07：三次函数的极值与最值

专题2-2三次函数图像与性质【题型1】求三次函数的解析式【题型2】三次函数的单调性问题【题型3】三次函数的图像【题型4】三次函数的最值、极值问题【题型5】三次函数的零点问题【题型6】三次函数图像，单调性，极值，最值综合问题【题型7】三次函数对称中心【题型8】三次函数的切线问题【题型9】三次函数根与系数的关系1/342/34【题型1】求三次函数的解析式（1）一般式：()³²f x ax bx cx d =+++（a ≠0）（2）交点式：()123()()()f x a x x x x x x =---（a ≠0）1．若三次函数()f x 满足()()()()00,11,03,19f f f f ''====，则()3f =（）A ．38B ．171C ．460D ．965【解析】待定系数法，求函数解析式设()³²f x ax bx cx d =+++，则()232f x ax bx c '=++，由题意可得：()()()()0011031329f d f a b c d f c f a b c ⎧==⎪=+++=⎪⎨==⎪⎪=+'=⎩'+，解得101230a b c d =⎧⎪=-⎪⎨=⎪⎪=⎩，则()3210123f x x x x =-+，所以()32310312333171f =⨯-⨯+⨯=.【题型2】三次函数的单调性问题三次函数是高中数学中的一个重要内容，其考点广泛且深入，主要涉及函数的性质、图像、最值、零点以及与其他函数的综合应用等方面。

以下是对三次函数常见考点的详细分析：1.三次函数的定义与形式∙定义：形如f (x )=ax 3+bx 2+cx +d （其中a ≠=0）的函数称为三次函数。

∙形式：注意系数a ,b ,c ,d 的作用，特别是a 的正负决定了函数的开口方向（a >0开口向上，a <0开口向下）。

三次函数的极值与拐点
引言
三次函数是一种形式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的函数，其
中a、b、c和d为常数。

本文将讨论三次函数的极值与拐点。

极值
极值点即函数的局部极大值或极小值的点。

对于三次函数来说，极值点可以通过求导数来找到。

三次函数的一阶导数可以表示为
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c。

求导之后，我们可以将导数设置为0，然后
解方程求得极值点对应的x值。

拐点
拐点是函数曲线出现从凸向上或凹向下的转折点。

类似于极值，我们可以通过求函数的二阶导数来找到拐点。

对于三次函数来说，
其二阶导数为f''(x) = 6ax + 2b。

同样地，我们可以将二阶导数设置
为0，然后解方程求得拐点对应的x值。

总结
通过求导数和二阶导数，我们可以找到三次函数的极值点和拐点。

这些点在函数图像上具有重要的意义，帮助我们了解函数的性质和特点。

对于三次函数来说，它们可能存在零个、一个或两个极值点和拐点。

以上就是关于三次函数的极值和拐点的讨论。

希望本文能够对读者理解三次函数的特性有所帮助。

注意：本文中的内容仅供参考，具体计算过程需要根据具体的函数形式进行合理推导和计算。

三次函数性态的五个要点邳州市岔河高级中学解俊三次函数的一般形式为y=f(x)=ax3+bx2+cx+d (不妨a＞0,a、b、c、d∈R) ，近几年的全国各省市高考试卷以导数为工具，有重点地考查了有关三次函数的单调性、极值、在闭区间上的最值、对参数式的取值范围的探究等函数性态，凸显“在知识网络交汇点上命题”的理念，本文结合相关试题阐述三次函数性态的要点。

要点1.三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点的个数简析：若函数f(x)在点x0的附近恒有f(x)≥f(x) (或f(x)≤f(x))，则称函数f(x)在点x0处取得极大值（或极小值），称点x为极大值点（或极小值点）。

据此有结论：三次函数y=f(x)在(-∞,+∞)上的极值点要么有两个，要么不存在极值点。

论证如下：令f′（x）=3ax2+2bx+c，y=f（x）的极值点就是方程 f/（x）=0的实根。

①当Δ=4b2-12ac＞0时，方程f/（x）=0有两个不等的实根，记为x1、x2，则x1、x2是f（x）在(-∞,+∞)上的两个极值点；②当Δ=4b2-12ac =0时，该方程有两个等根：x1=x2=x，由下表可知y=f（x）在(-∞,+∞)上单调增，此时y=f（x）没有极值点；③当Δ=4b2-12ac＜0时，f/（x）=0无实根，f(x)没有极值点，结论得证。

[试题链接]：错解剖析例1.（2004年湖北高考文考卷）已知b＞-1，c＞0，函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+bx+c的图象相切，（Ⅰ）求b与c的关系式（用c表示b）；（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）.g（x）在(-∞,+∞)内有极值点，求c的取值范围。

解：（Ⅰ）依题意，函数f（x）=x+b的斜率为1，∴g′（x）=1，得2x+b=1，故x=（1-b）/2为切点的横坐标，将x=（1-b）/2分别代入f（x）、g（x）的函数解析式，得 f[（1-b）/2]=g[（1-b）/2]，化简为（b+1）2=4c∵b＞-1，c＞0，∴b=-1+2c1/2（Ⅱ）F（x）=f（x）.g（x）=x3+2bx2+（b2+c）x+bc，F′（x）=3x2+4bx+b2+c=0，令3x2+4bx+b2+c=0，Δ=16b2-12（b2+c）=4（b2-3c），当Δ=0时，则F′（x）=0有两个等根x；当Δ＞0时，F′（x）=0有两个不等的实根x1、x2（设x1＜x2），综上所述，当且仅当Δ≥0时，函数F（x）在(-∞,+∞)上有极值点。

三次函数性质的研究我们已经学习了一次函数，知道图象是单一递加或单一递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间获得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单一性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单一递加；当k<0时函数单一递加；b决定函数与y轴订交的地点．此中运用的许多的一次函数不等式性质是： fx 0在[m，n]上恒建立的充要条件fm 0fn 0接着，我们相同学习了二次函数，图象大概以下：图1 图2利用已学知识概括得出：当时(如图1)，在对称轴的左边单一递减、右边单一递加，对称轴上获得最小值；当时(图2)，在对称轴的左边单一递加、右边单一递减，对称轴上获得最大值．在某一区间获得最大值与最小值．此中a决定函数的张口方向， a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴订交的地点．总结：一次函数只有一个单一性，二次函数有两个单一性，那么三次函数能否就有三个单一性呢？1三次函数专题一、定义：定义1、形如y ax3bx2cx d(a 0)的函数，称为“三次函数”（从函数分析式的构造上命名）。

定义2、三次函数的导数y 3ax2 2bx c(a 0)，把4b212ac叫做三次函数导函数的鉴别式。

因为三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热门和亮点。

特别是文科。

系列研究1：从最简单的三次函数yx3开始y反省1：三次函数y x31的有关性质呢？反省2：三次函数y x 3Ox 1的有关性质呢？反省3：三次函数y x31的有关性质呢？1（2012天津理）（4）函数f ()2xx32在区间(0,1)内的零点个数是B x（A）0（B）1（C）2（D）3系列研究2：研究一般三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)的性质：先求导f(x)3ax22bx c(a0)1．单一性：（1）若△(2b)212ac0，此时函数f(x)在R上是增函数；（2）若△(2b)212ac0，令f(x)3ax22bx c0两根为x1,x2且x1x2，则f(x)在(,x1),(x2)上单一递加，在(x1,x2)上单一递减。

三次函数的性质三次函数是一类重要的数学函数，它是利用一次函数、二次函数和多项式联立来构造的一类数学函数。

三次函数的性质多变，常用的有三次函数的单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质、递增递减性质等。

一、三次函数的单调性性质三次函数满足单调性性质，即在函数定义域内函数值单调递增或单调递减，即“若y=f(x) 为某三次函数时，则若x在f(x)的定义域内，若x1<x2，则f(x1)≤f(x2)或f(x1)≥f(x2)”。

二、三次函数的最值性质三次函数满足最值性质，具体来说就是三次函数在定义域内只有一个极值点，这个极值点可以是函数的极大值点也可以是函数的极小值点，用数学符号表示为“若y=f(x) 为某三次函数，则若x为函数的极值点，有f(x)=0，其中f(x) 为函数的导数”。

三、三次函数的奇偶性质三次函数满足奇偶性质，即“当x为-x，函数值也变为它的相反数，即f(-x)=-f(x)，其中f(x) 为某三次函数”。

四、三次函数的对称性质三次函数满足对称性质，具体来说就是“若f(x) 为某三次函数，且a 为某实数，若x=af(x)=0，则f(x) 与x对称，即f(x)=0 且x=-a 也成立，即f(-a)=0”。

五、三次函数的递增递减性质三次函数满足递增递减性质，即“若y=f(x) 为某三次函数时，若x 位于f(x)定义域内，若f(x)>0，则若x0<x1<x2，有f(x0)<f(x1)<f(x2)；若f(x)<0，则若x0<x1<x2，有f(x0)>f(x1)>f(x2)”。

综上所述，三次函数的性质多变多样，它具有单调性性质、最值性质、奇偶性质、对称性质和递增递减性质，并且它们之间也有着相互联系。

所以要想理解三次函数这一重要的数学函数，就需要全面掌握它的这些性质。

三次函数在数学和科学上有着重要的应用，例如在数学归纳法中，通过分析三次函数的性质，可以更加有效地解决数学问题；在科学研究中，三次函数也可用来拟合一些曲线，从而进行有效的科学实验。

慕泽刚三次函数Ｙ＝ｏ，ｘ３＋ｂｘ２＋饼＋ｄ（ａ≠ｏ）已经成为高中阶段一个重要的甬数。

近几年，在全国及各自主命题的省市高考卷中都出现了这个函数的单独命题，因此须对三次函数题型作深入的研究。

下面就三次函数的极值与最值进行探究。

’一求三次函数的极值＇例ｌ求函数以茹）＝（茗２—４）（髫一÷）在［一４，４］Ｌ上的极值。

点拨：首先求导函数，’（茗），然后求方程ｆ’（菇）＝Ｏ的根，然后列表判断符号，进而确定极值。

解析，’（省）＝３ｘ２一菇一４，令ｆ’（并）＝Ｏ得乱＝一１，４恐２丁。

茗（一４，一１）一ｌ（－ｌ’÷）４（善，４）３ｊｆ７（ｚ）＋ＯＯ＋，（ｚ）≯极大、极小≯以菇）戤＝灭一１）＝；以菇）孙叫÷）＝万５０１－５－。

以菇）艟大＝灭一）＝７以菇）极小叫÷）＝而。

取极大值，（１）＝÷一口，当菇＝２时，厂（茗）取极小值八２）＝２－－ａ，故当，（２）·以１）＞Ｏ时，方程以髫）＝０仅有一个实根。

解得口＜２或口＞÷。

四分离参数法在解题过程中。

常常把所考查的某个变量口从不等式中分离出来，变形为形如口坝髫）或ａ＜以茗）恒成立问题来求解。

例４（２００９年山东文·２１）已知函数以并）＝｛哪３＋助产＋聋＋３，其中口≠Ｏ。

（Ｉ）当口，ｂ满足什么条件时，以戈）取得极值？（１Ｉ）已知口＞０，且ｆ（髫）在区间（０，１］上单调递增，试用ｎ表示出ｂ的取值范围。

解析：（Ｉ）ｂ２＞ａ时，火石）取得极值（其他略）；（Ⅱ）要使ｆ（ｘ）在区间（０，１］上单调递增，需使，’（茹）＝似２＋２ｂｘ＋ｌ≥ｏ在（ｏ，Ｉ］上恒成立，即６≥一警一西１，聋∈（ｏ，１］恒成立，所以６≥（一丁ａｘ一去）一。

设ｇ（石）＝一詈一去，ｇ’（茗）＝一号＋专＝口（矿一上）．．—矿，令ｇ，（Ｄ＝ｏ得茗＝寺或茗＝一去（舍去）’鞠【膏中生之友２０１０．３．Ｉ－半Ｒ刊】当口＞１时，ｏ＜÷＜ｌ，若算∈（ｏ，石１，口、Ｊｇ（髫）＞ｏ，ｇ（茹）＝一芋一去单调增函数；若茗Ｅ（去，１］时ｇ’（龙）＜ｏ，ｇ（ｚ）＝一予一上２ｘ单调减函数，所以若髫＝石１时，ｇ（菇）取得最大，最大值为ｇ（专）＝一石，所以４ａ６≥一石；当０＜口≤１时，圭≥１，此时ｇ’（菇）≥０在区间√ｏ（ｏ，１］恒成立，所以ｇ（菇）＝一詈一瓦１在区间（ｏ，１］上单调递增，当髫＝１时ｇ（菇）最大，最大值为ｇ（１）：一掣，所以６≥一掣。

三次函数最值及函数值范围问题介绍在数学中，三次函数是指次数为3的多项式函数。

三次函数的形式通常为y=ax^3+bx^2+cx+d，其中a、b、c和d为实数且a不等于0。

本文将讨论三次函数的最值及函数值范围问题。

最值问题三次函数的最值指的是函数在定义域内取得的最大值和最小值。

为了确定三次函数的最值，我们可以采用以下步骤：1. 首先，找到三次函数的导数，即y'。

2. 将导数的解集求出，并确定所有的极值点。

3. 在极值点、定义域的端点以及导数不存在的点处，分别计算函数的值。

4. 比较这些值，找到函数的最大值和最小值。

函数值范围问题函数值范围问题指的是确定函数在定义域内可能取得的所有值的范围。

对于三次函数，其函数值范围并不是简单地由最大值和最小值确定，还需要考虑函数的性质。

1. 如果函数的系数a大于0，则函数的图像是开口向上的抛物线形状。

在这种情况下，函数值范围是从最小值到正无穷大。

2. 如果函数的系数a小于0，则函数的图像是开口向下的抛物线形状。

在这种情况下，函数值范围是从负无穷大到最大值。

3. 对于一般情况的三次函数，可以通过观察函数的图像来确定函数值范围。

总结本文介绍了三次函数的最值及函数值范围问题。

最值问题可以通过求导和求解极值点来确定，而函数值范围则需要考虑函数的性质以及观察函数的图像。

对于特定的三次函数，可以通过具体的计算来得出最值和函数值范围。

希望本文对您理解三次函数的最值及函数值范围问题有所帮助。

参考资料：- 高等数学教程- Khan Academy: Cubic functions。