图论期末复习题(17年)

**学院2016—2017学年第二学期期末考试2014级本科数学与应用数学专业《图论》试卷A（本试卷满分100分，考试时间110分钟）一、填空题（每小题2分，共20分）1.图G的两个子图G1，G2的环和表示为_______．2.图G中的一圈，若它通过G中的每一条边(或弧)恰好一次，则称该圈为____．3.图G的两个不同的生成的树T1，T2的顶点个数_______．（填相同或不相同）4．“K是欧拉图也是哈密顿图”这句话是_______。

(填对或错)3,35.图G的任意顶点的关联集都等于其余各顶点关联集的____．6.(p,q)图G的基本圈有_________个．7.连通图G的边连通度定义为．8.设M是G的一个匹配，如果G的每一个顶点都是M-饱和点，则M为______．9.使图G为n-着色的最小数值即为G的_________．10.极大可平面图的每一个面的次数都是_________．二、判断题（每小题1分，共10分）1.同构的图保持邻接关系．2.最小生成树即G的所有生成树中权值最小的生成树．K是欧拉图．3.54.设G是无向连通图，则G是一笔画 G中没有奇数度顶点．5.图的秩等于图的完全关联矩阵的秩，而不等于其关联矩阵的秩．6.图的关联矩阵是对称矩阵．7.图的边连通度大于最小顶点的度数．8.一个非完全连通图的连通度就是使这个图成为非连通图所需要去掉的最小顶点数．9.完美匹配必定是最大匹配，但反之不然．K的子图．10．一个图是平面图当且仅当它没有收缩到K5或3,3三、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 一个图的所有顶点的度数之和不可能是( )A. 5B. 6C. 8D. 102. 如果连通图G 的顶点个数为8，则其生成树中边的个数为( )A. 7B. 6C. 9D. 83. 在如下各图中（ ）欧拉图。

4．如下右图所示，以下说法正确的是 ( )．A ．{a, e }是点割集B ．e 是割点C ．{b , e }是点割集D ．{d }是点割集5. 如果连通图G 的顶点个数为7，边数为8，则其向量空间的维数为( )A. 9B. 8C. 7D. 16．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡010*******000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．3B ．4C ．5D ．67.如果连通图G 的点连通度为2，边连通度为3，图的最小顶点的度数可能为（ ）A. 0B. 1C. 3 D ．28.G 的一个匹配M 中的顶点（ ）M 饱和顶点A. 都不是B. 只有一个是C. 有些是，有些不是D.全部是9.如果连通图G 的最大顶点的度数3，则图G 的色数不可能是（ ）A.2B. 3C. 4D. 510.如果一个图含同胚于（ ）的子图，它可能是可平面图A.5KB. 3,3KC. 5阶完全图D. 3K四、解答题（每小题10分，共40分）1.下图中各图是否可以一笔画出？请写明理由。

目录第一章图的基本概念 (1)二路和连通性 (3)第二章树 (3)第三章图的连通度 (4)第四章欧拉图与哈密尔顿图 (5)一，欧拉图 (5)二．哈密尔顿图 (6)第五章匹配与因子分解 (9)一．匹配 (9)二．偶图的覆盖于匹配 (10)三．因子分解 (11)第六章平面图 (14)二．对偶图 (16)三．平面图的判定 (17)四．平面性算法 (20)第七章图的着色 (24)一．边着色 (24)二．顶点着色 (25)第九章有向图 (30)二有向树 (30)第一章图的基本概念1.点集与边集均为有限集合的图称为有限图。

2.只有一个顶点而无边的图称为平凡图。

3.边集为空的图称为空图。

4.既没有环也没有重边的图称为简单图。

5.其他所有的图都称为复合图。

6.具有二分类（X, Y）的偶图（或二部图）：是指该图的点集可以分解为两个（非空）子集X 和Y ，使得每条边的一个端点在X 中，另一个端点在Y 中。

7.完全偶图：是指具有二分类（X, Y）的简单偶图，其中X的每个顶点与Y 的每个顶点相连，若|X|=m，|Y|=n，则这样的偶图记为Km,n8. 定理1 若n 阶图G 是自补的（即），则n = 0, 1（mod 4）9. 图G 的顶点的最小度。

10. 图G 的顶点的最大度。

11. k-正则图: 每个点的度均为 k 的简单图。

例如,完全图和完全偶图Kn,n 均是正则图。

12. 推论1 任意图中，奇点的个数为偶数。

13.14. 频序列：定理4 一个简单图G 的n 个点的度数不能互不相同。

15. 定理5 一个n 阶图G 相和它的补图有相同的频序列。

16.17.18. 对称差：G1△G2 = (G1∪G2) - (G1∩G2) = (G1-G2)∪(G2-G1)19. 定义： 联图 在不相交的G1和G2的并图G1+G2中，把G1的每个顶点和G2的每个顶点连接起来所得到的图称为G1和G2的联图，记为G1∨G220. 积图：积图 设G1= (V1, E1)，G2 = (V2, E2)，对点集V = V1×V2中的任意两个点u =(u1,u2)和v = (v1,v2)，当(u1 = v1和 u2 adj v2) 或 (u2 = v2 和 u1 adj v1) 时就把 u 和 v 连接起来所得到的图G 称为G1和G2积图。

离散数学图论部分期末复习辅导一、单项选择题 1．设图G ＝<V , E >，v V ，则下列结论成立的是 ( ) ．A ．deg(v )=2EB ．deg(v )=EC ．deg()2||v Vv E ∈=∑ D ．deg()||v Vv E ∈=∑解 根据握手定理（图中所有结点的度数之和等于边数的两倍）知，答案C 成立。

答 C2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110， 则G 的边数为( )．A ．6B ．5C ．4D ．3解 由邻接矩阵的定义知，无向图的邻接矩阵是对称的．即当结点v i 与v j 相邻时，结点v j 与v i 也相邻，所以连接结点v i 与v j 的一条边在邻接矩阵的第i 行第j 列处和第j 行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有10个1，故有102=5条边。

答 B3．已知无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0111110101110001000111010，则G 有（ ）．A ．5点，8边B ．6点，7边C ．6点，8边D ．5点，7边解 由邻接矩阵的定义知，矩阵是5阶方阵，所以图G 有5个结点，矩阵元素有14个1，14÷2=7，图G 有7条边。

答 D4．如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, e )}是割边 B ．{(a, e )}是边割集C ．{(a, e ) ,(b, c )}是边割集D ．{(d, e)}是边割集定义3.2.9 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有边集E 1ÌE ，使图G 删除了E 1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称E 1是G 的一个边割集．若边割集为单元集{e }，则称边e 为割边（或桥）．解 割边首先是一条边，因为答案A 中的是边集，不可能是割边，因此答案A 是错误的．删除答案B 或C 中的边后，得到的图是还是连通图，因此答案B 、C 也是错误的．在图一中，删去(d , e )边，图就不连通了，所以答案D 正确． 答 D注：如果该题只给出图的结点和边，没有图示，大家也应该会做．如：若图G =<V , E >，其中V ={ a , b , c , d , e }，E ={ (a , b ), (a , c ) , (a , e ) , (b , c ) , (b , e ) , (c , e ) , (e , d )}，则该图中的割边是什么？5．图G 如图二所示，以下说法正确的是 ( )． A ．a 是割点 B ．{b, c}是点割集 C ．{b , d }是点割集 D ．{c }是点割集定义3.2.7 设无向图G =<V ,E >为连通图，若有点集V 1ÌV ，使图G 删除了V 1的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V 1是G 的一个点割集．若点割集为单元集{v }，则称结点v 为割点．οοο ο a bc d图一 οe ο οο a b c d图二ο解 在图二中，删去结点a 或删去结点c 或删去结点b 和d 图还是连通的，所以答案A 、C 、D 是错误的．在图二中删除结点b 和c ，得到的子图是不连通图，而只删除结点b 或结点c ，得到的子图仍然是连通的，由定义可以知道，{b, c }是点割集．所以答案B 是正确的． 答 B6．图G 如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A ．{(a, d )}是割边 B ．{(a, d )}是边割集C ．{(a, d) ,(b, d)}是边割集D ．{(b , d )}是边割集解 割边首先是一条边，{(a, d )}是边集，不可能是割边．在图三中，删除答案B 或D 中的边后，得到的图是还是连通图．因此答案A 、B 、D 是错误的．在图三中，删去(a,d )边和(b, d )边，图就不连通了，而只是删除(a, d )边或(b, d )边，图还是连通的，所以答案C 正确．7．设有向图（a ）、（b ）、（c ）与（d ）如图四所示，则下列结论成立的是( )．图四A ．（a ）是强连通的B ．（b ）是强连通的C ．（c ）是强连通的D ．（d ）是强连通的复习：定义3.2.5 在简单有向图中，若在任何结点偶对中，至少从一个结点到另一个结点可达的，则称图G 是单向（侧）连通的；若在任何结点偶对中，两结点对互相可达，则称图G 是强连通的；若图G 的底图，即在图G 中略去边的方向，得到的无向图是连通的，则称图G 是弱连ο ο ο a bcd图三ο通的．显然，强连通的一定是单向连通和弱连通的，单向连通的一定是弱连通，但其逆均不真．定理3.2.1一个有向图是强连通的，当且仅当G中有一个回路，其至少包含每个结点一次．单侧连通图判别法：若有向图G中存在一条经过每个结点至少一次的路，则G是单侧连通的。

图论复习题（二）图论复习题一、选择题1．设图G ＝<V , E >，v ∈V ，则下列结论成立的是 ( C ) ． A ．deg(v )=2∣E ∣ B ． deg(v )=∣E ∣ C ．E v Vv 2)deg(=∑∈ [PPT 23] D ．Ev Vv =∑∈)deg(定理1 图G=（V ，E ）中，所有点的次之和为边数的两倍 2．设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( B )．A ．6B ．5C ．4D ．33、 设完全图K n 有n 个结点(n ≥2)，m 条边，当（ C ）时，K n 中存在欧拉回路．A ．m 为奇数B ．n 为偶数C ．n 为奇数D ．m 为偶数解释：K n 每个结点的度都为n －1，所以若存在欧拉回路则n －1必为偶数。

n 必为奇数。

4．欧拉回路是（ B ）A. 路径B. 简单回路[PPT 40]C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路5．哈密尔顿回路是（ C ）A. 路径B. 简单回路C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路[PPT 40]：哈密尔顿回路要求走遍所有的点，即是基本回路的点不重复，也可以是简单回路的边不重复。

6．设G 是简单有向图，可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是（ C ） A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边7．下列哪一种图不一定是树（C ）。

A.无简单回路的连通图B. 有n 个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8．在有n 个结点的连通图中，其边数（B ）A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n 条D.至少有n 条9．下列图为树的是（C ）。

A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a GB 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a GC 、>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a GD 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 10、下面的图7-22是（C ）。

图论及其应用总复习第1章图的基本概念•§1.1 图论发展史•§1.2 图的定义•§1.3 顶点的度•§1.4 子图与图的运算•§1.5一些特殊的图•§1.6 图的矩阵表示•§1.7 有向图1、图的定义图--图G=<V(G)，E(G)，ψ)>是有序三元组，其中V(G)是一个非空有限集合，E(G)与是V(G)不相交的有限集合，ψ)使E(G)中每一个元素对应于V(G)中的一个无序元素对.顶点--V(G)中的元素称为G的顶点，p(G)=|V(G)|称为G的点数.边--E(G)中的元素称为G的边，q(G)=|E(G)|称为G的边数.环--两个端点重合为一个顶点的边。

重边（平行边)--关联于同一对顶点的若干条边。

关联--如果ψ)e =uv ，则称边e 连接顶点u 和v ，u 和v 是e 的端点，u (或v )与e 关联。

相邻--点的相邻：两点间有边边的相邻：两条边有公共端点简单图--不含环和重边的图.有限图--一个图的顶点集和边集都是有限集的图.平凡图--只有一个顶点所构成的图称为平凡图.2、图的同构3、顶点的度最大度Δ(G)=max{d(v)|v∈V}最小度δ(G)=min{d(v)|v∈V}孤立顶点--度为0的顶点。

k-正则图--如果一个图中每个顶点的度是某一个固定整数k，则称该图是k-正则图。

握手定理顶点的度序列4、子图完全图--若图G 中的每一对不同顶点之间恰有一条边连接，则称图G 为完全图，记作K ;.4K 5K 3K 2K 1K 5、特殊图二分图−−G=(V>,V@;E)通常写出G=(X,Y;E),即它的点集可以分解为两个(非空)子集X和Y，使得每条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中。

完全二分图--是指具有二分类（X,Y）的简单二部图，其中X 的每个顶点与Y的每个顶点相连，若|X|=p，|Y|=q，则这样的偶图记为K p,q.关联矩阵设图G=(V,E),V=v>,v@,⋯,v;,E=e>,e@,⋯,e G，则称B(G)=(b JK);×G为G的关联矩阵，其中b JK=0v J与e K不关联1v J与e K关联1次2v J与e K关联2次(即e K是以v J为端点的环)6、矩阵表示邻接矩阵设图G=(V,E),V=v>,v@,⋯,v;,用a JK表示G中顶点v J与v K之间的边数，则称M(G)=(a JK);×;为G的邻接矩阵。

12017年图论课程练习题一．填空题1.图1中顶点a 到顶点b 的距离d (a ,b )= 。

ab9 图112.已知图G 的邻接矩阵0110110100110100010110010A=，则G 中长度为2的途径总条数为 。

3.图2中最小生成树T 的权值W (T )= 。

4.图3的最优欧拉环游的权值为 。

12 图 22图35.树叶带权分别为1,2,4,5,6,8的最优二元树权值为 。

二．单项选择1．关于图的度序列，下列说法正确的是( )(A) 对任意一个非负整数序列来说，它都是某图的度序列；(B) 若非负整数序列12(,,,)n d d d π= 满足1ni i d =∑为偶数，则它一定是图序列；(C) 若图G 度弱于图H ，则图G 的边数小于等于图H 的边数；(D) 如果图G 的顶点总度数大于或等于图H 的顶点总度数，则图G 度优 于图H 。

2．关于图的割点与割边，下列说法正确的是（ ） (A) 有割边的图一定有割点； (B) 有割点的图一定有割边； (C) 有割边的简单图一定有割点； (D) 割边不在图的任一圈中。

3.设()k G ，()G λ，()G δ分别表示图G 的点连通度，边连通度和最小度。

下面说法错误的是( )3(A) 存在图G ，使得()k G =()G δ=()G λ； (B) 存在图G ，使得()()()k G G G λδ<<；(C) 设G 是n 阶简单图，若()2n G δ≥，则G 连通，且()()G G λδ=；(D) 图G 是k 连通的，则G 的连通度为k 。

4.关于哈密尔顿图，下列命题错误的是( ) (A) 彼得森图是非哈密尔顿图；(B) 若图G 的闭包是哈密尔顿图，则其闭包一定是完全图； (C) 若图G 的阶数至少为3且闭包是完全图，则图G 是哈密尔顿图； (D) 设G 是三阶以上简单图，若G 中任意两个不邻接点u 与v ，满足()()d u d v n +≥，则G 是哈密尔顿图。

图论测试题及答案一、选择题1. 在图论中，如果一个图的每个顶点的度数都是偶数，那么这个图一定存在欧拉路径吗？A. 是的B. 不一定C. 没有欧拉路径D. 无法确定答案：B2. 图论中的哈密顿路径是指什么？A. 经过图中所有顶点的路径B. 经过图中所有顶点的回路C. 经过图中某些顶点的路径D. 经过图中某些顶点的回路答案：A3. 如果一个图是完全图，那么它的边数是多少？A. 顶点数的一半B. 顶点数的平方C. 顶点数的两倍D. 顶点数减一答案：B二、填空题4. 在无向图中，如果存在一条路径，使得每个顶点只被经过一次，并且起点和终点相同，这样的路径被称为________。

答案：欧拉回路5. 图论中的二分图是指图中的顶点可以被分成两个不相交的集合，使得同一个集合内的顶点之间没有边，而不同集合之间的顶点之间有边，这种图也被称为________。

答案：二部图三、简答题6. 请简述图论中的最短路径问题，并给出解决该问题的一种算法。

答案：最短路径问题是在图中找到两个顶点之间的最短路径的问题。

解决该问题的一种算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra's algorithm），该算法通过维护一个顶点集合来记录已经找到最短路径的顶点，并迭代更新距离，直到找到从起点到所有顶点的最短路径。

7. 描述图论中的图着色问题，并说明其在实际生活中的应用。

答案：图着色问题是将图的顶点着色，使得任何两个相邻的顶点颜色不同。

在实际生活中，图着色问题可以应用于时间表的安排、频率分配、电路设计等领域，其中每个顶点代表一个任务或频道，而颜色则代表不同的时间段或频率。

结束语：以上是图论测试题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握图论的基本概念和算法。

图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。

答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。

答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。

答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。

答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。

答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。

答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。

2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。

四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。

答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。

《图论》期末考试模拟题（答案） ⼀、选择题 1、给定⽆向图如图所⽰，下⾯给出的顶点集⼦集中，是点割集的为（A,B,C,D）。

A. {b, d} B. {d} C. {a, c} D. {g, e} bf 内容需要下载⽂档才能查看 2、设V＝{a,b,c,d},与V能构成强连通图的边集E＝（ A ）。

A. {,,,,} B. {,,,,} C. {,,,,} {,,,,} 3、⼀个连通的⽆向图G，如果它的所有结点的度数都是偶数，那么它具有⼀条（ B ）。

A. 哈密尔顿回路 B. 欧拉回路 C. 哈密尔顿通路 D. 欧拉通路 4、如图所⽰各图，其中存在哈密顿回路的图是（ A, C ）。

内容需要下载⽂档才能查看 第 1 页共 5 页 图论期末考试题⽬参考 《图论》 5. 下图中既是欧拉图，⼜是哈密尔顿图的有（D）。

5、设G是有5个顶点的完全图，则G（ B ）。

D. ⽆哈密尔顿路 E. 可以⼀笔画出 F. 不能⼀笔画出 G. 是平⾯图 6、设G是连通简单平⾯图，G中有11个顶点5个⾯，则G中的边是（ D ）。

A. 10 B. 12 C. 16 D. 14 ⼆、填空题 1、完全图K8具有（ 28 ）条边。

2、图G如图所⽰， ab fc 那么图G的割点是（ a, f ）。

e d 3、⽆向图G为欧拉图，当且仅当G是连通的，且G中⽆（奇数度）结点。

第 2 页共 5 页 图论期末考试题⽬参考 《图论》 4、连通有向图D含有欧拉回路的充分必要条件是（ D中每个结点的⼊度＝出度）。

5、 n个结点、m条边的⽆向连通图是树当且仅当m=__（3）___。

(1) n+1 (2) n (3) n-1 (4)2n-1 三、 1、设图G=(P,E) 中有12条边，6个度数为3的顶点，其余顶点的度数均⼩于3，求G⾄少有多少个顶点。

解答：设G有n个顶点，由定理1， ∑d i=1nG(vi)=2m=24 (|E|=m) 由题设 24<3×6+3(n?6) ∴ 3n>24 即 n>8 因此，G中⾄少有9个顶点。