设a ，b 为单位向量，且|a ＋b |＝1，则|a －b |＝________. 答案3解析 将|a ＋b |＝1两边平方， 得a 2＋2a ·b ＋b 2＝1. ∵a 2＝b 2＝1，∴1＋2a ·b ＋1＝1，即2a ·b ＝－1. ∴|a －b |＝a －b2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－－1＋1＝ 3.9．(2022·长沙模拟)在△ABC 中，BC 的中点为D ，设向量AB →＝a ，AC →＝b . (1)用a ，b 表示向量AD →；(2)若向量a ，b 满足|a |＝3，|b |＝2，〈a ，b 〉＝60°，求AB →·AD →的值． 解 (1)AD →＝12(AB →＋AC →)＝12a ＋12b ，所以AD →＝12a ＋12b .(2)AB →·AD →＝a ·⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＝12a 2＋12a·b ＝12×32＋12×3×2×cos 60°＝6， 所以AB →·AD →＝6.10．(2022·南昌模拟)已知向量m ＝(3sin x ，cos x －1)，n ＝(cos x ，cos x ＋1)，若f (x )＝m·n . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在Rt △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若∠A ＝90°，f (C )＝0，c ＝3，CD 为∠BCA 的角平分线，E 为CD 的中点，求BE 的长． 解 (1)f (x )＝m ·n ＝3sin x ·cos x ＋cos 2x －1 ＝32sin 2x ＋12cos 2x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－12. 令2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )， 则x ∈⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． 所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6－12＝0， sin ⎝⎛⎭⎫2C ＋π6＝12，又C ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以C ＝π3.在△ACD 中，CD ＝233， 在△BCE 中，BE ＝22＋⎝⎛⎭⎫332－2×2×33×32＝213.11．(2022·恩施质检)圆内接四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，BD 是圆的直径，则AC →·BD →等于( )A ．12B ．－12C ．20D ．－20答案 B解析 如图所示，由题知∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AD ＝2，CD ＝4，∴AC →·BD →＝(AD →＋DC →)·BD →＝AD →·BD →＋DC →·BD →＝|AD →||BD →|cos ∠BDA －|DC →||BD →|cos ∠BDC＝|AD →|2－|DC →|2＝4－16＝－12.12．在△ABC 中，已知⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( ) A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．三边均不相等的三角形答案 A解析 AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为与AB →，AC →方向相同的单位向量，由平行四边形法则可知向量AB →|AB →|＋AC →|AC →|所在的直线为∠BAC 的角平分线．因为⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0， 所以∠BAC 的角平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12， 所以cos ∠BAC ＝12，∠BAC ＝60°. 所以△ABC 为等边三角形．13.(2022·潍坊模拟)如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1，F 2，且F 1，F 2与水平夹角均为45°，|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，则物体的重力大小为________ N.答案 20解析 如图所示，∵|F 1|＝|F 2|＝10 2 N ，∴|F 1＋F 2|＝102×2＝20 N ，∴物体的重力大小为20 N.14．(2021·天津)在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2BE →＋DF →|的值为________；(DE →＋DF →)·DA →的最小值为________．答案 1 1120 解析 设BE ＝x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，12， ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ，∴∠BDE ＝30°，BD ＝2x ，DE ＝3x ，DC ＝1－2x ，∵DF ∥AB ，∴△DFC 为边长为1－2x 的等边三角形，DE ⊥DF ，∴(2BE →＋DF →)2＝4BE →2＋4BE →·DF →＋DF →2＝4x 2＋4x (1－2x )×cos 0°＋(1－2x )2＝1，∴|2BE →＋DF →|＝1，∵(DE →＋DF →)·DA →＝(DE →＋DF →)·(DE →＋EA →)＝DE →2＋DF →·EA →＝(3x )2＋(1－2x )×(1－x )＝5x 2－3x ＋1＝5⎝⎛⎭⎫x －3102＋1120， ∴当x ＝310时，(DE →＋DF →)·DA →的最小值为1120.15．定义一种向量运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ·b ，当a ，b 不共线时，|a －b |，当a ，b 共线时(a ，b 是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a ，b ，c ，e ，给出下列结论，正确的是( )A ．a ⊗b ＝b ⊗aB ．λ(a ⊗b )＝(λa )⊗b (λ∈R )C ．(a ＋b )⊗c ＝a ⊗c ＋b ⊗cD ．若e 是单位向量，则|a ⊗e |≥|a |＋1答案 A解析 当a ，b 共线时，a ⊗b ＝|a －b |＝|b －a |＝b ⊗a ，当a ，b 不共线时，a ⊗b ＝a ·b ＝b ·a ＝b ⊗a ，故A 正确；当λ＝0，b ≠0时，λ(a ⊗b )＝0，(λa )⊗b ＝|0－b |≠0，故B 错误；当a ＋b 与c 共线时，则存在a ，b 与c 不共线，(a ＋b )⊗c ＝|a ＋b －c |，a ⊗c ＋b ⊗c ＝a ·c ＋b ·c ，显然|a ＋b －c |≠a ·c ＋b ·c ，故C 错误；当e 与a 不共线时，|a ⊗e |＝|a ·e |<|a |·|e |<|a |＋1，当e 与a 共线时，设a ＝u e ，u ∈R ，|a ⊗e |＝|a －e |＝|u e －e |＝|u －1|≤|u |＋1，故D 错误．16．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，m·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求c .解 (1)m·n ＝sin A cos B ＋sin B cos A＝sin(A ＋B )，在△ABC 中，A ＋B ＝π－C ,0<C <π，所以sin(A ＋B )＝sin C ，所以m·n ＝sin C ，又m·n ＝sin 2C ，所以sin 2C ＝sin C ，cos C ＝12， 又因为C ∈(0，π)，故C ＝π3. (2)由sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，可得2sin C ＝sin A ＋sin B ，由正弦定理得2c ＝a ＋b .因为CA →·(AB →－AC →)＝18，所以CA →·CB →＝18，即ab cos C ＝18，ab ＝36.由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ， 所以c 2＝4c 2－3×36，c 2＝36， 所以c ＝6.。

学习资料2022届高考数学统考一轮复习第5章平面向量数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例教师用书教案理新人教版班级：科目：平面向量的数量积与平面向量应用举例[考试要求］ 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

2。

了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5。

会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

6.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作错误!＝a，错误!＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量｜a｜｜b｜·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b投影|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b｜cos θ叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积a·b等于a的长度｜a|与b在a的方向上的投影｜b｜cos θ的乘积(1）交换律：a·b＝b·a；（2）数乘结合律：(λa）·b＝λ(a·b)＝a·（λb）；(3）分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c。

4．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），θ＝〈a，b〉．结论几何表示坐标表示模｜a｜＝错误!|a|＝错误!数量积a·b＝｜a|｜b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2夹角cos θ＝错误!cos θ＝错误! a⊥b a·b＝0x1x2＋y1y2＝0｜a·b｜与｜a|｜b|的关系|a·b｜≤|a|｜b|｜x1x2＋y1y2|≤错误!·错误! 12211212[常用结论］1．平面向量数量积运算的常用公式(1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2;（2）(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a,b不共线．3．a在b方向上的投影为错误!，b在a方向上的投影为错误!.一、易错易误辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）(1）两个向量的数量积是一个实数，向量的数乘运算的运算结果是向量．() (2）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(）(3）由a·b＝0可得a＝0或b＝0. (）(4)(a·b)c＝a(b·c)．（)［答案］（1）√(2)√（3)×（4）×二、教材习题衍生1．设a＝(1，－2)，b＝（－3，4），c＝(3，2）,则(a＋2b)·c＝()A．(－15,12）B．0C．－3 D．－11C［∵a＋2b＝(－5,6）,∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3。

高三数学一轮复习题型归纳讲义一轮复习题型归纳讲义2022届高三数学一轮复习题型归纳讲义+专项练习专题一 《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．20【解答】解：z ＝（3﹣i ）（a +2i ）＝3a +2+（6﹣a ）i ， ∵z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数， ∴3a +2＝0，且6﹣a ≠0， 得a =−23，此时z =203i ， 故选：C ．2．已知i 是虚数单位，若z （1+3i ）＝i ，则z 的虚部为（ ） A ．110B ．−110C ．i10D ．−i10【解答】解：由z （1+3i ）＝i ，得z =i1+3i =i(1−3i)(1+3i)(1−3i)=3+i10=310+i10， ∴z 的虚部为110．故选：A ．3．已知复数z =2i 1+i （i 虚数单位），则z ⋅z =（ ） A ．√2B ．2C ．1D ．12【解答】解：由题意知|z|=|2i||1+i|=|2|√2=√2， 利用性质z ⋅z =|z|2，得z ⋅z =2， 故选：B ． 4．若a−i i=b +2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b 的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．3【解答】解：∵a−i i=−ai ﹣1＝b +2i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，∴a ＝﹣2，b ＝﹣1 ∴a +b ＝﹣3． 故选：A ．5．设复数z 满足z =i−11+i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：z =i−11+i =−(1−i)22=i ，故|z |＝1， 故选：A ． 6．设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：∵复数z 满足1+z 1−z=i ，∴1+z ＝i ﹣zi ， ∴z （1+i ）＝i ﹣1， ∴z =i−1i+1=i ， ∴|z |＝1， 故选：A ．7．若复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．z 为实数C ．|z |=√2D ．z +z =2i【解答】解：因为z （1﹣i ）＝2i ，所以z =2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−2+2i2=−1+i ， 则|z |=√2；由于z 的虚部是1，则A ，B 错，z +z =−2，则D 错． 故选：C ．8．若复数Z 的实部为1，且|Z |＝2，则复数Z 的虚部是（ ） A ．−√3B ．±√3C ．±√3iD ．√3i【解答】解：复数Z 的实部为1， 设Z ＝1+bi ． |Z |＝2，可得√1+b 2=2， 解得b =±√3． 复数Z 的虚部是±√3． 故选：B ．题型二.复数的几何意义1．已知i 是虚数单位，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1−i)21+i=−2i(1−i)(1+i)(1−i)=−1−i ，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点的坐标为：（﹣1，﹣1），位于第三象限．故选：C ．2．设i 是虚数单位，z 的复数z 的共轭复数，z ＝1+2i ，则复数z +i •z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵z ＝1+2i ，∴z +i •z =1+2i +i （1﹣2i ）＝1+2i +i +2＝3+3i ．∴复数z +i •z 在复平面内对应的点的坐标为（3，3），位于第一象限． 故选：A ．3．设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．√2【解答】解：∵复数（1+i ）（a +i ）＝（a ﹣1）+（a +1）i 在复平面内对应的点位于实轴上，∴a +1＝0，即a ＝﹣1． 故选：B ．4．已知复数z ＝3+4i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第 一 象限． 【解答】解：∵z ＝3+4i 3＝3﹣4i ， ∴z =3+4i ，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（3，4），位于第一象限． 故答案为：一．5．在复平面内，O 是坐标原点，向量OA →对应的复数是﹣2+i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数的模为 √5 ．【解答】解：∵向量OA →对应的复数是﹣2+i ，∴A （﹣2，1）， 又点A 关于实轴的对称点为点B ，∴B （﹣2，﹣1）． ∴向量OB →对应的复数为﹣2﹣i ，该复数的模为|﹣2﹣i |=√5． 故答案为：√5．6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z −2i =11−i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132B ．√262 C ．√102D ．52【解答】解：由z −2i =11−i ，得z ＝2i +11−i =2i +1+i(1−i)(1+i)=12+52i ， ∴复数z 在复平面内的点的坐标为（12，52），到原点的距离为√14+254=√262．故选：B ．题型三.复数的指数幂运算1．若复数z =2i1+i7（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【解答】解：∵z =2i 1+i7=2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ， ∴z =−1﹣i ，∴复数z 在复平面对应的点的坐标是（﹣1，﹣1）； ∴它对应的点在第三象限， 故选：C ．2．已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则a+i 20161+i的值为（ ）A ．1B ．0C ．1+iD ．1﹣i【解答】解：复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，可得a ＝1，a+i 20161+i=1+11+i=2(1−i)(1+i)(1−i)=1﹣i ．故选：D ．3．已知复数z =(1+i)3(1−i)2（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：z =(1+i)3(1−i)2=(1+i)⋅2i−2i=−1﹣i ， 则z 的虚部为﹣1， 故选：A ．4．已知复数z 满足z •i 2020＝1+i 2019（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵i 4＝1， ∴i 2020＝i 4×505＝1，i 2019＝i 4×504+3＝﹣i ，则z •i 2020＝1+i 2019化为z ＝1﹣i ， ∴z 的虚部为﹣1． 故选：A ．5．设i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i 1−i）2013＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵1+i 1−i=(1+i)2(1+i)(1−i)=2i 2=i ，∴z ＝（1+i 1−i）2013＝i 2013＝（i 2）1006•i ＝i ．故选：D ．6．已知复数z ＝﹣1+i ，则z+2z 2+z=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i【解答】解：∵z ＝﹣1+i ， ∴z+2z 2+z=−1+i+2(−1+i)2−1+i=1+i −1−i=(1+i)(−1+i)(−1−i)(−1+i)=−1．故选：A ．7．若Z ＝1+i ，则|Z 2﹣Z |＝（ ） A ．0B ．1C ．√2D ．2【解答】解：∵Z ＝1+i ，∴Z 2﹣Z ＝（1+i ）2﹣（1+i ）＝1+2i +i 2﹣1﹣i ＝i 2+i ＝﹣1+i ， ∴|Z 2﹣Z |=√(−1)2+12=√2．故选：C ． 8．当z =−1−i√2时，z 100+z 50+1的值等于 ﹣i ． 【解答】解：∵z =−1−i √2=√22−√22i ∴z 2=12−2×√22×√22i +（√22i ）2＝﹣i ，可得z 4＝﹣1根据复数乘方的含义，可得z 100＝（z 4）25＝﹣1，z 50＝（z 4）12•z 2＝﹣i ∴z 100+z 50+1＝﹣1﹣i +1＝﹣i 故答案为：﹣i题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z 满足3z +z =−4+2i ，则z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 则3z +z =3（a +bi ）+a ﹣bi ＝4a +2bi ＝﹣4+2i ， ∴{4a =−42b =2，即a ＝﹣1，b ＝1． ∴z ＝﹣1+i ． 故选：D ．2．设复数z 满足z 2＝3+4i （i 是虚数单位），则z 的模为（ ） A ．25B ．5C ．√5D ．2+i【解答】解：法一、设z ＝a +bi （a ，b ∈R ）， 由z 2＝3+4i ，得（a +bi ）2＝a 2﹣b 2+2abi ＝3+4i ，∴{a 2−b 2=32ab =4，解得{a =2b =1或{a =−2b =−1．∴|z|=√a 2+b 2=√5． 故选：C ．法二、由z 2＝3+4i ，得|z 2|=|z|2=√32+42=5， 则|z |=√5． 故选：C ．3．设复数z 满足|z 1|＝1，|z 2|＝2，z 1+z 2＝﹣1+√3i ，则|z 1﹣z 2|＝ √6 ．【解答】解：设z 1＝a +bi ，z 2＝c +di ，（a ，b ，c ，d 为实数）， 因为复数z 满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=−1+√3i ， 所以{a +c =−1b +d =√3且a 2+b 2＝1，c 2+d 2＝4，所以a 2+c 2+2ac +b 2+d 2+2bd ＝4， 即2ac +2bd ＝﹣1，则|z 1﹣z 2|=√(a −c)2+(b −d)2=√a 2+b 2+c 2+d 2−2(ac +bd)=√5+1=√6． 故答案为：√6．4．已知z ∈C ，且|z |＝1，则|z ﹣2﹣2i |（i 为虚数单位）的最小值是（ ） A ．2√2−1B ．2√2+1C ．√2D ．2√2【解答】解：∵|z |＝1且z ∈C ，作图如图：∵|z ﹣2﹣2i |的几何意义为单位圆上的点M 到复平面上的点P （2，2）的距离， ∴|z ﹣2﹣2i |的最小值为：|OP |﹣1＝2√2−1． 故选：A ．5．设复数z 1，z 2满足|z 1﹣1|＝1，|z 2+3i |＝2，则|z 1﹣z 2|的最大值为（ ） A ．3+2√3B ．2√10C ．3+√10D ．6【解答】解：因为|z 1﹣1|＝1，|z 2+3i |＝2，所以z 1，对应的点在以A （1，0）为圆心，以1为半径的圆上，z 2对应的点在以B （0，﹣3）为圆心，以2为半径的圆上， 则|z 1﹣z 2|的几何意义是两圆上点的距离，则则|z 1﹣z 2|的最大值为AB +1+2＝3+√12+(−3)2=3+√10． 故选：C ．6．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是4√2．【解答】解：∵复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，∴√x2+(y−4)2=√(x+2)2+y2，化为x+2y＝3．则2x+4y≥2√2x⋅4y=2√2x+2y=4√2，因此2x+4y的最小值是4√2．故答案为：4√2．专题一 《复数》讲义知识梳理.复数1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． (3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ ―→的模叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2. 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ ―→.3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i≠0)．题型一.复数的有关概念1．若z ＝（3﹣i ）（a +2i ）（a ∈R ）为纯虚数，则z ＝（ ） A ．163i B ．6i C ．203i D ．202．已知i 是虚数单位，若z （1+3i ）＝i ，则z 的虚部为（ ） A ．110B ．−110C ．i10D ．−i103．已知复数z =2i1+i （i 虚数单位），则z ⋅z =（ ） A ．√2 B ．2 C ．1 D ．124．若a−i i=b +2i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a +b 的值（ ）A ．﹣3B ．﹣1C ．1D ．35．设复数z 满足z =i−11+i ，则|z |＝（ ） A ．1 B ．√2C ．√3D ．26．设复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．27．若复数z 满足z （1﹣i ）＝2i ，则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为iB ．z 为实数C ．|z |=√2D ．z +z =2i8．若复数Z 的实部为1，且|Z |＝2，则复数Z 的虚部是（ ） A ．−√3 B ．±√3C ．±√3iD ．√3i题型二.复数的几何意义1．已知i 是虚数单位，则复数(1−i)21+i在复平面内对应的点在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设i 是虚数单位，z 的复数z 的共轭复数，z ＝1+2i ，则复数z +i •z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设a ∈R ，若复数（1+i ）（a +i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝（ ） A ．0B ．﹣1C ．1D ．√24．已知复数z ＝3+4i 3，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于第 象限．5．在复平面内，O 是坐标原点，向量OA →对应的复数是﹣2+i ，若点A 关于实轴的对称点为点B ，则向量OB →对应的复数的模为 ．6．已知i 为虚数单位，且复数z 满足z −2i =11−i ，则复数z 在复平面内的点到原点的距离为（ ） A ．132B ．√262C ．√102D ．52题型三.复数的指数幂运算1．若复数z =2i1+i7（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知a 为实数，若复数z ＝（a 2﹣1）+（a +1）i 为纯虚数，则a+i 20161+i的值为（ ）A ．1B ．0C ．1+iD ．1﹣i3．已知复数z =(1+i)3(1−i)2（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i4．已知复数z 满足z •i 2020＝1+i 2019（其中i 为虚数单位），则复数z 的虚部是（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i5．设i 是虚数单位，则复数z ＝（1+i 1−i）2013＝（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i6．已知复数z ＝﹣1+i ，则z+2z 2+z=（ ）A ．﹣1B ．1C ．﹣iD ．i7．若Z ＝1+i ，则|Z 2﹣Z |＝（ ） A ．0 B ．1C ．√2D ．28．当z =−1−i√2时，z 100+z 50+1的值等于 ．题型四.待定系数在复数中的应用——最值问题1．若复数z满足3z+z=−4+2i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i2．设复数z满足z2＝3+4i（i是虚数单位），则z的模为（）A．25B．5C．√5D．2+i3．设复数z满足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1+√3i，则|z1﹣z2|＝．4．已知z∈C，且|z|＝1，则|z﹣2﹣2i|（i为虚数单位）的最小值是（）A．2√2−1B．2√2+1C．√2D．2√25．设复数z1，z2满足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，则|z1﹣z2|的最大值为（）A．3+2√3B．2√10C．3+√10D．66．已知复数z＝x+yi（x，y∈R）满足条件|z﹣4i|＝|z+2|，则2x+4y的最小值是．专题一 《复数》专项练习课后作业.复数一．选择题（共10小题） 1．设i 是虚数单位，复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．2【解答】解：复数z 满足1+z 1−z=i ，可得1+z ＝（1﹣z ）i ，解得z =1−i 1+i =(1−i)(1−i)(1+i)(1−i)=−i ． 则|z|=|i |＝1． 故选：A ．2．若（2﹣mi ）（3﹣2i ）（m ∈R ）是纯虚数，则在复平面内复数z =m−2i1+i 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：∵（2﹣mi ）（3﹣2i ）＝（6﹣2m ）﹣（3m +4）i 是纯虚数， ∴{6−2m =03m +4≠0，即m ＝3． ∴z =m−2i1+i =3−2i1+i =(3−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−52i ，∴复数z 所对应的点的坐标为（12，−52），位于第四象限．故选：D ．3．复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√55B ．√525C ．125D ．15【解答】解：复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位）， 可得|z （3﹣4i ）|＝1， 即|z ||3﹣4i |＝1， 可得5|z |＝1， ∴|z |=15， 故选：D ． 4．若复数a+i b−3i （a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，则ab 的值是（ ）A ．﹣15B ．3C ．﹣3D ．15【解答】解：a+ib−3i=(a+i)(b+3i)(b−3i)(b+3i)=ab+(3a+b)i+3i 2b 2−9i 2=ab−3b 2+9+3a+b b 2+9i ，∵复数a+ib−3i（a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，∴ab−3b 2+9=0，即ab ＝3，故选：B ．5．复数z 满足z （2+i ）＝3﹣6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．﹣3iC ．3iD ．﹣3【解答】解：∵z （2+i ）＝3﹣6i ， ∴z =3−6i2+i =(3−6i)(2−i)(2+i)(2−i)=−3i ， ∴复数z =3i ， ∴复数z 的虚部为：3， 故选：A ． 6．已知复数z 满足z 1+i=|2−i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：z 1+i=|2−i|=√5，∴z =√5+√5i ．则z 的共轭复数√5−√5对应的点（√5，−√5）位于复平面内的第四象限． 故选：D ．7．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3+4i ，则z 1z 2＝（ ） A ．﹣25B ．25C ．7﹣24iD ．﹣7﹣24i【解答】解：由复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且z 1＝3+4i ， 得z 2＝﹣3+4i ，∴z 1z 2＝（3+4i ）（﹣3+4i ）＝（4i ）2﹣32＝﹣16﹣9＝﹣25． 故选：A ．8．已知复数z 在复平面内对应的点为（1，﹣1），则|z •z +2i 3|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．6D ．7【解答】解：由题意得z ＝1﹣i ，z =1+i ，z ⋅z =2， 则|z •z +2i 3|＝|2﹣2i |＝2√2． 故选：A ．9．已知复数z 满足|z|=√2，z +z =2，（z 为z 的共轭复数）．下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+i 或1﹣iD ．﹣1+i 或﹣1﹣i【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则z =a −bi ， ∵复数z 满足|z|=√2，z +z =2，∴{a 2+b 2=22a =2，得{a =1b =±1，∴z ＝1+i 或z ＝1﹣i ． 故选：C ．10．已知复数z 满足|z ﹣1﹣i |≤1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√2−1C ．√2D ．√2+1【解答】解：∵复数z 满足|z ﹣1﹣i |＝1，∴点z 对应的点在以（1，1）为圆心，1为半径的圆上以及圆内， 要求|z |的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可， 连接圆心与原点，长度是√2， 最短距离要减去半径，即√2−1． 故选：B ．二．多选题（共4小题）11．已知复数z ＝1+i （其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A ．复数z 的虚部为iB ．|z |=√2C ．复数z 的共轭复数z =1﹣iD ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限【解答】解：∵复数z ＝1+i ，∴复数z 的虚部为1，故A 错误； |z |=√2，故B 正确；复数z 的共轭复数z =1﹣i ，故C 正确；数z 在复平面内对应的点的坐标为（1，1），在第一象限，故D 正确． 故选：BCD ．12．设z 1，z 2，z 3为复数，z 1≠0．下列命题中正确的是（ ） A ．若|z 2|＝|z 3|，则z 2＝±z 3 B ．若z 1z 2＝z 1z 3，则z 2＝z 3C ．若z 2=z 3，则|z 1z 2|＝|z 1z 3|D ．若z 1z 2＝|z 1|2，则z 1＝z 2【解答】解：由复数的形式可知，选项A错误；当z1z2＝z1z3时，有z1z2﹣z1z3＝z1（z2﹣z3）＝0，又z1≠0，所以z2＝z3，故选项B正确；当z2=z3时，则z2=z3，所以|z1z2|2−|z1z3|2=(z1z2)(z1z2)−(z1z3)(z1z3)=z1z2z1z2−z1z3z1z3=0，故选项C 正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2=|z1|2=z1z1，可得z1z2−z1z1=z1(z2−z1)=0，所以z1=z2，故选项D错误．故选：BC．13．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数z=3+i，则1z=310−i10B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1 C．若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0D．复数z＝1﹣3i的虚部是3【解答】解：复数13+i =3−i(3+i)(3−i)=3−i10=310−i10所以z=3+i，则1z=310−i10，正确；复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），√x2+(y−2)2=1，则x2+（y ﹣2）2＝1，所以B正确；若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0，正确；z＝1﹣3i的虚部是﹣3．所以D不正确．故选：ABC．14．已知复数z0＝1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（1，2）B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2【解答】解：设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），∵|z ﹣1|＝|z ﹣i |，∴（a ﹣1）2+b 2＝a 2+（b ﹣1）2，∴a ＝b ， A ：∵z 0＝1+2i ，∴P 0（1，2），∴A 正确， B ：∵z 0＝1+2i ，∴z 0=1﹣2i ，∴z 0对应的点P 的坐标为（1，﹣2）与P 0（1，2）关于实轴对称，∴B 错误， C ：∵a ＝b ，∴复数z ＝a +bi 对应的点（a ，a ）在直线y ＝x 上，∴C 正确， D ：∵P 0（1，2）到直线y ＝x 的距离d =|1−2|√2=√22， ∴P 0（1，2）与复数z ＝a +bi 对应的点Z （a ，a ）的最小值为√22，∴D 错误． 故选：AC ．三．填空题（共4小题）15．i 是虚数单位，则i 607的共轭复数为 i ． 【解答】解：i 607＝i 4×151+3＝i 3＝﹣i ，故其共轭复数是i ，故答案为：i16．若复数z 与其共轭复数z 满足|z |=√3，z +z =2，则z +3z= ﹣2+4√2i 或﹣2+4√2i ． 【解答】解：设复数z ＝a +bi ，a 、b ∈R ， 则z =a ﹣bi ， 由|z |=√3，z +z =2，得{√a 2+b 2=√32a =2， 解得a ＝1，b ＝±√2；当a ＝1，b =√2时，z +3z =（1+√2i ）1+√2i=−2+4√2i ； 当a ＝1，b =−√2时，z +3z =（1−√2i ）1−√2i=−2﹣4√2i ； 故答案为：﹣2+4√2i 或﹣2+4√2i ．17．若复数z 满足|z ﹣3i |＝1，求|z +2|的最大值 1+√13 ．【解答】解：|z ﹣3i |＝1的复数z 对应的点是以C （0，3）为圆心，1为半径的圆， |z +2|表示得复数z 所对应的点和A （﹣2，0）的距离， ∵|AC |=√4+9=√13， ∴|z +2|的最大值1+√13． 故答案为：1+√13．18．若复数z满足z•z+z+z=0，则复数|z﹣1﹣2i|的最大值为2√2+1．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），则由z•z+z+z=0，得a2+b2+2a＝0，即（a+1）2+b2＝1，复数z在复平面内对应的点在以A（﹣1，0）为圆心，以1为半径的圆上，则复数|z﹣1﹣2i|=√(a−1)2+(b−2)2表示z在复平面内的点到点P（1，2）的距离，∴|z﹣1﹣2i|的最大值为|P A|+1=√(−1−1)2+(0−2)2+1＝2√2+1，故答案为：2√2+1．专题一 《复数》专项练习课后作业.复数一．选择题（共10小题） 1．设i 是虚数单位，复数z 满足1+z 1−z=i ，则|z|=（ ）A ．1B ．√2C ．√3D ．22．若（2﹣mi ）（3﹣2i ）（m ∈R ）是纯虚数，则在复平面内复数z =m−2i1+i 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．复数z 满足z （3﹣4i ）＝1（i 是虚数单位），则|z |＝（ ） A ．√55B ．√525C ．125D ．154．若复数a+i b−3i（a ，b ∈R ）对应的点在虚轴上，则ab 的值是（ ）A ．﹣15B ．3C ．﹣3D ．155．复数z 满足z （2+i ）＝3﹣6i （i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3B ．﹣3iC ．3iD ．﹣36．已知复数z 满足z 1+i=|2−i|，则z 的共轭复数对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝3+4i ，则z 1z 2＝（ ） A ．﹣25B ．25C ．7﹣24iD ．﹣7﹣24i8．已知复数z 在复平面内对应的点为（1，﹣1），则|z •z +2i 3|＝（ ） A ．2√2B ．2√3C ．6D ．79．已知复数z 满足|z|=√2，z +z =2，（z 为z 的共轭复数）．下列选项（选项中的i 为虚数单位）中z ＝（ ） A ．1+iB ．1﹣iC ．1+i 或1﹣iD ．﹣1+i 或﹣1﹣i10．已知复数z 满足|z ﹣1﹣i |≤1，则|z |的最小值为（ ） A ．1B ．√2−1C ．√2D ．√2+1二．多选题（共4小题）11．已知复数z ＝1+i （其中i 为虚数单位），则以下说法正确的有（ ） A ．复数z 的虚部为iB．|z|=√2C．复数z的共轭复数z=1﹣iD．复数z在复平面内对应的点在第一象限12．设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若z2=z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 13．已知i为虚数单位，则下面命题正确的是（）A．若复数z=3+i，则1z=310−i10B．复数z满足|z﹣2i|＝1，z在复平面内对应的点为（x，y），则x2+（y﹣2）2＝1C．若复数z1，z2满足z1=z2，则z1z2≥0D．复数z＝1﹣3i的虚部是314．已知复数z0＝1+2i（i为虚数单位）在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z﹣1|＝|z﹣i|，下列结论正确的是（）A．P0点的坐标为（1，2）B．复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称C．复数z对应的点Z在一条直线上D．P0与z对应的点Z间的距离的最小值为√2三．填空题（共4小题）15．i是虚数单位，则i607的共轭复数为．16．若复数z与其共轭复数z满足|z|=√3，z+z=2，则z+3z=．17．若复数z满足|z﹣3i|＝1，求|z+2|的最大值．18．若复数z满足z•z+z+z=0，则复数|z﹣1﹣2i|的最大值为．专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．题型一.集合的基本概念1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或2【解答】解：若1﹣a＝4，则a＝﹣3，∴a2﹣a+2＝14，∴A＝{2，4，14}；若a2﹣a+2＝4，则a＝2或a＝﹣1，a＝2时，1﹣a＝﹣1，∴A＝{2，﹣1，4}；a＝﹣1时，1﹣a＝2（舍），故选：C．2．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：根据题意，集合{1，a+b，a}={0，ba，b}，又∵a≠0，∴a+b＝0，即a＝﹣b，∴ba=−1，b＝1；故a＝﹣1，b＝1，则b﹣a＝2，故选：C．3．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．4【解答】解：当x＝﹣1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，当x＝0时，y2≤3，得y＝﹣1，0，1，当x＝1时，y2≤2，得y＝﹣1，0，1，即集合A中元素有9个，故选：A．4．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【解答】解：因为集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选：B．5．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是2．【解答】解：∵集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，3﹣m∈A，∴{3−m=1m≠0m≠1或{3−m=2m≠0m≠1或{3−m=3m≠0m≠1，解得m＝2．∴非零实数m的数值是2．故答案为：2．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4【解答】解：当a＝0时，方程为1＝0不成立，不满足条件当a≠0时，△＝a2﹣4a＝0，解得a＝4故选：A．题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．1【解答】解：∵A＝B，∴3a﹣2＝a2，解得：a＝1或2，当a＝1时，集合A＝{0，1，1}不满足元素的互异性，故舍去，当a＝2时，集合A＝{0，1，4}，集合B＝{1，0，4}，符合题意，所以a＝2，故选：C ．2．设集合A ＝{x |1＜x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围是（ ） A ．{a |a ≥1}B ．{a |a ≤1}C ．{a |a ≥2}D ．{a |a ＞2}【解答】解：由题意作图则a ＞2即可， 故选：D ．3．已知集合M ＝{x |x 2＝1}，N ＝{x |ax ＝1}，若N ⊆M ，则实数a 的取值集合为（ ） A ．{1}B ．{﹣1，1}C ．{1，0}D ．{1，﹣1，0}【解答】解：∵集合M ＝{x |x 2＝1}＝{﹣1，1}，N ＝{x |ax ＝1}，N ⊆M ， ∴当a ＝0时，N ＝∅，成立； 当a ≠0时，N ＝{1a }，∵N ⊆M ，∴1a=−1或1a=1．解得a ＝﹣1或a ＝1，综上，实数a 的取值集合为{1，﹣1，0}． 故选：D ．4．已知集合A ＝{x |x 2﹣3ax ﹣4a 2＞0，（a ＞0）}，B ＝{x |x ＞2}，若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是 （0，12] ．【解答】解：集合A ＝{x |x 2﹣3ax ﹣4a 2＞0，（a ＞0）} ＝{x |（x ﹣4a ）（x +a ）＞0，a ＞0} ＝{x |x ＜﹣a 或x ＞4a ，a ＞0}， B ＝{x |x ＞2}，B ⊆A ， ∴0＜4a ≤2，解得0＜a ≤12． ∴实数a 的取值范围是（0，12]．故答案为：（0，12]．5．已知集合A ＝{x ∈Z |x 2+3x ＜0}，则满足条件B ⊆A 的集合B 的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．8【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4．故选：C．6．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．15个【解答】解：a＝1，b＝2时，x＝6，a＝1，b＝3时，x＝12，a＝0，b＝2时，x＝4，a＝0，b＝3时，x＝9，故M＝{4，6，9，12}，故M的真子集的个数是：24﹣1＝15个，故选：D．题型三.集合的基本运算1．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}【解答】解：∵集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，A∩B＝{1}，∴x＝1是x2﹣4x+m﹣1＝0的解，∴1﹣4+m﹣1＝0，解得m＝4，∴B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}．故选：C．2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．0【解答】解：在同一个坐标下，画出圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x的图象如下所示：圆x2+y2＝1和直线y＝﹣x有两个交点，∴A∩B中元素的个数为：2．故选：B．3．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]【解答】解：A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x≤2}，∴A∪B＝（﹣∞，4）．故选：A．4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}，说明集合M中只含有一个元素a3，即M＝{a3}，M的子集为∅，{a3}，∴集合M的子集个数是2．故选：B．5．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}【解答】解：A＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≥32或x＜0}，故A∩B＝{﹣2，﹣1，2}，故选：C．6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或2【解答】解：a＝1时，B中方程为x2﹣3x+1＝0，其解为无理数，A∩B＝∅；a＝2时，B中方程为x2﹣3x+2＝0，其解为1和2，A∩B＝{1，2}≠∅；a＝3时，B中方程为x2﹣3x+3＝0，无解，A∩B＝∅；综上，a的值为2．故选：B．7．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}＝{x|﹣4≤x≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R（A∩B）＝{x|x∈R，x≠0}，故选：B．8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3【解答】解：A＝{x|1＜x＜3}；∵A∩B＝A；∴A⊆B；①若a≤0，B＝R，满足A⊆B；②若a＞0，则B＝{x|x≥a，或x≤﹣a}；∴0＜a≤1；综上得，a≤1．故选：A．题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5}【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}＝{x|x＞3}，∴∁U B＝{x|x≤3}．∴图中阴影部分表示的集合为：A∩（∁U B）＝{1，2，3}．故选：B．2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}．【解答】解：U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由题意如图所示由韦恩图可知A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，4，6，8}故答案为：{1，3，5，7}；{2，3，4，6，8}3．已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R【解答】解：如图所示易知M∪（∁R N）＝M．故选：B．4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%【解答】解：设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，由题意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选：C．5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有17个．【解答】解：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”有：当A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；当A＝{2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}当A＝{3}时，B＝{4}A＝{1，2}时，B＝{3}或{4}或{3，4}A＝{1，3}时，B＝{4}，A＝{2，3}，B＝{4}A＝{1，2，3}，B＝{4}故答案为：17．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是9．【解答】解：①当x与y都为奇数时，有1+5＝6，3+3＝6，据此可得出（1，5），（5，1），（3，3），3个点符合题意，②当x与y都为偶数时，有2+4＝6，据此可得出（2，4），（4，2），2个点符合题意，③当x与y一奇一偶时，1×6＝6，2×3＝6，据此可得出（1，6），（6，1），（2，3），（3，2），4个点符合题意，所以共有9个点符合题意，故答案为：9．专题二《集合》讲义知识梳理.集合1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(4)五个特定的集合及其关系图：N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A是集合B的子集，但集合B中至少有一个元素不属于A，则称A是B的真子集.(3)集合相等：如果A⊆B，并且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集．记作∅.3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．1．设集合A＝{2，1﹣a，a2﹣a+2}，若4∈A，则a＝（）A．﹣3或﹣1或2B．﹣3或﹣1C．﹣3或2D．﹣1或22．设a，b∈R，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，则b﹣a＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣23．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（）A．9B．8C．5D．44．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（）A．3B．4C．5D．65．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{1，m}，若3﹣m∈A，则非零实数m的数值是．6．若集合A＝{x∈R|ax2+ax+1＝0}其中只有一个元素，则a＝（）A．4B．2C．0D．0或4题型二.集合的基本关系——子集个数1．已知集合A＝{0，1，a2}，B＝{1，0，3a﹣2}，若A＝B，则a等于（）A．1或2B．﹣1或﹣2C．2D．12．设集合A＝{x|1＜x≤2}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则a的取值范围是（）A．{a|a≥1}B．{a|a≤1}C．{a|a≥2}D．{a|a＞2}3．已知集合M＝{x|x2＝1}，N＝{x|ax＝1}，若N⊆M，则实数a的取值集合为（）A．{1}B．{﹣1，1}C．{1，0}D．{1，﹣1，0} 4．已知集合A＝{x|x2﹣3ax﹣4a2＞0，（a＞0）}，B＝{x|x＞2}，若B⊆A，则实数a的取值范围是．5．已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．86．设集合A＝{1，0}，集合B＝{2，3}，集合M＝{x|x＝b（a+b），a∈A，b∈B}，则集合M 的真子集的个数为（）A．7个B．12个C．16个D．151．设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2﹣4x+m﹣1＝0}，若A∩B＝{1}，则B＝（）A．{1，﹣3}B．{1，0}C．{1，3}D．{1，5}2．已知集合A＝{（x，y）|x2+y2＝1}，B＝{（x，y）|y＝﹣x}，则A∩B中元素的个数为（）A．3B．2C．1D．03．已知集合A＝{x|0＜log4x＜1}，B＝{x|e x﹣2≤1}，则A∪B＝（）A．（﹣∞，4）B．（1，4）C．（1，2）D．（1，2]4．满足M⊆{a1，a2，a3}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a3}的集合M的子集个数是（）A．1B．2C．3D．45．设集合A＝{x∈Z||x|≤2}，B={x|32x≤1}，则A∩B＝（）A．{1，2} B．{﹣1，﹣2} C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}6．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣3x+a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为（）A．1B．2C．3D．1或27．设集合A＝{x|x2﹣2x≤0，x∈R}，B＝{y|y＝﹣x2，﹣1≤x≤2}，则∁R（A∩B）等于（）A．R B．{x|x∈R，x≠0}C．{0}D．φ8．设集合A＝{x|x（4﹣x）＞3}，B＝{x|x|≥a}，若A∩B＝A，则a的取值范围是（）A．a≤1B．a＜1C．a≤3D．a＜3题型四.用韦恩图解决集合问题——新定义问题1．已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|y＝lg（x﹣3）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{1，2，3，4，5}B．{1，2，3}C．{1，2}D．{3，4，5} 2．设全集U＝{x|0＜x＜10，x∈N*}，若A∩B＝{3}，A∩∁U B＝{1，5，7}，∁U A∩∁U B＝{9}，则A＝，B＝．3．（2021•全国模拟）已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%5．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B为集合M的非空子集，若∀x∈A、y∈B，x＜y恒成立，则称（A，B）为集合M的一个“子集对”，则集合M的“子集对”共有个．6．任意两个正整数x、y，定义某种运算⊗：x⊗y={x+y(x与y奇偶相同)x×y(x与y奇偶不同)，则集合M＝{（x，y）|x⊗y＝6，x，y∈N*}中元素的个数是．专题二 《集合》专项练习课后作业.集合一．选择题（共8小题）1．已知集合A ＝{1，2，3，4，5，6}，T ＝{x |x =b a，a ，b ∈A ，a ＞b }，则集合T 中元素的个数为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【解答】解：a ＝1不适合题意，舍去．a ＝2时，b ＝1，可得：b a =12．a ＝3时，b ＝1，2，可得：b a =13，23．a ＝4时，b ＝1，2，3，可得：b a =14，12，34．a ＝5时，b ＝1，2，3，4，可得：b a =15，25，35，45．a ＝6时，b ＝1，2，3，4，5，可得：b a =16，13，12，23，56．可得：T ＝{x |x =b a ，a ，b ∈A ，a ＞b }＝{12，13，23，14，34，15，25，35，45，16，56}．∴集合T 中元素的个数为11．故选：C ．2．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x +y ，x ∈A ，y ∈A }，则B 的子集个数为（ ）A ．8B ．2C ．4D ．7【解答】解：集合A ＝{0，1}，B ＝{z |z ＝x +y ，x ∈A ，y ∈A }，当x ＝0，y ＝0时，z ＝0，当x ＝0，y ＝1或x ＝1，y ＝0时，z ＝1，当x ＝1，y ＝1时，z ＝2，∴集合B 含有3个元素，其子集个数为23＝8个．故选：A ．3．已知集合A ＝{（x ，y ）|y ＝﹣x +2}，B ＝{（x ，y ）|y ＝2x }，则A ∩B 元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【解答】解：作y ＝﹣x +2和y ＝2x 的图象如下：根据图象看出，直线y＝﹣x+2和指数函数y＝2x的图象只有一个交点；∴A∩B元素的个数为1．故选：B．4．已知集合A＝{x|2x+1≤1}，B＝{x|2x＜1}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣1，0）B．（﹣1，0）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：A＝{x|x＜﹣1，或x≥1}，B＝{x|x＜0}；∴∁R A＝{x|﹣1≤x＜1}；∴（∁R A）∩B＝{x|﹣1≤x＜0}＝[﹣1，0）．故选：A．5．已知集合A＝{1，3，a2}，B＝{1，a+2}，若A∩B＝B，则实数a的取值为（）A．1B．﹣1或2C．2D．﹣1或1【解答】解：∵A∩B＝B，∴B⊆A，∴a+2＝3或a+2＝a2，∴a＝1或a＝﹣1或a＝2，a＝1或a＝﹣1时，集合A的元素不满足互异性，不合题意；a＝2时，符合题意，∴a＝2．故选：C．6．已知全集U＝R，集合M＝{x|x+2a≥0}，N＝{x|log2（x﹣1）＜1}，若集合M∩（∁U N）＝{x|x＝1或x≥3}，那么a的取值为（）A．a=12B．a≤12C．a=−12D．a≥12【解答】解：由题意可知：∵log2（x﹣1）＜1，∴x﹣1＞0且x﹣1＜2，即1＜x＜3，∴N＝{x|1＜x＜3}，∴∁u N ＝{x |x ≤1或x ≥3}又∵M ＝{x |x +2a ≥0}＝{x |x ≥﹣2a }，而M ∩（∁∪N ）＝{x |x ＝1，或x ≥3}，∴﹣2a ＝1，∴a =−12故选：C ．7．已知集合A ＝{x ∈N ||x |≤1}，集合B ={x ∈Z|y =√x +1⋅√3−x}，则图中的阴影部分表示的集合是（ ）A ．[1，3]B ．（1，3]C ．{﹣1，2，3}D ．{﹣1，0，2，3}【解答】解：A ＝{x ∈N ||x |≤1}＝{0，1}，由{x +1≥03−x ≥0得{x ≥−1x ≤3得﹣1≤x ≤3， 则B ＝{﹣1，0，1，2，3}，阴影部分对应的集合为∁B A ，则∁B A ＝{﹣1，2，3}，故选：C ．8．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＜1}，B ＝{x |1＜x ＜5，x ∈R }，A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{a |0≤a ≤6}B ．{a |a ≤2或a ≥4}C ．{a |a ≤0或a ≥6}D ．{a |2≤a ≤4}【解答】解：由|x ﹣a |＜1得﹣1＜x ﹣a ＜1，即a ﹣1＜x ＜a +1．如图由图可知a +1≤1或a ﹣1≥5，所以a ≤0或a ≥6．故选：C ．二．多选题（共4小题）9．已知全集U ＝{0，1，2，3，4}，集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，1，4}，则下列判断正确的是（ ）A ．M ∪N ＝{0，1，2，3，4}B ．（∁U M ）∩N ＝{0，1}C．∁U N＝{1，2，3}D．M∩N＝{0，4}【解答】解：M∪N＝{0，1，2，3，4}，故A正确，∁U M＝{0，1}，则（∁U M）∩N＝{0，1}，故B正确，∁U N＝{2，3}，故C错误，M∩N＝{4}，故D错误，故选：AB．10．设全集U＝R，若集合M⊆N，则下列结论正确的是（）A．M∩N＝M B．M∪N＝N C．∁U M⊆∁U N D．（M∪N）⊆N 【解答】解：因为M⊆N，则M∩N＝M，M∪N＝N，所以A，B正确，且∁U M⊇∁U N，（M∪N）⊆N，所以C错误，D正确，故选：ABD．11．已知非空集合A、B满足：全集U＝A∪B＝（﹣1，5]，A∩∁U B＝[4，5]，下列说法不一定正确的有（）A．A∩B＝∅B．A∩B≠∅C．B＝（﹣1，4）D．B∩∁U A＝（﹣1，4）【解答】解：∵A∩∁u B＝[4，5]，U＝A∪B＝（﹣1，5]，∴B＝U﹣A∩∁u B＝（﹣1，4），∴C正确．则集合A一定包含[4，5]，当A＝[4，5]时，A∩B＝∅，∴B错误．当A＝（3，5]时，A∩B＝（3，4），∴A错误．此时∁u A＝（﹣1，3]，B∩∁u A＝（﹣1，3]，∴D错误．故选：ABD．12．若非空数集M满足任意x，y∈M，都有x+y∈M，x﹣y∈M，则称M为“优集”．已知A，B是优集，则下列命题中正确的是（）A．A∩B是优集B．A∪B是优集C．若A∪B是优集，则A⊆B或B⊆AD．若A∪B是优集，则A∩B是优集【解答】解：选项A：任取x∈A∩B，y∈A∩B，因为集合A，B是优集，则x+y∈A，x+y∈B，则x+y∈A∩B，x﹣y∈A，x﹣y∈B，则x﹣y∈A∩B，所以A正确，选项B：取A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝3m，m∈Z}，则A＝{x|x＝2k或x＝3k，k∈Z}，令x＝3，y＝2，则x+y＝5∉A∪B，B错误，选项C：任取x∈A，y∈B，可得x，y∈A∪B，因为A∪B是优集，则x+y∈A∪B，x﹣y∈A∪B，若x+y∈B，则x＝（x+y）﹣y∈B，此时A⊆B，若x+y∈A，则x＝（x+y）﹣y∈A，此时B⊆A，C正确，选项D：A∪B是优集，可得A⊆B，则A∩B＝A为优集，或B⊆A，则A∩B＝B为优集，所以A∩B是优集，D正确，故选：ACD．三．填空题（共6小题）13．设集合A＝{0，﹣4}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，x∈R}．若B⊆A，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．【解答】解：∵集合A＝{0，﹣4}，B＝{x|x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，x∈R}，B⊆A，∴当B＝∅时，x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0无解，△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣1）＜0，解得a＜﹣1；当B＝{0}时，把x＝0代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a＝±1；当a＝1时，B＝{0，﹣4}≠{0}，∴a≠1；当a＝﹣1时，B＝{0}，∴a＝﹣1；当B＝{﹣4}时，把x＝﹣4代入方程x2+2（a+1）x+a2﹣1＝0，得a＝1或a＝7；当a＝1时，B＝{0，﹣4}≠{﹣4}，∴a≠1；当a＝7时，B＝{﹣4，﹣12}≠{﹣4}，∴a≠7；当B＝{0，﹣4}时，则a＝1；当a＝1时，B＝{0，﹣4}，∴a＝1；综上所述：a≤﹣1或a＝1，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪{1}．故答案为：（﹣∞，﹣1]∪{1}．14．设全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}，A＝{x|x2﹣5x+q＝0}，B＝{x|x2+px+12＝0}，（∁u A）∪B ＝{1，3，4，5}，则集合B＝{3，4}【解答】解：全集U＝{x|0＜x＜6，x∈N}＝{1，2，3，4，5}，。

数系的扩充与复数的引入[考试要求] 1.理解复数的概念，理解复数相等的充要条件.2.了解复数的代数表示法及其几何意义.3.能进行复数代数形式的四则运算，了解两个具体复数相加、减的几何意义．1．复数的有关概念(1)复数的定义形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类(3)复数相等a＋b i＝c＋d i⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共轭复数a＋b i与c＋d i共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)复数的模向量OZ→的模叫做复数z＝a＋b i的模，记作|z|或|a＋b i|，即|z|＝|a＋b i|＝r＝a2＋b2(r ≥0，a，b∈R)．2．复数的几何意义3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i＝a ＋b ic －d i c ＋d ic －d i＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．[常用结论] 1．(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i. 2．i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i(n ∈N *)． 3．z ·z＝|z |2＝|z |2，|z 1·z 2|＝|z 1|·|z 2|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|，|z n |＝|z |n .一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若a ∈C ，则a 2≥0.( )(2)已知z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的虚部为b i.( )(4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材习题衍生1．设z ＝(1＋i)(2－i)，则复数z 在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限A [z ＝(1＋i)(2－i)＝3＋i ，故复数z 在复平面内所对应的点(3,1)位于第一象限．] 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4iD [∵CA →＝CB →＋BA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D ．] 3．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |等于()A ．1B ． 2C ．3 D ．2A [1＋z 1－z ＝i ， 则z ＝i －11＋i ＝i ，∴|z |＝1.]4．已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，则z ＝.2＋i [由(1＋2i)z ＝4＋3i 得z ＝4＋3i 1＋2i ＝4＋3i 1－2i5＝2－i.∴z ＝2＋i.]考点一 复数的有关概念解决复数概念问题的方法及注意事项(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则该复数的实部为a ，虚部为b .(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z 1＝a ＋b i 与z 2＝c ＋d i 共轭⇔a ＝c ，b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)复数是实数的条件：①z ＝a ＋b i ∈R ⇔b ＝0(a ，b ∈R )；②z ∈R ⇔z ＝z ；③z ∈R ⇔z 2≥0.(4)复数是纯虚数的条件：①z ＝a ＋b i 是纯虚数⇔a ＝0且b ≠0(a ，b ∈R )；②z 是纯虚数⇔z ＋z ＝0(z ≠0)；③z 是纯虚数⇔z 2＜0.1．(2020·某某模拟)如果复数z ＝－1＋i ，则( )A ．z 的共轭复数为1＋iB ．z 的虚部为－iC ．|z |＝2D ．z 的实部为－1 D [∵z ＝2－1＋i＝2－1－i －1＋i－1－i ＝－2－2i 2＝－1－i ，∴z 的实部为－1，故选D ．]2．(2020·某某模拟)设(1＋2i)x ＝x ＋y i ，其中x ，y 是实数，i 为虚数单位，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋i ＝( )A ．1B ．2 C ．3 D ．5D [由x ＋2x i ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，则y ＝2x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪y x ＋i ＝|2＋i|＝5，故选D ．]3．如果复数m 2＋i1＋m i是纯虚数，那么实数m 等于( )A ．－1B ．0C ．0或1D ．0或－1 D [m 2＋i 1＋m i＝m 2＋i1－m i 1＋m i1－m i＝m 2＋m ＋1－m 3i1＋m 2，因为此复数为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＝0，1－m 3≠0，解得m ＝－1或0，故选D ．]考点二 复数的运算复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的加、减、乘法：复数的加、减、乘法类似于多项式的运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，使分母实数化．解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[典例1](1)对于两个复数α＝1－i ，β＝1＋i ，有下列四个结论：①αβ＝1；②αβ＝－i ；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪αβ＝1；④α2＋β2＝0，其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)(2020·某某调研)已知复数z 满足z ＋|z |＝1＋i ，则z ＝( ) A ．－i B ．i C ．1－i D ．1＋i(1)C (2)B [(1)αβ＝(1－i)(1＋i)＝2，①不正确；αβ＝1－i 1＋i＝1－i 21＋i1－i＝－i ，②正确；⎪⎪⎪⎪⎪⎪αβ＝|－i|＝1，③正确；α2＋β2＝(1－i)2＋(1＋i)2＝－2i ＋2i ＝0，④正确．(2)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＋|z |＝(a ＋a 2＋b 2)＋b i ＝1＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a 2＋b 2＝1，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，所以z ＝i ，故选B ．]点评：(1)在只含有z 的方程中，z 类似于代数方程中的x ，可直接求解；(2)在z ，z ，|z |中至少含有两个的复数方程中，可设z ＝a ＋b i ，a ，b ∈R ，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a ，b 的方程组，求出a ，b ，从而得出复数z .[跟进训练]1．(2020·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－i D ．i D [ ∵z －(1＋i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋i＝1－i 21＋i1－i＝－i ，∴z ＝i ，故选D ．]2．(2020·全国卷Ⅰ)若z ＝1＋i ，则|z 2－2z |＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．2D [法一：∵z ＝1＋i ，∴|z 2－2z |＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i －2i －2|＝|－2|＝2.故选D ． 法二：∵z ＝1＋i ，∴|z 2－2z |＝|z ||z －2|＝2×|－1＋i|＝2×2＝2.故选D ．]考点三 复数的几何意义与复数几何意义相关的问题的一般解法[典例2](1)(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝1C ．x 2＋(y －1)2＝1D ．x 2＋(y ＋1)2＝1(2)(2020·黄冈模拟)已知i 是虚数单位，则复数i －1i ＋1在复平面上所对应的点的坐标为( )A ．(0,1)B ．(－1,0)C ．(1,0)D ．(0，－1)(3)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值X 围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)(1)C (2)A (3)A [(1)由题意可知z ＝x ＋y i ， 所以|z －i|＝|x ＋(y －1)i|＝x 2＋y －12＝1.∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C ． (2)∵i －1i ＋1＝i －11－i2＝i ，∴该复数在复平面上所对应的点的坐标为(0,1)，故选A ．(3)由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A ．]点评：复平面内的点、向量及向量对应的复数是一一对应的，要求某个复数对应的点，只需确定复数的实部和虚部即可．[跟进训练]1.如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，则复数z 1·z 2对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限D[由已知OA→＝(－2，－1)，OB→＝(0,1)，所以z1＝－2－i，z2＝i，z1z2＝1－2i，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．]2．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝.23[设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得x21＋y21＝x22＋y22＝4.因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝3＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝x21＋y21＋x22＋y22＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(3)2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝x1－x22＋y1－y22＝x21＋y21＋x22＋y22－2x1x2－2y1y2＝8＋4＝2 3.]。