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大学微积分考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x) = x^2在区间(-1, 1)上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增函数D. 先增后减函数答案：A2. 极限lim (x->0) [sin(x)/x]的值是：A. 0B. 1C. 2D. 无穷大答案：B3. 下列哪个函数是奇函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = |x|C. f(x) = x^3D. f(x) = cos(x)答案：C4. 曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线斜率是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C5. 定积分∫[0, 1] x dx的值是：A. 0B. 1/2C. 1/3D. 1答案：C6. 微分方程dy/dx = x^2的通解是：A. y = x^3 + CB. y = e^x + CC. y = sin(x) + CD. y = ln(x) + C答案：A7. 函数f(x) = e^x在点x=0处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. e答案：B8. 以下哪个级数是收敛的？A. ∑(-1)^n / nB. ∑n^2C. ∑(1/n)D. ∑(1/n^2)答案：D9. 曲线y = ln(x)的拐点是：A. x = 1B. x = eC. x = 0D. 没有拐点答案：D10. 以下哪个选项是正确的泰勒公式展开？A. e^x = ∑x^nB. sin(x) = ∑(-1)^n * x^(2n+1) / (2n+1)!C. ln(1+x) = ∑(-1)^n * x^n / nD. cos(x) = ∑x^(2n) / (2n)!答案：D二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 4x^2的驻点是______。
答案：x = 0, x = 312. 极限lim (x->∞) (1 + 1/x)^x的值是______。
答案：e13. 定积分∫[1, e] e^x dx可以通过分部积分法计算，其结果是______。
微积分习题集带参考答案综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ） A ．)1(+x x B ．2xC ．)2(-x xD ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：xx x x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）． A ．x x f d )2(cos 2' B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ）A ．单调增加B ．单调减少C ．先增后减D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
“微积分”知识要点及答案（最后一页）一、单项选择1．函数24x x f -=)(有界且单调增加的区间是（ ）． A ．),(22- B ．),(02- C ．)2,0( D ． ),(+∞22．当0→x 时，x x sin +2是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 3．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctanB ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 24．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-45．在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ ）． A ．2x e y -=B ．32x y =C ．211xy -=D ．xxy sin =6． 下列等式中正确的是（ ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(7．由曲线21x y -=与直线x y =，y 轴所围平面图形绕x 轴旋转一周生成的旋转体体积等于（ ）． A ．dx x x 222021)(--⎰πB ．dx x x 222021)(⎰--π C ．dx x x ])[(2222021--⎰πD ．dx x x ])([2222201--⎰π8．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ ）． A ．无界奇函数 B ．无界偶函数 C ．有界奇函数 D ．有界偶函数9．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量 10．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-411． 下列命题中正确的是（ ）．A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fD. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f12．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． C x f ++)(ln 213．函数x x x f arctan )sin()(+=2在),(+∞-∞内是（ ）． A ．无界奇函数 B ．无界偶函数 C ．有界奇函数 D ．有界偶函数 14．设00=)(f ，10=')(f ，则=→xx f x 2)(lim（ ）． A ． 0 B ．21 C ． 1D ．不存在15．当0→x 时，x x arcsin -3是关于x 的（ ）． A ．高阶无穷小量 B ．低阶无穷小量 C ．同阶但不等价无穷小量 D ．等价无穷小量16．设x sin 是)(x f 一个原函数，则='⎰dx x f x )(（ ）．A ．C x x x +-sin cosB ．C x x x +-sin cos C ．C x x x +-cos sinD ．C x x x +-cos sin17．设10=')(x f ，则=∆-∆-→∆x x f x x f x )()3(lim 000（ ）． A ． 4- B ．3- C ． 2-D ．1-418． 下列命题中正确的是（ ）． A ．极小值必小于极大值B ．若)(x f 在0x x =处有00=')(x f ，则)(0x f 必为极值 C. 若)(0x f 为)(x f 的极值，则必有00=')(x fBWME200901D. 若)(0x f 为可导函数)(x f 的极值，则必有00=')(x f19． 下列等式中正确的是（ ）． A ．C x f dx x f +='⎰)(])([ B ．)()(x f x df =⎰C ．)(])([x f dx x f d =⎰D ．C x f dx x f +='⎰)()(20．=+'⎰dx x f x f 24)]([)(（ ）．A ．C x f +221)(arctan B ．C x f +441)(arctan C ．C x f ++)(ln 221D ． Cx f ++)(ln 2 21． 曲线x xe x f 2)(=在)1,2(--内（ ）．A. 单减且凹B. 单减且凸C. 单增且凹D. 单增且凸22.在] ,[11-上满足罗尔定理的函数是（ ）． A ．2x e y -=B ．32x y =C ．211x y -=D ．xxy sin =二、判断题（每题3分，共30分）1．若k xx e x =-→201)(lim ，则=k 2． 答案：2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0021x a x x e x f x , ,)(在点0=x 连续，则=a 1． 答案：3．微分方程y x e dxdy+=的通解是C e e y x =+- 答案：4．曲线x xe y 2-=的拐点坐标是),(211e ． 答案：5.3 122 1cos (3)11x xx dx x -+=+⎰ 答案：6．设yxe z =，则=∂∂∂y x z 2y xe y x y)(+-31． 答案：7. 设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案：8． 132 11(cos )2x x x dx -+=⎰． 答案：9．更换积分次序，dy y x f dx dx y x f dy xx yy⎰⎰⎰⎰=10102),(),(． 答案：10．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1． 答案：11．若13lim(13)xx x e-→-=． 答案：12．设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<≤-=10 20 3x axx x x e x f x ,tan sin ,cos )(在点0=x 连续，则0a =． 答案:13．曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:14．设)sin(2+=y x z ，则=∂∂∂yx z2)cos(2+y ． 答案:15．微分方程y x e dxdy-=满足初始条件01=)(y 的特解是)ln(e e y x -+=1 答案: 16．3 1421sin 2()31x x x dx x -+=+⎰． 答案:17．设平面区域D 由直线x y =，1=x 与x 轴所围，则12Ddxdy =⎰⎰． 答案:18．若k xx e x =-→201)(lim ，则2k =. 答案:19．微分方程y x e dxdy+=的通解是dx e dy e x y =-． 答案:20、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e . 答案:21、若1lim()1n n n n e-→∞=-． 答案:22、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-+≤+=0 ,110,)(2x xx x x x a x f 在点0=x 连续，则1a =． 答案:23、设平面区域D 由直线x y =，1=y 与y 轴所围，则21Ddxdy =⎰⎰． 答案:24、曲线x xe y 3-=的拐点坐标是),(23232-e ． 答案:25、13lim(13)xx x e-→-=答案:26、设2y x e z +=，则=∂∂∂yx z22x y ye +． 答案:27、更换积分次序，dy y x f dxdx y x f dyxx yy⎰⎰⎰⎰=112),(),(． 答案:28、3 1221cos (3)11x x x dx x -+=+⎰答案：29、微分方程y x y x '=-)(22的通解是222x eCx y -=． 答案:30、曲线352)(-=x y 的拐点坐标是（2,1）． 答案:三、解答题1、求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．2、求极限.arctan lim2x tdt xx ⎰→3、求曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程．4、设函数),(y x z z =由方程xyz z =sin 确定，求dz ．5、求微分方程x y x y =-'1的通解．6、求函数x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值和最小值．7、计算.dx e x ⎰-18、计算dxdy y x D⎰⎰+22sin，其中{}22224ππ≤+≤=y x y x D ),(．9、求极限.limcos 212x dt e xt x ⎰-→10、求曲线0=-+e e xy y 在),(10点的切线方程．11、设函数),(y x z z =由方程333a xyz z =-确定，求dz ．12、求微分方程xxx y y sin =+'满足初始条件1=)(πy 的特解． 13、求函数1)(2+=x x x f 在]1,21[-的最大值和最小值．14、求dx x x ⎰-123 .15、计算D dxdy y yD其中,sin ⎰⎰由曲线x y x y ==,所围的闭区域. 16、求极限.sin lim3x tdt t xx ⎰→17、求曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程．18、设函数),(y x z z =由方程y x e xyz -=确定，求.dz19、求微分方程122--='xy x y x 满足初始条件11=)(y 的特解．20、求函数)1ln(2+=x y 在]3,1[-的最大值和最小值． 21、求dx x x ⎰-23231.22、计算,⎰⎰Ddxdy xy其中D 由21x ≤+2y 4≤，x x y ,=轴所围一、选择题答案 1 2 3 4 5 6 78 9 10 B D A B A D C CC B 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22D A C B C A B DDABA二、判断题答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 × × √ √ × √ √ × √ √ √ × × √ √ 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 × √ × √ √ √ × √ √ √ × √ × √ ×三、简答题答案1、解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x x C dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=2、解：.lim arctan lim arctan lim2121122002=+==→→→⎰x x x x tdt x x xx3、解： 方程)sin(xy e e y x =-两边同时对x 求导，可得))(cos(y x y xy y e e y x '+='⋅-化简可得yx e xy x xy y e y +-='cos cos100000000=+-='ee y cos cos ),( 故曲线)sin(xy e e y x =-在),(00点的切线方程为 )(010-=-x y即 x y =.4、解：设xyz z z y x F -=sin ),,(,yz F x-='，,xz F y -=',cos xy z F z -=' xyz yz F F x zz x -=''-=∂∂cos ； xyz xz F F y z z y -=''-=∂∂cos ; 所以dy xyz xz dx xy z yz dz -+-=cos cos5、解：由题意知，,)(xx P 1-=x x Q =)(， 则 )()())(()()()()(C x x C dx xe e C dx e x Q e y dx x dx x dxx P dxx P +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰----11所以原方程通解为：.Cx x y +=26、解：求函数的一阶导数，得)()(3131311222x xxx f -=-='--因此x x x f 2332-=)(在),(21-内有不可导点01=x 和唯一的驻点12=x ， 比较下列值：044325111003>-==-==)( ,)( ,)( ,)(f f f f故x x x f 2332-=)(在],[21-上的最大值为,)(51=-f 最小值为00=)(f .7、解：令,x t -=则,,tdt dx t x 22==且x 从10→时，t 从10-→. ee e dt e tetde tdt e dx ett tt tx421222210110111-=--=-===------⎰⎰⎰⎰)()(8、解：积分区域D 的图形为上图阴影所示圆环域，在极坐标下{}πππθθ220≤≤≤≤='r r D ,),(=+⎰⎰dxdy y x D22sin =⎰⎰'θdrd r r D sin ⎰⎰πππθ220rdr r d sin =.)cos (sin 2262ππππ-=-r r r9、解：.)sin (limlimcoscos ex x e x dt e xx xt x 2122221=-⋅-=-→-→⎰10、解： 方程0=-+e e xy y 两边同时对x 求导，可得:0='+'+y e y x y y化简可得ye x yy +-=' e ey 101110-=+-='),( 故曲线0=-+e e xy y在),(10点的切线方程为：)0(11--=-x ey即 .ex y -=111、解：设333a xyz z z y x F --=),,(,yz F x3-='，,xz F y 3-=',xy z F z 332-=' xyz yz xy z yz F F x zz x -=---=''-=∂∂22333； xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=''-=∂∂22333. 所以 )(xdy ydx xyz zdz +-=2.12、解：由题意可知，所求微分方程变形为一阶非齐次线性微分方程，,)(xx P 1=,sin )(x xx Q =)cos ()sin ()sin ()sin ())((ln )()(C x xC xdx x C xdx x x e C dx e xx e C dx e x Q e y x dx x dx xdx x P dxx P +-=+=+=+=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰1111将初始条件1=)(πy 代入上式，得 1-=πC故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为： )cos (x xy --=11π13、解：求函数的一阶导数，得22)1(2)(++='x x x x f因此1)(2+=x x x f 在)1,21(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：21)1(,0)0(,21)21(===-f f f故1)(2+=x x x f 在]1,21[-上的最大值为,21)1()21(==-f f 最小值为.0)0(=f14、解：令x t 23-=，则232t x -=，.tdt dx -=0=x 时，3=t ；1=x 时，1=t ..5233102)3(21)(2323315313314221 321 0 -=-=-=--=-⎰⎰⎰t t dt t t dt t t dx x x15、解：积分区域为右图所示阴影部分，则=⎰⎰dxdy y yD sin dyy y y dy y y y y dx y y dy y y ⎰⎰⎰⎰-=-==121 0 1 0 )sin (sin )(sin sin 21sin 1sin 1cos 1cos 1cos cos cos cos sin 10110101 01-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰y ydyy y y yyd ydy16、解：=⎰→3sin limx tdt t xx .313sin lim 3sin lim020==→→x x x x x x x17、解： 方程021=+-y y x sin 两边同时对x 求导，可得:0211='⋅+'-y y y cos化简可得yy cos -='22202200=-='cos ),(y故曲线021=+-y y x sin 在),(00点的切线方程为：)(020-=-x y 即 .x y 2=18、解：设y x e xyz z y x F --=),,(,y x xe yz F --='，,y x y e xz F -+=',xy F z =' xz xz xy yz xyz xy yz e xy e yz F F x zy x y x z x -=-=-=--=''-=∂∂--； yyz z xy xyz xz xy e xz F F y z y x z y +-=+-=+-=''-=∂∂-. 则 dy yz yz dx x zxz dz +--=.19、解：将所求微分方程变形为，212xx y x y -=+'此方程为一阶非齐次线性微分方程.,)(x x P 2=,)(21xx x Q -=)())(()()())((ln )()(C x x xC dx x x C dx x x x e C dx e xx e C dx e x Q e y xdx x dx xdx x P dxx P +-=+-=+⋅-=+-=+=⎰⎰⎰⎰---⎰⎰⎰⎰211111222222222将初始条件11=)(y 代入上式，得23=C故所求微分方程在初始条件11=)(y 下的特解为：223121xx y +-=20、解：求函数的一阶导数，得12)(2+='x xx f 因此)1ln(2+=x y 在)3,1(-内有唯一的驻点0=x .比较下列值：10ln )3(,0)0(,2ln )1(===-f f f ,故)1ln(2+=x y 在]3,1[-上的最大值为,10ln )3(=f 最小值为0)0(=f .21、解：令,sin t x = 则.cos tdt dx =0=x 时，0=t ；23=x 时，3π=t .2453221241)cos 3cos (cos )1(cos cos )sin (cos cos sin 13033023023032323=+-=-=-=-==-⎰⎰⎰⎰ππππt t t d t t d t tdt t t dx x x22、解：积分区域如下图所示，在极坐标系下，122=+y x 的方程化为1=r ， 422=+y x 的方程化为2=r ，由图可知，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤≤≤='40 ,21 ),(πθθr r D=⎰⎰Ddxdy xy⎰⎰''D dr rd θθtan ⎰⎰⋅=4021tan πθθrdr d.2ln 43cos ln 23cos cos 232cos sin 404021240=-=-=⋅=⎰⎰πππθθθθθθd rd。
数学微积分复习题集及答案导言微积分是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等领域。
为了帮助学生复习微积分知识，本文提供了一套包括复习题和答案的微积分复习题集。
通过解答这些问题，学生可以巩固对微积分的理解，提高解题能力和应用能力。
一、求导篇1. 求函数f(x) = 3x^2 + 2x + 1的导函数f'(x)。
答案：f'(x) = 6x + 2。
2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的导函数g'(x)。
答案：g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 求函数h(x) = ln(x^2)的导函数h'(x)。
答案：h'(x) = 2/x。
二、定积分篇4. 求函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1在区间[1, 3]上的定积分∫[1,3] f(x) dx。
答案：∫[1,3] f(x) dx = 26/3。
5. 求函数g(x) = e^x的不定积分F(x)。
答案：F(x) = e^x + C，其中C为任意常数。
6. 求函数h(x) = sin(x)在区间[0, π]上的定积分∫[0,π] sin(x) dx。
答案：∫[0,π] sin(x) dx = 2。
三、微分方程篇7. 求微分方程y' = 2x的通解。
答案：y = x^2 + C，其中C为任意常数。
8. 求微分方程y' = y的通解。
答案：y = Ce^x，其中C为任意常数。
9. 求微分方程y'' + y = 0的通解。
答案：y = A*sin(x) + B*cos(x)，其中A和B为任意常数。
四、面积与体积篇10. 求曲线y = x^2和直线y = 2x的交点坐标，并求由该曲线、直线以及x轴所围成的面积。
答案：交点坐标为(0, 0)和(2, 4)，所围成的面积为8/3。
11. 求曲线y = sin(x)在区间[0, π]上绕x轴旋转一周所形成的体积。
微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分考试试题及答案一、选择题1. 下列哪个是微积分的基本定理？A. 韦达定理B. 牛顿-莱布尼兹公式C. 洛必达法则D. 极限定义答案：B. 牛顿-莱布尼兹公式2. 对于函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$，求其导数$f'(x)$。
A. $3x^2 - 2x$B. $6x - 2$C. $6x - 2x$D. $6x - 2$答案：D. $6x - 2$3. 已知函数$y = 2x^3 + 4x - 1$，求其在点$(1, 5)$处的切线斜率。
A. 6B. 8C. 10D. 12答案：B. 8二、填空题1. 函数$y = \sin x$在$x = \pi/2$处的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$1$2. 函数$y = e^x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$e^x$3. 函数$y = \ln x$的导数是\_\_\_\_\_\_。
答案：$\frac{1}{x}$三、简答题1. 请解释一下微积分中的基本概念：导数和积分的关系。
答：导数和积分是微积分的两个基本概念，导数表示函数在某一点上的变化率，而积分表示函数在某一区间上的累积效果。
导数和积分互为逆运算，导数可以用来求解函数的斜率和最值，积分可以用来求解函数的面积和定积分。
2. 为什么微积分在物理学和工程学中如此重要？答：微积分在物理学和工程学中具有重要作用，因为微积分提供了一种精确的方法来描述和分析连续变化的过程。
通过微积分，可以求解物体在运动过程中的速度、加速度、轨迹等物理量，以及工程中涉及到的曲线、曲面、体积等问题。
微积分为物理学和工程学提供了丰富的数学工具，可以更准确地描述和解决实际问题。
四、计算题1. 计算定积分$\int_{0}^{1} x^2 dx$。
答：$\frac{1}{3}$2. 求函数$f(x) = 3x^2 - 2x + 5$在区间$[1, 2]$上的定积分。
答：$\frac{19}{3}$以上就是微积分考试的试题及答案，希望对你的复习有所帮助。
可编辑修改精选全文完整版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题 （1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim 0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,0,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线xx f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知xx x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若xx x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e 2)(='')0(f 2-2.单项选择题 （1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=- 答案：C （2）设，则（ ）． A ． B ．C ．D ．答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x + B ．a x 6sin + C ．x sin - D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-= 综合练习题3（导数应用部分）1．填空题 （1）函数的单调增加区间是 ．答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间上单调增加的是（ ）．A ．x sinB ．xe C ．2x D ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。
微积分复习题一答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数是：A. 0B. 2C. 4D. 8答案：C2. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在 \( x = 1 \) 处的切线斜率是：A. -4B. -3C. 0D. 3答案：D3. 函数 \( g(x) = \sin(x) + e^x \) 的二阶导数为：A. \( \cos(x) + e^x \)B. \( -\sin(x) + e^x \)C. \( -\sin(x) - e^x \)D. \( \cos(x) - e^x \)答案：B二、填空题1. 求不定积分 \( \int x^2 \, dx \) 的结果是 \( \frac{1}{3}x^3 + C \)。
2. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的原函数是 \( F(x) = x\ln(x) - x+ C \)。
三、计算题1. 求函数 \( h(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 7 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数值。
解：首先求导数 \( h'(x) = 9x^2 - 4x + 5 \)，然后将 \( x =1 \) 代入，得到 \( h'(1) = 9(1)^2 - 4(1) + 5 = 9 - 4 + 5 = 10 \)。
2. 求曲线 \( y = x^2 + 3x + 2 \) 在 \( x = -1 \) 处的切线方程。
解：求导得 \( y' = 2x + 3 \)，代入 \( x = -1 \) 得到\( y'(-1) = -2 + 3 = 1 \)。
切点坐标为 \( (-1, 0) \)（因为\( y(-1) = (-1)^2 + 3(-1) + 2 = 0 \)）。
切线方程为 \( y - 0 = 1(x + 1) \)，即 \( y = x + 1 \)。
化为悉分部积分公式以后， 没有必要明确的引入符号 u,v ,而可以像下面那样先凑微分, 接用分部积分公式计算：xdcosx (xcosx cosxdx) xcosx sinx C第五章一元函数积分学 例1 :求不定积分 sin 3xdx 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由 f(u) sinu 和u (x) 3x 复合而成，因 一 1 ' 此，为了利用第一换兀积分公式，我们将 sin3x 变形为sin3x sin3x(3x), 1 sin 3xd(3x) 3x u ( cosu) C ----------------- 3 故有 1 ' 1 sin 3xdx si n3x(3x)dx - 3 3 1 c C cos3x C 3 u 3x例2：求不定积分 .a 2 x 2 dx(a 0) 解：为了消去根式，利用三解恒等式 sin 212cos t 1，可令 x asint(—t -)，则_2 2~2 2 2T丄a x . a a sin t a cost ，dxacosdt ， 因此，由第二换元积分法,所以积分由于x出 costx 2dxa cost acostdt a 2 cos 2 tdtdo^dt2dt 2 2a a cos2td (2t) t422a sin 2t C 42a (t sin t cost) C2asi nt( 邻边 斜边例3:求不定积分x2)，所以 si nt — , tarcsin(x/a)，利用直角三角形直接写 xsin xdx分析：如果被积函数 f(x) xs in X 中没有 可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令 x 2dxa 1 ~22arcs in (x/a) x 、. a x22x 或sinx ,那么这个积分很容易计算出来, u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去所以 x (因为u 1)解令 u x, dv sin xdx ，贝U du dx ，v cosx .是 xsin xdx udv uv vdu x( cosx) ( cosx)dx xcosx sinx C 。
熟然后直 xsin xdx(1) 换元必换限，上限对上限，下限对下限，即如果用x (t)把原来的变量换成了新例7： 求定积分1 "3x dx分析: 在应用定积分换元时应注意两点:dy例4：求微分方程2y 1的通解。
dx解：原方程为可分离变量的方程，移项分离变量得bf (x)dx F (b) F (a)，这就是牛顿-莱布尼茨公式。
a3 x2解：根据牛顿-莱布尼茨公式，因为是x 2的一个原函数，所以原式有303 1 3 3 虬 dx ，两端积分得:1 2ydx ，得 2y1-ln 2y 12x C 1从而1— In 2y 1 2Gye 2C 1e2 2x2C , e因为仍然是常数, 2把它记做c ,故原方程的通解为小2xy Ce-其中C 为任意常数2例5:求微分方程凹dx 2y x 2的通解 x解：这是一个一阶线性非齐次方程，通解公式为 p(x)dx(p(x)dxQ(x)e dx C)在本题中P(x)2,Q(x) x 2，由通解公式知 x p(x)dxy e (Q(x)ep(x)dxdx C)-dxe x (2 -dx 2e xdxC)2ln x /2 2ln xe ( x edx C)4x dx C)C)即原方程的通解为:C~2x1例6 :求定积分x 2dx分析：设函数f (x)在区间［a,b ］上连续，F(x)是在［a,b ］上的一个原函数，则x 2dxx 3f (x)dx 0f(x)dx o f(x)dx若上述极限存在, 解因为则称相应的反常积分收敛，否则称其发散. b xe xdxb0 xd(ex) (xe xb 0e 'dx)[be bb °e x d (x)]b x(be eb0)1「 e b变量t ,积分限也必须也必须换成新变量 t 的积分限，并且原来下限对应的参数做下限，上限对应的参数做上限。
（2） 求出换元后的原函数（t ）后，不必像计算不定积分那样将它还原成x 的函数，只需将新变量的上、下限带入相减即可。
t=0 ;当x=8时，t=2，因此由换元公式有0 xe xdx分析：定积分的分部积分其本质上与先用不定积分的分部积分法求原函数，再用牛顿-莱布尼茨计算定积分是一样的.因此，定积分的分部积分法的技巧和适应的函数类型与不定积分 的分部积分法完全一样.解为了去掉被积函数中的根式，令3x 即x t 3，于是dx 3t 2dt ，并且当x=0时,2= 30(t 123[°(t23tT~1)dtt)ln(1 t) 2] 3ln 3 02-dt t 2(t2 1) 1dt 0t 11亍(t 1)]例&计算定积分 解令u x , dvdx , 则dudx,v.故由分部积分公式得1 xe 0dx x( e x)10( e x )dx xd( x) e 1分析:求反常积分0xe x dx设 f (x)在[a,,b]或(）上连续，定义反常积分f (x)dx limbf (x)dx a f (x)dxlima bf (x)dxa2ycos(xy) 2cos(xy) [ sin(xy)] y y[cos(xy) sin(2xy)]例2. 设 z xy —,求 dz y 解：根据全微分公式, 先求两个偏导数所以Xbxe dx limbxe x dx lim (1 叮)1 lim 叮 1 b e b e 这里.极限limb1是—型未定式, 由洛必达法则易知其极限为0分析：设函数 f(x),g(x)在区间[a,b]上连续，并且 f(x) g(x)(x [a,b])，则由曲线y f (x)与 y g(x)以及bx a, x b 所围成的图形面积A 为 A [ f (x)ag(x)]dx 解联立两抛物线方程2x 2，得交点O(0,0), B(1,1),并且由图形可知当yx [0,1]时均有 f (x) x x* 2 *g(x)，则所求图形面积为A 0(代Qdx1 3-.3x]第六章多元函数微积分 1. 基本要求(1)(2)(3)例1.解: 把y 看成常数，对x 求导.x 0,x1所围阴影图形的面积例10 计算由抛物线z z 1 x所以 dz 一dx 一dy (y —)dx (x -^2)dy-x y y y例3.计算二重积分 xyd ，其中D 是由直线y 1, x D 解 区域D 如图所示，可以将它看成一个 x -型区域， { x,y |1 x 2,1 y x}.所以 xyd D 2 x 1 dx 1 xydy 2及y x 所围成的闭区域.21 1x 2yy xdx y 1 1 x dx 2 例4.计算二重积分 xyd ，其中D 是有抛物线y 2 D 区域. 解: 如图，区域D 可以看成是 y —型区域, 它表示为 { x,y | 2 1 y 2, y 2}, 所以 xyd y 2 y 2xydx 2dy 458 y =?x 及y x 2所围成的有界闭1、 xd(e x) ( ).(A ) xe xc / 、 xx(B ) xe ec(C )xexcx(D) xee2、若 f (x)是g(x)的原函数，则( ).(A ) f (x)dx g(x) C (B ) g(x)dx f(x) C(C ) g (x)dx f(x) C (D ) f (x)dxg(x) C3、若 f (x)dx 2 2xx e c ,贝U f(x)( ).(A ) 2xe 2x2 2x(B ) 2x e (C ) xe 2x(D )2xe 2x (1 x)、选择题 Dy 2 xc4、 si n2xdx ()1(A ) cos2x c ( B ) sin2 d “ 2 5、 [ (arctant) dt](dx 0F (0)X 2sin t 2dt 03x2 210、设 f(2) 4, 0 f (x)dx 1,则 o xf (x)dx11、 ： x 1dx ____________________ .212、 xy y ycosx 0 的阶数是 _______________________________ .13、 y y xy 0的阶数是 _______________________ . 四、求不定积分1—(1)2x x 4 sec x dx ( 2) 4 tan 2 xdx1(A ) 2arctant- 1 t 2 二、填空： (B) (arctan x)22(C) (arctan x)2(D) (arcta nt)1、 已知f (x)的一个原函数为x ，则 f(x)= 2、 若f (X )存在且连续，则［ df(x)] 3、 若 f (x)dx F (x) c ，则 e x f (e x )dx = 4、 (1 x)2dxI x5、 cscx(cscx ctgx)dx6、 cos2x dx =cosx sin x7、 e cosx si nxdx =已知f (x)在( )上连续，且f(0) 2，且设F(x)x 2sinxf(t )dt ，则x c( C ) cos 2 x c(D )-cos2x c29、limx 00 03x 2 1」 r 厂dx x 2 1 x 2 x x 2 2dx 3e ln x , dx 1 x 02sin 'xcosxdx 81 . 1 3x dx、4 x 2dx 0 x 2 arcta nxdx e x s in xdx 1dx 1 5 4x 求由曲线 求由曲线 (4)(6)(8)(10)(12)(14) (16)(18)(20)x 2，直线 x 2与直线x, ysin 2x 5 dx. 2 arcs inx . ----- dx J x 22x 2 — dxx 2x 3(x 2dx3a 竽2xcosxdxx 2e x dx 02x 2 3x 1 dx2In x dx2x 所围成的图形的面积•arctan —，求-，x x x ln (xy),求 dz . xe xy ,求dz .ydxdy ， 其中D 是由直线 (x y x)dxdy ,其中 Dx, y由直线yxy 2dxdy 其中D 由抛物线y 解微分方程: 0围成的平面图形面积•x 1, 2,y2x和直线ydy .cosx ysin x dx(1 y)dx (1 x)dy 0.解微分方程： 某厂生产某种商品q 千件的边际成本为 C （q ） 9800 （万元）.求（1）产量为多少时能使平均成本最低?y 0及y 1及所围成的平面区域. x 与y 2x 所围成.q 36 （万元/千件），其固定成本是2 ）最低平均成本是多少?(3)(5)(7)(9)(11)(13) (15) (17)(19)(21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29)(30)(31) (32)(33)已知某产品的边际成本为C(q) 4q(万元/百台)，边际收入为R(q) 60 12q (万元/百台)。
