(完整版)小学奥数-比和比例(教师版)

六年级（应用题专题能力进阶七级）比和比例本讲主要内容：一．比例的基本性质比是表示两个数相除，有两项。

比例是一个等式，表示两个比相等，有四项性质1. 若a：b=c：d，则（a+c）：(b +d)=a：b=c：d性质2. 若a：b=c：d, 则（a－c）：（b－d）=a：b=c：d性质3. 若a：b=c：d, 则a×d=b×c （即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数) 则称 a、b 成正比反比例：如果a×b=k(k为常数) 则称 a、b 成正比二．按比分配根据所给条件的不同，有的给单比或连比，有的给两个比要化为连比。

之后找到总份数，求出一份的量，进而得到每个量的具体值。

三．比和比例的基本应用四．抓住比例里的“不变量”五．“和不变”的应用六．“差不变”的应用七．用比例解行程问题一比例的基本性质【例1】某单位买甲、乙两种钢笔共100支，已知甲钢笔每支3元，乙钢笔每支2元，且甲、乙两种钢笔所用钱数一样多，求甲、乙两种钢笔各买了多少支？二按比分配【例2】某种产品由A、B、C三个部件组成，一个工人每天可生产5个A，或者生产3个B，或者生产6个C，要使工厂每天生产的产品尽量多，该厂的210名工人应如何分工?该厂一天最多可生产多少个这种产品？三比和比例的基本应用【例3】某高速公路收费站对于过往车辆收费标准是：大客车30元，小客车15元，小轿车10元。

某日通过该收费站的大客车和小客车数量之比是5：6，小客车与小轿车之比是4：11，收取小轿车的通行费比大客车多210元，求这天这三种车辆通过的数量。

四抓住比例里的“不变量”【例4】六（一）班图书角原来科技书与文艺书本数的比是5：6，现在借出10本科技书后，科技书与文艺书本数之比是2：3。

科技书原有多少本？五“和不变”的应用【例5】小芳读一本故事书，读了几天后，已读的页数与未读的页数之比是3：5，后来又读27页，这时已读页数与未读页数之比是9：7。

比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。

第4讲比和比例1比的意义和性质(1) 比的意义两个数相除又叫做两个数的比。

“：”是比号，读作“比”。

比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。

比的前项除以后项所得的商，叫做比值。

同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商。

比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可能是整数。

比的后项不能是零。

根据分数与除法的关系，可知比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。

(2)比的性质比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外)，比值不变，这叫做比的基本性质。

(3) 求比值和化简比求比值的方法：用比的前项除以后项，它的结果是一个数值可以是整数，也可以是小数或分数。

根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。

它的结果必须是一个最简比，即前、后项是互质的数。

(4)比例尺图上距离：实际距离=比例尺要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。

线段比例尺：在图上附有一条注有数目的线段，用来表示和地面上相对应的实际距离。

(5)按比例分配在农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占总量的几分之几，然后求出总数的几分之几是多少。

2 比例的意义和性质 (1) 比例的意义表示两个比相等的式子叫做比例。

组成比例的四个数，叫做比例的项。

两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项。

(2)比例的性质在比例里，两个外项的积等于两个两个内向的积。

这叫做比例的基本性质。

(3)解比例根据比例的基本性质，如果已知比例中的任何三项，就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。

求比例中的未知项，叫做解比例。

3 正比例和反比例 (1) 成正比例的量两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。

比例问题填空题1.4:( )= 20=()10=( )%2. 在3:5里,如果前项加上6,要使比值不变，后项应加 _.3.12:1的图纸上，精密零件的长度为6厘米，它的实际长度是____ 毫米.4. 某生产队有一块正方形菜地，边长120米,在总面积中种植西红柿、南瓜、茄子面积的比是25:1:丄，三种蔬菜各种了亩.25. 买甲、乙两种铅笔共210支,甲种铅笔每支价值3分，乙种铅笔每支价值4分,两种铅笔用去的钱相同，甲种铅笔买了____ 支.6. 车库中停放若干辆双轮摩托车和四轮小卧车，车的辆数与车的轮子数的比是2:5.问:摩托车的辆数与小卧车的辆数的比是 _—7. 自然数A、B满足- 丄 -,且A:B=7:13.那么,A+B=.A B 1828. 光明小学有三个年级，一年级学生占全校学生人数的25%二年级与三年级学生人数的比是3:4,已知一年级比三年级学生少40人，一年级有学生______________ 人.9. 水泥、石子、黄砂各有5吨,用水泥、石子、黄砂按5:3:2拌制某种混凝土,若用完石子，水泥缺____ 吨.黄砂多 _____ 吨.10. 甲、乙两人步行的速度比是13:11.如果甲、乙分别由A、B两地同时出发相向而行,0.5小时后相遇，如果它们同向而行，那么甲追上乙需要_____ 小时.11. 已知甲、乙两数的比为5:3,并且它们最大公约数与最小公倍数的和是1040,那么甲数是多少，乙数是多少.12. 有一块铜锌合金，其中铜与锌的比是2:3.现在加入锌6克，共得新合金36克, 求在新合金内铜与锌的比.13. 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长之比依次是1:2:3.某人走各段路所用时间之比依次是4:5:6.已知他上坡时速度为每小时3千米.路程全长50 千米•问：此人走完全程用了多少时间？14. 一个圆柱体的容器中，放有一个长方形铁块.现在打开一个水龙头往容器中注水,3分钟时,水恰好没过长方体的顶面，又过了18分钟,水灌满容器.已知容器的高度是50厘米.长方体的高度是20厘米，那么长方体底面积：容器底面面积等于多少？练习题1有一个长方体，长与宽的比是2：1，宽与高的比是3：2,已知这个长方体的全部棱长之和是220cm求这个长方体的体积。

小学奥数-比和比例（教师版）比和比例特色讲解〕【例1】★已知3 : （x-1 ）=7:9，求x.【解析】x 467【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。

求现在的男、女生人数之比。

【解析】原有40人，男生有40X 3-5=24人，女生40-24=16人，现在男女人数之比24:20=6:5【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。

甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？【解析】长+宽相等。

甲的长：宽=6:4，乙的长：宽=7:3.所以甲乙的面积比为（6 4）:（7 3） 8:7【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？【解析】两个瓶子体积相同。

第一个瓶子酒精：水=3:仁15:5，第二个瓶子酒精：水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=（15+16）:（5+4）=31:9【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40 个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。

问:水果店运来的西瓜有多少个？【解析】卖的瓜的总数比为西瓜：白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜：白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28X 12=336个。

【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。

如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？2 1 6 2 2 3【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比-:2：，平均价格为 3.6（元/3 1 2 3千克）【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。

完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？5 3400 ——100【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工 5 3（个）【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲？【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x分追上甲，则甲用（5+x）分，3（5+x）=4x，x=15【例6】★★甲走的路比乙多1，乙用的时间却比甲多1,则甲乙两人的速度比是多34少？【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3 【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是 4:5，如果甲、乙两人同时分别从 A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。

远辉教育秋季奥数班第一讲——比和比例主讲人:杨老师学生：六年级电话：62379828一、知识点：在应用题的各种类型中，有一类与数量之间的（正、反）比例关系有关．在解答这类应用题时，我们需要对题中各个量之间的关系作出正确的判断．成正比或反比的量中都有两种相关联的量．一种量（记作x）变化时另一种量（记作y）也随着变化．与这两个量联系着,有一个不变的量（记为k）．在判断变量x与y是否成正、反比例时，我们要紧紧抓住这个不变量k．如成正比例;如果k是y与x 的积，即在x变化时，y与x的积不变:xy＝k,那么y与x成反比例．如果这两个关系式都不成立,那么y与x不成（正和反）比例．下面我们从最基本的判断两种量是否成比例的例题开始．二、典例剖析:例1 下列各题中的两种量是否成比例？成什么比例？①速度一定，路程与时间．②路程一定，速度与时间．③路程一定，已走的路程与未走的路程．④总时间一定，要制造的零件总数和制造每个零件所用的时间．⑤总产量一定,亩产量和播种面积．⑥整除情况下被除数一定，除数和商．⑦同时同地，竿高和影长．⑧半径一定，圆心角的度数和扇形面积．⑨两个齿轮啮合转动时转速和齿数．⑩圆的半径和面积．(11)长方体体积一定，底面积和高．（12)正方形的边长和它的面积．（13）乘公共汽车的站数和票价．(14)房间面积一定，每块地板砖的面积与用砖的块数．(15）汽车行驶时每公里的耗油量一定，所行驶的距离和耗油总量．分析以上每题都是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，那么怎样来确定这两种量成哪种比例或不成比例呢?关键是能否把两个两种形式,或只能写出加减法关系，那么这两种量就不成比例．例如①×零件数＝总时间，总时间一定,制造每个零件用的时间与要制造的零件总数成反比例．③路程一定，已走的路程和未走的路程是加减法关系，不成比例．解：成正比例的有：①、⑦、⑧、(15）成反比例的有：②、④、⑤、⑥、⑨、（11）、(14)不成比例的有:③、⑩、(12)、（13)．例2一条路全长60千米，分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3，某人走各段路程所用时间之比依次是4∶5∶6,已知他上坡的速度是每小时3千米,问此人走完全程用了多少时间？分析要求此人走完全程用了多少时间，必须根据已知条件先求出此人走上坡路用了多少时间，必须知道走上坡路的速度（题中每小时行3千米）和上坡路的路程，已知全程60千米,又知道上坡、平路、下坡三段路程比是1∶2∶3，就可以求出上坡路的路程．解:上坡路的路程:走上坡路用的时间:上坡路所用时间与全程所用时间比：走完全程所用时间：例3一块合金内铜和锌的比是2∶3，现在再加入6克锌，共得新合金36克，求新合金内铜和锌的比?分析要求新合金内铜和锌的比，必须分别求出新合金内铜和锌各自的重量．应该注意到铜和锌的比是2∶3时,合金的重量不是36克，而是(36－6）克．铜的重量始终没有变．解：铜和锌的比是2∶3时,合金重量：36－6＝30（克）．铜的重量：新合金中锌的重量：36－12＝24(克）．新合金内铜和锌的比：12∶24＝1∶2．答：新合金内铜和锌的比是1∶2．例4 师徒两人共加工零件168个，师傅加工一个零件用5分钟，徒弟加工一个零件用9分钟,完成任务时,两人各加工零件多少个？工作量与工作效率成正比例．解法1:设师傅加工x个，徒弟加工（168－x)个．5x＝168×9－9x，14x＝168×9，x＝108．168－x＝168－108＝60（个）．答：师傅加工108个，徒弟加工60个．＝60(个)，（徒弟）．考方法可求出两人各用了多少分钟．然后用师、徒每分钟各自的效率，分别乘以540就是各自加工零件的个数．解法4：按比例分配做：例5洗衣机厂计划20天生产洗衣机1600台,生产5天后由于改进技术，效率提高25%,完成计划还要多少天？分析这是一道比例应用题，工效和工时是变量，不变量是计划生产5天后剩下的台数．从工效看，有原来的效率1600÷20＝80台/天，又有提高后的效率80×(1＋25%)＝100台/天．从时间看，有原来计划的天数，要求效率提高后还需要的天数．根据工效和工时成反比例的关系,得：提高后的效率×所需天数＝剩下的台数．解法1：设完成计划还需x天．1600÷20×(1＋25％)×x＝1600－1600÷20×580×1.25×x＝1600－400100x＝1200x＝12．答：完成计划还需12天．解法2：此题还可以转化成正比例．根据实际效率是原来效率的1＋25因为工效和工时成反比例，所以实际与原来所需时间的比是4∶5，如果设实际还需要x天，原来计划的天数是20－5＝15天，根据实际与原来时间的比等于实际天数与原来天数的比，可以用正比例解答．设完成计划还需x天．5x＝60，x＝12．解法3：（按工程问题解)设完成计划还需x天．例6 一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米,则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米?画出图便于解题：解法1:BC的长：182÷13＝14（厘米）,BD的长：14＋13＝27(厘米)，从图中看出AB长就是原长方形的宽，AD与AB的比是14∶5，AB与BD的比是5∶(14－5）＝5∶9，原长方形面积是42×15＝630（平方厘米)．答：原长方形面积是630平方厘米．解法2:设原长方形长为14x，宽为5x．由图分析得方程(14x－13）× 13－5x×13＝182,9x＝27，x＝3．则原长方形面积（14×3）×（5×3）＝630(平方厘米）．例4、例5、例6是综合性较强的题，介绍了几种不同解法．要求大家从不同角度、综合、灵活运用所学知识，多角度去思考解答应用题，从而提高自己思维判断能力．模拟测试1．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长比宽多24米，这块地的面积是多少平方米？2．一块长方形的地，长和宽的比是3∶2，长方形的周长是120米，求这块地的面积？3．水果店运来橘子、苹果共96筐，橘子和苹果筐数的比是5∶3,求橘子、苹果各是多少筐？4．化肥厂计划生产化肥1400吨,由于改进技术5天就完成了计划的25％,照这样计算,剩下的任务还需多少天完成？5．小强买了一件上衣和两条裤子，小明买了同样价钱的上衣和裤子各一件，他们用去钱数的比是4∶3，已知一件上衣7元，求一条裤子多少元？页，这时已读的页数与剩下页数的比是3∶7，小刚再读多少页就能读完这本书?7．甲、乙两车由A、B两地同时出发相向而行,甲乙两车速度比是2∶8．“长江”号轮船第一次顺流航行21公里又逆流航行4公里，第二次在同一河流中顺流航行12公里，逆流航行7公里，结果两次所用的时间相等．求顺水船速与逆水船速的比．。

比和比例 月 日 姓 名【知识要点】一、比和比例的性质性质1：若a : b =c ：d ，则(a + c )：(b + d )= a ：b =c ：d ；性质2：若a : b =c ：d ，则(a - c )：(b - d )= a ：b =c ：d ；性质3：若a : b =c ：d ，则(a +x c )：(b +x d )=a ：b =c ：d ；(x 为常数)性质4：若a : b =c ：d ，则a ×d = b ×c ；(即外项积等于内项积)正比例：如果a ÷b =k (k 为常数)，则称a 、b 成正比；反比例：如果a ×b =k (k 为常数)，则称a 、b 成反比．二、主要比例转化实例①x a y b = ⇒ y b x a =； x y a b =； a b x y =；② x a y b = ⇒ mx a my b =； x ma y mb =(其中0m ≠)； ③x a y b = ⇒ x a x y a b =++； x y a b x a --=； x y a b x y a b ++=-- ； ④ x a y b =，y c z d = ⇒ x ac z bd=；::::x y z ac bc bd =； ⑤ x 的ca 等于y 的d b ，则x 是y 的ad bc ，y 是x 的bc ad ． 三、按比例分配与和差关系⑴按比例分配例如：将x 个物体按照:a b 的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与x 的比分别为():a a b +和():b a b +，所以甲分配到ax a b +个，乙分配到bx a b+个. ⑵已知两组物体的数量比和数量差，求各个类别数量的问题例如：两个类别A 、B ，元素的数量比为:a b (这里a b >)，数量差为x ，那么A 的元素数量为ax a b -，B 的元素数量为bx a b -，所以解题的关键是求出()a b -与a 或b 的比值． 四、比例题目常用解题方式和思路解答分数应用题关键是正确理解、运用单位“l ”。

比和比例两个数相除又叫做两个数的比．一、比和比例的性质性质1：若a: b=c：d，则(a + c)：(b + d)= a：b=c：d；性质2：若a: b=c：d，则(a - c)：(b - d)= a：b=c：d；性质3：若a: b=c：d，则(a +x c)：(b +x d)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a: b=c：d，则a×d = b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、比和比例在行程问题中的体现，所以：在行程问题中，因为有速度=路程时间当一组物体行走速度相等，那么行走的路程比等于对应时间的反比；当一组物体行走路程相等，那么行走的速度比等于对应时间的反比；当一组物体行走时间相等，那么行走的速度比等于对应路程的正比．1．A和B两个数的比是8：5，每一数都减少34后，A是B的2倍，试求这两个数．【分析与解】方法一：设A为8x，则B为5x，于是有(8x-34):(5x-34)=2：1，x=17，所以A为136，B为85．方法二：因为减少的数相同，所以前后A 、B的差不变，开始时差占3份，后来差占1份且与B一样多，也就是说减少的34，占开始的3-1=2份，所以开始的1份为34÷2=17，所以A为17×8=136，B为17×5=85．2．近年来火车大提速，1427次火车自北京西站开往安庆西站，行驶至全程的511再向前56千米处所用时间比提速前减少了60分钟，而到达安庆西站比提速前早了2小时．问北京西站、安庆西站两地相距多少千米?【分析与解】设北京西站、安庆西站相距多少千米？(5 11x+56)：x=60：120，即(511x+56)：x=1：2，即x=1011x+112，解得x=1232．即北京西站、安庆西站两地相距1232千米，3．两座房屋A和B各被分成两个单元．若干只猫和狗住在其中．已知：A房第一单元内猫的比率(即住在该单元内猫的数目与住在该单元内猫狗总数之比)大于B房第一单元内猫的比率；并且A房第二单元内猫的比率也大于B房第二单元内猫的比率．试问是否整座房屋A内猫的比率必定大于整座房屋B内猫的比率?【分析与解】 如下表给出的反例指出：对所提出问题的回答应该是否定的．表中具体写出了各个单元及整座房屋中的宠物情况和猫占宠物总数的比率．4．家禽场里鸡、鸭、鹅三种家禽中公篱与母篱数量之比是2：3，已知鸡、鸭、鹅数量之比是8：7：5，公鸡、母鸡数量之比是1：3，公鸭、母鸭数量之比是3：4．试求公鹅、母鹅的数量比．【分析与解】 公鸡占家禽场家禽总数的 =21124615:(3544)45:46:(3544)46:47.333345⨯⨯+⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯=8118751310⨯=+++，母鸡占总数的310； 公鸭占总数的8338753420⨯=+++，母鸭占总数的420； 公鹅占总数的213332102020-+=+（），母鹅占总数的234232102020-+=+（），公鹅、母鹅数量之比为322020：：3：2．5．在古巴比伦的金字塔旁，其朝西下降的阶梯旁6m 的地方树立有1根走子，其影子的前端正好到达阶梯的第3阶(箭头)．另外，此时树立l 根长70cm 自杆子，其影子的长度为175cm，设阶梯各阶的高度与深度都是50cm，求柱子的高度为多少？【分析与解】70cm的杆子产生影子的长度为175cm;所以影子的长度与杆子的长度比为：175：70=2.5倍．于是，影子的长度为6+1.5+1.5×2.5=11.25，所以杆子的长度为11.25÷2.5=4.5m．6．已知三种混合物由三种成分A、B、C组成，第一种仅含成分A和B，重量比为3：5；第二种只含成分B和C，重量比为I：2；第三种只含成分A和C，重量之比为2：3．以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中A，B和C，这三种成分的重量比为3：5：2 ?【分析与解】注意到第一种混合物种A、B重量比与最终混合物的A、B重量比相同，均为3：5.所以，先将第二种、第三种混合物的A、B重量比调整到3：5，再将第二种、第三种混合物中A、B与第一种混合物中A、B视为单一物质.第二种混合物不含A，第三种混合物不含B，所以1.5倍第三种混合物含A 为3，5倍第二种混合物含B为5，即第二种、第三种混合物的重量比为5：1.5．于是此时含有C为5×2+1.5×3=14.5，在最终混合物中C的含量为3A／5B含量的2倍．有14.5÷2-1=6.25，所以含有第一种混合物6.25．即第一、二、三这三种混合物的比例为6.25：5：1.5=25：20：6．7．现有男、女职工共1100人，其中全体男工和全体女工可用同样天数完成同样的工作；若将男工人数和女工人数对调一下，则全体男25天完成的工作，全体女工需36天才能完成，问：男、女工各多少人?【分析与解】直接设出男、女工人数，然后在通过方程求解，过程会比较繁琐．设开始男工为“1”，此时女工为“k”，有1名男工相当k名女工．男工、女工人数对调以后，则男工为“k”，相当于女工“k2”，女工为“I”．有k2：1=36：25，所以k=6．5×1100=500人，女工600人．于是，开始有男工数为11k8．有甲乙两个钟，甲每天比标准时间慢5分钟，而乙每天比标准时间快5分钟，在3月15日的零点零分的时候两钟正好对准．若已知在某一时刻，乙钟和甲钟时针与分针都分别重合，且在从3月15日开始到这个时候，乙钟时针与分针重合的次数比甲钟多10次，那么这个时候的标准时间是多少?【分析与解】 标准的时钟每隔56511分钟重合一次． 假设经历了x 分钟．于是，甲钟每隔52460651124605⨯⨯⨯-分钟重合一次，甲钟重合了246052460⨯-⨯×x 次； 同理，乙钟重合了246052460⨯+⨯×x 次； 于是，需要乙钟比甲钟多重合 246052460⨯+⨯×x-246052460⨯-⨯×x=102460⨯×x=10; 所以，x =24×60；所以要经历24×60×65511分钟，则为524606551165246011⨯⨯=⨯天. 于是为65天510(24)10()1111⨯=小时106(60)541111⨯=分钟．9．一队和二队两个施工队的人数之比为3：4，每人工作效率之比为5：4，两队同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果二队比一队早完工9天．后来，由一队工人23与二队工人13组成新一队，其余的工人组成新二队．两支新队又同时分别接受两项工作量与条件完全相同的工程，结果新二队比新一队早完工6天．试求前后两次工程的工作量之比?【分析与解】 一队与二队的工作效率之比为：(3×5)：(4×4)=15：16． 一队干前一个工程需9÷116=144天． 新一队与新二队的工作效率之比为：2112(3544):(3544)46:47.⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯=3333=282天．新一队干后一个工程需6÷147一队与新一队的工作效率之比为21⨯⨯+⨯⨯=15:(3544)45:4633天．所以一队干后一个工程需282×4645)=(144×45)：(282×46)=540：前后两次工程的工作量之比是144：(282×46451081.。

比和比例应用题 两个数相除又叫做两个数的比。

例如：7÷8=7：8.比的前项和后项同时乘或者除以形同的数（0除外），比值不变，这叫做比的基本性质。

应用比的基本性质，可以化简比。

例如：1：0.5=2：1.表示两个比相等的式子叫做比例。

例如：2：4=20：40在任意一个比例中，两个外项之积等于两个内项之积，这叫做比例的基本性质。

即如果a ：b=c ：d ，则ad=bc.两个数的比叫做单比，两个以上数的比叫做连比。

连比中的“：”不能用“÷”代替，不能把连比看成连除。

将两个单比化成连比时关键是使第一个比的后项等于第二个比的前项，方法是把两项化成它们的最小公倍数。

例如甲：乙=3：10，乙：丙=5：2，因为10和5的最小公倍数为10，所以乙:丙=5：2=10：4，所以甲：乙：丙=3：10：4在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。

这种分配方法通常叫做按比例分配。

解题规律是把各部分量的比转化为各占总量的几分之几，然后按照求一个数的几分之几是多少的计算方法分别求出各部分的量。

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，若两种量中相对应的两个数的比的比值不变，称这两种量成正比例；若两种量的相对应的两个数的乘积不变，称这两种量成反比例。

用比例解应用题，关键在于正确判断两种量是成正比例关系还是反比例关系。

1: 甲乙两站间的铁路长360千米，两列火车同时从两站相向开出，252小时相遇，相遇时两车所行路程的比是8：7.两列火车每小时各行多少千米？2：某工厂有甲乙两个车间，甲车间与乙车间人数之比为3：5.如果从甲车间调150人到乙车间，则甲车间与乙车间的人数比为3：7.求原来两个车间各有多少人？3、某小学四五六年级共有学生820人，已知六年级学生人数的21等于五年级学生人数的52，六年级学生人数的31等于四年级学生人数的72。

那么四、五、六年级各有学生多少人？4、某班一次数学考试中，平均成绩是88分，男生平均成绩是85.5分，女生平均成绩是91分，求这个班级男生与女生的人数之比是多少？5、一辆车在AB两站之间行驶，往返一次共用了5小时，汽车去时每小时行45千米，回来时每小时行30千米。

小学奥数知识点：比和比例比：两个数相除又叫两个数的比。

比号前面的数叫比的前项，比号后面的数叫比的后项。

比值：比的前项除以后项的商，叫做比值。

比的性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外)，比值不变。

比例：表示两个比相等的式子叫做比例。

a:b=c:d或比例的性质：两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc。

正比例：若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时)，则A 与B成正比。

反比例：若A扩大或缩小几倍，B也缩小或扩大几倍(AB的积不变时)，则A 与B成反比。

比例尺：图上距离与实际距离的比叫做比例尺。

按比例分配：把几个数按一定比例分成几份，叫按比例分配。

小学奥数经典题1．两辆汽车从A，B两地同时出发相向而行，客车行完全程要8小时，货车行完全程要10小时，两车相遇后又各自往前驶去，已知出发5小时后两车相距50千米，问A，B两地相距多少千米？2．有一个箱子里放着一些黄色乒乓球，为了估计球的数量，我们把20个白色乒乓球放入箱子中，充分搅拌混合后，任意摸出30个球，发现其中有3个白球．你估计箱子里原来大约有多少个黄色乒乓球？3．工程队挖一条水渠，第一天挖了全长的多28米，第二天挖了全长的少20米，这时剩下22米没挖完．这条水渠全长多少米？4．如图，一个边长为40厘米的正方形ABCD的场地，蚂蚁和蜗牛同时从A 点出发，蚂蚁以5厘米/分钟的速度沿线路A→B→C→D行走，蜗牛以2厘米/分钟的速度沿线路A→D行走．出发18分钟时，蚂蚁走到E点，蜗牛走到F点，求三角形AEF的面积是多少平方厘米？5．运来一批水果．第一天卖出总数的15%，第二天卖出160千克，剩下的与卖出的重量的比是1：3．这批水果共有多少千克？。

比和比例【例1】★已知3 ：(x —1)=7：9，求x . 【解析】764=x 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2,又来了4名女生后,全班共有44人。

求现在的男、女生人数之比.【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人，现在男女人数之比24：20=6：5【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。

甲的长与宽之比是3：2，乙的长与宽之比是7:3,那么甲与乙的面积之比是多少?【解析】长+宽相等.甲的长：宽=6：4，乙的长：宽=7：3。

所以甲乙的面积比为(64):(73)8:7⨯⨯=【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3：1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合,则混合后的酒精和水的体积之比是多少？【解析】两个瓶子体积相同。

第一个瓶子酒精:水=3:1=15：5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精：水=(15+16）：（5+4）=31:9【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5。

如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。

问:水果店运来的西瓜有多少个？【解析】卖的瓜的总数比为西瓜：白兰瓜=5：4=25：20，原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20，西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。

【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果,所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。

如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么,这种什锦糖每千克多少元？【解析】费用比2：1，单价比3:1，重量比212331=：：,平均价格为6223 3.623⨯+⨯=+(元/千克) 【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。

完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？【解析】工效之比15:9=5:3,甲比乙多加工5340010053-⨯=+（个) 【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲?【解析】甲乙速度之比3：4，设乙x 分追上甲,则甲用(5+x ）分，3（5+x )=4x ，x =15【例6】★★甲走的路比乙多31，乙用的时间却比甲多41，则甲乙两人的速度比是多少? 【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4：5，所以甲乙速度之比是5：3【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4：5,如果甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。

第十一讲 比和比例一、训练目标知识传递：学习与比例相关的分数问题，理解相关联的量。

能力强化：分析能力、综合能力、推算能力。

思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。

二、知识与方法归纳学习比和比例关系是提高小学数学综合能力的一个重要方面，深刻理解相关联的量是学习的基本要求。

比和比例的学习,也是为中学学习函数打下基础。

用比和比例解答的应用题有：1．按比例分配应用题。

把一个数量按一定的比进行分配，解答这类应用题的关键是根据题中所给的比，转化成求一个数的几分之几来做。

2．正、反比例应用题。

解答这类应用题，首先要找出相关联的量，然后判断成什么比例关系，建立比例式。

三、经典例题例1、一个长方体的棱长总和是180厘米，它的长、宽、高之比是4:3:2。

这个长方形的体积是多少立方厘米？例2、兄弟俩共有85元，他们都买了一支价格相同的钢笔，哥哥花掉了自己钱数的34 ，弟弟花掉了自己钱数的23，哥哥还剩多少元？体验训练1、有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，例3、饲养场里有鸡、鸭、鹅共860只，鸡、鸭的只数比是3:4，鸡、鹅的只数比是4:5，鸡、鸭、鹅各有多少只？例4、一批货物共值171万元。

如果第一、二、三批货物的质量比为2：4：3，单位质量的价格之比为6：5：2，这三批货物各值多少万元？体验训练2、一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2:1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1:5，求开始时黑棋子，白棋子各有多少枚？*例5、有两杯体积相同的酒精溶液，第一杯中酒精与水的比是3：5，第二杯酒精与水的比是1：4。

将这两杯酒精溶液混合在一起，新的酒精溶液中酒精与水的比是多少？*例6、甲、乙、丙三人一起去商场购物，甲花钱数的1等于乙花钱数的1，乙花钱数的3等于丙花钱数的47，结果丙比甲多花钱93元。

问他们三人共花了多少钱？四、内化训练1、一个长方形的周长是60厘米，它的长、宽之比是3:2，它的面积是多少平方厘米？2 、甲乙两数的和是99，甲数的45 等于乙数的23，那么甲数与乙数各是多少？3 、商店运进香蕉、梨、苹果共775千克，其中香蕉、梨的重量比是3:5，梨、苹果的重量比是2：3。

六年级奥数第二讲比和比例教师版六年级奥数-第二讲比和比例教师版第二课比例和比例教学目标：1.比例的基本性质2、熟练掌握比例式的恒等变形及连比问题3.能够在各种条件下进行比例变换和有目的的变换；4.机组“1”变更比例问题5。

方程解比例应用问题知识：比例与百分数作为一种数学工具在人们日常生活中处理多组数量关系非常有用，这一部分内容也是小升初考考试的重要内容通过本次讲座，学生需要掌握以下内容：一、比和比例的性质属性1：如果a:B=C:D，那么（a+C）：（B+D）=a:B=C:D；属性2：如果a:B=C:D，那么（a-C）：（B-D）=a:B=C:D；性质3：若a:b=c：d，则(a+xc)：(b+xd)=a：b=c：d；(x为常数)性质4：若a:b=c：d，则a×d=b×c；(即外项积等于内项积)正比例：如果a÷b=k(k为常数)，则称a、b成正比；反比例：如果a×b=k(k为常数)，则称a、b成反比．二、主要比例转化实例xaabybxy①；?；?；ybxyxaabxamxaxma?；?②??(其中m?0)；YBMYMBXAX？是吗？bx？是吗？B③??；；；?? ybx？是吗？bx？是吗？bxaxaycxac④?，； x:y:z？ac:bc:bdybzdzbdcdadbc⑤x的等于y的，则x是y的，y是x的．Abbcad III.比例分布和和差关系⑴ 比例分配例如：将x个物体按照a:b的比例分配给甲、乙两个人，那么实际上甲、乙两个人各自分配到的物体数量与xaxbx的比分别为a:?a?b?和b:?a?b?，所以甲分配到个，乙分配到个.A.文学士？（2）当两组对象的数量比和数量差已知时，求每一类的数量的问题ax例如：两个类别a、b，元素的数量比为a:b(这里a?b)，数量差为x，那么a的元素数量为，b的A.BBX元素的数量是有限的，所以解决问题的关键是找到？A.B与a或B的比率a?b四、比例题目常用解题方式和思路解决分数应用问题的关键是正确理解和使用“L”单元。

比和比例（二）例题精讲：模块一、比例转化【例 1】某团体有100名会员，男女会员人数之比是14:11，会员分成三组，甲组人数与乙、丙两组人数之和一样多，各组男女会员人数之比依次为12:13、5:3、2:1，那么丙组有多少名男会员？【例 2】 (2007年华杯赛总决赛)A、B、C三项工程的工作量之比为1:2:3，由甲、乙、丙三队分别承担．三个工程队同时开工，若干天后，甲完成的工作量是乙未完成的工作量的二分之一，乙完成的工作量是丙未完成的工作量的三分之一，丙完成的工作量等于甲未完成的工作量，则甲、乙、丙队的工作效率的比是多少？【巩固】某次数学竞赛设一、二、三等奖．已知：①甲、乙两校获一等奖的人数相等；②甲校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数与乙校相应的百分数的比为5:6；③甲、乙两校获二等奖的人数总和占两校获奖人数总和的20%；④甲校获三等奖的人数占该校获奖人数的50%；⑤甲校获二等奖的人数是乙校获二等奖人数的4.5倍．那么，乙校获一等奖的人数占该校获奖总人数的百分数等于多少？【例 3】①某校毕业生共有9个班，每班人数相等．②已知一班的男生人数比二、三班两个班的女生总数多1；③四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1．那么该校毕业生中男、女生人数比是多少？模块二、按比例分配与和差关系（一）量倍对应【例 4】一些苹果平均分给甲、乙两班的学生，甲班比乙班多分到16个，而甲、乙两班的人数比为13:11，求一共有多少个苹果？【巩固】小新、小志、小刚三人拥有的藏书数量之比为3:4:6，三人一共藏书52本，求他们三人各自的藏书数量.【巩固】在抗洪救灾区活动中，甲、乙、丙三人一共捐了80元．已知甲比丙多捐18元，甲、乙所捐资的和与乙、丙所捐资的和之比是10:7，则甲捐元，乙捐元，丙捐元．【巩固】有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的13与二班分到的12相等，求两个班各分到多少皮球？【例 5】一班和二班的人数之比是8:7，如果将一班的8名同学调到二班去，则一班和二班的人数比变为4:5．求原来两班的人数．【例 6】幼儿园大班和中班共有32名男生，18名女生．已知大班男生数与女生数的比为5:3，中班男生数与女生数的比为2:1，那么大班有女生多少名？【巩固】参加植树的同学共有720人，已知六年级与五年级人数的比是3:2，六年级比四年级多80人，三个年级参加植树的各有多少人?【巩固】圆珠笔和铅笔的价格比是4：3，20支圆珠笔和21支铅笔共用71．5元．问圆珠笔的单价是每支多少元?【例 7】甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A，B两地相距多少千米？【例 8】师徒二人加工一批零件，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工100个零件，求师傅和徒弟一共加工了多少个零件？【巩固】师徒二人共加工零件400个，师傅加工一个零件用9分钟，徒弟加工一个零件用15分钟．完成任务时，师傅比徒弟多加工多少个零件？【例 9】A、B、C三个水桶的总容积是1440公升，如果A、B两桶装满水，C桶是空的；若将A桶水的全部和B桶水的15，或将B桶水的全部和A桶水的13倒入C桶，C桶都恰好装满．求A、B、C三个水桶容积各是多少公升？【巩固】学而思学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的12，等于五年级学生的25，等于四年级学生的37。