离散数学(二)2010年10月份历年真题

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 在离散数学中，下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系？A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案：D2. 布尔代数中，下列哪个运算符表示逻辑“与”？A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案：B3. 下列哪个命题的否定是正确的？A. 如果今天是周一，则明天是周二。

B. 如果今天是周一，则明天不是周二。

答案：B4. 在图论中，一个图的顶点数为n，边数为m，下列哪个条件可以保证该图是连通的？A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 在集合论中，一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案：子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的，那么对于任意的a1, a2 ∈ A，如果a1 ≠ a2，则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案：单射性3. 在图论中，一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1，则该图被称为______。

答案：完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中，当A为真，B为假，C为真时，整个表达式的值为______。

答案：真三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述什么是图的哈密顿回路，并给出一个例子。

答案：哈密顿回路是图中的一个回路，它恰好访问每个顶点一次。

例如，在一个完全图中，任意一个顶点出发，依次访问其他顶点，最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系，并给出一个二元关系的例子。

答案：二元关系是定义在两个集合上的一个关系，它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如，小于关系是实数集合上的一个二元关系，它关联了每一对实数，如果第一个数小于第二个数。

一、单项选择题1．下列语句是命题的有[ ]。

A. 122>+y x ；B. 2010年的国庆节是晴天；C. 青年学生多么朝气蓬勃呀！D. 学生不准吸烟!2．若一个代数系统是独异点（含幺半群），则以下选项中一定满足的是[ ]。

A. 封闭性，且有零元; B. 结合律，且有幺元； C. 交换性，且有幺元; D. 结合律，且每个元素有逆元.3．Z 是整数集合，下列函数都是Z →Z 的映射，则[ ]是单射而非满射函数。

A ．ϕ (x) =0 B ．ϕ (x) =x 2 C ．ϕ (x) =2x D ．ϕ (x) =x 4. 与命题p ∧ (p ∨q)等值的公式是 [ ]。

A. p ；B. q ；C. p ∨q ；D. p ∧q.5. 设M={a,b,c }，M 上的等价关系R={<a,a >,<b,b >,<c,c >,<b,c >,<c,b >}确定的集合M 的划分是[ ]。

A.{{a },{b },{c }}B.{{a,c },{b,c }}C.{{a,c },{b }}D.{{a },{b,c }}6. 设D ：全总个体域，F(x)：x 是花，M(x) ：x 是人，H(x,y)：x 喜欢y ，则命题“每个人都喜欢某种花”的逻辑符号化为[ ]。

A. )),()(()((y x H y F y x M x →∃∧∀； B. )),()(()((y x H y F y x M x →∃→∀； C. )),()(()((y x H y F y x M x ∧∃→∀； D. )),()(()((y x H y F y x M x ∧∀→∃.7. 下列图中，不是哈密顿图的为[ ]。

A B C D 8. 下列四组数据中，能作为某个4阶无向简单图的度序列的为[ ]。

A. 1,2,3,4 ；B. 2,2,2,3；C. 1,1,2,3；D. 1,1,1,3. 9. 3阶无向完全图（K 3）有[ ]个非同构的生成子图。

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《离散数学》题库一一、祖选择题（每小题3分，本题共15分）1. 若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是（）.A. 16AB. {1,2,3}UAC. （1,2,3}€AD. 0UA2. 若殆和R,是A 上的对称关系，则殆11殆，殆0氏2,殆一殆，殆一殆中对称关系有 （〉个. A. 1 B. 2 C. 3D. 43. 设G 为连通无向图，则（ ）时,G 中存在欧拉回路. ,A. G 不存在奇数度数的结点 B. G 存在偶数度数的结点 C. G 存在一个奇数度数的结点D. G 存在两个奇数度数的结点4-无向图G 是棵树，边数是10,则G 的结点度数之和是（）.A. 20B. 9C. 10D. 115.设个体域为整数集，则公式Vx3y （x+y = 0）的解释可为（）. A. 存在一整数工有整数y 满足x+y = 0 B. 对任意整数z 存在整数了满足x+y = 0 C. 存在一整数工对任意整数丁满足1+了 = 0 D. 任意整数］对任意整数'满足x+j=0二、填空题(每小题3分，本题共15分)1, 2, 3), B = (2, 3, 4}, C = {3, 4, 5},则 A U (C - B )等于7. ______________________________________________ 设 A = (2,3},B = U,2),C=(3,4},从 A 到 B 的函数/= {<2,2>,<3,1>},从 B 到 C 的函数g = (Vl,3>,V2,4>},则 Dom(go/)等于 .8. _________________________________________________________________ 已知图G 中共6.设果合A =有1个2度结点,2个3度结点,3个4度结点，则G的边数是___________________________ .9-设（；是连通平面图，如e,r分别表示G的结点数，边数和面数，"值为5,e值为4,姻r 的值为 ._____________ -10.设个体域D={1,2.3,4}.A（X）为％大于5”，副谓伺公式（Vx）A（工）的真值为15.设集合A = (1,2,3,4}上的关系：R = {<1,2>,<2,3>・<3,4>},S = {V1,1>,V2,2>,V3,3>}, 试计算(1)R ・S ；(2)R-。

离散数学考试题(后附详细答案)一、命题符号化（共6小题，每小题3分，共计18分）1.用命题逻辑把下列命题符号化a)假如上午不下雨，我去看电影，否则就在家里读书或看报。

b)我今天进城，除非下雨。

c)仅当你走，我将留下。

2.用谓词逻辑把下列命题符号化a)有些实数不是有理数b)对于所有非零实数x，总存在y使得xy=1。

c) f 是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B，使得f(a)=b.二、简答题（共6道题，共32分）1.求命题公式(P→(Q→R)) (R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式，并写出所有成真赋值。

（5分）2.设个体域为{1,2,3}，求下列命题的真值（4分）a)x y(x+y=4)b)y x (x+y=4)3.求x(F(x)→G(x))→(xF(x)→xG(x))的前束范式。

（4分）4.判断下面命题的真假，并说明原因。

（每小题2分，共4分）a)（A B）－C=(A-B) (A-C)b)若f是从集合A到集合B的入射函数，则|A|≤|B|5.设A是有穷集，|A|=5，问（每小题2分，共4分）a)A上有多少种不同的等价关系？b)从A到A的不同双射函数有多少个？6.设有偏序集<A,≤>，其哈斯图如图1，求子集B={b,d,e}的最小元，最大元、极大元、极小元、上界集合、下界集合、上确界、下确界，(5分)f g图17.已知有限集S={a1,a2,…,a n},N为自然数集合，R为实数集合，求下列集合的基数S;P(S);N,N n;P(N);R,R×R,{o,1}N（写出即可）(6分)三、证明题（共3小题，共计40分）1.使用构造性证明，证明下面推理的有效性。

（每小题5分，共10分）a)A→(B∧C),(E→ F)→ C, B→(A∧ S) B→Eb)x(P(x)→ Q(x)), x(Q(x)∨R(x))，x R(x) x P(x)2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠ 且B≠ ，关系R满足：<<x1,y1>,<x2,y2>>∈R，当且仅当< x1, x2>∈R1且<y1,y2>∈R2。

离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。

2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____；=A _____；=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==；则=-)()(B A ρρ__ __________；=-)()(A B ρρ_____ ______。

二．选择题（每小题2分；共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（ ）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=；A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质 （A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性 三．计算题（共43分）1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。

（6分）2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ；求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵；并画出R ；)(),(),(R t R s R r 的关系图。

（10分）5. 试判断),(≤z 是否为格？说明理由。

（5分）（注：什么是格？Z 是整数；格：任两个元素；有最小上界和最大下界的偏序）四．证明题（共37分）1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。

（10分）2. 设R 是实数集；b a b a f R R R f +=→⨯),(,:；ab b a g R R R g =→⨯),(,:。

求证：g f 和都是满射；但不是单射。

（10分）一；1； _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2； {2} {4；5} {1；3；4；5}3； {{c}；{a ；c}；{b ；c}；{a ；b ；c}} Φ_ 二；B D三；解：主合取方式：p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式：p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四；1；证明：编号 公式 依据 （1） （¬B∨C ）∧¬C 前提 （2） ¬B∨C ；¬C （1） （3） ¬B （2） （4） A →B （3） （5） ¬A （3）（4） （6） ¬（¬A∧D ） 前提 （7） A ∨¬D （6） （8）¬D （5）（6）2；证明：要证f 是满射；即∀y ∈R ；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使f （x1；x2）=y ；而f （x1；x2）=x1+x2；可取x1=0；x2=y ；即证得；再证g 是满射；即∀y ∈R ；；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使g （x1；x2）=y ；而g （x1；x2）=x1x2；可取x1=1；x2=y ；即证得；最后证f 不是单射；f （x1；x2）=f （x2；x1）取x1≠x2；即证得；同理：g （x1；x2）=g （x2；x1）；取x1≠x2；即证得。

《离散数学》题库及答案一、选择或填空（数理逻辑部分）1、下列哪些公式为永真蕴含式？()(1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4）2、下列公式中哪些是永真式？()(1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ)答：（2），（3），（4）3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ(4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P答：（2），（3），（4），（5），（6）4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。

答：某,y,某,z5、判断下列语句是不是命题。

若是，给出命题的真值。

((1)北京是中华人民共和国的首都。

(2)陕西师大是一座工厂。

)，约束)(3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。

(5)前进！(6)给我一杯水吧！答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。

答：所有人都不是大学生，有些人不会死7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。

(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。

(1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0)答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=09、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：(1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)()答：（1）F（2）F（3）F（4）T10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真()2(1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立答：（1）11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。

离散数学考试题目及答案1. 试述命题逻辑中的等价关系和蕴含关系。

答案：命题逻辑中的等价关系是指两个命题在所有可能的真值赋值下都具有相同的真值。

若命题P和Q等价，则记作P⇔Q。

蕴含关系是指如果命题P为真，则命题Q也为真，但Q为真时P不一定为真。

若命题P蕴含Q，则记作P→Q。

2. 证明：若集合A和B的交集非空，则它们的并集包含A和B。

答案：设x属于A∩B，即x同时属于A和B。

根据并集的定义，若元素属于A或B，则它属于A∪B。

因此，x属于A∪B。

由于x是任意属于A∩B的元素，所以A∩B≠∅意味着A∪B至少包含A∩B中的所有元素，即A∪B包含A和B。

3. 给定一个有向图G，如何判断G中是否存在环？答案：判断有向图G中是否存在环，可以采用深度优先搜索（DFS）算法。

在DFS过程中，记录每个顶点的访问状态，如果遇到一个已访问过的顶点，且该顶点不是当前路径的直接前驱，则表示存在环。

4. 描述有限自动机的组成部分及其功能。

答案：有限自动机由以下几部分组成：输入字母表、状态集合、转移函数、初始状态和接受状态集合。

输入字母表定义了自动机可以接收的符号集合；状态集合包含了自动机所有可能的状态；转移函数定义了在给定输入符号和当前状态的情况下，自动机如何转移到下一个状态；初始状态是自动机开始工作时的状态；接受状态集合包含了所有使自动机接受输入字符串的状态。

5. 什么是图的连通分量？如何确定一个无向图的连通分量？答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图。

在一个无向图中，如果两个顶点之间存在路径，则称这两个顶点是连通的。

确定无向图的连通分量可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）算法。

从任一顶点开始搜索，搜索过程中访问的所有顶点构成一个连通分量。

重复此过程，直到所有顶点都被访问过，即可确定图中所有连通分量。

数理逻辑习题判断题1．任何命题公式存在惟一的特异析取范式 （ √ ） 2． 公式)(q p p →⌝→是永真式 （ √ ） 3．命题公式p q p →∧)(是永真式 （ √ ） 4．命题公式r q p ∧⌝∧的成真赋值为010 （ × ） 5．))(()(B x A x B x xA →∃=→∀ （ √ ）6．命题“如果1＋2＝3，则雪是黑的”是真命题 （ × ） 7．p q p p =∧∨)( （ √ ）8．))()((x G x F x →∀是永真式 （ × ） 9．“我正在撒谎”是命题 （ × ） 10． )()(x xG x xF ∃→∀是永真式（ √ ）11．命题“如果1＋2＝0，则雪是黑的”是假命题 （ × ） 12．p q p p =∨∧)( （ √ ）13．))()((x G x F x →∀是永假式 （ × ）14．每个命题公式都有唯一的特异（主）合取范式 （ √ ） 15．若雪是黑色的:p ，则q →p 公式是永真式 （ √ ） 16．每个逻辑公式都有唯一的前束范式 （ × ） 17．q →p 公式的特异（主）析取式为q p ∨⌝ （ × ） 18．命题公式 )(r q p →∨⌝的成假赋值是110 （ √ ） 19．一阶逻辑公式)),()((y x G x F x →∀是闭式（ × ）单项选择题1． 下述不是命题的是（ A ）A．花儿真美啊! B．明天是阴天。

C．2是偶数。

D．铅球是方的。

2．谓词公式（∀y）（∀x）（P（x）→R（x,y））∧∃yQ（x,y）中变元y （B）A．是自由变元但不是约束变元B．是约束变元但不是自由变元C．既是自由变元又是约束变元D．既不是自由变元又不是约束变元3．下列命题公式为重言式的是（ A ）A．p→ （p∨q）B．（p∨┐p）→qC．q∧┐q D．p→┐q4．下列语句中不是．．命题的只有（A ）A．花儿为什么这样红？B．2+2=0C．飞碟来自地球外的星球。

2010～2011学年度第 一 学期《离散数学》试卷（A 卷）适用专业年级：2009信息与计算科学 网络工程 软件工程及计算机科学与技术专业（本）考 试 形 式：（ ）开卷、（√）闭卷二级学院： 行政班级： 学 号： 教 学 班： 任课教师： 姓 名： 注：学生在答题前，请将以上内容完整、准确填写，填写不清者，成绩不计。

一、选择题（每小题 3分，共 15 分。

请将答案填在下面的表格内）1.设命题公式G ：()p q r ⌝↔∧,则使公式G 取值为1的,,p q r 赋值分别为（ ）（A ）0,0,0 （B ）0,0,1 （C ）0,1,1 （D ）1,1,1 2.以下的联结词不是联结词完备集的是（ ） （A ）1{}S =⌝∧， （B ）1{}S =⌝∨， （C ）1{}S =∧∨→↔，，，（D ）1{}S =↓3.下述等价式不正确的是（ ） （A ）()()xAx x A x ⌝∀⇔∃⌝ （B ）()()xA x x A x ⌝∃⇔∀⌝（C ）()()x A x B xA x B∀→⇔∃→（） （D ）()()x A x B xA x B∃→⇔∃→（）4.设集合A={a,b }，A 上的关系R={<a,a >,<b,b > }，则R 是（ ） （A ）是等价关系但不是偏序关系 （B ）是偏序关系但不是等价关系 （C ） 既是等价关系又是偏序关系 （D ）既不是等价关系又不是偏序关系 5．无向图G 是欧拉图当且仅当G 是连通的且（ ）………………………………………线………………………………………订………………………………………装…………………………………………………（A ）G 中各顶点的度数均相等 （B ）G 中各顶点的度数之和为偶数（D ）G 中各顶点的度数均为奇数二、填空题（每题 3分，共15分）1．“有的运动员不是大学生”符号化为 . （设P(x):x 是运动员；Q(x):x 是大学生）2. 设S ={<1,2>,<2,4>,<3,3>},R ={<1,3>,<2,4>,<4,2>}, 则S R = .3．下图所具有的关系性质有： .4．设有一棵树，它有2个2度结点，1个3度结点，3个4度结点，其余为叶 则它的树叶数为 个. 共有6个结点11条边，则它的面数为 ． 三、计算题： 求公式()p q r →⌝↔的主析取范式和主合取范式（10 分）四、演绎证明： 前提：p ,,,q pr q s r p q∨→→→⌝∧⌝ 结论：s （10分）五、设A={1,2,3,4}，R 是A 上的一个关系，R={<a,b>|a ，b ∈A ，(a-b)/2=k ，k ∈Z}，证明R 是A 上的等价关系，并按关系R 给出A 上的划分。

全国2010年7月高等教育自学考试离散数学试题课程代码：02324一、单项选择题（本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1．下列句子不是命题的是（）A．中华人民共和国的首都是北京B．张三是学生C．雪是黑色的D．太好了！2．下列式子不是谓词合式公式的是（）A．（"x）P(x)→R(y)B．("x) ┐P（x）T("x)(P(x)→Q(x))C．("x)($y)(P(x)∧Q(y))→($x)R(x)D．("x)(P(x,y)→Q(x,z))∨($z)R(x,z)3．下列式子为重言式的是（）A．(┐P∧R)→QB．P∨Q∧R→┐RC．P∨(P∧Q)D．(┐P∨Q)?(P→Q)4．在指定的解释下，下列公式为真的是（）A．("x)(P(x)∨Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域:{1,2}B．($x)(P(x)∧Q(x)),P(x):x=1,Q(x):x=2,论域: {1,2}C．($x)(P(x) →Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4}D．("x)(P(x)→Q(x)),P(x):x>2,Q(x):x=0,论域:{3,4}5．对于公式("x) ($y)(P(x)∧Q(y))→($x)R(x,y)，下列说法正确的是（）A．y是自由变元B．y是约束变元C．($x)的辖域是R(x, y)D．("x)的辖域是($y)(P(x)∧Q(y))→($x)R(x,y)6．设论域为{1,2}，与公式("x)A(x)等价的是（）A．A(1)∨A(2)B．A(1)→A(2)C．A(1)∧A(2)D．A(2)→A(1)7．设Z+是正整数集，R是实数集，f:Z+→R, f(n)=log2n ,则f（）A．仅是入射B．仅是满射C．是双射D．不是函数8．下列关系矩阵所对应的关系具有反对称性的是（）9．设R1和R2是集合A上的相容关系，下列关于复合关系R1°R2的说法正确的是（）A．一定是等价关系B．一定是相容关系C．一定不是相容关系D．可能是也可能不是相容关系10．下列运算不满足交换律的是（）A．a*b=a+2bB．a*b=min(a,b)C．a*b=|a-b|D．a*b=2ab11．设A是偶数集合，下列说法正确的是（）A．<A,+>是群B．<A,×>是群C．<A,÷>是群D．<A,+>, <A,×>,<A,÷>都不是群12．设*是集合A上的二元运算，下列说法正确的是（）A．在A中有关于运算*的左幺元一定有右幺元B．在A中有关于运算*的左右幺元一定有幺元C．在A中有关于运算*的左右幺元，它们不一定相同D．在A中有关于运算*的幺元不一定有左右幺元15．一棵树的3个4度点，4个2度点，其它的都是1度，那么这棵树的边数是（）A．13B．14C．15D．16来源:考试大二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。