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7.交集、并集(2)教学目标：1.使学生掌握集合交集及并集有关性质，运用性质解决一些简单问题，2.掌握集合的有关术语和符号；3.提高分析、解决问题的能力和运用数形结合求解问题的能力；4.使学生树立创新意识.教学重点：利用交集、并集定义进行运算.教学难点：集合中元素的准确寻求教学过程：1.复习回顾集合的交集、并集相关问题的求解主要在于集合元素寻求.2.讲授新课例1：求符合条件{1}P⊆{1，3，5}的集合P.解析：（1）题中给出两个已知集合{1}，{1，3，5}与一个未知集合P，欲求集合P，即求集合P中的元素；（2）集合P中的元素受条件{1}P⊆{1，3，5}制约，两个关系逐一处理，由{1}与P关系{1}P，知1∈P且P中至少有一个元素不在{1}中，即P中除了1外还有其他元素；由P与{1，3，5}关系P⊆{1，3，5}，知P中的其他元素必在{1，3，5}中，至此可得集合P是{1，3}或{1，5}或{1，3，5}.例2：已知U＝{x｜x2＜50，x∈N}，（C U M）∩L＝{1，6}，M∩（C U L）＝{2，3}，C U(M ∪L)＝{0，5}，求M和L.解析：题目中出现U、M、L、C U M、C U L多种集合，就应想到用上面的图形解决问题. 第一步：求全集5＝{x｜x2＜50，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}第二步：将(C U M)∩L＝{1，6}，M∩（C U L）＝{2，3}，C U(M∪L）＝{0，5}中的元素在图中依次定位.第三步：将元素4，7定位.第四步：根据图中的元素位置得M＝{2，3，4，7}，N＝{1，6，4，7}.例3：50名学生报名参加A、B两项课外学科小组，报名参加A组的人数是全体学生数的五分之三，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3人，两组都没有报名的人数是同时报名参加两组的人数的三分之一多1人，求同时报名参加A、B两组的人数和两组都没有报名的人数.解析：此题是一道应用题，若用建模则寻求集合与集合交集借助符合题意的文氏图设A ∩B 的元素为x 个，则有(30－x )＋x ＋（33－x ）＋（13x ＋1）＝50，可得 x ＝21，13x ＋1＝8那么符合条件的报名人数为8个.例4：设全集I ＝{x ｜1≤x ＜9，x ∈N }，求满足{1，3，5，7，8}与B 的补集的集合为{1，3，5，7}的所有集合B 的个数.解析：(1)求I ＝{x ｜1≤x ＜9，x ∈N }＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，因{1，3，5，7，8}∩（C U B ）＝{1，3，5，7}，则C U B 中必有1，3，5，7而无8.(2)要求得所有集合B 个数，就是要求C U B 的个数. C U B 的个数由C U B 中的元素确定，分以下四种情况讨论：①C U B 中有4个元素，即C U B ＝{1，3，5，7}②C U B 中有5个元素，C U B 中有元素2， 4，或6，C U B 有3个.③C U B 中有6个元素，即从2和4，2和6，4和6三组数中任选一组放入C U B 中，C U B 有3个④C U B 中有7个元素，即C U B ＝{1，3，5，7，2，4，6}综上所有集合C U B 即B 共有8个.例5：设U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A ＝{3，4，5}，B ＝{4，7，8}，求A ∩B 、A ∪B 、C U A 、C U B 、（C U A ）∩（C U B ）、(C U A )∪(C U B ).解析：关键在于找C U A 及C U B 的元素，这个过程可以利用文氏图完成.解：符合题意的文氏图如右所示，由图可知A ∩B ＝｛4｝，A ∪B ＝｛3，4，5，7，8｝，C U A ＝{1，2，6，7，8}，C U B ＝{1，2，3，5，6}(C U A )∩(C U B )＝{1，2，6}，即有(C U A )∩（C U B ）＝C U (A ∪B )(C U A )∪(C U B )＝{1，2，3，5，6，7，8}，即有(C U A )∪(C U B )＝C U (A ∩B )例6：图中U 是全集，A 、B 是U 的两个子集，用阴影表示(C U A )∩（C U B ）.解析：先将符号语言(C U A )∩（C U B ）转换成与此等价的另一种符号语言C U (A ∪B )，再将符号语言C U (A ∪B )转换成图形语言(如下图中阴影部分)例7：已知A ＝{x ｜－1＜x ＜3}，A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，求B .分析：问题解决主要靠有关概念的正确运用，有关式子的正确利用.解：由A ∩B ＝∅及A ∪B ＝R 知全集为R ，C R A ＝B 故B ＝C R A ＝{x ｜x ≤－1或x ≥3}，B 集合可由数形结合找准其元素.例8：已知全集I ＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A ＝{－3，a 2，a ＋1}，B ＝{a －3，2a －1，a 2＋1}，其中a ∈R ，若A ∩B ＝{－3}，求C I （A ∪B ）.分析：问题解决关键在于求A ∪B 中元素，元素的特征运用很重要.解：由题I ＝{－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4}，A ＝{－3，a 2，a ＋1}，B ＝{a －3，2a －1，a 2＋1}，其中a ∈R ，由于A ∩B ＝{－3}，因a 2＋1≥1，那么a －3＝－3或2a －1＝－3，即a ＝0或a ＝－1则A ＝{－3，0，1}，B ＝{－4，－3，2}，A ∪B ＝{－4，－3，0，1，2}C I （A ∪B ）＝{－2，－1，3，4}例9：已知平面内的△ABC 及点P ，求{P ｜P A ＝P B }∩{ P ｜P A ＝P C }解析：将符号语言{ P ｜P A ＝PB }∩{ P ｜P A ＝PC }转化成文字语言就是到△ABC 三顶点距离相等的点所组成的集合.故{ P ｜P A ＝PB }∩{ P ｜P A ＝PC }＝{△AB C 的外心}.例10：某班级共有48人，其中爱好体育的25名，爱好文艺的24名，体育和文艺都爱好的9名，试求体育和文艺都不爱好的有几名?解析：先将文字语言转换成符号语言，设爱好体育的同学组成的集合为A ，爱好文艺的同学组成的集合为B .整个班级的同学组成的集合是U .则体育和文艺都爱好的同学组成的集合是A∩B ，体育和文艺都不爱好的同学组成的集合是(C U A )∩（C U B )再将符号语言转换成图形语言：通过图形得到集合(C U A )∩（C U B ）的元素是8最后把符号语言转化成文字语言，即(C U A )∩（C U B ）转化为：体育和文艺都不爱好的同学有8名.补例/练习1.设A ＝{（x ，y ）｜3x ＋2y ＝1}，B ＝{（x ，y ）｜x －y ＝2}，C ＝{（x ，y ）｜2x －2y ＝3}，D ＝{（x ，y ）｜6x ＋4y ＝2}，求A ∩B 、B ∩C 、A ∩D.分析：A 、B 、C 、D 的集合都是由直线上点构成其元素A ∩B 、B ∩C 、A ∩D 即为对应直线交点，也即方程组的求解.解：因A ＝{（x ，y ）｜3x ＋2y ＝1}，B ＝{（x ，y ）｜x －y ＝2}则⎩⎨⎧3x ＋2y ＝1x －y ＝2 ⎩⎨⎧x ＝1y ＝－1∴A ∩B ＝{（1，－1）}又C ＝{（x ，y ）｜2x －2y ＝3}，则⎩⎨⎧2x －2y ＝3x －y ＝2方程无解 ∴B ∩C ＝∅又 D ＝{（x ，y ）｜6x ＋4y ＝2}，则⎩⎨⎧3x ＋2y ＝16x ＋4y ＝2化成3x ＋2y ＝1∴A ∩D ＝{（x ，y ）｜3x ＋2y ＝1}评述：A 、B 对应直线有一个交点，B 、C 对应直线平行，无交点.A 、D 对应直线是一条，有无数个交点.2.设A ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，B ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，C ＝{x ｜x ＝2（k ＋1），k ∈Z }，D ＝{x ｜x ＝2k －1，k ∈Z }，在A 、B 、C 、D 中，哪些集合相等，哪些集合的交集是空集? 分析：确定集合的元素，是解决该问题的前提.解：由整数Z 集合的意义，A ＝{x ｜x ＝2k ，k ∈Z }，C ＝{x ｜x ＝2（k ＋1），k ∈Z }都表示偶数集合.B ＝{x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z }，D ＝{x ｜x ＝2k －1，k ∈Z }表示由奇数组成的集合故A ＝C ，B ＝D那么，A ∩B ＝A ∩D ＝{偶数}∩{奇数}＝∅，C ∩B ＝C ∩D ＝{偶数}∩{奇数}＝∅3.设U ＝{x ｜x 是小于9的正整数}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，求A ∩B ，C U (A ∩B ).分析：首先找到U 的元素，是解决该题关键.解：由题U ＝{x ｜x 是小于9的正整数}＝{1，2，3，4，5，6，7，8}那么由A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}得A ∩B ＝{3}则C U (A ∩B )＝{1，2，4，5，6，7，8}。
交集并集补集运算法则
交集、并集和补集是集合运算中常用的三种基本运算。
它们在求解集合之间的关系和计算集合元素个数等问题上都有广泛的应用。
下面介绍一下它们的运算法则。
1. 交集运算法则
对于两个集合A和B，它们的交集定义为包含所有同时属于A和B的元素的集合，记为A∩B。
交集运算满足以下法则：
（1）交换律：A∩B=B∩A
（2）结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)
（3）分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
2. 并集运算法则
对于两个集合A和B，它们的并集定义为包含所有属于A或B的元素的集合，记为A∪B。
并集运算满足以下法则：
（1）交换律：A∪B=B∪A
（2）结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
（3）分配律：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
3. 补集运算法则
对于一个集合S和它的一个子集A，S中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记为Ac或S-A。
补集运算满足以下法则：
（1）A∪Ac=S
（2）A∩Ac=
（3）(Ac) c=A
在进行集合运算时，需要注意集合中元素的唯一性，即每个元素只能出现一次。
同时，集合运算的结果仍是一个集合，它的元素也具有唯一性。
在实际应用中，集合运算可以用于数据筛选、统计分析、排列组合等问题的求解。
在集合论中，"并集"和"交集"是两个重要的概念。
1. 并集（Union）：给定两个或多个集合，它们的并集是由所有集合中的元素组成的集合。
并集操作可以表示为符号"∪"。
如果某个元素存在于任何一个集合中，那么它就属于并集。
例如：
- A = {1, 2, 3}
- B = {3, 4, 5}
A 和
B 的并集为A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。
并集包含了A 和B 中的所有元素，并且对重复的元素只计算一次。
2. 交集（Intersection）：给定两个或多个集合，它们的交集是由同时存在于所有集合中的元素组成的集合。
交集操作可以表示为符号"∩"。
只有元素同时存在于所有集合中，才属于交集。
例如：
- A = {1, 2, 3}
- B = {3, 4, 5}
A 和
B 的交集为A ∩ B = {3}。
交集中只包含同时存在于A 和
B 中的元素。
并集和交集是集合论中常用的操作，它们帮助我们对不同集合之间的关系进行描述和分析。
