2012研究生数值分析课期末考试复习题及答案

一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1、用Simpson 公式求积分1401x dx +⎰的近似值为 ( ).A.2924 B.2429C.65D. 562、已知(1)0.401f =，且用梯形公式计算积分2()f x dx ⎰的近似值10.864T =，若将区间[0,2]二等分，则用递推公式计算近似值2T 等于( ). A.0.824 B.0.401 C.0.864 D. 0.8333、设3()32=+f x x ,则差商0123[,,,]f x x x x 等于( ).A.0B.9C.3D. 64的近似值的绝对误差小于0.01%，要取多少位有效数字( ). A.3 B.4 C.5 D. 25、用二分法求方程()0=f x 在区间[1,2]上的一个实根，若要求准确到小数 点后第四位，则至少二分区间多少次( ).A.12B.13C.14D. 15二、填空题(每小题4分，共40分)1、对于迭代函数2()=(3)ϕ+-x x a x ，要使迭代公式1=()ϕ+k k x x则a 的取值范围为 .2、假设按四舍五入的近似值为2.312，则该近似值的绝对误差限为 .3、迭代公式212(3)=,03++>+k k k k x x a x a x a收敛于α= (0)α>. 4、解方程4()530f x x x =+-=的牛顿迭代公式为 . 5、设()f x 在[1,1]-上具有2阶连续导数，[1,1]x ∀∈-，有1()2f x ''≤，则()f x 在[1,1]-上的线性插值函数1()L x 在点0处的误差限1(0)R ≤______.6、求解微分方程初值问题2(0)1'=-⎧⎨=⎩y xy yy ，0x 1≤≤的向前Euler 格式为 .7、设310131013A -⎛⎫⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，则A ∞= .8、用梯形公式计算积分112-⎰dx x 的近似值为 . 9、设12A 21+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦a 可作Cholesky 分解，则a 的取值范围为 . 10、设(0)1,(0.5) 1.5,(1)2,(1.5) 2.5,(2) 3.4f f f f f =====，若1=h ，则用三点公式计算(1)'≈f .三、解答题（共45分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛. (5分)4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+y x b的拟合曲线. (8分) 5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (8分) 6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦一、单项选择题（每小题3分，合计15分） 1、A 2、D 3、C 4、C 5、D 二、填空题（每小题3分，合计30分） 1、0<<a ； 2、31102-⨯； 3；4、4135345++-=-+k k k k k x x x x x ； 5、14； 6、1(2)+=+-n n n n n y y h x y y ； 7、5；8、34-； 9、3>a ；10、1.2；三、计算题（合计55分） 1、给定数据用复化Simpson 公式计算 1.381.30()f x dx ⎰的近似值，并估计误差，小数点后保留3位. (8分)解： 401024S [()4()()]6-=++x x f x f x f x ………… 1分 1.38 1.30(3.624 4.20 5.19)6-=+⨯+ 0.341= ………… 2分20422012234S [()4()()][()4()()]66--=+++++x x x xf x f x f x f x f x f x =0.342 ………… 6分2211[]15-≈-I S S S =-⨯40.6710 ………… 8分 2、用直接三角分解法求线性代数方程组⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡432631531321321x x x 的解. (8分) 解：设111213212223313233u u u 123100135l 100u u 136l l 100u ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=*⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦………… 1分 111=u ，212=u ，313=u ，121=l ，131=l 122=u ，223=u ，132=l133=u ，133=l …………6分所以⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111011001L ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=100210321U …………7分 由b Ly =得Ty )1,1,2(=；由y Ux =得Tx )1,1,1(-=. ………… 8分3、求()λx ，使得迭代公式1()()λ+=+k k k k f x x x x 求方程2()31=+-f x x x 的根的相应迭代序列{}k x 具有平方收敛.(6分)解：要使迭代序列具有平方收敛，则()0ϕ'*=x ………… 2分 而()()()ϕλ=+f x x x x ，即 ………… 3分 2()()()()10()λλλ''**-**+=*f x x x f x x …………4分 而()0*=f x 则有()1()λ'*=-*f x x ………… 5分所以()()23λ'=-=--x f x x ………… 6分4、已知数据试对数据用最小二乘法求出形如=+ay x b的拟合曲线. (8分) 解：因为11=+b x y a a ，令0111,,,====b a a y x x a a y……2分 则有法方程01461061410⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a a ……5分解出014,1==-a a ，则1,4=-=-a b ……7分 所以1=4-y x……8分5、已知(2)8f -=，(0)4f =，(2)8=f ，试求二次拉格朗日插值多项式. (7分)解：01()(2)8l x x x =- …………2分 211()(4)4l x x =-- …………4分21()(2)8l x x x =+ …………6分 2012()()(2)()(0)()(2)L x l x f l x f l x f =-++24=+x …………7分6、设矩阵A 如下，根据谱半径判断用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =的敛散性.（8分）1102111221012A ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦解：100010001D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，00010021002L ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，10021002000U ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………3分1100211()0221002J B D L U -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…………5分 2102111()0222102J E B λλλλλλ⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=--=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦…………6分()2J B ρ=…………7分 所以用Jacobi 迭代法求解方程组Ax b =收敛 …………8分。

昆明理工大学2012级硕士研究生试卷（数值分析，参考答案）(B 卷)科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号：考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。

一、填空题（每空2分，共40分）1．设*0.4881x =是真值0.4891x =的近似值，则*x 有 2 位有效数字，*x 的相对误差限为 0.0125 或 0.0102 。

2．设i x 为互异节点(0,1,,),()i i n l x =为拉格朗日插值的基函数，当0,1,,k n =时，()nk i i i x l x ==∑ kx。

3. 已知函数)(x f y =的经过节点(3.0,1.8),(4.0,3.2),(5.0,4.2)，试作二次Lagrange 插值公式)(2x L =20.2 2.8 4.8x x -+-，计算)2.4(2L = 3.432 。

4．设3()21f x x x =-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 514x -+，最佳二次平方逼近多项式为 715x -+。

5．求积公式的中矩形法为⎰≈badx x f )( ()()2a bb a f +-，其代数精度是_ 1 _次。

6．方程组b Ax =，建立迭代公式f Bx xk k +=+)()1(，则该迭代法的应满足)(B ρ1。

7．2443A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，其条件数2()Cond A = 94+或4.2656 ，()Cond A ∞= 4.9 。

8．0.60.50.10.3A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1A = 0.8 ，A ∞= 1.1 ，2A = 0.8278 。

9．求方程()0f x =根的弦截法迭代格式是 111()()()()k k k k k k k f x x x x x f x f x +--=---，其收敛阶= 1.618 。

10．已知()3230112122x x x s x x bx cx dx ≤≤⎧+-=⎨≤≤+++⎩是[]2,0上的以0，1，2为节点的三次样条函数,则=b -1 , =c 3 , =d -2 。

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷） 专业年级： 12级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟………………………………………………………………………………………………………………………注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、(10分) 证明n 次Lagrange 插值多项式基函数满足,0(), 0kk k i n ij x lx x k n ==≤≤∑.二、(20分) 设.1．写出求解方程 3()515f x x x =+- 的Newton 迭代的计算格式.2. 证明方程 0)(=x f 在区间[1,2]上有根，并选择使Newton 迭代收敛的初始值. 3． 用Newton 迭代求方程 0)(=x f 在区间 [1,2] 上的根（精确到小数点后面六位）。

三、(10分) 求函数14)(3+=x x f 在区间]1,1[-上关于权函数()1p x =的形如2ax b +的最佳平方逼近二次多项式，即求 a ，b ， 使 1221(())d ax b f x x -+-ò达到最小。

四、(10分) 利用三角分解解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-=+-.52,4222,12321321321x x x x x x x x x五、(10分) 对于线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-+=+-=+-,33,84,65,12321432431421x x x x x x x x x x x x 导出使Gauss-Seidel 迭代法收敛的迭代格式，要求写出迭代格式并说明收敛理由。

六、（10分）试根据数表构造一个3次Hermite(埃尔米特)插值多项式3().H x 七、（10分）求最小二乘拟合直线拟合如下数据.八、(10分) 用变步长求积公式计算积分⎰31d 1x x，要求事后误差不超过310-.九、(10分) 试确定系数123,,,A A A 使得求积公式1123112()(1)33f x dx A f A f A f -⎛⎫⎛⎫≈-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰的代数精度尽可能高，并指出所达到的代数精度的次数。

上海海事大学2011---2012学年第 2 学期 研究生 数值分析 课程考试试卷A （答案）学生姓名： 学号： 专业：一．填空题（每小格2分共30分）1. 利用Jacobi 迭代法求解Ax=b 时，其迭代矩阵是)(1U L D B J +=-；当系数矩阵A 满足 严格对角占优 时，Jacobi 迭代法收敛 。

x 0 1 2 42. 已知函数)(x f 有数据f 1 9 23 3 则其3次Lagrange插值多式的基函数)(0x l 为147878123+-+-x x x 插值余项为 )4)(2)(1(!4)()4(---x x x x f ξ3. 求解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=≤≤=η)(),,('a y bx a y x f y的Euler 公式为),(1i i i i y x hf y y +=+， 它是1 阶方法。

4. 设,1457)(348++-=x x x x f 则差商=]5,...,5,5[810f 7 =]2,...2,2[910f 05. 对于求解Ax=b ，如果右端有b δ的扰动存在而引起解的误差为x δ，则相对误差≤xxδ bbA C o n d δ)(6. Gauss 型数值求积公式)()(0i bani ix f Adx x f ⎰∑=≈的代数精度具有2n+1___次，求积系数的表达式为i A ＝⎰bai dx x l )(2,且=∑=ni iAb-ａ7. 幂法是求矩阵 按模最大 特征值和特征向量的计算方法．Jacobi 法是计算 实对称矩阵的所有 特征值和特征向量的计算方法8. 对于给定的正数k ，Newton 法解二次方程02=-k x 的迭代公式为)(21)()(1nn n n n n x kx x f x f x x +='-=+ 二．设函数42)(x x f =，已知188)(244+-=x x x T ，试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数)(x f 在区间[-1，1]上的次数低于4的最佳一致逼近。

++中的待定系数，使其A f(1)(0)武汉理工大学研究生课程考试标准答案用纸课程名称：数值计算（A ） 任课教师 ：一. 简答题，请简要写出答题过程（每小题5分，共30分） 3.14159265358979的近似值，它们各有几位有效数字，绝对误差和相对误差分别是多少？3分）2分）2.已知()8532f x x x =+-，求0183,3,,3f ⎡⎤⎣⎦，0193,3,,3f ⎡⎤⎣⎦.(5分）3.确定求积公式10120()(0)(1)(0)f x dx A f A f A f '≈++⎰中的待定系数，使其代数精度尽量高，并指明该求积公式所具有的代数精度。

解：要使其代数精度尽可能的高，只需令()1,,,m f x x x =使积分公式对尽可能大的正整数m 准确成立。

由于有三个待定系数，可以满足三个方程，即2m =。

由()1f x =数值积分准确成立得：011A A += 由()f x x =数值积分准确成立得：121/2A A += 由2()f x x =数值积分准确成立得：11/3A =解得1201/3,1/6,2/3.A A A === (3分）此时，取3()f x x =积分准确值为1/4,而数值积分为11/31/4,A =≠所以该求积公式的最高代数精度为2次。

(2分）4.求矩阵101010202A -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的谱半径。

解 ()()101101322I A λλλλλλλ--=-=--- 矩阵A 的特征值为1230,1,3λλλ=== 所以谱半径(){}max 0,1,33A ρ== (5分）5. 设10099,9998A ⎛⎫= ⎪⎝⎭计算A 的条件数()(),2,p cond A P =∞.解：**19899-98999910099-100A A A A --⎛⎫⎛⎫=⇒== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭矩阵A 的较大特征值为198.00505035，较小的特征值为-0.00505035，则1222()198.00505035/0.0050503539206cond A A A -=⨯==(2分）1()199********c o n d A A A -∞∞∞=⨯=⨯=(3分）22001130101011010220100110110()(12)()(12)()()()()()x x x x x x x x H x y y x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x x x ----=-+-------''+-+---(5分）并依条件1(0)1,(0),(1)2,(1) 2.2H H H H ''====，得2222331()(12)(1)2(32)(1)2(1)211122H x x x x x x x x x x x =+-+-+-+-=++ (5分）2.已知()()()12,11,21f f f -===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

、填空1.设X 彳3149541…，取5位有效数字，则所得的近似值x= 2.3150f X 1,X 22.设一阶差商f x 2 f x 11 4 33x 2 x 12 1y' f(X, y)y(X0)y0近似解的梯形公式是f X 2，X 3f x 3 f x 2 X 3 X 2 则二阶差商f ^,X2,X311/63.设X (2, 3, 1)，则||X|2 714 ||X|| 3。

p4924.4.求方程x x 1.25 0的近似根，用迭代公式x J x 匸25，取初始值X o那么X 11.5y k6、 1 1 A 5 1，则A 的谱半径Q 【盘)=7、 2 设 f(x) 3x 5, X k kh, k 0,1,2,…，贝卩 f 人几 1, Xn 23 和 f Xi , X n 1, Xi 2 , Xn38若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，贝U 雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都 收敛9、解常微分方程初值问题的欧拉(Euler )方法的局部截断误差为 O(h )5. 解初始值问题y 10、为了使计算 10表达式改写成 二、计算题 1、已知 敛的简单迭代函数 2 3— 2 3 1 （X 1） （X 1）的乘除法运算次数尽量的少，应将 y 10 — 1 — 2 — X 1 X 1 X 1 蛊=机刃的00）满足■ 3V 妙⑵，使轧严护（心）/ =，试问如何利用骰㈤构造一个收 0, 1…收敛？ （X ），可得3x (X) 3x 1 X 2( (X) 3X) (X)（X ） （X ） 3),故（X ） 1(X-3I 2 11 2 2、试确定常数A ，B ， fl L / W 心铝Ej（0） +&S ） 有尽可能高的代数精度。

试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为 Gauss 型的？ X k 1(X k ) 3X k , k=0,1,•… 收敛。

C 和a ,使得数值积分公式 A C —,B 9 16"9,aY 5，该数值求积公式具有 5次代数精确度，它是 Gauss 型的3、利用矩阵的LU 分解法解方程组y4、写出求解下列初始值问题 y ⑴ 迭代式及四阶龙格-库塔法迭代式。

研究生考试命题纸沈阳工业大学 2012 / 2013 学年 第 一 学期课程名称：数值分析 课程编号：000304 任课教师：陈欣 曲绍波 考试形式：闭 卷一、填空（每题3分，共15分）1. 二分法是求解 方程f (x )=0的 根一种方法，其前提是f (x )在有根区间[a ,b ]内单调且 。

2. 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0112A ，则1A = 、=2A 、)(A ρ= 。

3. 对于正数a ，使用牛顿法于方程02=-a x 所得到的迭代格式为 ，其收敛阶为 、求110（取x 0=10）的第一个近似值为 。

4. 幂法用来计算实矩阵A 的 特征值及对应的 ，在计算过程中进行“归一化”处理的原因是为了 。

5. 高斯求积公式)33()33()(11f f dx x f +-≈⎰-的代数精度为 ，当区间不是[-1,1]，而是一般区间[a , b ]时，需要做变换 ，使用该公式计算≈⎰311dx x。

二、解答下列各题（每题5分，共10分）1. 请写出经过点A (0,1)，B (2,3)，C (4,5)的拉格朗日插值多项式形式。

说明插值基函数的性质以及拉格朗日插值法的优缺点。

2. 设n 阶可逆矩阵A 已经分解成A =LU ，其中L 下三角矩阵，U 单位上三角矩阵，推导出解线性方程组AX =b 的计算公式。

三、（10分）用不选主元的直接三角分解法解下面线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+-=-+-=-342424344343232121x x x x x x x x x x 四、（20分，每题10分）对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+9223122321321321x x x x x x x x x 1. 分别写出使用GS 迭代法，SOR 迭代法（ω=1.3）求解的迭代格式，并对初始向量（1，0，0）T ，分别计算第一步近似解向量；2. 分别讨论求解此方程的J —方法和GS —方法的收敛性。

五、（10分）给出函数表如下，用牛顿向前插值公式求f (2.03)的近似值。

重庆大学研究生数值分析课程试卷A卷B卷2012 ~2013 学年 第 1学期开课学院：数统学院 课程号:考试日期：考试方式：开卷闭卷 其他 考试时间 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文推荐用小四号宋体；2。

按A4纸缩小打印一、 选择题（3分/每小题，共15分）1、以下误差公式不正确的是（ A ）A. ()()()1212x x x x εεε-=- B 。

()()()1212x x x x εεε+=+C ．()()()122112x x x x x x εεε=+ D. ()()22x x x εε=2、通过点()00,x y ，()11,x y 的拉格朗日插值基函数()0l x ，()1l x 满足（C ）A. ()000l x =，()110l x =B. ()000l x =,()111l x = C 。

()001l x =,()111l x = D. ()001l x =,()110l x =3、已知等距节点的插值型求积公式 ()()352k k k f x dx A f x =≈∑⎰，则3k k A ==∑（ C )A. 1B. 2C. 3 D 。

44、解线性方程组Ax b =的简单迭代格式()()1k k x Bx f +=+收敛的充要条件是（ B ) A 。

()1A ρ< B. ()1B ρ< C 。

()1A ρ> D 。

()1B ρ>5、已知差商021[,,]5f x x x =，402[,,]9f x x x =,234[,,]14f x x x =，032[,,]8f x x x =，则420[,,]f x x x =（ B ）A. 5B. 9C. 14D. 8二、 填空题（3分/每小题，共15分）1取 3.141592x =作为数3.141592654...的近似值,则x 有____6____位有效数字 2、Cotes 求积公式的代数精度为 5学院 专业、班 年级 学号 姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密3、若()2[,]f x C a b ∈，则梯形求积公式的截断误差为：3''()()2b a f η--4、迭代法()1n n x x ϕ+=收敛的充分必要条件是：()'1x ϕ<5。

研究生数值分析期末考试试卷参考答案太原科技大学硕士研究生2012/2013学年第1学期《数值分析》课程试卷参考答案一、填空题（每小题3分，共30分）1、x x ++11；2、2；3、20；4、6；5、kk k k k x x x x x cos 11sin 1----=+ （ ,1,0=k ）； 6、12121)(2++=x x x f ；7、311+=+k k x x （ ,1,0=k ）；8、12-n ；9、2； 10、+++++++--100052552452552052552525524；二、（本题满分10分）解：Gauss-Seidel 迭代方法的分量形式为+--=+--=++-=++++++3221522)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x -----5分取初始向量T x )0,0,0()0(=时，则第一次迭代可得===315)1(3)1(2)1(1x x x ，--------------7分答案有错误第二次迭代可得=-==7119)2(3)2(2)2(1x x x ，-----------9分所以T x )7,11,9()2(-=.---------------10分三、（本题满分10分）解：构造正交多项式：取)()()()(,)(,1)(01112010x x x x x x x ?β?α?α??--=-==，1)()(402040200=∑∑===i i i i i x x x ??α，1)()(402140211=∑∑===i i i i i x x x ??α，2)()(402040211=∑∑===i i i i x x ??β；所以点集{}1,0,1,2,3-上的正交多项式为12)(,1)(,1)(2210--=-==x x x x x x .-------------------------5分则矩阵???????? ?-----=221111*********A , ??=14000100005A A T ,????? ??=3915y A T ；法方程=????? ??????? ??391514000100005210c c c ----------------8分解得===1431093210c c c ；--------9分所以要求的二次多项式为35667033143)12(143)1(109322++=--+-+=x x x x x y .-----------10分四、（本题满分10分）解：取基函数210)(,1)(x x x ==??，则1),(1000=?=dx ??，31),(10201=?=dx x ??， 51),(10411=?=dx x ?? ππ?2sin ),(100=?=xdx f ， 3102141sin ),(πππ?-=?=xdx x f----------------------------------6分法方程-=???? ???????? ??34125131311πππb a -----------------8分解得-=+=33454151543ππππb a .---------------9分所以最佳平方逼近多项式233)45415(1543)(x x ππππ?-++=.---------10分五、（本题满分10分）解：在区间[]1,+n n x x 上对微分方程),(y x f dxdy =进行积分得 ??=++11),(n n n n x x x x dx y x f dx dxdy 即=-+n n y y 1?+1),(n n xx dx y x f -------2分对上式等号右边的积分采用梯形公式进行求解，即+1),(n n x x dx y x f []n n f f h +=+12-------5分所以原微分方程初值问题的数值求解公式为11()2n n n n h y y f f ++=++.-------6分上述数值求解公式的截断误差为 ))](,())(,([2)()(1111n n n n n n n x y x f x y x f h x y x y R +--=++++---8分而又由泰勒公式得)()()()(2'1h O x hy x y x y n n n ++=+；)())(,())(,(11h O x y x f x y x f n n n n +=++；所以))](,()())(,([2)()()()(2'1n n n n n n n n x y x f h O x y x f h x y h O x hy x y R ++--++=+ )()())(,()(22'h O h O x y x hf x hy n n n =+-= 故该方法是一阶的方法.-----------------10分六、（本题满分20分）解：（1）构造的差商表如下：x )(x f 一阶差商二阶差商三阶差商 1 22 4 23 5 1 21- 4 8 3 121 -----------------------------15分（2）取2、3、4作为插值点，----------------------------------------------------17分构造的二次牛顿插值多项式为84)3)(2()2(4)(22+-=--+-+=x x x x x x P -----19分所以25.6)5.3()5.3(2=≈P f .------------------------------20分七、（本题满分10分）解：由泰勒公式可得)2)(()2()('b a x f b a f x f +-++=ξ，),(b a ∈ξ. 把上式代入积分公式?b a dx x f )(可得dx b a x f b a f dx x f b a b a+-++=?)2)(()2()('ξ ?+-++-=b a dx b a x f b a f a b )2)(()2()('ξ 故求积公式的截断误差表达式为?+-b a dx b a x f )2)(('ξ，),(b a ∈ξ.-----------5分当1)(=x f 时，求积公式左边=右边=a b -.当x x f =)(时，求积公式左边=右边=222a b -. 当2)(x x f =时，求积公式左边=333a b -，右边=()()92a b a b +-，左边≠右边. -----8分所以求积公式具有一次代数精度.-------------------------- -----10分。

一．填空题（每小题3分，共27分）：1．计算40的近似值时，要使其相对误差限001.0*<r ε，只需取 位有效数字； 2．设近似数1,2*2*1-==x x 的误差限分别为01.0和02.0，则≈)(*2*1x x ε ；3．设求积公式)()(0k ban k k x f A dx x f ⎰∑=≈是插值型求积公式，则0nk k A ==∑.4．若)(x P 是],[)(b a C x f ∈的最佳4次逼近多项式，则)(x P 在],[b a 上至少有 个偏差点； 5．在求积公式中，辛甫生公式至少具有 次代数精度；6．将⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111A 分解为下三角阵L 与上三角阵U 之积, 即LU A =,则L =, U =；7.用牛顿迭代法解方程10x xe -=的迭代公式为8. 将],[b a 区间n 等分，步长n ab h -=，分点),,1,0(n k kh a x k =+=，则],[b a 等分为n 个子区间，即∑-==1],[n k k I b a ，子区间],[1+=k k k x x I .则计算定积分()baI f x dx =⎰的复化辛普森公式为n S =.9. 计算定积分()b aI f x dx =⎰的复化梯形公式的误差表达式为n I T -= 二．单选题（每小题3分，共24分）：1. 根据数值运算误差分析的方法与原则, 无需避免的是 ( );A. 绝对值很大的数除以绝对值很小的数B. 两个非常相近的数相乘C. 绝对值很大的数加上绝对值很小的数D. 两个非常相近的数相减2. 设 )(,),(),(10x l x l x l n 分别为节点 n x x x ,,,10 上的 n 次拉格朗日插值基函数， 则 ∑=≡-ni iix l x 0)()2(（ ）；A ．2-x B.2-i xC.0D. 13. 设 n ()[,],()f x C a b P x ∈是)(x f 的最佳一致逼近多项式, 则其逼近标准是依据( )； A. 2min[()()]kbn aa f x P x dx -⎰C. n minmax ()()ia a x bf x P x ≤≤- D. n maxmin()()ka x ba f x P x ≤≤-4. 设 )(],,[)(x P b a C x f ∈是)(x f 的最佳平方逼近多项式, 则其逼近标准是依据( )； A. 2min[()()]kbn aa f x P x dx -⎰B.C. n minmax ()()ia a x bf x P x ≤≤- D. n maxmin()()ka x ba f x P x ≤≤-5. 若牛顿-柯特斯公式只有一个求积节点, 则柯特斯系数 =)0(0C ( A )；A.1B.0C.2/1D.a b - 6．插值型求积公式 ∑==nk k kn x f AI 0)( 的代数精度最高可达到 ( ) 次；A.nB.1+nC.n 2D.12+n7. 用迭代法解方程 )5.1(01023==--x x x , 则该方程最好改写为 ( ) ； A.2/11x x += B.321x x += C.13-=x x D. 1/1-=x x8. 迭代法)()()1(k k k x Ax b x+-=+解线性方程组b Ax =收敛的充要条件是（ ）；A ．1)(<A ρB. 1)(<-A b ρC. 1)(<-A I ρD. 1)(<+A I ρ三．解答题(共39分)1.(7分) 求 32()21f x x x x =++- 在区间 [-1,1] 上的２次最佳一致逼近多项式()2P x2. (15分) 己知)(x f 的函数表如下，解答下述问题:(1)填写差商表.i x)(i x f ],[1+i i x x f ],,[21++i i i x x x f ],,[3+i i x x f ],,[4+i i x x f6 1 10 3 46 4 82 6212(2)写出函数)(x f 的牛顿插值多项式. (3)写出插值余项的表达式.3．(7分)求简单迭代法),...2,1,0(,121=+=+k x x x kk k 的收敛阶。

湖南大学研究生课程考试命题专用纸考试科目： 数值分析 （A 卷）参考答案 专业年级： 11级各专业 考试形式： 闭 卷（可用计算器） 考试时间：120分钟……………………………………………………………………………………………………………………… 注：答题（包括填空题、选择题）必须答在专用答卷纸上，否则无效。

一、简答题(20分)1、避免误差危害的主要原则有哪些？答：（1）两个同号相近的数相减（或异号相近的数相减），会丧失有效数字，扩大相对误差，应该尽量避免。

（2分）（2）很小的数做分母（或乘法中的大因子）会严重扩大误差，应该尽量避免。

（3分）（3）几个数相加减时，为了减少误差，应该按照绝对值由大到小的顺序进行。

（4分）（4）采用稳定的算法。

（5分）2．求解线性方程组的高斯消元法为什么要选主元？哪些特殊的线性方程组不用选主元？答：（1） 若出现小主元，将会严重扩大误差，使计算失真，所以高斯消元法选主元。

（3分）（2）当系数矩阵是对称正定矩阵时，高斯消元法不用选主元。

（4分）（3）当系数矩阵是严格对角占优或不可约对角占优时，高斯消元法不用选主元。

（5分）3．求解非线性方程的Newton 迭代法的收敛性如何？答：（1） Newton 迭代法是局部收敛的，即当初值充分靠近根时，迭代是收敛的。

（2分）（2）用Newton 迭代法求方程0)(=x f 的单根时，其收敛至少是平方收敛，若求重根，则只有线性收敛。

（5分）4．Newton-Cotes 积分公式的稳定性怎么样？答：（1）Newton-Cotes 积分公式当7≤n 时，Cotes 系数都为小于1的正数，因此是稳定的。

（3分）（2）当8>n 时，出现了绝对值大于1的Cotes 系数， 因此是不稳定。

（5分）二、(10分) 证明函数)(x f 关于点k x x x ,...,,10的k 阶差商],...,,[10k x x x f 可以写成对应函数值k y y y ,...,,10的线性组合，即∑==k j jjk x w y x x x f 010)('],...,,[ 其中节点))...()(()(10k x x x x x x x w ---=。

数值分析试题一．（10分）设给实数0a >，初值00x >：⑴试建立求1a的Newton 迭代公式，要求在迭代函数中不含除法运算； ⑵证明给定初值0x ，迭代收敛的充分必要条件为020x a<<；⑶该迭代的收敛速度是多少？⑷取00.1x =，计算15的近似值，要求计算迭代三次的值（结果保留5位小数）。

二．（10分）试确定参数,,a b c ，使得下面分段多项式函数()s x 是三次样条函数。

332,01()1(1)(1)(1),132x x s x x a x b x c x ⎧≤≤⎪=⎨--+-+-+≤≤⎪⎩ ()s x 是否是自然样条函数？三．（10分）利用Dollite 三角分解方法求解方程组123121022331302x x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 四．（10分）给定3阶线性方程组123122*********x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦讨论其Jacobi 迭代格式的收敛性五．（10分）推导出中矩形求积公式()()()2baa b f x dx b a f +≈-⎰ ，并求出其截断误差。

六．（10分用最小二乘法确定拟合公式bx y ae =中的参数,a b 。

七．（10分）根据已知函数表：建立不超过三次的Newton 插值项式。

八．（10分）试确定常数01,A A ,使求积公式1011()(f x dx A f A f -≈+⎰有尽可能高的代数精度,并指出代数精度是多少,该公式是否是Gauss 型?并用此公式计算积分311I dx x=⎰（结果保留5位小数）。

九．（10分）利用经典四阶Runge-Kutta 方法求初值问题：20,01(0)1y y x y '=-≤≤⎧⎨=⎩在0.2x =处的数值解（取步长0.1h =）。

10．（10分）讨论两步方法 11112(4)33n n n ny y y hy +-+'=-+ 的局部截断误差，求出它的局部阶段误差的首项（主部），它是多少阶的？ （在线性多步法的局部截断误差中10111[()()],2,3,!p prr r i i i i C i a r i b r r -==-⎧⎫=--+-=⎨⎬⎩⎭∑∑ ）。