比例的合比等比性质

数学教案合比性质和等比性质例章节一：合比性质介绍1.1 教学目标：了解合比性质的概念。

学会运用合比性质进行比例计算。

1.2 教学内容：合比性质的表示方法：a:b = c:d = e:f 表示a/b = c/d = e/f。

1.3 教学步骤：1. 引入合比性质的概念，引导学生理解合比性质的意义。

2. 通过示例讲解合比性质的应用，让学生学会如何运用合比性质进行比例计算。

3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质的练习题，巩固所学知识。

章节二：等比性质介绍2.1 教学目标：了解等比性质的概念。

学会运用等比性质进行比例计算。

2.2 教学内容：等比性质定义：如果有两个比例相等，它们可以组成一个新的比例。

等比性质的表示方法：a:b = c:d 表示a/b = c/d。

2.3 教学步骤：1. 引入等比性质的概念，引导学生理解等比性质的意义。

2. 通过示例讲解等比性质的应用，让学生学会如何运用等比性质进行比例计算。

3. 练习题：让学生独立完成一些等比性质的练习题，巩固所学知识。

章节三：合比性质和等比性质的应用3.1 教学目标：学会运用合比性质和等比性质解决实际问题。

3.2 教学内容：合比性质和等比性质的应用场景：如商业、工程等领域中的比例计算问题。

3.3 教学步骤：1. 引入合比性质和等比性质的应用场景，让学生了解合比性质和等比性质在实际问题中的应用。

2. 通过示例讲解合比性质和等比性质在实际问题中的应用，让学生学会如何运用合比性质和等比性质解决实际问题。

3. 练习题：让学生独立完成一些合比性质和等比性质的应用题，巩固所学知识。

章节四：比例计算练习4.1 教学目标：巩固比例计算的知识。

4.2 教学内容：比例计算的方法和技巧。

4.3 教学步骤：1. 复习比例计算的基本概念和公式。

2. 通过示例讲解比例计算的方法和技巧，让学生学会如何进行比例计算。

3. 练习题：让学生独立完成一些比例计算的练习题，巩固所学知识。

章节五：比例应用题5.1 教学目标：学会解决实际问题中的比例应用题。

线段的比与比例线段的概念、比例的性质和黄金分割I 梳理知识比与比例、比例的基本性质、合比性质、等比性质、两线段的比、成比例线段、平行线分 线段成比例、截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定、黄金分割1. 线段的比的定义 在同一单位长度下，两条线段2. 比例线段的定义在四条线段中，如果其中两条线段的_______________________________________ 等于另外两条线段的 _____ ,那么这四条线段叫做 成比例线段，简称 ____________ .在 a ： b = c ： d 中，a 、d 叫做比例的 ___ , b 、c 叫做比例 的 _____ ，称d 为a 、b 、c 的 _____________ .3. 比例的性质(1)比例的基本性质：如果a : b = c : d ，那么 则b 叫a , c 的比例中项.⑵合份)比性质：若a⑶等比性质：若一b4.黄金分割(1) 黄金分割的意义：如图，点 那么称线段 AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 做 .(2) 黄金分割的作法【例题讲解】 例1.(1)已知1,厉,5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，则这个数应该是 ___________ .⑵在比例尺为1: n 的某市地图上，规划出一块长 5cm X 2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是平方米.例 2.(1)已知 X ： y : z = 3 : 4 : 5，①求-—y的值；②若 x +y + z = 6, za(2)已知a 、b 、c 、d 是非零实数，且 --------b c d的值•的比叫做这两条线段的比•特别地，若a : b = b : C,即 ，则C 把线段AB 分成两条线段 AC 和BC,如果 __________________ , ,AC 与AB 的比叫求 X 、y 、z.C bad一d一k ，求 ka b c求x 的值.黄金分割点吗为什么【同步测试】 一、选择题1. 已知一矩形的长 a = 1.35m , (A)9 : 400(B)9 : 402. 下列线段能成比例线段的是( b = 60cm ，贝U a : b 的值为((C)9 : 4(D)90 : 4)(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm, 72 cm,V 2 cm,2cm (C b/2 cm,亦cm, J 3 cm,1cm(D)2cm,5cm,3cm,4cm3. 如果线段a = 4, (A)84. 已知- b 3 (A)- 25. 已知 (A)— 2(B)16 2 2,则3 4 (B)4 y : z = 1 (B)2b = 16,c = 8, (C)24 「 的值为b5 (C)5 :2 : 3，且 (C)3 那么a 、b 、c 的第四比例项d 为( (D)32 3 (D)- 5 2x + y — 3z =— 15，贝U x 的值为( (D)— 3 6. 在比例尺为1 : 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为 7cm ，它的实际长度约为()(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km 7. 某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 影长是1米，旗杆的影长是 8米，则旗杆的高度是( ) (A)12 米 8. 已知点 1.5 米, (B)11 米 (C)10 米 C 是AB 的黄金分割点(AC >BC , (B)(6 — 2也)cm (D)9 米 若AB = 4cm ，贝U AC 的长为( (C)詰—1)cm AD AE (A)(2A /5 — 2)cm )(D)(3 —75 )cm 9.若D 、E 分别是△ ABC 的边AB 、AC 上的点，且AB =疋，那么下列各式中正确的是 ((3)若a 、b 、c 是非零实数，并满足ab c ，且 xa(a b)(b c)(c a)abc例3.(1 )已知线段AB = a ,在线段 AB 上有一点C,若则点 C 是线段AB 的(A)AD DEDB = BCAB(B)A DAE=A CDB AB(C)Ec = ACAD AE(D)DB = AC10.若k丄空 b 2c a + b+ CM0,k的值为（(A)—1 (B)2 (C)1 (D) —二、填空题11.在(5 +x)：2中的x= (5—x) : x 中的x=12.若10 813.若a : 3 = b : 4 = c : 5 ,且a + b —c= 6,贝U a=,b= c=14.已知x : y :z= 4 : 5 ,且x+ y+ z= 12,那么x= ,y=z=15.若b16.已知ace,②(x + y) : (y + z)17.若x 2y18.图纸上画出的某个零件的长是是32 mm,如果比例尺是 1 : 20,这个零件的实际长19.如图，已知AB : DB = AC：EC, AD = 15 cm , AB = 40 cm , AC = 28 cm ,贝U AEA20.已知，线段 2 cm, c (2 73) cm, 则线段a、c的比例中项b是三、解答题21.已知x3 0，求下列各式的值：（1）2x 3y 4z⑵5x 3y za22.已知——x0，求x+y+ z 的值.23.若△ ABC 的三内角之比为 1 : 2 : 3,求^ ABC 的三边之比.24.已知 a 、b 、c 为^ ABC 的三边，且 a + b + c = 60cm , a : b : c = 3 : 4 : 5,求^ ABC 的面 积.25.已知线段AB = 10cm , C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长.四、挑战中考DE = 12 , BC = 15, GH = 4，求 AH .ABCD,取 AB 的中点 P ,连结 PD ,在BA 的延 长线上取点F ,使PF =PD,以AF 为边作正方形 AMEF ,点M 在AD 上(1)求AM 、MD 的长；1、若一c-a bA . 12B . 1C .— 1则k 的值为()D .-或一12AGABC 中,2、如图，△ 匹，且。

比例的合比性质：如果d c b a =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ 【基础练习2】1、把mn=pq 写成比例式写错的是()3若3=y x，求yy x +的值。

（你会的方法越多越好啊！快来试一试！） 7、若753z y x ==,则z y x z y x -++-=________.8、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21.则a ∶b ∶c.= 9、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 10、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。

平行线分线段成比例平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. 2.平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==3.平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥BC 。

【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。

【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111cab=+. 【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. 专题二、定理及推论与中点有关的问题d kdc b kb a ±=±dc cb a a ±=±【例3】 （2012年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. （2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则EF AFFC FD+的值为（）A.52B.1C.32D.2【例4】 （2011年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； （3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想. 【例5】 （2013年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由. 【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。

比例的合比性质：如果d cba =,那么dd c b b a ±=±； 比例的等比性质：如果d c b a ==…=n m（b +d +…+n ≠0）,那么ba n db mc a =++++++ΛΛ4、若753zy x ==,则z y x z y x -++-=________.5、若65432+==+c b a ,且2a －b+3c=21. 则a ∶b ∶c.= 6、若f ed c b a ===2，则=++++f d b e c a __________;=+-+-f d b e c a 22______________ 7、若z y x y z x x z y +=+=+，求zy x+的值。

8、已知c b a ,,是△ABC 的三条边，对应高分别为c b a h h h ,,，且6:5:4::=c b a ，那么c b a h h h ::等于（ ）A 、4：5：6B 、6：5：4C 、15：12：10D 、10：12：15平行线分线段成比例定理及其推论一. 平行线分线段成比例定理如下图（1），如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=._______,341=+=bb a b a 、则已知______;,9172==+y x y y x 、则若____,3,213=++=++===f d b e c a f e d c b a 、则且已知d kd c b kb a ±=±d c c b a a ±=±l 3l 2l 1FE D CB A ABCDEEDC B A图（1） 图（2）二. 平行线分线段成比例定理的推论：如图（2），在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==三. 平行的判定定理：如上图（2），如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。

比例性质及比例线段（初二4.16）一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段：比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割：如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点.注意：1、AC 0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD 中，CF AD //，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在△ACF 中，CF BE //，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

比例的性质文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]比例的性质或许你在某个地方听说过比例，可你是否了解比例呢我想没有。

来吧，跟随我们的脚步，跨入比例的大门！首先我们来了解什么是比。

什么是比比：两个数相除又叫做两个数的比比值：比的前项除以比的后项所得的商，叫比值。

比只有两个项：比的前项和后项。

比例是一个等式，表示两个比相等；有四个项：两个外项和两个内项。

知道了什么是比，接下来就是更有趣的——比例的性质一、合比性质1、合比性质的用途合比性质是数学计算中常用的性质之一，属于中的三大性质之一（包括合比性质、分比性质和合分比性质）。

主要运用于等计算。

2、合比性质的表达文字：在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这称为比例中的合比定理，这种性质称为合比性质。

字母：已知，且有，如果，则有。

3、推导过程4、典型例题如图，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，EF是AD的垂直平分线且交AB于E，交BC的延长线于F，求证：DC·DF=BD·CF分析：欲证：DC·DF=BD·CF即证：DC/CF=BD/DF即证：(DC+CF)/CF=(BD+DF)/DF若连结AF，则AF=DF故即证：AF/CF=BF/AF只需证△FAB∽△FCA证明：连结AF，则AF=DF，∠FAD=∠FDA∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD∴AF=DF∴∠FDA=∠FAD又∵∠FAD=∠CAD+∠CAF，∠FDA=∠B+∠BAD∴∠B=∠CAF∴△FAB∽△FCA。

二、分比性质1、表达文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之差与第一个比例的后项的比，等于第二个比例的前后项之差与第二个比例的后项的比。

字母：已知，且有，如果，则有。

2、推导过程三、合分比性质1、表述文字：在一个比例等式中，第一个比例的前后项之和与第一个比例的前后项之差的比，等于第二个比例的前后项之和与第二个比例的前后项之差的比。

合比性质和等比性质田伟德教学目的：1、掌握合比和等比性质，并会用它们进行简单的比例变形；2、会将合比与等比性质用于比例线段；3、提高学生类比联想推广命题的能力。

教学重点、难点：熟练并灵活运用合比、等比性质概念:【合比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。

即：如果a c b d =，那么(0,0)a b c d b d b d++=≠≠ 【分比定理】在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。

即：如果a c b d =，那么(0,0)a b c d b d b d--=≠≠ 【合分比定理】一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前后项的和与它们的差的比。

这叫做比例中的合分比定理。

即：如果a c b d =，那么(0,0,0,0)a b c d b d a b c d a b c d++=≠≠-≠-≠-- 【更比定理】一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例. 即：如果a c b d =，那么(0,0,0)a b b c d c d=≠≠≠ 推论: 如果312123123...(...0)n n na a a ab b b b b b b b ====++++≠ 那么()()12311231......n n a a a a a b b b b b ++++=++++教学过程： 一、用特殊化的方法探索合比性质1、复习平行线等分线段定理。

如图（1），已知一组平行线在直线l 上截得AB=BC=CD=DE=EF ，则由平行线等分线段定理可以得到，在l /截得的各对应线段也相等，即A /B /=B /C /=C /D /=D /E /=E /F /。

(a) 图（1） (b)2、将上述结论改写成比例形式，可以猜想结论：从图（1 a ）中分解出图（1 b ），由一组平行线可得出23////==F D D A DF AD 。