数值分析复习题

数值分析期末考试题一、选择题1. 在数值分析中，用于求解线性方程组的雅可比方法属于以下哪种迭代法？A. 直接迭代法B. 间接迭代法C. 外推法D. 松弛法2. 插值法中，拉格朗日插值多项式的主要特点是？A. 适用于多项式插值B. 适用于函数值已知的情况C. 只适用于单点插值D. 适用于分段插值3. 在数值积分中，辛普森法则是一种？A. 单区间求积公式B. 双区间求积公式C. 三区间求积公式D. 多区间求积公式4. 误差分析中，截断误差通常与以下哪个概念相关？A. 舍入误差B. 舍入误差的补偿C. 条件数D. 病态条件5. 非线性方程求解中，牛顿法的收敛速度通常？A. 较慢B. 较快C. 与初始值有关D. 与方程的性质有关二、填空题1. 在求解三对角线性方程组时，托马斯算法是一种________方法。

2. 多项式插值中，牛顿插值多项式可以通过________法来构建。

3. 数值积分中，高斯求积法是一种________方法。

4. 误差传递的估计通常通过________公式来进行。

5. 非线性方程的求解中，二分法是一种________方法。

三、简答题1. 请简述数值分析中的条件数概念及其在解方程中的应用。

2. 描述线性方程组迭代法中的收敛性判断方法，并给出收敛域的计算公式。

3. 解释插值和拟合的区别，并举例说明各自的应用场景。

4. 阐述数值积分中梯形法则的原理及其误差估计方法。

5. 讨论非线性方程求解中不动点理论和收敛性的关系。

四、计算题1. 给定线性方程组如下，请使用高斯消元法求解未知数x、y、z的值： \[\begin{cases}2x + y + z = 6 \\x + 3y + 2z = 11 \\3x + y + 4z = 17\end{cases}\]2. 假设有一个函数f(x) = sin(x)，给定插值节点如下，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式，并计算在x=π/4处的插值误差。

1、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x 的绝对误差限。

解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε()07057.00005.0115.80005.01025.621=⨯+⨯≈x x ε2、设430.56,1021.12≈≈x x均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x +的绝对误差限。

解：由有效数字的定义得，()104121-⨯=x ε，()103221-⨯=x ε0055.0)()()(2121=+=+x x x x εεε3、简答题 （1）已知12622)(256+-+-=x xxxx f ，求]1,0[f 及]6,5,4,3,2,1,0[f 。

解：由f(0)=1,f(1)=5得 []()()41011,0=-=f f f因为最高阶差商只出现在最高次，所以[]26,5,4,3,2,1,0=f（2）求积公式[])1()0(121)]1()0([21)(1f f f f dx x f '-'++≈⎰的代数精度为多少？ 解：令()xx f =，则()21211021==⎰xdx x f ，右边=21，左边=右边同理令()2xx f =，()3xx f =均准确成立，()4xx f =时，左边≠右边所以，上式具有3阶精度4、求满足下表条件的Hermit 插值多项式。

x0 1)(x f -1 0 )(x f '-210解：使用重节点差商表法x y 一阶二阶 三阶 0 -1 0 -1 -2 1 0 1 3 1 010 9 6()()1236163212322---=-++--=x x x x xx x x H5、已知函数)(x f y =的数据如下：x1 2 4 -5 )(x f3 4 1 0（1）求3次Lagrange 插值多项式； （2）求3次Newton 插值多项式； （3）写出插值余项。

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

数值分析期末试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法不是用于求解线性方程组的？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 雅可比法D. 追赶法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法属于：A. 多项式插值B. 样条插值C. 线性插值D. 非线性插值答案：A3. 以下哪个选项不是数值分析中的误差来源？A. 截断误差B. 舍入误差C. 计算误差D. 测量误差答案：C4. 在数值积分中，梯形法则的误差项是：A. O(h^2)B. O(h^3)C. O(h)D. O(1)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 牛顿插值法中，插值多项式的一般形式为：______。

答案：f(x) = a_0 + a_1(x-x_0) + a_2(x-x_0)(x-x_1) + ...2. 牛顿迭代法求解方程的根时，迭代公式为：x_{n+1} = x_n -f(x_n) / __________。

答案：f'(x_n)3. 在数值分析中，______ 用于衡量函数在区间上的近似积分值与真实积分值之间的差异。

答案：误差4. 线性方程组的解法中，______ 法是利用矩阵的LU分解来求解。

答案：克兰特三、解答题（每题10分，共60分）1. 给定函数f(x) = e^(-x)，使用拉格朗日插值法，求x = 0.5时的插值值。

解答：首先选取插值节点x_0 = 0, x_1 = 0.5, x_2 = 1，对应的函数值分别为f(0) = 1, f(0.5) = e^(-0.5), f(1) = e^(-1)。

拉格朗日插值多项式为：L(x) = f(0) * (x-0.5)(x-1) / (0-0.5)(0-1) + f(0.5) * (x-0)(x-1) / (0.5-0)(0.5-1) + f(1) * (x-0)(x-0.5) / (1-0)(1-0.5)将x = 0.5代入得：L(0.5) = 1 * (0.5-0.5)(0.5-1) / (0-0.5)(0-1) + e^(-0.5) * (0.5-0)(0.5-1) / (0.5-0)(0.5-1) + e^(-1) * (0.5-0)(0.5-0.5) / (1-0)(1-0.5)计算得L(0.5) = e^(-0.5)。

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

数值分析期末复习题答案一、选择题1. 以下哪个算法是用于求解线性方程组的直接方法？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 共轭梯度法D. 辛普森积分法答案：B2. 插值法中，拉格朗日插值法和牛顿插值法的主要区别是什么？A. 插值点的选取不同B. 插值多项式的构造方式不同C. 计算复杂度不同D. 适用的函数类型不同答案：B3. 在数值积分中，梯形法则和辛普森法则的主要区别是什么？A. 精度不同B. 适用的积分区间不同C. 计算方法不同D. 稳定性不同答案：A二、简答题1. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性指的是数值方法在计算过程中对于舍入误差的敏感程度。

例如，在求解线性方程组时，如果系数矩阵的条件数很大，则该方程组的数值解对舍入误差非常敏感，即数值稳定性差。

2. 说明数值微分与数值积分的区别。

答案：数值微分是估计函数在某一点的导数，而数值积分是估计函数在某个区间上的积分。

数值微分通常用于求解函数的局部变化率，而数值积分用于求解函数在一定区间内的累积效果。

三、计算题1. 给定一组数据点：(1, 2), (2, 3), (3, 5), (4, 6)，请使用拉格朗日插值法构造一个三次插值多项式。

答案：首先写出拉格朗日插值基函数，然后根据数据点构造插值多项式。

具体计算过程略。

2. 给定函数 f(x) = x^2，使用牛顿-科特斯公式中的辛普森积分法在区间 [0, 1] 上估计积分值。

答案：首先确定区间划分，然后应用辛普森积分公式进行计算。

具体计算过程略。

四、论述题1. 论述数值分析中误差的来源及其控制方法。

答案：误差主要来源于舍入误差和截断误差。

舍入误差是由于计算机在进行浮点数运算时的精度限制造成的，而截断误差是由于数值方法的近似性质导致的。

控制误差的方法包括使用高精度的数据类型、选择合适的数值方法、增加计算步骤等。

五、综合应用题1. 给定一个线性方程组 Ax = b，其中 A 是一个 3x3 的矩阵，b 是一个列向量。

数值分析期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个算法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 高斯消元法C. 插值法D. 傅里叶变换答案：B2. 以下哪个选项不是数值分析中的误差类型？A. 舍入误差B. 截断误差C. 测量误差D. 累积误差答案：C3. 多项式插值中，拉格朗日插值法的特点是：A. 插值点必须等距分布B. 插值多项式的次数与插值点的个数相同C. 插值多项式是唯一的D. 插值多项式在插值点处的值都为1答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程？A. 辛普森法则B. 牛顿迭代法C. 欧拉法D. 龙格-库塔法答案：B5. 以下哪个是数值稳定性的指标？A. 收敛性B. 收敛速度C. 条件数D. 误差传播答案：C二、简答题（每题10分，共20分）1. 简述高斯消元法求解线性方程组的基本原理。

答案：高斯消元法是一种直接解法，通过行变换将增广矩阵转换为上三角形式，然后通过回代求解线性方程组。

它包括三个基本操作：行交换、行乘以非零常数、行相加。

2. 解释什么是数值稳定性，并举例说明。

答案：数值稳定性是指数值解对输入数据小的扰动不敏感的性质。

例如，某些数值方法在计算过程中可能会放大舍入误差，导致结果不可靠，这样的方法就被认为是数值不稳定的。

三、计算题（每题15分，共30分）1. 给定线性方程组：\[\begin{align*}x + 2y - z &= 4 \\3x - y + 2z &= 1 \\-x + y + z &= 2\end{align*}\]使用高斯消元法求解该方程组，并给出解。

答案：首先将增广矩阵转换为上三角形式，然后回代求解，得到\( x = 1, y = 2, z = 1 \)。

2. 给定函数 \( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)，使用拉格朗日插值法在\( x = 0, 1, 2 \) 处插值，并求出插值多项式。

1、已知(1)用拉格朗日插法求)(x f 的三次插值多项式； (2)求x ，使0)(=x f 。

2、试求1x ,2x 使求积公式11211()[(1)2()3()]3f x f f x f x -≈-++⎰的代数精度尽量高，并求其代数精度。

3、用牛顿法求3的近似值。

取7.10=x ,计算三次，保留五位小数。

4、已知一元方程02.133=--x x 。

1）求方程的一个含正根的区间；2）给出在有根区间收敛的简单迭代法公式(判断收敛性)；3）给出在有根区间的Newton 迭代法公式。

5、确定求积公式)5.0()()5.0()(111Cf x Bf Af dx x f ++-≈⎰-的待定参数，使其代数精度尽量高，并确定其代数精度.6、已知数据如下：求形如bxa y +=1拟合函数。

7、用二次拉格朗日插值多项式2()L x 计算sin 0.34。

插值节点和相应的函数值如下表。

8、已知012113,,,424x x x === (1)推导以这三点为求积节点在[0,1]上的插值型求积公式；10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰(2)指明求积公式所具有的代数精度；(3)用所求公式计算⎰102dx x 。

9、讨论用Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法求解方程组A x =b 的收敛性，如果收敛，比较哪种方法收敛快。

其中：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=212120203A10、写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.11、已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.12、对方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=++841025410151023321321321xxxxxxxxx试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由13、用高斯-塞德尔方法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++225218241124321321321xxxxxxxxx，取T)0,0,0()0(=x，迭代三次(要求按五位有效数字计算)。

数值分析期末复习题⼀、填空题1.设真值x=983350,则其近似值y=98000的有效数字的位数，绝对误差为，相对误差为。

2.x=0.1062,y=0.947,计算x+y 其有效数字的位数为。

3.对f(x)=x 3+x+1,差商f[0,1,2,3]= ;f[0,1,2,3,4]= 。

4.设f(x)可微，求⽅程x=f(x)根的⽜顿迭代法格式是。

5.设⽅程x=?(x)有根x *,且设?(x)在含x *的区间(a,b)内可导，设x 0∈(a,b)则迭代格式x k+1=?(x k )收敛的充要条件为。

6.求解线性⽅程组Ax=b 的迭代格式x (k+1)=Jx (k)+f 收敛的充要条件为。

7.=011001001001....A ,||A||∝= ,cond(A)∝= 。

8.n 次Legendre 多项式的最⾼次项系数为。

9.中矩形公式：)()2()(a b b a f dx x f b a -+=?的代数精度为。

10.求积公式：)1(21)0()(10f f dx x f '+≈?的代数精度为。

11.在区间[1，2]上满⾜插值条件??==3)2(1)1(P P 的⼀次多项式P(x)= 。

12.设∑==n k k k n x f A f I 0)()(是函数f(x)在区间[a,b]上的插值型型求积公式，则 ∑=n k k A0= 。

13．梯形公式和改进的Euler 公式都是阶精度的。

⼆、计算题1.利⽤矩阵的⾼斯消元法，解⽅程组=++=++=++2053182521432321321321x x x x x xx x x2.设有函数值表试求各阶差商，并写出Newton 插值多项式。

3.求解超定⽅程组= ?43231211121x x的最⼩⼆乘解。

4.给定下列函数值表：求3次⾃然样条插值函数5.给定x x f =)(在x=100, 121, 144 三点处的值，试以这三点建⽴f(x)的⼆次（抛物）插值公式，利⽤插值公式求115的近似值并估计误差。