2017_2018学年高中数学课时跟踪训练(含答案)十超几何分布北师大版选修2_3

学业分层测评 (建议用时：45分钟)一、选择题1．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A 的概率为( ) A.C 34C 248C 552 B.C 348C 24C 552 C ．1－C 148C 44C 552D.C 34C 248＋C 44C 148C 552【解析】 从52张扑克牌中任意抽出5张，至少有3张A 的结果数是C 34C 248＋C 44C 148，故所求概率为C 34C 248＋C 44C 148C 552. 【答案】 D2．一个盒子里装有相同大小的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则P (X ≤1)等于( )A.C 122C 14＋C 222C 26 B.C 112C 14＋C 24C 26 C.C 110C 14＋C 222C 226D.C 110C 14＋C 24C 226【解析】 由已知得，X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 222C 226；P (X ＝1)＝C 122C 14C 226；P (X ＝2)＝C 24C 226，∴P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 122C 14＋C 222C 226. 【答案】 A3．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么310等于( )A ．恰有1只是坏的的概率B ．恰有两只是好的的概率C ．4只全是好的的概率D ．至多有两只是坏的的概率【解析】 恰好两只是好的概率为P ＝C 23C 27C 410＝310.【答案】 B4．某12人的兴趣小组中，有5名“特困生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“特困生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P (ξ＝2)B ．P (ξ＝3)C ．P (ξ≤2)D ．P (ξ≤3)【解析】 6人中“特困生”的人数为ξ，则其选法数为C ξ5·C 6－ξ7，当ξ＝3时，选法数为C 35C 37，故P (ξ＝3)＝C 35C 37C 612.【答案】 B5．一个盒子里装有相同大小的红球、白球共30个，其中白球4个．从中任取两个，则概率为C 126C 14＋C 24C 230的事件是( ) 【导学号：62690032】 A ．没有白球 B ．至少有一个白球 C ．至少有一个红球D ．至多有一个白球【解析】 C 126C 14＋C 24C 230＝C 126C 14C 230＋C 24C 230表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率．【答案】 B 二、填空题6．一批产品共50件，其中5件次品，其余均为合格品，从这批产品中任意抽取两件，其中出现次品的概率为________．【解析】 设抽取的两件产品中次品的件数为X ， 则P (X ＝k )＝C k 5C 2－k45C 250(k ＝0,1,2)．∴P (X >0)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝C 15C 145C 250＋C 25C 250＝47245.【答案】472457．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期．从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 127C 13C 230＋C 23C 230＝28145.【答案】281458．袋中有3个黑球，4个红球，除颜色外，其他均相同，从袋中任取3个球，则至少有一个红球的概率为________．【解析】 令X 表示取出的黑球个数，则X ＝0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 33C 37＝135，故至少有一个红球的概率为P (X ≥1)＝1－135＝3435.【答案】3435三、解答题9．现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列．【解】 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 38C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝11)＝C 18·C 22C 310＝115.故X 的分布列为10.老师要从102篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； (2)他能及格的概率．【解】 (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X ，则P (X ＝k )＝C k 6C 3－k 4C 310(k ＝0,1,2,3)．P (X ＝0)＝C 06C 34C 310＝130，P (X ＝1)＝C 16C 24C 310＝310，P (X ＝2)＝C 26C 14C 310＝12，P (X ＝3)＝C 36C 04C 310＝16.所以X 的分布列为(2)他能及格的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝2＋6＝23.1．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是( ) A ．①② B ．③④ C ．①②④D ．①②③④【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B. 【答案】 B2．现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是57，则语文课本的本数为( ) 【导学号：62690033】A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】 设语文课本有m 本，任取2本书中的语文课本数为X ，则X 服从参数为N ＝7，M ＝m ，n ＝2的超几何分布，其中X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝k )＝C k m C 2－k7－mC 27(k ＝0,1,2)．由题意，得P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 0m C 27－m C 27＋C 1m C 17－mC 27＝12×－m－m21＋m－m 21＝57. ∴m 2－m －12＝0，解得m ＝4或m ＝－3(舍去)． 即7本书中语文课本有4本． 【答案】 C3．口袋内装有10个大小相同的球，其中5个球标有数字0,5个球标有数字1，若从口袋中摸出5个球，那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是________(用数字作答)．【解析】 设摸出标有数字1的球的个数为X ，则所求的概率为： 1－P (X ＝2)－P (X ＝3)＝1－C 25C 35C 510－C 35C 25C 510＝1－5063＝1363.【答案】13634．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球．(1)求取出的3个球中至少有一个红球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 【解】 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布， 且P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k6C 39，k ＝0,1,2,3.故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184，ξ的分布列为。

课时跟踪训练(十五)　正态分布2121．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图像如图所示，则有( )A．μ1<μ2，σ1<σ2 B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ22．已知X～N(0,62)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X>2)等于( )A．0.1 B．0.2C．0.6 D．0.83．在正常情况下，工厂生产的零件尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．在一次正常的试验中，取10 000个零件时，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( ) A．70个B．100个C．30个D．60个4．如果随机变量X～N(μ，σ2)，且EX＝3，DX＝1，则P(0<X≤1)等于( )A．0.021 5 B．0.723C．0.215 D．0.645．若随机变量X～N(2,100)，若X落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)内的概率是相等的，则k等于________．6．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，P(X>2)＝0.023，则P(－2≤X≤2)＝________.7．设X～N(0,1)．(1)求P(－1<X≤1)；(2)求P(0<X≤2)．8．某厂生产的T 型零件的外直径X ～N (10,0.22)，一天从该厂上午、下午生产的T 型零件中随机取出一个，测得其外直径分别为9.52和9.98.试分析该厂这一天的生产状况是否正常．答案1．选A 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，μ1<μ2，σ1<σ2.2．选A 由正态分布曲线的性质知P (0≤X ≤2)＝0.4，∴P (－2≤X ≤2)＝0.8，∴P (X >2)＝(1－0.8)＝0.1.123．选C 正态总体N (μ，σ2)落在(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率为0.997，因此不属于(μ－3σ，μ＋3σ)的概率为0.003，所以在一次正常的试验中，取10 000个零件时．不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为30个左右．4．选A 由EX ＝μ＝3，DX ＝σ2＝1，∴X ～N (3,1)．P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝P (0<X <6)＝0.997，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝P (1<X <5)＝0.954，P (0<X <6)－P (1<X <5)＝2P (0<X ≤1)＝0.043.∴P (0<X ≤1)＝0.021 5.5．解析：由于X 的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.所以k ＝2.答案：26．解析：∵P (X >2)＝0.023，∴P (X <－2)＝0.023，故P (－2≤X ≤2)＝1－P (X >2)－P (X <－2)＝0.954.答案：0.9547．解：(1)X ～N (0,1)时，μ－σ＝－1，μ＋σ＝1，所以P (－1<X ≤1)＝0.683.(2)μ－2σ＝－2，μ＋2σ＝2，正态曲线f (x )关于直线x ＝0对称，所以P (0<X ≤2)＝P (－2<X ≤2)＝×0.954＝0.477.12128．解：∵X ～N (10,0.22)，∴μ＝10，σ＝0.2.∴μ－3σ＝10－3×0.2＝9.4，μ＋3σ＝10＋3×0.2＝10.6.∵9.52∈(9.4,10.6)，9.98∈(9.4,10.6)，∴该厂全天的生产状况是正常的．。

课时跟踪训练(十一) 变化的快慢与变化率1．在曲线y ＝x 2＋1上取一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx＝( ) A ．Δx ＋1Δx ＋2B ．Δx －1Δx －2C ．Δx ＋2D ．2＋Δx －1Δx2．某质点的运动规律为s ＝t 2＋3，则在时间段(3,3＋Δt )内的平均速度等于( )A ．6＋ΔtB ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt3．一块木头沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s 与时间t 之间的函数关系式为s ＝18t 2，则t ＝2时，此木头在水平方向的瞬时速度为( ) A ．2B ．1 C.12 D.144．水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，按顺序与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图像相对应的一项是( )A ．①②③④B ．②①③④C ．②①④③D ．②④①③5．函数f (x )＝ln x ＋1从e 到e 2的平均变化率为________．6．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 7．设某跳水运动员跳水时，相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)的函数关系为h (t )＝－5t 2＋6t ＋10.(1)求该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度；(2)求该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度．8．若一物体运动方程如下：(位移：m ，时间：s)s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2， (t ≥3)， ①29＋3(t －3)2， (0≤t ＜3). ② 求：(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v 0；(3)物体在t ＝1时的瞬时速度．答 案1．选C Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝(Δx )2＋2Δx ，∴Δy Δx＝Δx ＋2. 2．选A v －＝Δs Δt ＝s (3＋Δt )－s (3)Δt＝[(3＋Δt )2＋3]－(32＋3)Δt＝6＋Δt . 3．选C 因为Δs ＝18(2＋Δt )2－18×22＝12Δt ＋18(Δt )2，所以Δs Δt ＝12＋18Δt ，当Δt 趋于0时，12＋18Δt 趋于12，因此t ＝2时，木块在水平方向瞬时速度为12. 4．选C 以第二个容器为例，由于容器上细下粗，所以水以恒速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后高度增加得越来越快，反映在图像上，①符合上述变化情况．而第三个容器在开始时高度增加快，后来时高度增加慢，图像④适合上述变化情况．故应选C.5．解析：Δy ＝f (e 2)－f (e)＝(ln e 2＋1)－(ln e ＋1)＝1，Δx ＝e 2－e ，∴Δy Δx ＝1e 2－e. 答案：1e 2－e 6．解析：Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝1(2＋Δt )2－14Δt＝－4＋Δt 4(2＋Δt )2，当Δt 趋于0时，Δs Δt ＝－14. 答案：－147．解：(1)由h (t )＝－5t 2＋6t ＋10，得该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度： Δh Δt ＝h (3)－h (1)3－1＝－14. 故该运动员从时间t ＝1到时间t ＝3的平均速度为－14 m/s ；(2)∵Δh Δt ＝h (1＋Δt )－h (1)Δt＝[－5(1＋Δt )2＋6(1＋Δt )＋10]－(－5×12＋6×1＋10)Δt＝－5(Δt )2－4(Δt )Δt＝－5·Δt －4，∴当Δt 趋于0时，Δh Δt趋于－4， 即该运动员在时间t ＝1处的瞬时速度为－4 m/s.8．解：(1)∵物体在t ∈[3,5]内的时间变化量为Δt ＝5－3＝2，物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)求物休的初速度v 0即求物体在t ＝0的瞬时速度．.∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (0＋Δt )－f (0)Δt＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2＝3Δt －18， ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－18， 即物体的初速度为－18 m/s.(3)物体在t ＝1时瞬时速度即为函数在t ＝1处的瞬时变化率．∵物体在t ＝1附近的平均变化率为Δs Δt ＝f (1＋Δt )－f (1)Δt＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3(1－3)2Δt＝3Δt －12. ∴当Δt 趋于0时，Δs Δt趋于－12， 即物体在t ＝1时的瞬时速度为－12 m/s.。

课时跟踪检测（十二）三角形中的几何计算层级一学业水平达标1．在△ABC中，a＝错误!，A＝45°,则△ABC外接圆的半径R 等于（)A．1 B．2C．4 D．无法确定解析：选A 2R＝错误!＝2，∴R＝1。

2．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于（)A.错误!B。

错误!C.错误!D。

错误!解析：选B 由余弦定理得：(错误!)2＝22＋AB2－2×2AB cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin 60°＝错误!。

3．在△ABC中，若sin2A＋sin2B＋cos2C<1，则△ABC的形状是( ）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定解析：选C 在△ABC中，设角A,B，C所对的边分别为a,b,c，因为sin2A＋sin2B＋cos2C<1,所以sin2A＋sin2B〈sin2C,根据正弦定理,可知a2＋b2<c2，由余弦定理得cos C＝错误!〈0，所以角C为钝角，故△ABC一定是钝角三角形．4．已知三角形面积为错误!，外接圆面积为π，则这个三角形的三边之积为（)A．1 B．2C。

错误!D．4解析：选A 设三角形外接圆半径为R，则由πR2＝π，得R＝1。

由三角形面积S＝12ab sin C＝错误!＝错误!＝错误!,∴abc＝1.5．在△ABC中，三边长分别为a－2，a，a＋2,最大角的正弦值为错误!，则这个三角形的面积为（）A.错误!B.错误!C.错误!D。

错误!解析：选B ∵三边不等，∴最大角大于60°，设最大角为α，故α对的边长为a＋2，∵sin α＝错误!,∴α＝120°，由余弦定理得(a＋2)2＝(a－2）2＋a2＋a（a－2)，即a2＝5a,解得a＝5。

∴三边长为3，5,7，S＝错误!×3×5×sin 120°＝错误!。

北师大版高中数学选修1-2课时跟踪检测（10套，附解析）一、回归分析1．已知两个有线性相关关系的变量的相关系数为r，则r取下列何值时，两个变量的线性相关关系最强( )A．－0.91 B．0.25C．0.6 D．0.86解析：选A 在四个r值中，|－0.91|最接近1，故此时，两个变量的线性相关关系最强．2．根据如下样本数据A．a>0，b>0 B．a>0，b<0C．a<0，b>0 D．a<0，b<0解析：选B 由表中数据画出散点图，如图．由散点图可知b<0，a>0，选B.3.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y＝0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是( )A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg解析：选D 由于回归直线的斜率为正值，故y与x具有正的线性相关关系，选项A中的结论正确；回归直线过样本点的中心，选项B中的结论正确；根据回归直线斜率的意义易知选项C中的结论正确；由于回归分析得出的是估计值，故选项D中的结论不正确．4．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元解析：选B 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．5．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为________．解析：根据样本相关系数的定义可知， 当所有样本点都在直线上时， 相关系数为1. 答案：16．某咖啡厅为了了解热饮的销售量y (个)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的销售量与气温，并制作了对照表：________．解析：∵x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，y ＝14(24＋34＋38＋64)＝40，∴40＝－2×10＋a ，∴a ＝60，当x ＝－4时，y ＝－2×(－4)＋60＝68.答案：687．某种产品的广告费用支出x 与销售额y 之间有如下的对应数据(单位：万元).(1)(2)求回归方程；(3)据此估计广告费用支出为10万元时，销售额y 的值． 解：(1)作出散点图如下图．(2)由散点图可知，样本点近似地分布在一条直线附近，因此，x ，y 之间具有线性相关关系．由表中的数据可知，x －＝15×(2＋4＋5＋6＋8)＝5，y －＝15×(30＋40＋60＋50＋70)＝50.所以b ＝∑i ＝15x i －x－y i －y－∑i ＝15x i －x－2＝6.5，a ＝y －－b x －＝50－6.5×5＝17.5，因此线性回归方程为y ＝17.5＋6.5x .(3)x ＝10时，y ＝17.5＋10×6.5＝82.5(万元)． 即当支出广告费用10万元时，销售额为82.5万元．8．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)解：(1)x ＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，从而a ＝y ＋20x ＝80＋20×8.5＝250, 故y ＝－20x ＋250.(2)由题意知， 工厂获得利润z ＝(x －4)y ＝－20x 2＋330x －1 000＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，所以当x ＝334＝8.25时，z max ＝361.25(元)．即当该产品的单价定为8.25元时，工厂获得最大利润．9．在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中，得到如下数据表：解：由已知数据得x －＝17×∑i ＝17x i ≈0.543，y －＝17×145.2≈20.74，∑i ＝17x 2i ＝2.595，∑i ＝17y 2i ＝3 094.72，∑i ＝17x i y i ＝85.45.∴b ≈85.45－7×0.543×20.742.595－7×0.5432≈12.46， a ＝20.74－12.46×0.543≈13.97.线性回归方程为y ＝13.97＋12.46x . 下面利用相关系数检验是否显著．∑i ＝17x i y i －7x － y －＝85.45－7×0.543×20.74≈6.62，∑i ＝17x 2i －7x －2＝2.595－7×(0.543)2≈0.531， ∑i ＝17y 2i －7y －2＝3 094.72－7×(20.74)2＝83.687. ∴r ＝6.620.531×83.687≈0.993.由于r 接近于1，故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著．二、条件概率与独立事件1．抛掷一颗骰子一次，A 表示事件：“出现偶数点”，B 表示事件：“出现3点或6点”，则事件A 与B 的关系是( )A ．相互互斥事件B ．相互独立事件C ．既相互互斥又相互独立事件D ．既不互斥又不独立事件解析：选B A ＝{2,4,6}，B ＝{3,6}，A ∩B ＝{6}，所以P (A )＝12，P (B )＝13，P (AB )＝16＝12×13，所以A 与B 是相互独立事件． 2．把一枚硬币抛掷两次，事件A ＝“第一次出现正面”，事件B ＝“第二次出现反面”，则P (B |A )的值为( )A.12 B ．14 C.13D ．1解析：选A P (B )＝P (A )＝12，P (AB )＝14，P (B |A )＝P ABP A ＝1412＝12.3．某农业科技站对一批新水稻种子进行试验，已知这批水稻种子的发芽率为0.8，出芽后的幼苗成活率为0.9，在这批水稻种子中，随机地取出一粒，则这粒水稻种子发芽能成长为幼苗的概率为( )A ．0.02B ．0.08C ．0.18D ．0.72解析：选D 设“这粒水稻种子发芽”为事件A ，“这粒水稻种子发芽又成长为幼苗”为事件AB ，“这粒种子能成长为幼苗”为事件B |A ，则P (A )＝0.8，P (B |A )＝0.9，由条件概率公式，得P (AB )＝P (B |A )·P (A )＝0.9×0.8＝0.72.4．甲射手击中靶心的概率为13，乙射手击中靶心的概率为12，甲、乙两人各射击一次，那么56等于( )A ．甲、乙都击中靶心的概率B ．甲、乙恰好有一人击中靶心的概率C ．甲、乙至少有一人击中靶心的概率D ．甲、乙不全击中靶心的概率解析：选D 设“甲、乙都击中靶心”为事件A ，则P (A )＝13×12＝16，甲、乙不全击中靶心的概率为P (A )＝1－P (A )＝1－16＝56.5．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，两人试图独立地在半小时内解决它，则两人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．解析：甲、乙两人都未能解决为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝12×23＝13，问题得到解决就是至少有1 人能解决问题． ∴P ＝1－13＝23.答案：13 236．盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次取出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为________．解析：法一：设A ＝{第一次取到新球}，B ＝{第二次取到新球}，则n (A )＝6×9＝54，n (AB )＝6×5＝30，∴P (B |A )＝n AB n A ＝3054＝59.法二：在第一次取到新球的条件下，盒中装有9只乒乓球，其中5只新球，则第二次也取到新球的概率为P ＝59.答案：597．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A ，B ，C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6，0.5，0.5.假设各盘比赛结果相互独立．求红队至少两名队员获胜的概率．解：设甲胜A 的事件为D ，乙胜B 的事件为E ，丙胜C 的事件为F ，则D ，E ，F 分别表示甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 的事件．因为P (D )＝0.6，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5， 由对立事件的概率公式知，P (D )＝0.4，P (E )＝0.5，P (F )＝0.5.红队至少两人获胜的事件有DE F ，D E F ，D EF ，DEF .由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P ＝P (DE F )＋P (D E F )＋P (D EF )＋P (DEF )＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.8．设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客购买甲、乙两种商品中的一种的概率； (2)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率．解：设“只购买甲种商品”为事件A ，“只购买乙种商品”为事件B ，“购买甲、乙两种商品中的一种”为事件C ，“至少购买甲、乙两种商品中的一种”为事件D .(1)因为C ＝(A B )＋(A B )，所以P (C )＝P (A B )＋P (A B )＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.5×(1－0.6)＋(1－0.5)×0.6＝0.5. (2)因为D ＝A B ，所以P (D )＝P (A B )＝P (A )P (B )＝0.5×0.4＝0.2. 所以P (D )＝1－P (D )＝1－0.2＝0.8.9．2018年某中学对参加“社会实践活动”的全体志愿者进行学分考核，因该批志愿者表现良好，学校决定考核只有合格和优秀两个等次．若某志愿者考核为合格，授予1个学分；考核为优秀，授予2个学分，假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为45，23，23，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率； (2)求在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率． 解：(1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件D .则P (D )＝1－P (A B C )＝1－P (A )P (B )P (C )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝4445.(2)由题意，得在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为3分的概率为P (AB C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝145，在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为4分的概率为P (A B C )＋P (AB C )＋P (A B C )＝45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×23×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－45×⎝⎛⎭⎪⎫1－23×23＝845.所以在这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和至多为4分的概率为145＋845＝15.三、独立性检验 独立性检验的基本思想及应用1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到下表：由χ2＝n a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d算得，χ2＝30－260×50×60×50≈7.8.附表：A ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”B ．有99.9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”C ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别有关”D ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动和性别无关”解析：选C 因为χ2≈7.8>6.635，所以有99%以上的把握认为有关．2．两个分类变量X 和Y, 值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}, 其样本频数分别是a ＝10, b ＝21, c ＋d ＝35. 若X 与Y 有关系的可信程度不小于95%, 则c 等于( )A ．3B ．7C ．5D ．6解析：选A 列表如下：故χ2＝≥3.841. 把选项A、B、C、D代入验证可知选A.＋c－c3．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1表3表4A．成绩C．智商D．阅读量解析：选D 因为χ21＝－216×36×32×20＝52×8216×36×32×20，χ22＝－216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，χ23＝－216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，χ24＝－216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有χ24>χ22>χ23>χ21，所以阅读量与性别关联的可能性最大．4．在研究性别与吃零食这两个分类变量是否有关系时，下列说法中正确的序号是________．①若χ2>6.635，则我们有99%的把握认为吃零食与性别有关系，那么在100个吃零食的人中必有99人是女性；②由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，如果某人吃零食，那么此人是女性的可能性为99%；③由独立性检验可知，在有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误．解析：χ2是指确定有多大的把握认为“两个分类变量吃零食与性别有关系”的随机变量值，所以由独立性检验可知，当有99%的把握认为吃零食与性别有关系时，是指每进行100次这样的推断，平均有1次推断错误，故填③.答案：③5．下列是关于出生男婴与女婴调查的列联表：那么A＝________，BD＝________，E＝________.解析：由45＋E＝98得E＝53，由98＋D＝180可知D＝82.由A＋35＝D知A＝47.所以B＝45＋47＝92.C＝E＋35＝88.答案：47 92 88 82 536．为探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后14天内的结果如下表所示.2≈________.解析：χ2＝－220×30×25×25≈5.333.答案：5.3337．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外的27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外的33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2列联表；(2)能否有95%的把握认为性别与休闲方式有关系．解：(1)2×2列联表为：(2)计算χ2＝－270×54×64×60≈6.201.因为6.201>3.841，所以有95%的把握认为“性别与休闲方式有关”．8．某地区甲校高二年级有1 100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如表．(已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%)甲校高二年级数学成绩：(2)若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”？解：(1)所以x＝10，y＝15.甲校的平均分为1110×(55×10＋65×25＋75×35＋85×30＋95×10)≈75.乙校的平均分为190×(55×15＋65×30＋75×25＋85×15＋95×5)≈71.(2)数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，得到列联表如下：所以χ2＝110×90×60×140≈4.714，又因为4.714>3.841，故有95%的把握认为“两个学校的数学成绩有差异”．9．某学生对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示他们的饮食指数(说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主)．(1)根据茎叶图，帮助这位同学说明其30位亲属的饮食习惯；(2)根据以上数据完成如下2×2列联表；(3)解：(1)由茎叶图，可知30位亲属中50岁以上的人饮食多以蔬菜为主，50岁以下的人饮食多以肉类为主．(2)2×2列联表如下所示：(3)由题意，知χ2＝12×18×20×10＝10>6.635，故有99%以上的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关系．四、流程图1．下列关于流程图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．算法框图是一种特殊的流程图C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．解决某一问题的流程图的画法是唯一的解析：选D A，C均符合流程图的特征，算法框图是一种特殊的流程图，故B正确．2．某人带着包裹进入超市购物的流程图如图所示，则在空白处应填( )进入超市―→存放包裹―→在货架上选择物品―→付款―→―→离开超市A．退换物品B．归还货车C．取回包裹D．参加抽奖答案：C3.如图所示，已知集合A＝{x|框图中输出的x的值}，集合B＝{y|框图中输出的y的值}．全集U＝Z，Z为整数集．当x＝－1时，(∁U A)∩B＝( )A．{－3，－1,5}B．{－3，－1,5,7}C．{－3，－1,7}D．{－3，－1,7,9}解析：选D 根据程序框图功能知：y＝－3，x＝0；y＝－1，x＝1；y＝1，x＝2；…；y＝9，x＝6.所以A＝{0,1,2,3,4,5,6}．B＝{－3，－1,1,3,5,7,9}．则(∁U A)∩B＝{－3，－1,7,9}．4.执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S等于( )A．2 B．3C．4 D．5解析：选B 运行程序框图，a＝－1，S＝0，K＝1，K≤6成立；S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，K＝2，K≤6成立；S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，K＝3，K≤6成立；S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，K＝4，K≤6成立；S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，K＝5，K≤6成立；S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，K＝6，K≤6成立；S＝－3＋1×6＝3，a＝－1，K＝7，K≤6不成立，输出S＝3.5．某工程的工序流程图如图，则该工程的总工时最多为________天．解析：因为各个不同工序中用时最多的是①→②→④→⑥→⑦，即9天．答案：96．执行如图所示的程序框图，若输入n＝3，则输出T＝________.解析：输入n＝3，则i＝0，S＝0，T＝0，i≤n成立，故i＝1，S＝0＋1＝1，T＝0＋1＝1，此时i＝1≤n成立，故i＝2，S＝1＋2＝3，T＝1＋3＝4，此时i＝2≤n成立，故i＝3，S＝3＋3＝6，T＝4＋6＝10，此时i＝3≤n成立，故i＝4，S＝6＋4＝10，T＝10＋10＝20，此时i＝4≤n不成立，故输出T＝20.答案：207．如图是某工厂加工某种零件的一个工序操作流程图．按照这个工序流程图，回答下列问题： (1)一件成品最多经过几道加工和检验程序； (2)导致废品的产生有几种不同的情形．解：由流程图可得：(1)最多经过“粗加工”“检验”“返修加工”“返修检验”“精加工”“最后检验”六道加工和检验程序．(2)三种不同情形：①返修加工―→返修检验不合格． ②检验――→合格精加工―→最后检验不合格． ③返修检验――→合格精加工―→最后检验不合格．8．求两底面半径分别为1和4，高为4的圆台的表面积及体积，写出解决该问题的一个算法，并画出程序框图．解：算法步骤如下：第一步 r 1＝1，r 2＝4，h ＝4. 第二步 计算l ＝r 2－r 12＋h 2.第三步 计算S 1＝πr 21，S 2＝πr 22，S 3＝π(r 1＋r 2)l . 第四步 计算S ＝S 1＋S 2＋S 3，V ＝13(S 1＋S 1S 2＋S 2)h .第五步 输出S 和V . 该算法的程序框图如下：9．高考成绩公布后，考生如果认为公布的高考成绩与本人估算的成绩不符，可以在规定的时间内申请查分，其步骤如下：①本人填写《查分登记表》，交县(区)招生办申请查分，县(区)招生办呈交市招生办，再报省招生办．②省招生办复查，若无误，则查分工作结束后通知市招生办；若有误，则再具体认定并改正，也在查分工作结束后通知市招生办．③市招生办接通知后通知县(区)招生办，再由县(区)招生办通知考生．试画出该事件的流程图．解：流程图如图所示．五、结构图1．下列关于流程图和结构图的说法中不正确的是( )A．流程图用来描述一个动态过程B．结构图是用来刻画系统结构的C．流程图只能用带箭头的流程线表示各单元的先后关系D．结构图只能用带箭头的连线表示各要素之间的从属关系或逻辑上的先后关系解析：选D 结构图一般由构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线(或方向箭头)构成，故D不正确．2．把平面内两条直线的位置关系填入结构图中的M，N，E，F中，顺序较为恰当的是( )①平行②垂直③相交④斜交A．①②③④B．①④②③C．①③②④D．②①④③解析：选C 平行无交点，而垂直、相交、斜交都有交点，垂直与斜交是并列的，都隶属于相交．3．下图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在( )A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位解析：选C 子集是集合与集合之间的关系，故应为“基本关系”的下位．4．下图是一商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 共有“策划部”“政府行为”“社会需求”，三个要素影响计划的执行．5．我国是华南虎的故乡，且华南虎是所有老虎的祖先，现在我国野生华南虎的数量已不足20只，弥足珍贵，老虎属于猫科动物，猫科动物的分类(如图所示)．据图回答：华南虎属于________科，________属．解析：该结构图是按从左到右的顺序画出的，从左到右第二层是科类，第三层是属类，分类由大到小，逐层细化，单线观察：猫科动物-豹亚科-豹属-虎种-华南虎，和华南虎相连的第二层是豹亚科，第三层是豹属．答案：豹亚豹6．下列关于结构图的说法中，正确的是________．①结构图只能是从左向右分解；②结构图只能是从上向下分解；③结构图只能是从下向上分解；④结构图一般呈“树”形结构；⑤结构图有时呈“环”形结构．解析：结构图分解方向一般依据具体情况选择从上向下或从左向右．答案：④⑤7．一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能：(1)用户管理：能修改密码，显示用户信息，修改用户信息．(2)用户登录．(3)名片管理：能够对名片进行删除、添加、修改、查询．(4)出错信息处理．请根据这些要求画出该系统的结构图．解：由题意可得：8．如图所示是某大学的学校组织结构图，由图回答下列问题：(1)学生工作处的下位要素是什么？(2)学生工作处与其下位要素是什么关系？解：(1)由题图可知学生工作处的下位要素包括工业工程系、城建环保工程系、电气工程系、计算机工程系、机械工程系、汉教部．(2)学生工作处与其下位要素的关系是从属关系．9．画出三角函数的知识结构图．解：三角函数的知识结构图如下：六、归纳推理1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是( )A．10 B．13C．14 D．100解析：选C ∵＋2＝91，∴从第92项到第105项都是14，故选C.2.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5 1A．2 B．4C ．6D ．8解析：选C 由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a ＝3＋3＝6.3．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为( )A ．■ C ．□D ．○解析：选A 图形涉及三种符号□、○、△，其中符号○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适．4．设凸k 边形的内角和为f (k )，则凸k ＋1边形的内角和f (k ＋1)＝f (k )＋( ) A.π2B ．π C.32π D ．2π解析：选B 三角形内角和为π，四边形为2π，五边形为3π，…，故f (k ＋1)＝f (k )＋π.5．已知x ∈(0，＋∞)，有下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x 3＋x3＋27x 3≥4成立，观察上面各式，按此规律若x ＋ax4≥5，则正数a ＝________.解析：观察给出的各个不等式，不难得到x ＋11x ≥2，x ＋22x 2≥3，x ＋33x3≥4，从而第4个不等式为x ＋44x 4≥5，所以当x ＋a x4≥5时，正数a ＝44.答案：446．如图①是第七届国际数学教育大会(简称ICME －7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1，如果把图②中的直角三角形依此规律继续作下去，记OA 1，OA 2，…，OA n ，…的长度构成数列{a n }，则此数列{a n }的通项公式为a n ＝__________.解析：根据OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A 7A 8＝1和题图②中的各直角三角形，由勾股定理，可得a 1＝OA 1＝1，a 2＝OA 2＝OA 21＋A 1A 22＝12＋12＝2，a 3＝OA 3＝OA 22＋A 2A 23＝22＋12＝3，…，故可归纳推测出a n ＝n . 答案：n7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？ 解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．已知a ，b 为正整数，设两直线l 1：y ＝b －ba x 与l 2：y ＝b ax 的交点为P 1(x 1，y 1)，且对于n ≥2的自然数，两点(0，b )，(x n －1,0)的连线与直线y ＝b ax 交于点P n (x n ，y n )．(1)求P 1，P 2的坐标； (2)猜想P n 的坐标(n ∈N ＋)．解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b －b ax ，y ＝ba x ，得P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b2.过(0，b )，⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0两点的直线方程为2x a ＋y b ＝1，与y ＝b a x 联立解得P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，b 3. (2)由(1)可猜想P n ⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1，b n ＋1.9．一种十字绣作品由相同的小正方形构成，图①②③④分别是制作该作品前四步所对应的图案，按照如此规律，第n 步完成时对应图案中所包含小正方形的个数记为f (n )．(1)求出f (2)，f (3)，f (4)，f (5)的值；(2)利用归纳推理，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系式； (3)猜想f (n )的表达式，并写出推导过程． 解：(1)图①中只有一个小正方形，得f (1)＝1；图②中有3层，以第2层为对称轴，有1＋3＋1＝5(个)小正方形，得f (2)＝5； 图③中有5层，以第3层为对称轴，有1＋3＋5＋3＋1＝13(个)小正方形，得f (3)＝13； 图④中有7层，以第4层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋5＋3＋1＝25(个)小正方形，得f (4)＝25；第五步所对应的图形中有9层，以第5层为对称轴，有1＋3＋5＋7＋9＋7＋5＋3＋1＝41(个)小正方形，得f(5)＝41.(2)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，f(5)＝41，∴f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，…，∴f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4.∴f(n＋1)与f(n)的关系式为f(n＋1)－f(n)＝4n.(3)猜想f(n)的表达式为f(n)＝2n2－2n＋1.由(2)可知f(2)－f(1)＝4＝4×1，f(3)－f(2)＝8＝4×2，f(4)－f(3)＝12＝4×3，f(5)－f(4)＝16＝4×4，……f(n)－f(n－1)＝4×(n－1)＝4n－4，将上述n－1个式子相加，得f(n)－f(1)＝4[1＋2＋3＋4＋…＋(n－1)]，则f(n)＝2n2－2n＋1.七、类比推理1．下列哪个平面图形与空间图形中的平行六面体作为类比对象较合适( )A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：选C 从构成几何图形的几何元素的数目、位置关系、度量等方面考虑，用平行四边形作为平行六面体的类比对象较为合适．2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝2Sa＋b＋c；类比这个结论可知：四面体P­ABC的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P­ABC的体积为V，则r＝( )A.VS1＋S2＋S3＋S4B.2VS1＋S2＋S3＋S4C.3VS1＋S2＋S3＋S4D.4VS1＋S2＋S3＋S4解析：选C 设内切球的球心为O，所以可将四面体P­ABC分为四个小的三棱锥，即O­ABC，O­PAB，O­PAC，O­PBC，而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P­ABC的四个面的面积，高是内切球的半径，所以V ＝13S 1r ＋13S 2r ＋13S 3r ＋13S 4r ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r ，∴r ＝3VS 1＋S 2＋S 3＋S 4.3．已知{b n }为等比数列，b 5＝2，则b 1b 2b 3…b 9＝29.若{a n }为等差数列，a 5＝2，则{a n }的类似结论为( )A ．a 1a 2a 3…a 9＝29B ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝29C ．a 1a 2…a 9＝2×9D ．a 1＋a 2＋…＋a 9＝2×9解析：选D 类比等比数列{b n }中b 1b 2b 3…b 9＝b 95，可得在等差数列{a n }中a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 5＝9×2.4．类比三角形中的性质： ①两边之和大于第三边； ②中位线长等于底边长的一半； ③三内角平分线交于一点． 可得四面体的对应性质：①任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；②过四面体的交于同一顶点的三条棱的中点的平面面积等于该顶点所对的面面积的14；③四面体的六个二面角的平分面交于一点． 其中类比推理方法正确的有( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．都不对解析：选C 以上类比推理方法都正确，需注意的是类比推理得到的结论是否正确与类比推理方法是否正确并不等价，方法正确结论也不一定正确．5．在△ABC 中，D 为BC 的中点，则AD ―→＝12()AB ―→＋AC ―→ ，将命题类比到四面体中去，得到一个命题为：______________________________________.．解析：平面中线段的中点类比到空间为四面体中面的重心，顶点与中点的连线类比顶点和重心的连线．答案：在四面体A ­BCD 中，G 是△BCD 的重心，则AG ―→＝13()AB ―→＋AC ―→＋AD ―→ 6．运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一条固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线方程分别是x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b＞0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为__________．解析：由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a， 即k ＝b a，所以椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 答案：πab7．在Rt △ABC 中，若∠C ＝90°，则cos 2A ＋cos 2B ＝1，在空间中，给出四面体性质的猜想．解：如图，在Rt △ABC 中，cos 2A ＋cos 2B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c 2＝a 2＋b2c 2＝1.于是把结论类比到四面体P ­A ′B ′C ′中，我们猜想，三棱锥P ­A ′B ′C ′中，若三个侧面PA ′B ′，PB ′C ′，PC ′A ′两两互相垂直，且分别与底面所成的角为α，β，γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.8．在公比为4的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则T 20T 10，T 30T 20，T 40T 30也成等比数列，且公比为4100；类比上述结论，相应地在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和．(1)写出相应的结论，判断该结论是否正确，并加以证明； (2)写出该结论一个更为一般的情形(不必证明)．解：(1)在公差为3的等差数列{a n }中，若S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也是等差数列，且公差为300.该结论是正确的．证明如下：∵等差数列{a n }的公差d ＝3， ∴(S 30－S 20)－(S 20－S 10)＝(a 21＋a 22＋…＋a 30)－(a 11＋a 12＋…＋a 20)＝10d ＋10d ＋…＋10d ＝100d ＝300，10个同理可得：(S 40－S 30)－(S 30－S 20)＝300，所以数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30是等差数列，且公差为300. (2)在公差为d 的等差数列{a n }中， 若S n 是{a n }的前n 项和， 则对于任意k ∈N ＋， 数列S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，S 4k －S 3k 也成等差数列，且公差为k 2d .9．先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a 1，a 2∈R ，a 1＋a 2＝1，求证a 21＋a 22≥12.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2， 则f (x )＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋a 21＋a 22＝2x 2－2x ＋a 21＋a 22. 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0，所以Δ＝4－8(a 21＋a 22)≤0，所以a 21＋a 22≥12.(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，请写出上述结论的推广式； (2)类比上述证法，对你推广的结论加以证明． 解：(1)若a 1，a 2，…，a n ∈R ，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1， 求证：a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.(2)证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2，则f (x )＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝nx 2－2x ＋a 21＋a 22＋…＋a 2n . 因为对一切x ∈R ，恒有f (x )≥0， 所以Δ＝4－4n (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≤0. 所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ≥1n.八、数学证明1．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B ．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D ．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B 对于A ，小前提与结论互换，错误；对于B ，符合演绎推理过程且结论正确；对于C 和D ，均为大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式．故选B.2．“9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故此奇数是3的倍数”，上述推理是( )A ．小前提错B ．结论错C ．正确的D ．大前提错解析：选C ∵大前提，小前提，推理形式都正确， ∴结论正确．3．在不等边三角形中，a 为最大边，要想得到∠A 为钝角的结论，三边a ，b ，c 应满足的条件是( )A ．a 2＜b 2＋c 2B ．a 2＝b 2＋c 2C ．a 2＞b 2＋c 2D ．a 2≤b 2＋c 2解析：选C 由cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＜0，∴b 2＋c 2－a 2＜0，∴a 2＞b 2＋c 2.4．在证明f (x )＝2x ＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是( )A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③解析：选A 根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f (x )＝2x ＋1满足增函数的定义；结论是f (x )＝2x ＋1为增函数，故①④正确．5.如图，α⊥β，α∩β＝l ，P ∈α，PO ⊥l 交l 于O ，则可以得到的结论是________．。

课时跟踪训练(七) 二项式定理1．(x －2y )7的展开式中的第4项为( ) A ．－280x 4y 3 B ．280x 4y 3C ．－35x 4y 3D ．35x 4y 32．在(x －3)10的展开式中，x 6的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 4103．(大纲全国卷)(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．1684．已知⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n的展开式中的常数项是第7项，则正整数n 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．105．(安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________. 6．(浙江高考)设二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. 7.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 展开式第9项与第10项二项式系数相等，求x 的一次项系数．8．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．答案1．选A (x －2y )7的展开式中的第4项为T 4＝C 37x 4(－2y )3＝(－2)3C 37x 4y 3＝－280x 4y 3. 2．选D T k ＋1＝C k 10·x 10－k(－3)k ，令10－k ＝6，知k ＝4，∴T 5＝C 410x 6(－3)4，即x6的系数为9C 410.3．选D 在(1＋x )8展开式中含x 2的项为C 28x 2＝28x 2，(1＋y )4展开式中含y 2的项为C 24y 2＝6y 2，所以x 2y 2的系数为28×6＝168，故选D.4．选B ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x n 的展开式的通项T r ＋1＝C r n 2n －r x 3n －4r，由r ＝6时，3n －4r ＝0.得n ＝8.5．解析：二项式⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋a 3x 8展开式的通项为T r ＋1＝C r 8a r x 8－43r ，令8－43r ＝4，可得r ＝3，故C 38a 3＝7，易得a ＝12.答案：126．解析：T r ＋1＝(－1)r C r 5x 15－5r 6，令15－5r ＝0，得r ＝3，故常数项A ＝(－1)3C 35＝－10.答案：－107．解：由题意知，C 8n ＝C 9n . ∴n ＝17. ∴T r ＋1＝C r17x 17－r 2·2r ·x －r 3＝C r 17·2r·x 17－r 2－r 3. ∴17－r 2－r3＝1. 解得r ＝9.∴T r ＋1＝C 917·x 4·29·x －3， 即T 10＝C 917·29·x . 其一次项系数为C 917·29.8．解：法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8， 则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70， 第5项的系数是C 48·24＝1 120. (2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.。

课时跟踪训练(一) 归纳与类比1．由数列2,20,200,2 000，…，猜测该数列的第n 项可能是( )A ．2×10nB ．2×10n －1C ．2×10n ＋1D ．2×10n －2 12.如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是( )11 11 2 11 3 3 11 4 a 4 11 5 10 10 5A ．2B ．4C ．6D ．83．(湖北高考)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.3551134．从所给的四个选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性( )5．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，你认为可推知正四面体的下列哪些性质________．(填写序号)①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．6．四个小动物换座位，开始时鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上(如图)，第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，第3次前后排动物互换座位，……这样交替进行下去，那么第2 014次互换座位后，小兔的座位对应的编号是________．7．观察等式：1＋3＝4＝22,1＋3＋5＝9＝32,1＋3＋5＋7＝16＝42，你能得出怎样的结论？8．如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SA⊥SC，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，三侧面△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3.类比三角形中的正弦定理，给出空间情形的一个猜想．答案1．选B2．选C由杨辉三角形可以发现：每一行除1外，每个数都是它肩膀上的两数之和．故a＝3＋3＝6.3．选B由题意知275L 2h＝13πr2h⇒275L2＝13πr2，而L＝2πr，代入得π＝258.4．选A每一行图中的黑点从右上角依次递减一个．5．解析：正四面体的面(或棱)可与正三角形的边类比，正四面体的相邻两面成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)可与正三角形相邻两边的夹角类比，故①②③都对．答案：①②③6．解析：第4次左右列动物互换座位后，鼠、猴、兔、猫分别坐在编号为1,2,3,4的位置上，即回到开始时的座位情况，于是可知这样交替进行下去，呈现出周期为4的周期现象，又2 014＝503×4＋2，故第2 014次互换座位后的座位情况就是第2次互换座位后的座位情况，所以小兔的座位对应的编号是2.答案：27．解：通过观察发现：等式的左边为正奇数的和，而右边是整数(实际上就是左边奇数的个数)的完全平方．因此可推测得出：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＝n 2(n ≥2，n ∈N ＋)．8．解：在△DEF 中，由正弦定理，得d sin D ＝e sin E ＝f sin F. 于是，类比三角形中的正弦定理，在四面体S －ABC 中，猜想S 1sin α1＝S 2sin α2＝S 3sin α3成立．。

课时跟踪检测（四）全集与补集层级一学业水平达标1．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∪B)等于( )A．{2} B．{5}C．{1,2,3,4} D．{1,3,4,5}解析：选B∵A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，∴A∪B＝{1,2,3,4}．又U＝{1,2,3,4,5}，∴∁U(A∪B)＝{5}．2．已知集合A＝{x∈R|－2＜x＜6}，B＝{x∈R|x＜2}，则A∪(∁R B)＝( )A．{x|x＜6} B．{x|－2＜x＜2}C．{x|x＞－2} D．{x|2≤x＜6}解析：选C由B＝{x∈R|x＜2}，得∁R B＝{x|x≥2}．又A＝{x∈R|－2＜x＜6}，所以A∪(∁R B)＝{x|x＞－2}．3．若P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞－1}，则( )A．P⊆Q B．Q⊆PC．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P解析：选C∵P＝{x|x＜1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，又Q＝{x|x＞－1}，∴∁R P⊆Q.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，那么集合{2,7}是( )A．A∪B B．A∩BC．∁U(A∩B) D．∁U(A∪B)解析：选D∵A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}∴A∪B＝{1,3,4,5,6}又U＝{1,2,3,4,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,7}．5．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A)∩B＝( )A．{－2，－1} B．{－2}C．{－1,0,1} D．{0,1}解析：选A因为A＝{x|x＞－1}，所以∁R A＝{x|x≤－1}，所以(∁R A)∩B＝{－2，－1}．6．设全集为U，用集合A，B的交集、并集、补集符号表示图中的阴影部分．(1)________；(2)________．答案：(1)∁U(A∪B) (2)(∁U A)∩B7．已知全集U＝{x|x≥－3}，集合A＝{x|－3＜x≤4}，则∁U A＝________.解析：借助图形可知∁U A＝{x|x＝－3或x＞4}．答案：{x|x＝－3或x＞4}8．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.答案：－1或29．已知集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|m＜x＜m＋9}，若(∁R A)∩B＝B.求实数m的取值范围．解：∁R A＝{x|x≤－2，或x≥3}，由(∁R A)∩B＝B，得B⊆∁R A，∴m＋9≤－2，或m≥3.故m 的取值范围是{m|m≤－11，或m≥3}．10．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，∁A∪B，A∩∁U B，∁U(A∪B)．U解：如图所示．∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，U＝{x|x≤4}，∴∁U A＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁U B＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}，A∪B＝{x|－3≤x＜3}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁U A)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}，A∩(∁B)＝{x|2＜x＜3}，∁U(A∪B)＝{x|x＜－3，或3≤x≤4}．U层级二应试能力达标1．设全集U＝M∪N＝{1,2,3,4,5}，M∩(∁U N)＝{2,4}，则N＝( )A．{1,2,3} B．{1,3,5}C．{1,4,5} D．{2,3,4}解析：选B由M∩(∁U N)＝{2,4}，可得集合N中不含元素2,4，集合M中含有元素2,4，故N ＝{1,3,5}．2.已知全集U＝Z，集合A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A．{－1,2} B．{－1,0}C．{0,1} D．{1,2}解析：选A图中阴影部分表示的集合为(∁U A)∩B，因为A＝{0,1}，B＝{－1,0,1,2}，所以(∁U A)∩B ＝{－1,2}．3．设S为全集，则下列几种说法中，错误的个数是( )①若A∩B＝∅，则(∁S A)∪(∁S B)＝S；②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∅；③若A∪B＝∅，则A＝B.A．0 B．1C．2 D．3解析：选A①如图，(∁S A)∪(∁S B)＝S，正确．②若A∪B＝S，则(∁S A)∩(∁S B)＝∁S(A∪B)＝∅，正确．③若A∪B＝∅，则A＝B＝∅，正确．4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩(∁I M)＝∅，则M∪N等于( )A ．MB ．NC ．ID ．∅解析：选A 根据题意画出Venn 图，由图可知M ∪N ＝M .5．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}，如图所示，则阴影部分所表示的集合为________．解析：∵M ＝{x |x ＜－2，或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}， ∴M ∪N ＝{x |x ＜－2，或x ≥1}． ∴阴影部分所表示的集合为 ∁U (M ∪N )＝{x |－2≤x ＜1}． 答案：{x |－2≤x ＜1}6．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________人．解析：设两项运动都喜欢的人数为x ，画出Venn 图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3，∴喜爱篮球运动但不爱乒乓球运动的人数为15－3＝12(人)．答案：127．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁R A )∩B ＝{2}，A ∩(∁R B )＝{4}，求实数a ，b 的值．解：由条件(∁R A )∩B ＝{2}和A ∩(∁R B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A ；4∈A ，但4∉B .将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127即为所求．8．设全集是实数集R ，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，B ＝{x |x 2＋a ＜0}．(1)当a ＝－4时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若(∁R A )∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ≤3，当a ＝－4时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 12≤x ＜2，A ∪B ＝{x |－2＜x ≤3}．(2)∁R A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ＜12，或x ＞3，当(∁R A )∩B ＝B 时，B ⊆∁R A .当B ＝∅，即a ≥0时，满足B ⊆∁R A ；当B ≠∅，即a ＜0时，B ＝{x |－－a ＜x ＜－a }．要使B ⊆∁R A ，需要－a ≤12，解得－14≤a ＜0.综上可得，实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－14，＋∞.。

课时跟踪训练(十三) 距离的计算1．已知平面α的一个法向量n ＝(－2，－2,1)，点A (2，－1,0)在α内，则P (1,3，－2)到α的距离为( )A ．10B ．3 C.83D.1032．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在1AC 上且AM ＝121MC ，N 为B 1B 的中点，则|MN |为( )A.216aB.66aC.156a D.153a3.如图，P －ABCD 是正四棱锥，ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，其中AB ＝2，P A ＝6，则B 1到平面P AD 的距离为( )A ．6 B.355C.655D.3224．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.345.如图所示，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．6．如图所示，正方体的棱长为1，E ，F ，M ，N 分别是棱的中点，则平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离为________．7.如图，已知正方形ABCD ，边长为1，过D 作PD ⊥平面ABCD ，且PD ＝1，E ，F 分别是AB 和BC 的中点．求直线AC 到平面PEF 的距离．8.如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截而得到的，其中AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1.求点C 到平面AEC 1F 的距离．答 案1．选C PA ＝(1，－4,2)，又平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，所以P 到α的距离为|PA ·n |n ＝|－2＋8＋2|3＝83.2.选A 以D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A (a,0,0)，C 1(0，a ，a )，N ⎝⎛⎭⎫a ，a ，a2. 设M (x ，y ，z )．∵点M 在1AC 上且AM ＝121MC .∴(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，∴x ＝23a ，y ＝a 3，z ＝a3.于是M ⎝⎛⎭⎫2a 3，a 3，a 3. ∴|MN | ＝ ⎝⎛⎭⎫a －23a 2＋⎝⎛⎭⎫a －a 32＋⎝⎛⎭⎫a 2－a 32＝216a . 3.选C 以A1B 1为x 轴，A 1D 1为y 轴，A 1A 为z 轴建立空间直角坐标系，设平面P AD 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，由题意知，B 1(2,0,0)，A (0，0,2)，D (0,2,2)，P (1,1,4)．AD ＝(0,2,0)，AP ＝(1,1,2)，∴AD ·n ＝0，且AP ·n ＝0.∴y ＝0，x ＋y ＋2z ＝0，取z ＝1，得n ＝(－2,0,1)．∵1B A ＝(－2,0,2)，∴B 1到平面P AD 的距离d ＝|1B A ·n ||n |＝655.4.选C 如图，建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A (2,0,0)，A 1(2,0,4)，B 1(2,2,4)，D 1(0，0,4)．∴11D B ＝(2,2,0)，1D A ＝(2,0，－4)，1AA ＝(0,0,4)，设n ＝(x ，y ，z )是平面AB 1D 1的一个法向量，则n ⊥11D B ，n ⊥1D A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·11D B ＝0，n ·1D A ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，2x －4z ＝0.令z ＝1，则平面AB 1D 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．∴由1AA 在n 上射影可得A 1到平面AB 1D 1的距离为d ＝|1AA ·n ||n |＝43.5.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C (0，0,0)，A ⎝⎛⎭⎫32，12，0，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则1C A ＝⎝⎛⎭⎫32，12，－1，11C B ＝(0,1,0)，1C B ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的法向量为n ＝(x ，y,1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1C A ·n ＝0 1C B ·n ＝0，解得n ＝⎝⎛⎭⎫33，1，1， 则d ＝|11C B ·n |n ||＝113＋1＋1＝217.答案：2176.解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1(1,0,0)，B 1(1,1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，0，1，F ⎝⎛⎭⎫1，12，1，D 1(0,0,0)，M ⎝⎛⎭⎫0，12，1，N ⎝⎛⎭⎫12，1，1. ∵E ，F ，M ，N 分别是棱的中点， ∴MN ∥EF ，A 1E ∥B 1N . ∴平面A 1EF ∥平面B 1NMD 1.∴平面A 1EF 与平面B 1NMD 1的距离即为A 1到平面B 1NMD 1的距离． 设平面B 1NMD 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴n ·11D B ＝0，且n ·1B N ＝0. 即(x ，y ，z )·(1,1,0)＝0，且(x ，y ，z )·⎝⎛⎭⎫－12，0，1＝0. ∴x ＋y ＝0，且－12x ＋z ＝0，令x ＝2，则y ＝－2，z ＝1. ∴n ＝(2，－2,1)，n 0＝⎝⎛⎭⎫23，－23，13. ∴A 1到平面B 1NMD 1的距离为d ＝|11A B ·n 0|＝⎪⎪⎪⎪(0，1，0)·⎝⎛⎭⎫23，－23，13＝23. 答案：237．解：由题意知直线AC 到平面PEF 的距离即为点A 到平面PEF 的距离，以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A (1,0,0)，P (0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0，F ⎝⎛⎭⎫12，1，0，∴PE ＝⎝⎛⎭⎫1，12，－1，PF ＝⎝⎛⎭⎫12，1，－1. 设n ＝(x ，y ，z )是平面PEF 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n ·PE ＝0，n ·PF ＝0，得⎩⎨⎧x ＋y2－z ＝0，x 2＋y －z ＝0.令x ＝1，则y ＝1，z ＝32，∴n ＝⎝⎛⎭⎫1，1，32.又∵AP ＝(－1,0,1)， ∴d ＝|AP ·n ||n |＝－1×1＋0×1＋1×321＋1＋94＝1717.8．解：建立如图所示的空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (2,4,0)，A (2,0,0)，C (0,4,0)，E (2,4,1)，C 1(0,4,3)．设n 为平面AEC 1F 的法向量，显然n 不垂直于平面ADF ，故可设n ＝(x ，y,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE ＝0，n ·1EC ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧0·x ＋4·y ＋1＝0，－2·x ＋0·y ＋2＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧4y ＋1＝0，－2x ＋2＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－14.n ＝⎝⎛⎭⎫1，－14，1. 又1CC ＝(0,0,3)．∴C 到平面AEC 1F 的距离为 d ＝|1CC ·n ||n |＝31＋116＋1＝43311.。

课时跟踪检测（十三） 解三角形的实际应用举例层级一 学业水平达标1.如图，两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站南偏西40°，灯塔B 在观察站南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东80°D ．南偏西80°解析：选D 由条件及题图可知，∠A ＝∠B ＝40°，又∠BCD ＝60°，所以∠CBD ＝30°，所以∠DBA ＝10°，因此灯塔A 在灯塔B 南偏西80°.2．甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m 高的旗杆，甲观测的仰角为50° ，乙观测的仰角为40° ，用d 1，d 2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有( )A ．d 1＞d 2B ．d 1＜d 2C ．d 1＞20 mD ．d 2＜20 m解析：选B 由tan 50°＝20d 1，tan 40°＝20d 2及tan 50°＞tan 40°可知，d 1＜d 2. 3．一艘船以4 km/h 的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，则船实际航程为( )A ．215 kmB ．6 kmC ．221 kmD ．8 km解析：选B 如图所示，在△ACD 中，AC ＝23，CD ＝43，∠ACD ＝60°，∴AD 2＝12＋48－2×23×43×12＝36.∴AD ＝6.即该船实际航程为6 km.4．从高出海平面h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.2h 米 C.3h 米D ．22h 米解析：选A 如图所示，BC ＝3h ，AC ＝h ，∴AB ＝3h 2＋h 2＝2h .5．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( )A.4003米 B.40033米C ．2003米D ．200米解析：选A 如图，设AB 为山高，CD 为塔高，则AB ＝200，∠ADM＝30°，∠ACB ＝60°∴BC ＝200tan 60°＝20033，AM ＝DM tan 30°＝BC tan 30°＝2003，∴CD ＝AB －AM ＝4003.6．在相距2千米的A ，B 两点处测量目标点C ，若∠CAB ＝75°，∠CBA ＝60°，则A ，C 两点之间的距离为______千米．解析：如图所示，由题意知C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，所以AC ＝222·32＝ 6. 答案： 67．一船以22 6 km/h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东45°，1小时30分后航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的南偏东15°，则灯塔S 与B 之间的距离为________km.解析：如图，∠ASB ＝180°－15°－45°＝120°，AB ＝226×32＝336，由正弦定理，得336sin 120°＝SB sin 45°，∴SB ＝66(km)． 答案：668.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝________.解析：由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×⎝⎛⎭⎫－12＝44 100. ∴AB ＝210，DE ＝210. 答案：2109.如图所示，在地面上共线的三点A ，B ，C 处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB ＝BC ＝60 m ，求建筑物的高度．解：设建筑物的高度为h ，由题图知， PA ＝2h ，PB ＝2h ，PC ＝233h ， ∴在△PBA 和△PBC 中，分别由余弦定理， 得cos ∠PBA ＝602＋2h 2－4h 22×60×2h ，①cos ∠PBC ＝602＋2h 2－43h 22×60×2h .②∵∠PBA ＋∠PBC ＝180°， ∴cos ∠PBA ＋cos ∠PBC ＝0.③由①②③，解得h ＝306或h ＝－306(舍去)，即建筑物的高度为30 6 m.10．某观测站C 在城A 的南偏西20°的方向，由城A 出发的一条公路，走向是南偏东40°，在C 处测得公路上B 处有一人，距C 为31 km ，正沿公路向A 城走去，走了20 km 后到达D 处，此时CD 间的距离为21 km ，问：这人还要走多少千米才能到达A 城？解：如图，令∠ACD ＝α，∠CDB ＝β，在△CBD 中，由余弦定理得cos β＝BD 2＋CD 2－CB 22BD ·CD ＝202＋212－3122×20×21＝－17，∴sin β＝437.又sin α＝sin(β－60°)＝sin βcos 60°－sin 60°cos β ＝437×12＋32×17＝5314， 在△ACD 中，由正弦定理，得21sin 60°＝AD sin α， ∴AD ＝21×sin αsin 60°＝15(km)．故这个人再走15 km 就可以到达A 城．层级二 应试能力达标1．如图，从气球A 上测得其正前下方的河流两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD 是60 m ，则河流的宽度BC 是( )A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m解析：选C 由题意知，在Rt △ADC 中，∠C ＝30°，AD ＝60 m ，∴AC ＝120 m ．在△ABC 中，∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－75°＝105°，由正弦定理，得BC ＝AC sin ∠BACsin ∠ABC ＝120×226＋24＝120(3－1)(m)．2.如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )A ．5(6＋2)kmB ．5(6－2)kmC ．10(6－2)kmD ．10(6＋2)km解析：选C 由题意，知∠BAC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝30°＋45°＝75°，∠ACB ＝180°－75°－30°＝75°，∴AC ＝AB ＝40×12＝20(km)．由余弦定理，得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos 30°＝800－4003＝400(2－3)，∴BC ＝400(2－3)＝200(3－1)2＝102(3－1)＝10(6－2)km.故选C. 3.如图所示，在山底A 处测得山顶B 的仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m 到达S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为( )A ．500 2 mB ．200 mC ．1 000 2 mD ．1 000 m解析：选D ∵∠SAB ＝45°－30°＝15°，∠SBA ＝∠ABC －∠SBC ＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS 中，AB ＝AS ·sin 135°sin 30°＝1 000×2212＝1 0002，∴BC ＝AB ·sin 45°＝1 0002×22＝1 000(m)． 4.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC ＝10 m ，吊杆AC ＝15 m ，吊索AB ＝519 m ，起吊的货物与岸的距离AD 为( )A ．30 m B.1532 mC ．15 3 mD ．45 m解析：选B 在△ABC 中，AC ＝15 m ，AB ＝519 m ，BC ＝10 m ， 由余弦定理得cos ∠ACB ＝AC 2＋BC 2－AB 22×AC ×BC＝152＋102－(519)22×15×10＝－12.∴sin ∠ACB ＝32. 又∠ACB ＋∠ACD ＝180°. ∴sin ∠ACD ＝sin ∠ACB ＝32. 在Rt △ADC 中，AD ＝AC ·sin ∠ACD ＝15×32＝1532m. 5．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________cm.解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB＝10×sin 45°sin 60°＝1063(cm)．答案：10636．一船以24 km/h 的速度向正北方向航行，在点A 处望见灯塔S 在船的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见灯塔在船的北偏东65°方向上，则船在点B 时与灯塔S 的距离是______ km.(精确到0.1 km)解析：作出示意图如图．由题意知，AB ＝24×1560＝6，∠ASB ＝35°，由正弦定理6sin 35°＝BSsin 30°，可得BS ≈5.2(km)．答案：5.27．碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A 处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天号”正南方向距“蓝天号”20海里的B 处．现在“白云号”以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8海里的速度由A 处向南偏西60°方向行驶，经过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．解：如图，设经过t 小时，“蓝天号”渔轮行驶到C 处，“白云号”货轮行驶到D 处，此时“蓝天号”和“白云号”两船的距离为CD .则根据题意，知在△ABC 中，AC ＝8t ，AD ＝20－10t ，∠CAD ＝60°.由余弦定理，知CD 2＝AC 2＋AD 2－2×AC ×AD cos 60° ＝(8t )2＋(20－10t )2－2×8t ×(20－10t )×cos 60° ＝244t 2－560t ＋400＝244⎝⎛⎭⎫t －70612＋400－244×⎝⎛⎭⎫70612， ∴当t ＝7061时，CD 2取得最小值，即“蓝天号”和“白云号”两船相距最近．8．在垒球比赛前，若某教练布置战术时，要求击球手以与连结本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，(如图所示)根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能接着球？(3≈1.73)解：设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点(如图所示)．设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝v t ，AB ≤v4t .在△AOB 中，由正弦定理， 得OB sin ∠OAB ＝ABsin 15°，∴sin ∠OAB ＝OBAB sin 15°≥v t v t 4·6－24＝6－ 2. 而(6－2)2＝8－43≈8－4×1.73>1， 即sin ∠OAB >1.∴这样的∠OAB 不存在， 因此游击手不能接到球．。