第七招复数的常用化简式 (学生版)

高中数学复数根式题解题技巧复数根式是高中数学中的一个重要知识点，也是考试中经常出现的题型之一。

在解答复数根式题目时，我们需要掌握一些解题技巧，这样才能更好地理解题目，准确地求解答案。

本文将介绍一些常见的复数根式题解题技巧，并通过具体的例题进行说明，希望对高中学生及其家长有所帮助。

一、化简复数根式在解答复数根式题目时，我们常常会遇到需要化简的情况。

化简复数根式可以使题目更简洁，更易于计算。

下面通过一个例题来说明如何化简复数根式。

例题：化简 $\sqrt{18+4\sqrt{14}}$解析：我们可以将根号内的表达式进行分解，然后再进行化简。

首先，我们可以观察到 $18$ 可以分解为 $9\times 2$，而 $4\sqrt{14}$ 可以分解为 $2\sqrt{14}\times 2$。

所以，原式可以化简为 $\sqrt{9}\times \sqrt{2} +\sqrt{2}\times \sqrt{14}$。

继续化简，我们得到 $3\sqrt{2} + \sqrt{28}$。

由于 $\sqrt{28}$ 可以进一步化简为 $2\sqrt{7}$，所以最终化简结果为 $3\sqrt{2} + 2\sqrt{7}$。

通过这个例题，我们可以看到，化简复数根式的关键在于观察并分解根号内的表达式，然后根据分解结果进行合并和化简。

二、配方求解有些复数根式题目可以通过配方求解的方法来解答。

下面我们通过一个例题来说明如何使用配方求解复数根式。

例题：求解 $\sqrt{5+2\sqrt{6}}$解析：我们可以观察到 $5$ 可以分解为 $1+4$，而 $2\sqrt{6}$ 可以分解为$2\sqrt{2}\times \sqrt{3}$。

所以，原式可以写为 $\sqrt{1+4+2\sqrt{2}\times\sqrt{3}}$。

继续化简，我们得到 $\sqrt{(1+\sqrt{2}\sqrt{3})^2}$。

高考复数知识点总结引言复数是数学中的一个重要概念，在高中数学中也是必修的内容之一。

复数不仅在数学领域中有广泛的应用，也在物理学、工程学等学科中发挥着重要的作用。

本文将对高考中常见的复数知识点进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握复数的概念和运算方法。

一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数。

通常用z表示复数，形式为z = a + bi，其中a 为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实数部分和虚数部分都是实数。

二、复数的表示形式复数可以用不同的表示形式来展示，包括： - 代数式表示：z = a + bi - 拆解式表示：z = |z| (cosθ + i sinθ)，其中|z|为模长，θ为辐角三、复数的运算复数之间可以进行加法、减法、乘法和除法的运算。

具体的运算规则如下：3.1 加法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相加的结果为z = z₁ + z₂ = (a₁ + a₂) + (b₁ + b₂)i。

3.2 减法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相减的结果为z = z₁ - z₂ = (a₁ - a₂) + (b₁ - b₂)i。

3.3 乘法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相乘的结果为z = z₁ * z₂ = (a₁a₂ - b₁b₂) + (a₁b₂ + a₂b₁)i。

3.4 除法运算设z₁ = a₁ + b₁i，z₂ = a₂ + b₂i，两复数相除的结果为z = z₁ / z₂ = (a₁a₂ + b₁b₂) / (a₂² + b₂²) + (a₂b₁ - a₁b₂) / (a₂² + b₂²)i。

四、复数的性质复数具有以下性质：4.1 共轭性设z = a + bi为复数，其共轭复数记为z* = a - bi。

共轭复数的实部相等，虚部相反。

4.2 模长性质设z = a + bi为复数，其模长表示为|z|，满足|z| = √(a² + b²)。

高中数学第七章复数经典大题例题单选题1、已知z =2+i ，则z−i 1+i =（ ）A ．1−2iB ．2+2iC ．2iD ．−2i答案：D分析：根据共轭复数的定义及复数的除法法则即可求解.由z =2+i ，得z =2−i ，所以z−i 1+i =2−i−i 1+i =2(1−i )×(1−i )(1+i )×(1−i )=2×(1−2i+i 2)2=−2i .故选：D.2、设(−1+2i)x =y −1−6i ，x,y ∈R ，则|x −yi|=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3答案：B分析：根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得{x =−3y =4，进而求模长即可. 因为(−1+2i )x =y −1−6i ，所以{2x =−6−x =y −1，解得{x =−3y =4， 所以|x −yi |=|−3−4i|=√(−3)2+(−4)2=5.故选：B.3、已知下列三个命题：①若复数z 1，z 2的模相等，则z 1，z 2是共轭复数；②z 1，z 2都是复数，若z 1+z 2是虚数，则z 1不是z 2的共轭复数；③复数z 是实数的充要条件是z =z .则其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：运用复数的模、共轭复数、虚数等知识对命题进行判断.对于①中复数z 1和z 2的模相等,例如z 1=1+i ,z 2=√2i ,则z 1和z 2是共轭复数是错误的;对于②z 1和z 2都是复数,若z 1+z 2是虚数,则其实部互为相反数,则z 1不是z 2的共轭复数,所以②是正确的;对于③复数z 是实数,令z =a ,则z =a 所以z =z ,反之当z =z 时,亦有复数z 是实数,故复数z 是实数的充要条件是z =z 是正确的.综上正确命题的个数是2个.故选C小提示：本题考查了复数的基本概念,判断命题是否正确需要熟练掌握基础知识,并能运用举例的方法进行判断,本题较为基础.4、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .5、z 1、z 2是复数，则下列结论中正确的是（ ）A ．若z 12+z 22>0，则z 12>−z 22B ．|z 1−z 2|=√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2C ．z 12+z 22=0⇔z 1=z 2=0D ．|z 12|=|z 1|2答案：D解析：举反例z 1=2+i ，z 2=2−i 可判断选项A 、B ，举反例，z 2=i 可判断选项C ，设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，分别计算|z 12|、|z 1|2即可判断选项D ，进而可得正确选项.对于选项A ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，z 12=(2+i )2=3+2i ，z 22=(2−i )2=3−2i ，满足z 12+z 22=6>0，但z 12与z 22是两个复数，不能比较大小，故选项A 不正确；对于选项B ：取z 1=2+i ，z 2=2−i ，|z 1−z 2|=|2i |=2，而√(z 1+z 2)2−4z 1⋅z 2=√42−4(2+i )(2−i )=√16−20无意义，故选项B 不正确；对于选项C ：取，z 2=i ，则z 12+z 22=0，但是z 1≠0，z 2≠0，故选项C 不正确；对于选项D ：设z 1=a +bi ，(a,b ∈R )，则z 12=(a +bi )2=a 2−b 2+2abi11z =11z =|z 12|=√(a 2−b 2)2+4a 2b 2=√(a 2+b 2)2=a 2+b 2，z 1=a −bi ，|z 1|=√a 2+b 2，所以|z 1|2=a 2+b 2，所以|z 12|=|z 1|2，故选项D 正确.故选：D.6、已知i 为虚数单位，则i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=（ ）A ．iB ．−iC ．1D ．-1答案：A分析：根据虚数的运算性质，得到i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=0，得到i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=i 2021，即可求解.根据虚数的性质知i 4n +i 4n+1+i 4n+2+i 4n+3=1+i −1−i =0，所以i +i 2+i 3+⋅⋅⋅+i 2021=505×0+i 2021=i .故选：A.7、已知正三角形ABC 的边长为4，点P 在边BC 上，则AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为（ ） A ．2B ．1C ．−2D ．−1答案：D分析：选基底，用基向量表示出所求，由二次函数知识可得.记|BP⃗⃗⃗⃗⃗ |=x ，x ∈[0,4] 因为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=x 2−2x =(x −1)2−1≥−1. 故选：D8、已知关于x 的方程（x 2＋mx ）＋2x i ＝－2－2i （m ∈R ）有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于（ ）A ．3＋iB ．3－iC．－3－iD．－3＋i答案：B分析：根据复数相等得出m,n的值，进而得出复数z. 由题意知（n2＋mn）＋2n i＝－2－2i，即{n 2+mn+2=02n+2=0，解得{m=3,n=−1，∴z=3−i故选：B多选题9、已知复数z=21+i，则正确的是（）A．z的实部为﹣1B．z在复平面内对应的点位于第四象限C．z的虚部为﹣iD．z的共轭复数为1+i答案：BD分析：根据复数代数形式的乘除运算化简，结合复数的实部和虚部的概念、共轭复数的概念求解即可.因为z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=1−i，所以z的实部为1，虚部为-1，在复平面内对应的点为(1，-1)，在第四象限，共轭复数为z=1+i，故AC错误，BD正确.故选：BD10、复数z=1−i，则（）A．z在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)B．z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)C．|z|=2D．|z|=√2答案：AD分析：利用复数的几何意义，求出复数对应的点坐标为(1,−1)，即可得答案；z=1−i在复平面内对应的点的坐标为(1,−1)，|z|=√2．故选：AD.11、已知复数z满足(1+i3)z=2，则下列说法中正确的有（）A．z的虚部是iB．|z|=√2C．z⋅z=2D．z2=2答案：BC分析：根据复数的除法运算求出z，结合相关概念以及复数乘法运算即可得结果.z=21+i3=21−i=1+i，其虚部为1，|z|=√2，z⋅z=(1+i)(1−i)=2，z2=(1+i)2=2i≠2．故选：BC.12、已知复数z1=−2+i（i为虚数单位），复数z2满足|z2−1+2i|=2，z2在复平面内对应的点为，则（）A．复数z1在复平面内对应的点位于第二象限B．1z1=−25−15iC．(x+1)2+(y−2)2=4D．|z2−z1|的最大值为3√2+2答案：ABD分析：利用复数的几何意义可判断A选项；利用复数的除法运算可判断B选项；利用复数的模长公式可判断C选项；利用复数模长的三角不等式可判断D选项.对于A选项，复数z1在复平面内对应的点的坐标为(−2,1)，该点位于第二象限，A对；对于B选项，1z1=1−2+i=−2−i(−2+i)(−2−i)=−25−15i，B对；对于C选项，由题意可得z2−1+2i=(x−1)+(y+2)i，因为|z2−1+2i|=2，则(x−1)2+(y+2)2=4，C错；对于D选项，z1−1+2i=−3+3i，则|z1−1+2i|=√(−3)2+32=3√2，所以，|z2−z1|=|(z2−1+2i)−(z1−1+2i)|≤|z2−1+2i|+|z1−1+2i|=2+3√2，D对.(), M x y故选：ABD.13、若复数z 满足：z (z +2i )=8+6i ，则（ ）A ．z 的实部为3B ．z 的虚部为1C ．zz =√10D ．z 在复平面上对应的点位于第一象限答案：ABD分析：根据待定系数法，将z =a +bi (a,b ∈R )代入条件即可求解a =3，b =1，进而即可根据选项逐一求解. 设z =a +bi (a,b ∈R )，因为z (z +2i )=8+6i ，所以zz +2iz =8+6i ，所以(a 2+b 2−2b )+2ai =8+6i ，所以a 2+b 2−2b =8，2a =6，所以a =3，b =1，所以z =3+i ，所以z 的实部为3，虚部为1，故A ，B 正确；zz =|z |2=10，故C 不正确；z 在复平面上对应的点(3,1)位于第一象限，故D 正确．故选:ABD ．填空题14、i 2 021＝________.答案：i分析：利用周期性求得所求表达式的值.i 2021=i 505×4+1=i 1=i所以答案是：i15、设复数z ，满足|z 1|=1，|z 2|=2，z 1+z 2=√3−i ，则|z 1−z 2|=____________．答案：√6解析：根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出|z 1−z 2|的值.设z 1,z 2在复平面中对应的向量为OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，z 1+z 2对应的向量为OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，如下图所示：因为z 1+z 2=√3−i ，所以|z 1+z 2|=√3+1=2，所以cos∠OZ 1Z 3=12+22−221×2×2=14， 又因为∠OZ 1Z 3+∠Z 1OZ 2=180°，所以cos∠Z 1OZ 2=−cos∠OZ 1Z 3=−14，所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=OZ 12+OZ 22−2OZ 1⋅OZ 2⋅cos∠Z 1OZ 2=1+4+1=6， 所以|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，又|z 1−z 2|=|Z 2Z 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√6，所以答案是：√6.小提示：名师点评复数的几何意义：（1）复数z =a +bi (a,b ∈R )一一对应↔复平面内的点Z (a,b )(a,b ∈R )； （2）复数z =a +bi (a,b ∈R ) 一一对应↔平面向量OZ ⃗⃗⃗⃗⃗ . 16、在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5).则(1−i)z =___________.答案：−2−8i ##−8i −2分析：根据给定条件求出复数，再利用复数的乘法运算计算作答.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3,−5)，则z =3−5i ，所以(1−i)z =(1−i)(3−5i)=−2−8i .所以答案是：−2−8i解答题17、已知复数z 1＝4－m 2＋（m －2）i ，z 2＝λ＋2sin θ＋（cos θ－2）i （其中i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R ）.(1)若z 1为纯虚数，求实数m 的值；(2)若z 1＝z 2，求实数λ的取值范围.答案：(1)-2；(2)[2，6]分析：（1）z 1为纯虚数，则其实部为0，虚部不为0，解得参数值；（2）由z 1＝z 2，实部、虚部分别相等，求得λ关于θ的函数表达式，根据sinθ的范围求得参数取值范围.(1)由z 1为纯虚数，则{4−m 2=0,m −2≠0,解得m ＝－2. (2)由z 1＝z 2，得{4−m 2=λ+2sinθ,m −2=cosθ−2,∴λ＝4－cos 2θ－2sin θ＝sin 2θ－2sin θ＋3=(sinθ−1)2+2. ∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝1时，λmin ＝2，当sin θ＝－1时，λmax ＝6，∴实数λ的取值范围是[2，6].18、已知m ∈R ，α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．（1）若|α−β|=2√2，求m 的值；（2）用m 表示|α|+|β|．答案：（1）−1或3；（2）|α|+|β|={2√m,m >12,0≤m ≤12√1−m,m <0.分析：（1）由α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．可得α+β=−2，αβ=m ，对α，β分为实数，与一对共轭虚根即可得出．（2）不妨设α⩽β，对m 及其判别式分类讨论，利用根与系数的关系即可得出．解：（1）∵α、β是关于x 的方程x 2+2x +m =0的两根．∴α+β=−2，αβ=m ，若α，β为实数，即Δ=4−4m ≥0，解得m ≤1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=√4−4m ，解得m =−1．若α，β为一对共轭复数，即Δ=4−4m <0，解得m >1时；则2√2=|α−β|=√(α+β)2−4αβ=|√4m −4i|，解得m =3．综上可得：m =−1或3．（2）因为x2+2x+m=0，不妨设α⩽β．Δ=4−4m⩾0，即m⩽1时，方程有两个实数根．α+β=−2，αβ=m，0⩽m⩽1时，|α|+|β|=|α+β|=2．m<0时，α与β必然一正一负，则|α|+|β|=−α+β=√(α+β)2−4αβ=2√1−m．Δ=4−4m<0，即m>1时，方程有一对共轭虚根．|α|+|β|=2|α|=2√α2=2√m综上可得：|α|+|β|={2√m,m>1 2,0⩽m⩽12√1−m,m<0．。

数系的扩充和复数概念和公式总结1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21i=-2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－ii的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=13.4.复数的定义：形如(,)a bi ab R+∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,)z a bi a b R=+∈5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)+∈，当且a bi ab R仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di⇔a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小7. 复平面、实轴、虚轴：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数（1）实轴上的点都表示实数（2）虚轴上的点都表示纯虚数（3）原点对应的有序实数对为(0，0)设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i .9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i .10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i .11.复数z 1与z 2的除法运算律：z 1÷z 2 =(a +bi )÷(c +di )=i dc ad bc d c bd ac 2222+-+++（分母实数化）12.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数通常记复数z 的共轭复数为z 。

(名师选题)2023年人教版高中数学第七章复数知识点汇总单选题1、复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1，其中i 为虚数单位，θ∈[0,2π]，则这样的θ一共有（ ）个.A ．9B ．10C ．11D ．无数答案：C分析：先根据复数(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)的模为1及复数模的运算公式，求得cos 22θ+sin 23θ=1即cos 22θ=cos 23θ，接下来分cos 2θ=cos3θ与cos 2θ=−cos3θ两种情况进行求解，结合θ∈[0,2π]，求出θ的个数.|(cos 2θ+isin 3θ)⋅(cos θ+isin θ)|=|cos 2θ+isin 3θ|⋅|cos θ+isin θ|=1，其中|cos θ+isin θ|=1，所以|cos 2θ+isin 3θ|=1，即cos 22θ+sin 23θ=1，cos 22θ=1−sin 23θ=cos 23θ，当cos 2θ=cos3θ时，①2θ=3θ+2k 1π，k 1∈Z ，所以θ=−2k 1π，k 1∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0或2π；②2θ=−3θ+2k 2π，k 2∈Z ，所以θ=2k 2π5，k 2∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=0，2π5，4π5，6π5，8π5或2π；当cos 2θ=−cos3θ时，①2θ=3θ+(2k 3+1)π，k 3∈Z ，即θ=−(2k 3+1)π，k 3∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π，②2θ=−3θ+(2k 4+1)π，k 4∈Z ，即θ=(2k 4+1)5π，k 4∈Z ，因为θ∈[0,2π]，所以θ=π5，3π5，π，7π5，9π5，综上：θ=m 5π，m =0,1,⋯10，一共有11个.故选：C2、已知i 是虚数单位，则复数z =2−i 20202+i 2021对应的点所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：D分析：先化简i 2020,i 2021，再利用复数的除法化简得解.z =2−i 20202+i 2021=12+i =2−i (2+i)(2−i)=2−i 5.所以复数对应的点(25,−15)在第四象限， 故选：D小提示：名师点评复数z =x +yi(x,y ∈R)对应的点为(x,y)，点(x,y)在第几象限，复数对应的点就在第几象限.3、若复数z 满足z ⋅(2+i)=z ⋅(1−i)+1，则复数z 的实部为（ ）A ．−32B ．−1C ．−12D ．1 答案：D分析：利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.设z =a +bi (a 、b ∈R )，则(a +bi)⋅(2+i)=(a −bi)⋅(1−i)+1，化简得(2a −b)+(a +2b)i =(a −b +1)−(a +b)i ，根据对应相等得：{2a −b =a −b +1a +2b =−(a +b )， 解得a =1，b =−23，故选：D.4、复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数的充要条件是（ ）.A ．a =0且b ≠0B ．a ≠0且b =0C ．a =b =0D ．ab =0答案：D分析：利用充要条件的定义和复数的运算判断即可因为(a +b i )2=a 2+2ab i +(b i )2=a 2−b 2+2ab i 为实数，所以ab =0，反之，当ab =0时，复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数，所以复数a +b i (a,b ∈R )的平方是一个实数的充要条件是ab =0，故选：D5、在复平面内，复数z =1+i 1−i +1−i 2对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：A解析：由复数的运算求出z ，则可得其对应的点的坐标，从而得出结论．z =(1+i)2(1−i)(1+i)+1−i 2=2i 2+1−i 2=12+12i ， 则z 在复平面内对应的点为(12，12)，在第一象限，故选：A .6、1545年，意大利数学家卡尔丹在其所著《重要的艺术》一书中提出“将实数10分成两部分，使其积为40”的问题，即“求方程x (10−x )=40的根”，卡尔丹求得该方程的根分别为5+√−15和5−√−15，数系扩充后这两个根分别记为5+√15i 和5−√15i ．若z(5+√15i )=5−√15i ，则复数z =（ ）A ．1−√15iB ．1+√15iC ．1−√15i 4D ．1+√15i 4答案：C 分析：利用复数除法运算求得z .由z(5+√15i )=5−√15i ，得z =√15i 5+√15i =√15i 2(5+√15i )(5−√15i )=25−15−10√15i 25−15i 2=1−√15i4．故选：C ．7、若a,b ∈R ，i 是虚数单位，a +2021i =2−bi ，则a 2+bi 等于（ ）A ．2021+2iB ．2021+4iC ．2+2021iD ．4−2021i答案：D分析：根据复数相等可得a =2，−b =2021，进而即得.因为a+2021i=2−bi，所以a=2，−b=2021，即a=2，b=−2021，所以a2+bi=4−2021i．故选：D．8、若z=1+2i+i3，则|z|=（）A．0B．1C．√2D．2答案：C分析：先根据i2=−1将z化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．因为z=1+2i+i3=1+2i−i=1+i，所以|z|=√12+12=√2．故选：C．小提示：本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．9、设z1=−1+√3i，z2=(12z1)2，则argz2=（）A．56πB．43πC．116πD．53π答案：B分析：首先求z2，再求tanθ，根据对数对应的点所在的象限，求复数的辅角主值.z2=14z12=14(−1+√3i)2=−12−√32i，复数对应的点是(−12,−√32)，位于第三象限，且tanθ=ba=√3，所以argz2=4π3.故选：B10、已知复数z1=21+i与z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，则z1z2=（）A．−4i B．−2i C．2i D．4i答案：C分析：利用复数的除法运算法则化简复数z 1，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线y =x 对称的点，得到复数z 2，最后利用复数的乘法运算法则即可求得z 1z 2．因为z 1=21+i =2(1−i )(1+i )(1−i )=1−i ，所以复数z 1在复平面内对应的点为(1,−1)，其关于直线y =x 对称的点为(−1,1)，所以z 2=−1+i ，所以z 1z 2=(1−i )(−1+i )=2i ，故选：C ．11、已知复数z 1﹑z 2满足|z 1−z 2|=r (r >0)，复数ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，且|ωi −ωj |≥r 对任意1≤i <j ≤n 成立，则正整数n 的最大值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12答案：C解析：用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，根据题意，可得|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA ⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ，因为|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，根据其几何意义可得ωi 的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.用向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,OB ⃑⃑⃑⃑⃑ 表示z 1⃑⃑⃑ ,z 2⃑⃑⃑ ，因为|z 1−z 2|=r (r >0)，所以|OA ⃑⃑⃑⃑⃑ −OB ⃑⃑⃑⃑⃑ |=|BA⃑⃑⃑⃑⃑ |=r ， 又ωi (1≤i ≤n,n ∈N ∗)满足|ωi −z 1|=r 或者|ωi −z 2|=r ，则ωi 可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ，因为|ωi −ωj |≥r ，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60°，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.故选：C小提示：解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到ωi 的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.12、设i 是虚数单位，则复数z =2i (−2+3i )对应的点在复平面内位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案：C分析：利用复数的乘法法则化简复数z ，由此可得出结论.∵z =2i (−2+3i )=−6−4i ，因此，复数z 在复平面内的点位于第三象限.故选：C.双空题13、欧拉公式e i θ=cosθ+i sinθ把自然对数的底数e ､虚数单位i ､三角函数cosθ和sinθ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被兴为“数学中的天桥”，若复数z 满足(e 2023iπ+i )⋅z =i ，则z 的虚部是___________，|z |=___________.答案： −12 √22分析：结合欧拉公式、复数除法运算求得z ，从而求得z 的虚部以及|z |.由e i θ=cosθ+i sinθ，得e 2023iπ=cos2023π+i sin2023π=−1，则由(e 2023iπ+i )⋅z =i ，得z =i −1+i =i (−1−i )(−1+i )(−1−i )=12−12i ，故z 的虚部是−12，|z |=√14+14=√22. 所以答案是：−12；√22 14、已知a ，b ∈R ，1+ai =b +(2a +3)i ，则a =______，|a +3bi |=______.答案： −3 3√2分析：根据a ，b ∈R ，1+ai =b +(2a +3)i ，利用复数相等，建立方程求出a ，b 即可得到结论. ∵1+ai =b +(2a +3)i∴{1=b a =2a +3， 解得{a =−3b =1， 则|a +3bi |=|−3+3i |=√(−3)2+32=√18=3√2，所以答案是：（1）−3；（2）3√2小提示：本题主要考查复数相等的应用以及复数的模的求法，属于基础题.15、复数z =11+i对应的点在第_____象限，复数z 的实部是_______________． 答案： 四 12解析：根据复数的运算法则化简复数z ，再求对应点的坐标，以及实部即可.因为z =11+i =1−i (1+i)(1−i)=12−12i ，故其对应的点为(12,−12)位于第四象限，其实部为12.所以答案是：四；12.小提示：本题考查复数的运算以及复数的几何意义，属综合基础题.16、已知复数z 满足(1−i )z =3+i ，则z =__________，|z|=__________．答案： 1+2i ##2i+1 √5分析：利用复数的除法化简得到z = 1+2i ，利用复数的模长公式即得.∵(1−i )z =3+i ，∴z =3+i 1−i =(3+i)(1+i)(1−i )(1+i )=2+4i 2=1+2i ，|z |=√12+22=√5.所以答案是：1+2i ；√5.17、复数z 满足(1+i )z =4−2i ，则z 的虚部为__________，|z |=__________．答案：−3√10分析：先根据复数的除法运算求出复数z，进而根据复数的概念求出虚部，再利用复数的模长公式即可求出模长.因为(1+i)z=4−2i，所以z=4−2i1+i =(4−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=2−6i2=1−3i，则z的虚部为−3，|z|=√12+(−3)2=√10，所以答案是：−3；√10.解答题18、设虚数z1、z2满足z12=z2，且z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个根，求z1、z2．答案：{z1=−12+√32iz2=−12−√32i或{z1=−12−√32iz2=−12+√32i分析：先探讨实系数一元二次方程的两个虚根的关系，由此设z1=a+b i，结合已知条件列出方程即可得解. 一元二次方程mx2+nx+p=0中，m,n,p∈R,m≠0,Δ=n2−4mp<0，则有(x+n2m )2=n2−4mp4m2，(x+n2m)2=(√−Δ2mi)2，得原方程的二根为x1=−n2m+√−Δ2mi和x2=−n2m−√−Δ2mi，显然x1与x2互为共轭复数，即实系数一元二次方程有虚根时，这两个虚根互为共轭复数，因z1、z2是一个实系数一元二次方程的两个虚根，则有z2=z1，设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0)，而z12=z2，于是得a2−b2+2ab i=a−b i⇒{a 2−b2=a2ab=−b ⇒{a=−12b=±√32，所以{z1=−12+√32iz2=−12−√32i或{z1=−12−√32iz2=−12+√32i19、复数z满足|z|=1，且z2+2z+1z<0．求z．答案：z=−1或z=−12±√32i解析：由题意可知设复数z =cosα+isinα,计算出z 2,2z ,1z ,代入z 2+2z +1z <0中可得{cos2α+3cosα<02sinαcosα+sinα=0可求得复数z .由题意可知：z =cosα+isinα,则z 2=cos 2α−sin 2α+2isinαcosα,2z =2cosα+2isinα,1z =cosα−isinα, ∴z 2+2z +1z =(cos2α+3cosα)+(2sinαcosα+sinα)i <0, ∴{cos2α+3cosα<02sinαcosα+sinα=0,即{cos2α+3cosα<0sinα(2cosα+1)=0， 若sinα=0，则cos2α=1，由cos2α+3cosα<0得cosα=−1，所以z =−1，若cosα=−12，则cos2α=−12，cos2α+3cosα<0，得z =−12±√32i ， ∴z =−1或z =−12±√32i . 小提示：本题考查复数的计算，关键在于设出复数z 的三角形式进行运算，理解复数小于零的含义，属于中档题.20、复数z =(1+i )m 2+(5−2i )m +(6−15i )．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线x +y +7=0上．答案：（1）m =5或−3；（2）m =−2；（3）m =12或−2分析：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m 即可得出．（2）由{m 2+5m +6=0m 2−2m −15≠0 ，解得m 即可得出． （3）由(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)+7=0．解出即可得出．解：复数z =(1+i)m 2+(5−2i)m +(6−15i)=(m 2+5m +6)+(m 2−2m −15)i ．（1）由m 2−2m −15=0，解得m =5或−3．∴m =5或−3时，复数z 为实数．（2）由{m2+5m+6=0m2−2m−15≠0，解得m=−2．∴m=−2时，复数z为纯虚数．（3）由(m2+5m+6)+(m2−2m−15)+7=0．化为：2m2+3m−2=0，解得m=12或−2．∴m=12或−2，z对应点在直线x+y+7=0上．小提示：本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。

中考复习复数的计算技巧复数是英语中一个重要的语法概念，掌握好复数的计算规则对于中考的英语考试非常重要。

本文将介绍一些复数计算的技巧，帮助同学们更好地复习和应用。

一、名词复数的规则1. 绝大多数直接在词尾加-s大部分名词在复数形式直接在词尾加-s，例如：books, pens, tables。

2. 以s, x, ch, sh结尾的名词在词尾加-es当名词以s, x, ch, sh等音素结尾时，复数形式在词尾加-es，例如：boxes, watches, dishes。

3. 以辅音字母+y结尾的名词变y为i，再加-es当名词以辅音字母+y结尾时，将y变为i，再加-es，例如：babies, cities, flies。

4. 以-o结尾的名词有多种情况a) 大多数以-o结尾的名词直接加-s，例如：photos, radios。

b) 以辅音字母+o结尾的名词在词尾加-es，例如：potatoes, tomatoes。

c) 以元音字母+o结尾的名词直接加-s，例如：pianos, zoos。

5. 不规则变化的名词有一些名词的复数形式是不规则的。

例如：man-men, woman-women, child-children, tooth-teeth等。

这些名词需要进行记忆。

二、名词复数的特殊情况1. 一些名词只有复数形式有一些名词没有单数形式，只有复数形式。

例如：trousers, scissors, jeans。

在使用时，这些名词仍然被视为复数形式，例如：These trousers are new.2. 一些名词单复数形式相同有一些名词的单数和复数形式是相同的。

例如：sheep, fish。

这些名词在单复数形式不变，例如：There are many fish in the river.三、名词复数的不可数名词1. 一些名词只有单数形式有一些名词只有单数形式，没有复数形式。

这些名词称为不可数名词。

例如：water, milk, sugar。

复数的各类表达形式一、代数形式表示形式：表示一个复数复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。

二、几何形式点的表示形式：表示复平满的一个点在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。

复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。

这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。

也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。

三、三角形式表示形式复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。

式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。

这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。

四、指数形式表示形式将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp (iθ)。

向量在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。

向量的运算法则1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

OB+OA=OC。

a+b=(x+x'，y+y')。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y').如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。

3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ>0时，λa与a同方向当λ<0时，λa与a反方向；当λ=0时，λa=0，方向任意。

复数的变换规则一、复数的基本形式复数一般表示为z = a+bi，其中a为实部（a∈ R），b为虚部（b∈ R），i为虚数单位，且i^2=- 1。

二、复数的四则运算规则1. 加法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}+z_{2}=(a + c)+(b + d)i。

- 例如：若z_{1}=2 + 3i，z_{2}=1+2i，则z_{1}+z_{2}=(2 + 1)+(3+2)i=3 + 5i。

2. 减法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}-z_{2}=(a - c)+(b - d)i。

- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1 + 2i，则z_{1}-z_{2}=(2-1)+(3 - 2)i=1+i。

3. 乘法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di，则z_{1}· z_{2}=(ac - bd)+(ad+bc)i。

- 推导：(a + bi)(c+di)=ac+adi + bci+bdi^2=ac - bd+(ad + bc)i（因为i^2=-1）- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1+2i，则z_{1}· z_{2}=(2×1-3×2)+(2×2 + 3×1)i=(2 - 6)+(4 + 3)i=-4+7i。

4. 除法- 规则：设z_{1}=a + bi，z_{2}=c+di（c + di≠0），则frac{z_{1}}{z_{2}}=(a + bi)/(c+di)=((a + bi)(c - di))/((c + di)(c - di))=(ac+bd)/(c^2)+d^{2}+(bc - ad)/(c^2)+d^{2}i。

- 推导：为了将分母化为实数，我们给分子分母同时乘以z_{2}的共轭复数c - di。

- 例如：若z_{1}=2+3i，z_{2}=1+2i，则frac{z_{1}}{z_{2}}=((2 + 3i)(1-2i))/((1+2i)(1 - 2i))=frac{2-4i+3i - 6i^2}{1-(2i)^2}=(2 - i+6)/(1 + 4)=(8 -i)/(5)=(8)/(5)-(1)/(5)i。