小学奥数之三角形的分割讲义

直角三角形分割问题
（最新版）
目录
1.直角三角形分割问题的定义和背景
2.直角三角形分割问题的解法
3.直角三角形分割问题的实际应用
正文
1.直角三角形分割问题的定义和背景
直角三角形分割问题是指给定一个直角三角形，如何将其分割成若干个较小的直角三角形，使得这些较小的直角三角形的面积之和等于原三角形的面积。

这个问题起源于古希腊，一直是数学领域中的经典问题之一。

2.直角三角形分割问题的解法
直角三角形分割问题的解法可以分为两种：解析法和几何法。

解析法是利用数学公式和定理进行求解，其中最著名的方法是利用勾股定理和相似三角形的性质。

具体来说，设直角三角形的两条直角边分别为 a 和 b，斜边为 c，我们需要找到两个数 x 和 y，使得 x^2 + y^2 = c^2。

这样，我们可以将直角三角形分割成两个直角三角形，其直角边分
别为 x 和 y，斜边为 c。

几何法是利用几何图形的性质进行求解，其中最著名的方法是利用切割线定理。

具体来说，我们可以在直角三角形的斜边上找一个点，然后将这个点与直角顶点相连，形成一个新的直角三角形。

我们可以通过切割线定理求出这个新直角三角形的面积，从而得到原直角三角形分割后的面积。

3.直角三角形分割问题的实际应用
直角三角形分割问题在实际生活中有很多应用，例如在测量土地面积、设计建筑物和解决物理问题等方面。

此外，这个问题也是许多数学竞赛和
智力题的常见题目，可以锻炼解题者的思维能力和创新能力。

综上所述，直角三角形分割问题是一个既有趣又有用的数学问题，其解法可以分为解析法和几何法。

三角形的分割（二）同学们大家好！在上一讲中，我们一起研究了“三角形的分割”的一些知识。

其中有一条很重要的知识“等底等高的三角形面积相等”。

今天我们这一讲一起来研究这些知识的应用。

【典型例题】一. 阅读思考：例1. 如图，点D 、E 、F 与点G 、H 、N 分别是三角形ABC 与三角形DEF 各边的中点。

那么阴影部分的三角形面积的和是三角形ABC 的面积的()()。

（十一届迎春杯决赛题）B E C分析与解答：因为D 、E 、F 分别为AB 、BC 、AC 的中点，所以DE 、EF 、DF 分别平行于AC 、AB 、BC ，所以∆∆BDE EFC 和是等底等高的三角形，∆∆A EFC DE 和，∆∆BDE DEF 和分别是等底等高的三角形。

解：S S DEF ABC ∆∆=14S S S S S S S GHN DEF ABC DEF GHN ABC∆∆∆∆∆∆==∴=-=12116316阴即S S ABC阴∆=316例2. 下图中，三角形ABC 的面积是12平方厘米。

并且BE=2EC ，F 是CD 的中点。

那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。

（第十二届迎春杯训练题）B分析与解答：因为∆∆ACE ABE 和的高相等，而BE=2EC ，所以∆ABE 的面积是∆ACE 面积的2倍。

解：S ABE ∆=8（平方厘米） S A C E ∆=4（平方厘米）又因为S S S S ACF ADF BCF BDF ∆∆∆∆==, 所以S S S ACF BCF ABC ∆∆∆+==126（平方厘米） 于是S S S S BEF ACF BCF ACE ∆∆∆∆=+-()=-=642()平方厘米又S S CEF BEF ∆∆==⨯=122121（平方厘米） 所以S S S S BDF BCF BEF CEF ∆∆∆∆==+=+=213（平方厘米） S S S B D F BEF 阴影=+=+=∆∆325（平方厘米）【模拟试题】（答题时间：30分钟）二. 尝试练习：1. 有一张等腰直角三角形的纸片，沿它的斜边上的高把这个三角形对折；再沿小三角形的斜边上的高把它对折；再沿更小三角形斜边上的高把它对折。

小学四年级奥数讲义专题一三角形小学四年级奥数讲义专题一：三角形
1. 三角形的定义
三角形是由三条线段组成的图形，它的特点是有三个顶点和三条边。

2. 三角形的分类
2.1 依据边长分类
- 等边三角形：三条边的长度都相等。

- 等腰三角形：两条边的长度相等。

- 普通三角形：三条边的长度都不相等。

2.2 依据角度分类
- 直角三角形：其中一个角度为90度。

- 钝角三角形：其中一个角度大于90度。

- 锐角三角形：三个角度都小于90度。

3. 三角形的性质
- 三角形的三个内角之和始终为180度。

- 三角形的两边之和大于第三边。

- 等边三角形的三个角度均为60度。

- 等腰直角三角形的两个锐角度均为45度。

4. 三角形的计算公式
4.1 周长
三角形周长是三条边的长度之和，可以使用以下公式计算：周长 = 边1长度 + 边2长度 + 边3长度
4.2 面积
三角形的面积可以使用以下公式计算：
面积 = 底边长度 * 高 / 2
5. 三角形的练题
1. 判断下列图形中是否为三角形：
- (图形1描述)
- (图形2描述)
- (图形3描述)
2. 求下列三角形的周长和面积：
- (三角形1描述)
- (三角形2描述)
- (三角形3描述)
通过学习本讲义，希望同学们能够掌握三角形的定义、分类、性质和计算方法，进一步提高数学运算能力。

三角形分割的探究课三角形是几何学中重要的形状之一，它具有许多特性和性质。

在本篇文章中，我们将探索三角形分割的方法和相关性质。

一、三角形的三边分割三角形的三条边可以通过在边上选择任意一点来进行分割。

令我们感兴趣的是，这些分割点对于三角形的性质有何影响。

让我们以等边三角形为例进行探究。

等边三角形具有三条相等的边以及三个相等的内角，为了进行分割，我们选择任一边上的一点，并将其连接到另外两个顶点。

这样，三角形被分割出了三个小三角形。

我们注意到，无论我们在哪个边上选择点进行分割，得到的三个小三角形的性质都是相同的，这是因为等边三角形的对称性。

二、三角形的角分割除了边的分割，我们还可以通过在角的内部选择一个点来进行三角形的分割。

这将产生两个新的三角形和一个四边形。

让我们讨论一下关于这种分割方式的一些有趣的发现。

1. 角平分线当我们选择三角形的顶点作为分割点时，分割线将成为该角的平分线。

平分线将角分为两个相等的角，这个性质在几何学中非常重要。

2. 高度线如果我们选择三角形的底边上的一个点作为分割点，分割线将垂直于底边并延长到对边。

这条垂直线，也被称为高度线，将三角形分割为两个新的三角形和一个三角形。

三、三角形分割的应用三角形的分割可以应用于各种几何问题和实际应用中。

下面是其中几个例子。

1. 面积计算通过将三角形分割成更小的三角形，我们可以更容易地计算复杂形状的面积。

通过将三角形分割成一系列简单的形状，我们可以使用已知的面积公式计算每个小形状的面积，并将它们相加得到整体的面积。

2. 角度关系通过三角形的分割，我们可以研究角度之间的关系。

例如，我们可以探索内角和外角之间的关系，或者通过角平分线探索角的性质。

3. 相似性和比例三角形的分割也与相似三角形和比例有关。

通过将三角形分割成相似的小三角形，我们可以推导出相似性的性质，并在比例问题中应用它们。

四、结论三角形分割是几何学中一种有趣而有用的方法。

无论是边的分割还是角的分割，都可以帮助我们更好地理解三角形的性质和关系。

小学奥数中常见的辅助线的添加技巧方法3、等形分割（三）等形分割例1 如图1，ABC 为等腰直角三角形，面积为90平方厘米，四边形ADEF 为正方形，求它的面积。

练习1 如图1-1，在等腰直角三角形ABC 中，ADEF 为正方形，它的面积是24平方厘米，求△ABC 的面积。

练习2 如图1-2，将三角形ABC 的边AB 、AC 都延长到原来长度的2倍处，它的面积将增加几倍？练习3 把边长是10厘米的正方形卡片按图的方法重叠起来。

3张这样的卡片重叠以后组成的图形的面积是多少平方厘米？AB C EF DAB CEF DABC B 'C'图1-1图1-2图1-3图1例2 如图2，△ABC 为等腰直角三角形，面积为90平方厘米，DEFG 为正方形，求它的面积。

练习1 如图2-1，EFGH 是等腰直角三角形ABC 内的一个正方形，已知这个正方形的面积是60平方厘米，求三角形ABC 的面积。

练习2 如图2-2，正方形ABCD 和正方形EFGH 分别内接于同一个等腰三角形（这里的“内接”指正方形的四个顶点全部落在三角形的边上）。

已知正方形ABCD 的面积是72平方厘米，求正方形EFGH 的面积。

练习3 如图2-3，△ABC 和△DEC 都是等腰直角三角形，四边形EFGH 是正方形，求△ABC 和△DEC 的面积之比。

ABCEFDGA BE FDG H ABCEF DG H图2图2-1图2-2图2-3ABC FGH例3 如图3，三角形ABC 为等边三角形，D 为AB 边上的中点，DE 与BC 垂直，已知三角形BDE 的面积为5.6平方厘米，求等边三角形ABC 的面积。

练习1 如图3-1，D 为等腰直角三角形ABC 的腰AB 的中点， DE 与BC 垂直，已知三角形ABC 的面积为48平方厘米，求三角形BDE 的面积。

练习2 如图3-2，把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮，做成一个无盖的正方体盒子。

4-2-3.图形的分割与拼接知识点拨本讲主要学习三大图形处理方法：1．理解掌握图形的分割；2．理解掌握图形的拼合；3．理解图形的剪拼．本讲中很多类型的题目还要求同学们去动手尝试．通过本讲知识的学习，让同学们了解不同图形的分割、拼合、剪拼的方法，锻炼同学们的平面想象能力以及增强学生的动手操作能力．把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．反过来，按一定的要求也可以把几个图形拼成一个完美的图形，就叫做图形的拼合．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．图形中，如果有数量方面的要求，可以先从数量入手，找出平分后每块上所含数量的多少，再结合数量来分割图形．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．模块一、图形的分割【例 1】用一条线段把一个长方形平均分割成两块，一共有多少种不同的分割法？BA O【巩固】画一条直线，将六边形分成大小相等、形状相同的两部分，这样的直线有条．【例 2】用直线把左图分成面积相等的两部分，在右图中画虚线给出了分法，其中正确的有________个。

例题精讲llll【例 3】在一块长方形的地里有一正方形的水池(如下图)．试画一条直线把除开水池外的这块地平分成两块．AO【例 4】把任意一个三角形分成面积相等的4个小三角形，有许多种分法．请你画出4种不同的分法．【巩固】把任意一个三角形分成面积相等的2个小三角形，有许多种分法．请你画出3种不同的分法．【例 5】怎样把一个等边三角形分别分成8块和9块形状、大小都一样的三角形．【例 6】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．231DCBA【例 7】把下图四等分，要求剪成的每个小图形形状、大小都一样．除了剪正方形外，你还有别的方法吗？20402060【例 8】下图是一个34⨯的方格纸，请用四种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【巩固】右图是一个44⨯的方格纸，请用六种不同的方法将它分割成完全相同的两部分，但要保持每个小方格的完整．【例 9】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的四部分．【巩固】下图是一个被挖去了为总面积四分之一小正方形的大正方形，请你将它分成大小形状完全一样的两部分．如果分三部分呢？【巩固】图中是由三个正三角形组成的梯形．你能把它分割成4个形状相同、面积相等的梯形吗？【例 10】将图中的图形分割成面积相等的三块．【例 11】下图是由五个正方形组成的图形．把它分成形状、大小都相同的四个图形，应怎样分？【例 12】如何把下图中的三个图形分割成两个相同的部分(除了沿正方形的边进行分割外，还可沿正方形的对角线进行分割)．【例 13】已知左下图是由同样大小的5个正方形组成的．试将图形分割成4块形状、大小都一样的图形．【巩固】把右图剪成形状、大小相等的8个小图形，怎么剪？作出分出的小图形．【例 14】如图，它是由15个边长为1厘米的小正方形组成的．⑴ 请在原图中沿正方形的边线，把它划分为5个大小形状完全相同的图形，分割线用笔描粗．⑵ 分割后每个小图形的周长是厘米．⑶ 分割后5个小图形的周长总和与原来大图形的周长相差厘米．第3题【例 15】下图是由18个小正方形组成的图形，请你把它分成6个完全相同的图形．【例 16】如图，将一个等边三角形分割成互相不重叠的23个较小的等边三角形(这些较小的等边三角形的大小不一定都相同)，请在图中画出分割的结果．【例 17】如图，将一个正方形分割成互相不重叠的21个小正方形，这些小正方形的大小不一定相同，请画图表示．【例 18】一个正三角形形状的土地上有四棵大树(如下图所示)，现要把这块正三角形的土地分成和它形状相同的四小块，并且要求每块地中都要有一棵大树．应怎样分？【例 19】将下图分割成大小、形状相同的三块，使每一小块中都含有一个○．【例 20】请把下面这个长方形沿方格线剪成形状、大小都相同的4块，使每一块内都含有“奥数读本”这四个字中的一个，该怎么剪？奥数读本【例 21】请把下面的图形分成形状、大小都相同的4块，使每一块里面都有“春蕾杯赛”4个字．春春蕾杯赛春春蕾蕾蕾杯杯杯赛赛赛第13题【例 22】 学习与思考对小学生的发展是很重要的，学习改变命运，思考成就未来，请你将下图分成形状和大小都相同的四个图形，并且使其中每个图形都含有“学习思考”这四个字．应怎样分？学习思考学习思考学习思考考思习学（5）（4）（3）（2）（1）【例 23】 如下图所示，请将这个正方形分切成两块，使得两块的形状、大小都相同，并且每一块都含有学而思奥数五个字．学而思奥数数奥思而学【例 24】如下图所示的正方形是由36个小正方格组成的．如图那样放着4颗黑子，4颗白子，现在要把它切割成形状、大小都相同的四块，并使每一块中都有一颗黑子和一颗白子．试问如何切割？【例 25】如图，要求把正方形分成四块，两个正方形共分为八块，使每块的大小和形状都相同，而且都带一个○．【例 26】将下页图所示图形拆成形状相同、面积相等的三部分，使每个部分中含有一个，请将第一部分的六边形都标上“1”，第二部分的六边形都标上“2”。

第5讲图形的剪拼知识梳理把一个几何图形按某种要求分成几个图形，就叫做图形的分割．将一个或者多个图形先分割开，再拼成一种指定的图形，则叫做图形的剪拼．我们在图形的分割、拼合和剪拼的过程中，都要结合所提供的图形特点来思考．如果把一个图形分割成若干个大小、形状相等的部分，那么就要想办法找图形的对称点，把图形先分少，再分多．如果是要把几个图形拼合成一个大图形，要特别注意每条边的长度，把相等的边长拼合在一起，先拼少的，再拼多的．如果是剪拼图形，要抓住“剪、拼前后图形的面积相等”这个关键，根据已知条件和图形的特点，通过分析推理和必要的计算，确定剪拼的方法．典型例题【例1】★请将一个任意三角形分成四个面积相等的三角形。

【解析】本题要求分成面积相等的三角形，因此可以利用“同底等高的三角形面积相等”这一性质来分割。

方法一：将某一边等分成四份，连结各分点与顶点（见左下图）。

方法二：画出某一边的中线，然后将中线二等分，连结分点与另两个顶点（见右上图）。

【小试牛刀】试将一个等边三角形分割成8个全等的直角三角形。

【解析】如图【例2】★将右图分割成五个大小相等的图形。

【解析】因为图中共有15个小正方形，所以分割成的图形的面积应该等于15÷5=3（个）小正方形的面积。

3个小正方形有和两种形式，于是可得到很多种分割方法，下图是其中的三种。

【小试牛刀】下图是一个直角梯形，请你画一条线段，把它分成两个形状相同并且面积相等的四边形．321D C B A 1FE221D C BA【解析】直角梯形的上底为1，下底为2，要分成两个相同的四边形，需要一条边可以分成1和2，AD 边长正好为3，所以AD 边分成两段，找到AD 的三等分点E ，现在，CD AE =，DE AB =，BF EF =，所以还要找到BC 的中点F ，连接EF ，就把梯形ABCD 分成完全相同的两部分．如右上图．【例3】★★右图是一个4×4的方格纸，请在保持每个小方格完整的情况下，将它分割成大小、形状完全相同的两部分。

学科培优数学等积变换、切割、平移、旋转学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华,等积变换试平面几何的基础,解决三角形问题几乎无处不在,切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想,在几何中举足轻重,能使复杂的问题巧妙化解。

所以本讲是非常重要的一讲,也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变,高越大（小）,三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变,底越大（小）,三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍,底变为原来的1/3,则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下,可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论： 1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等,其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等,其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍,那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍． 3、夹在一组平行线之间的等积变形,如下图,和夹在一组平行线之间,且有公共底边那么；反之,如果,则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。