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一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。
昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）(B 卷)科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。
一、填空题（每空2分，共40分）1．设*0.4881x =是真值0.4891x =的近似值，则*x 有 2 位有效数字，*x 的相对误差限为 0.0125 或 0.0102 。
2．设i x 为互异节点(0,1,,),()i i n l x =为拉格朗日插值的基函数，当0,1,,k n =时，()nk i i i x l x ==∑ kx。
3. 已知函数)(x f y =的经过节点(3.0,1.8),(4.0,3.2),(5.0,4.2)，试作二次Lagrange 插值公式)(2x L =20.2 2.8 4.8x x -+-，计算)2.4(2L = 3.432 。
4．设3()21f x x x =-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 514x -+，最佳二次平方逼近多项式为 715x -+。
5．求积公式的中矩形法为⎰≈badx x f )( ()()2a bb a f +-，其代数精度是_ 1 _次。
6．方程组b Ax =，建立迭代公式f Bx xk k +=+)()1(，则该迭代法的应满足)(B ρ1。
7．2443A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，其条件数2()Cond A = 94+或4.2656 ，()Cond A ∞= 4.9 。
8．0.60.50.10.3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1A = 0.8 ，A ∞= 1.1 ，2A = 0.8278 。
9．求方程()0f x =根的弦截法迭代格式是 111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---，其收敛阶= 1.618 。
10．已知()3230112122x x x s x x bx cx dx ≤≤⎧+-=⎨≤≤+++⎩是[]2,0上的以0，1，2为节点的三次样条函数,则=b -1 , =c 3 , =d -2 。
湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 12级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。
一、(10分) 证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足,0(), 0kk k i n ij x lx x k n ==≤≤∑.二、(20分) 设.1．写出求解方程 3()515f x x x =+- 的Newton 迭代的计算格式.2. 证明方程 0)(=x f 在区间[1,2]上有根，并选择使Newton 迭代收敛的初始值. 3． 用Newton 迭代求方程 0)(=x f 在区间 [1,2] 上的根（精确到小数点后面六位）。
三、(10分) 求函数14)(3+=x x f 在区间]1,1[-上关于权函数()1p x =的形如2ax b +的最佳平方逼近二次多项式，即求 a ，b ， 使 1221(())d ax b f x x -+-ò达到最小。
四、(10分) 利用三角分解解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=+-.52,4222,12321321321x x x x x x x x x五、(10分) 对于线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-,33,84,65,12321432431421x x x x x x x x x x x x 导出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的迭代格式，要求写出迭代格式并说明收敛理由。
六、（10分）试根据数表构造一个3次Hermite(埃尔米特)插值多项式3().H x 七、（10分）求最小二乘拟合直线拟合如下数据.八、(10分) 用变步长求积公式计算积分⎰31d 1x x，要求事后误差不超过310-.九、(10分) 试确定系数123,,,A A A 使得求积公式1123112()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫≈-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数。
上海海事大学2011---2012学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案）学生姓名： 学号： 专业：一．填空题（每小格2分共30分）1. 利用Jacobi 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是)(1U L D B J +=-；当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Jacobi 迭代法收敛 。
x 0 1 2 42. 已知函数)(x f 有数据f 1 9 23 3 则其3次Lagrange插值多式的基函数)(0x l 为147878123+-+-x x x 插值余项为 )4)(2)(1(!4)()4(---x x x x f ξ3. 求解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=η)(),,('a y bx a y x f y的Euler 公式为),(1i i i i y x hf y y +=+， 它是1 阶方法。
4. 设,1457)(348++-=x x x x f 则差商=]5,...,5,5[810f 7 =]2,...2,2[910f 05. 对于求解Ax=b ，如果右端有b δ的扰动存在而引起解的误差为x δ，则相对误差≤xxδ bbA C o n d δ)(6. Gauss 型数值求积公式)()(0i bani ix f Adx x f ⎰∑=≈的代数精度具有2n+1___次，求积系数的表达式为i A ＝⎰bai dx x l )(2,且=∑=ni iAb-ａ7. 幂法是求矩阵 按模最大 特征值和特征向量的计算方法．Jacobi 法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法8. 对于给定的正数k ，Newton 法解二次方程02=-k x 的迭代公式为)(21)()(1nn n n n n x kx x f x f x x +='-=+ 二．设函数42)(x x f =，已知188)(244+-=x x x T ，试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数)(x f 在区间[-1，1]上的次数低于4的最佳一致逼近。
一、填空1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150 .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =11/63. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = 14 ，=∞||||X 3 。
p494. 4．求方程 21.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值01x =， 那么1______x =。
1.55．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =⎧⎨=⎩近似解的梯形公式是1______k y +≈。
()()[]11,,2++++k k k k k y x f y x f h y6、1151A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，则A 的谱半径 ＝ 6 。
7、设2()35, , 0,1,2,... ,k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++=——————————3 和[]123,,,n n n n f x x x x +++=_______________0_____ 。
8、 若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛 。
9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为_______O(h ）___。
10、为了使计算23123101(1)(1)y x x x =++----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成____________⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛---+-+=1321111110x x x y _____________。
二、计算题 1、已知的满足 ，试问如何利用 构造一个收敛的简单迭代函数，使0，1…收敛？由 ()x x ϕ=，可得 3()3x x x x ϕ-=-，1(()3)()2x x x x ϕψ=--= 1 ()(()3) 2x x ψψ=--’’因，故11()122x x ψϕ=<<’’（）-3[]11()()3 , k=0,1,.... 2k k k k x x x x ψϕ+==--故收敛。
2、 试确定常数A ，B ，C 和 a ，使得数值积分公式有尽可能高的代数精度。
试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？101612,,995A C B a ====±，该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的3、 利用矩阵的LU 分解法解方程组 1231231232314252183520x x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3214、写出求解下列初始值问题⎩⎨⎧=≤≤-=2)1()21(,38'y x y y 的欧拉迭代式，欧拉预-校迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。
5.设212Sgt=，假定 g是准确的，而对的测量有±秒的误差，证明当增加时的绝对误差增加，而相对误差却减少。
解：2**22211()0.122()0.10.2()1122,(),().rre S S S gt gt gte S gte Stgt gtt e S e S=-=-====∴↑↑↓6.在x-≤≤上给出xf x e=的等距节点函数表，若用二次插值求e的近似值，要使截断误差不超过10-，问使用函数表的步长应取多少？解：()40000(),(),[4,4],,,, 1.x k xf x e f x e e x x h x x h x x th t==≤∈--+=+≤考察点及(3)200044343()()[(()]()[()]3!(1)(1)(1)(1)3!3!2.(4,4).633fR x x x h x x x x ht t tet h th t h e hehξξ=----+-+≤+⋅⋅-=≤⋅∈-则7.已知单调连续函数y f x=的如下数据用插值法计算约为多少时 f x =（小数点后至少保留4位）0.2008 解：作辅助函数g x f x =-则问题转化为为多少时，g x =此时可作新的关于ig x 的函数表。
由f x 单调连续知g x 也单调连续，因此可对g x 的数值进行反插。
的牛顿型插值多项式为()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)x g y y y y y y y -==-+++++-++-故(0) 1.321497.x g -== 8. 设函数f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法求一个次数不高于3的多项式()P x ， 使其满足(0)0P =，(1)1P =，'(1)3P =,(2)1P =并写出误差估计式。
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式()P x ，32357()722p x x x x =-+- 由题意可设3()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--为确定待定函数k x ，作辅助函数：3()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =----11、确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
1）()()(0)();hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰2）1012()()(0)();hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰3）1121(1)2()3()();3f f x f x f x dx --++≈⎰4）2''0[(0)()]()[(0)()].2hh f f h f x dx ah f f h +≈+-⎰解：（1）三个参数，代入11012110231113334441324()1,,,()0321()33()()()()33334()()(0)().333h h h h h h A hA A A h f x x x h A A A hh A A h A h h h h h x dx h h x dx h h h h h f x dx f h f f h -------⎧=⎧⎪⎪++=⎪⎪⎪=⇒--=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪+==⎩⎪⎩=-+≠-+∴≈-++⎰⎰⎰Q 具有三次代数精度（2）三个参数，代入1101211022311123333224544452228344()1,,,03168()33848()0()03336484816()0()5333384()()3h h h hh h A hA A A h f x x x hA hA A hh A h A h A h h hx dx h h h h h x dx h h h h h h h f x dx f h -------⎧=⎧⎪⎪++=⎪⎪-⎪=⇒-+=⇒=⎨⎨⎪⎪⎪⎪-+==⎩⎪⎩=--⋅+==≠--⋅+=∴≈-+⎰⎰⎰Q 8(0)().33h h f f h +具有三次代数精度1121212112212221(3)()1,()[(1)2()3()].3,(),2310.689900.289902310.126600.52660f x f x dx f f x f x f x x x x x x x x x x x -==-++=+===-⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+==-=⎩⎩⎩⎰当时有两个参数令精确成立或133312111111[123]3()[(1)2(0.68990)3(0.12660)]/3()[(1)2(0.28990)3(0.52660)]/32.x dx x x f x dx f f f f x dx f f f ---≠-++≈-++-≈-+-+⎰⎰⎰而 故与均具有次代数精度20022220233320244301(4)()1,,1[11]0,[0](11).22(),1[0][202].212(), [0][03]212(),()[0][04].212.hhhh h hf x x dx xdx h ah f x x h x dx h ah h a h h f x x x dx h h h h f x x f x dx h h ==++=++-==++⨯-⇒===++-=≠++-⎰⎰⎰⎰⎰时有故令时求积公式精确成立当时时故只有三次代数精度12. 对线性代数方程组13423412321564833x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎪⎨+-=⎪⎪-+-=⎩ 设法导出使雅可比（Jacobi ）迭代法和高斯－赛德尔（G-S ）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。
13. 设线性方程组为 11222112222a x a xb a a a x a x b +=⎧≠⎨+=⎩（1） 证明用雅可比迭代法和高斯－赛德尔迭代法解此方程组要么同时收敛，要么同时发散。
（2） 当同时收敛时，试比较其收敛速度。
14. 写出用四阶经典的龙格—库塔方法求解下列初值问题的计算公式''3,01;,01;(1)1)2)(0)1;(0) 1.y y x y x y x x y y ⎧=<<⎧=+<<⎪+⎨⎨=⎩⎪=⎩15. 证明对任意参数，下列龙格－库塔公式是二阶的12312131();2(,);(,);((1),(1)).n n n n n n n n h y y K K K f x y K f x th y thK K f x t h y t hK +⎧=++⎪⎪⎪=⎨⎪=++⎪=+-+-⎪⎩16. 证明0sin 1=--x x 在]1,0[内仅有一个根，若用二分法求误差不大于. . 4105.0-⨯的根，求需要迭代的次数。
答案：。
