下载文档原格式
第2讲韦达定理命题点一：利用判别式求值例1若关于x的方程ax2＋2(a＋2)x＋a＝0有实数解，则实数a的取值范围是a≥－1 .例2(1)如果关于x的一元二次方程kx2－2k＋1x＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( D )A．k＜12B．k＜12且k≠0 C．－12≤k＜12D．－12≤k＜12且k≠0(2)若关于x的一元二次方程12x2－2mx－4m＋1＝0有两个相等的实数根，则(m－2)2－2m(m－1)的值为72．命题点二：巧用韦达定理妙解代数式例3若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为 0 .例4(1)已知α，β是方程x2－x－1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．(2)若关于x的一元二次方程2x2－2x＋3m－1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2>x1＋x2－4，则实数m的取值范围是( D )A．m>－53B．m≤12C．m＜－53D．－53＜m≤12命题点三：根据根的范围求值例5已知关于x的方程ax2＋(a＋1)x＋6a＝0有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜1＜x2)，则实数a的取值范围是( C )A．－1＜a＜0 B．a＜－1 C．－18＜a＜0 D．a＜－18例6已知关于x的方程x2＋2px＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p的取值范围是p＜－1 ．命题点四：解绝对值方程例7设方程||x2＋ax＝4只有3个不相等的实数根，求a的值和相应的3个根．解：方程等价于如下两个方程：x2＋ax－4＝0，①x2＋ax＋4＝0. ②∵原方程只有3个不相等的实根，又∵两个方程不可能有公共根，∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a2＋16≥0，Δ2＝a2－16≥0.由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4. ∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22； ∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.例8若关于x 的方程x 2－(m ＋5)||x ＋4＝m 恰好有3个实数解，则实数m ＝ 4 . 命题点五：构造方程求值例9已知m 2－2m －1＝0，n 2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m 2＋2 018m ＋9＝0，9n 2＋2 018n ＋5＝0，则m n值为( B )A.59B.95C.6703 D ．－402 命题点六：三角形边的问题例11如果方程(x －1)(x 2－2x ＋m )＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C )A ．0≤m ≤1B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34≤m ≤1例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x 2－12x ＋m ＝0的两个根，则m 的取值范围是112<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x 2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx 2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1. 当k ≠0时，所给方程为二次方程． 设两个整数根为x 1和x 2，则x 1＋x 2＝－k ＋1k ＝－1－1k，① x 1·x 2＝k －1k ＝1－1k.② 由①－②，得x 1＋x 2－x 1·x 2＝－2，整理，得(x 1－1)(x 2－1)＝3.∵方程的根都是整数，∴(x 1－1)(x 2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．有x 1－1＝1，x 2－1＝3或x 1－1＝－1，x 2－1＝－3.故x 1＋x 2＝6或x 1＋x 2＝－2，即－1－1k ＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k (k －1)＝－3k 2＋6k ＋1，当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17，1.课后练习1．已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋m 4＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，若1x 1＋1x 2＝4m ，则m 的值为( A )A ．2B ．－1C ．2或－1D ．不存在2．已知关于x 的方程x 2－(a 2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a 的值是( B )A ．5B ．－3C ．5或－3D ．13．已知四个互不相等的正实数a ，b ，c ，d 满足(a 2012－c 2012)(a 2012－d 2012)＝2 012，(b 2012－c 2012)(b 2012－d 2012)＝2 012，则(ab )2012－(cd )2012的值为( A )A ．－2 012B ．－2 011C ．2 012D ．2 011 4．若实数a ，b 满足12a －ab ＋b 2＋2＝0，则实数a 的取值范围是( C )A ．a ≤－2B ．a ≥4C ．a ≤－2或a ≥4D ．－2≤a ≤45．已知关于x 的方程x 2＋(k －2)x ＋5－k ＝0有两个大于2的实数根，则k 的取值范围是( A )A ．－5＜k ≤－4B ．k >－5C ．k ≤－4D ．－4≤k ＜－26．关于x 的一元二次方程x 2－2kx ＋k 2－k ＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝4，则x 21－x 1x 2＋x 22的值为 4 ．7．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2－m ＝3，n 2－n ＝3，那么代数式2n 2－mn ＋2m ＋2 015＝ 2026 .8．设a ，b 是一元二次方程x 2－x －1＝0的两个根，则3a 3＋4b ＋2a2的值为 11 ．9．若方程||x 2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0或a >254． 10．若p ＋q ＝198，则方程x 2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．11．关于x 的一元二次方程x 2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1，x 2，且x 21＋x 22＝7，求下列代数式的值：(1)(x 1－x 2)2. (2)x 2x 1＋2＋x 1x 2.解：由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝m ，x 1·x 2＝2m －1.∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝m 2－2×(2m －1)＝7，∴m 2－4m －5＝0. ∴m 1＝5，m 2＝－1.当m 1＝5时，Δ＝m 2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)； 当m 2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0. ∴m ＝－1.∴x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝－3.∴(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝13，x 2x 1＋2＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2x 1·x 2＝－13.12．已知方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝－p ，x 1x 2＝q .请根据以上结论，解决下列问题：(1)已知a ，b 满足a 2－15a －5＝0，b 2－15b －5＝0，求a b ＋ba的值．(2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值． 解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x 2－15x －5＝0的两个根， ∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.∴原式＝a 2＋b 2ab ＝(a ＋b )2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5＝－47.当a ＝b 时，原式＝2.综上所述，a b ＋b a的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x 2＋cx ＋16c＝0的两个实数根，∴Δ＝c 2－4×16c≥0，c 3≥64，即c ≥4.故正数c 的最小值为4.13．(自主招生模拟题)已知x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)为关于x的方程x3－3x2＋(a＋2)x－a＝0的三个实数根，则4x1－x21＋x22＋x23的值为( A )A．5 B．6 C．7 D.814．(自主招生模拟题)设a，b，c，d为四个不同的实数，若a，b为方程x2－10cx－11d＝0的根，c，d为方程x2－10ax－11b＝0的根，则a＋b＋c＋d＝ 1210 ．15．(自主招生真题)设x为正数，求分式x(x＋1)2的最大值．解：设k＝x(x＋1)2.整理，得kx2＋(2k－1)x＋k＝0.由Δ＝(2k－1)2－4k2≥0，得k≤14，即分式x(x＋1)2的最大值为14.。
浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》说课稿一. 教材分析浙教版数学八年级下册2.4《一元二次方程根与系数的关系》这一节的内容，是在学生已经掌握了求解一元二次方程的多种方法，以及能够熟练运用因式分解法解一元二次方程的基础上进行教学的。
通过这一节的内容，让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，进一步加深学生对一元二次方程的理解，为后续学习一元二次方程的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习这一节的内容时，已经有了一定的数学基础，能够理解和运用一元二次方程的基本概念和求解方法。
但是，对于一元二次方程根与系数之间的关系，可能还比较陌生，需要通过实例分析和练习来逐步理解和掌握。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握一元二次方程根与系数之间的关系，能够运用这一关系来求解一元二次方程。
2.过程与方法目标：通过实例分析和练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程根与系数之间的关系。
2.教学难点：如何运用根与系数之间的关系来求解一元二次方程。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过实例分析和练习来探索和发现一元二次方程根与系数之间的关系。
2.教学手段：利用多媒体课件，进行图示和动画演示，帮助学生直观地理解一元二次方程根与系数之间的关系。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个具体的一元二次方程实例，引导学生思考如何求解这个方程。
2.探索规律：让学生分组讨论，尝试找出一元二次方程根与系数之间的关系。
3.讲解演示：根据学生的探索结果，进行讲解和演示，明确一元二次方程根与系数之间的关系。
4.练习巩固：让学生进行一些相关的练习题，巩固对一元二次方程根与系数之间关系的理解和掌握。
5.总结提升：对本节的内容进行总结，引导学生思考如何运用一元二次方程根与系数之间的关系来解决实际问题。
浙教版数学八年级下册《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》教案一. 教材分析《2.4 一元二次方程的根与系数的关系(选学)》是浙教版数学八年级下册的一部分，本节课的主要内容是让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。
本节课的内容是学生学习了二次方程的解法之后进行的进一步研究，对于学生理解二次方程的性质，提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了二次方程的解法，对于二次方程的基本概念有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的根与系数之间的关系，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生了解一元二次方程的根与系数之间的关系，并能够运用这种关系解决一些实际问题。
2.过程与方法：通过观察、思考、探究，培养学生发现规律、总结规律的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探究精神。
四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.教学难点：发现并理解根与系数之间的关系。
五. 教学方法1.引导发现法：通过引导学生观察、思考、探究，发现并理解根与系数之间的关系。
2.案例分析法：通过分析具体的例子，让学生理解并掌握根与系数之间的关系。
六. 教学准备1.教具准备：黑板、粉笔、多媒体课件。
2.学具准备：笔记本、尺子、圆规。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习二次方程的解法，引导学生思考：二次方程的解与系数之间有什么关系？从而引出一元二次方程的根与系数之间的关系。
2.呈现（10分钟）用多媒体课件呈现几个一元二次方程的例子，让学生观察并思考：这些方程的根与系数之间有什么关系？引导学生发现并总结出一元二次方程的根与系数之间的关系。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个例子，运用刚才总结出的规律，求出方程的根与系数。
一元二次方程根与系数的关系—知识讲解（提高）
【学习目标】
1. 理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2. 能应用一元二次方程的根与系数的关系解决以下问题：已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程.
【要点梳理】
要点一、一元二次方程的根与系数的关系
1.一元二次方程的根与系数的关系
如果一元二次方程)0(02
≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，， 那么a b x x -
=+21，a
c x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.
2.一元二次方程的根与系数的关系的应用
(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；
(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：
①222
121212()2x x x x x x +=+-；
②
12
1212
11x x x x x x ++=； ③22
12121212()x x x x x x x x +=+；
④22
21121212x x x x x x x x ++=
2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22
121212()()4x x x x x x -=+-；
⑥12()()x k x k ++2
1212()x x k x x k =+++；
⑦12||x x -==
⑧22
212
121222222
121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；
⑨12x x -==
⑩12||||x x +===
(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数
为根的一元二次方程是
.
(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；
（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则 ①当△≥0且120x x >时，两根同号．
当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数； 当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数． ②当△＞0且120x x <时，两根异号．
当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；
当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．
要点诠释：
（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；
（2）若有理系数一元二次方程有一根a +a a ，b 为有理数）．
【典型例题】
类型一、一元二次方程的根与系数的关系的应用（1）
1. 【思路点拨】
（1）首先将原方程化为一般式，由关于x 的一元二次方程x 2=2（1-m ）x-m 2
有两个实数根，则可知△≥0，解不等式即可求得m 的取值范围；
【答案与解析】
【总结升华】此题考查了根与系数的关系，以及判别式的应用．此题比较简单，注意将方程化为一般形式．
举一反三：
【变式】（2015春•杭州校级月考）已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根．
（1）当m=0时，求方程的根；
（2）若（x1﹣2）（x2﹣2）=41，求m的值；
（3）已知等腰三角形ABC的一边长为9，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．【答案】解：（1）当m=0时，方程即为x2﹣4x=0，
解得x1=0，x2=4；
（2）∵x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+2）x+m2=0的两个实数根，
∴x1+x2=2（m+2），x1x2=m2，
∴（x1﹣2）（x2﹣2）=x1x2﹣2（x1+x2）+4=m2﹣4（m+2）+4=m2﹣4m﹣4=41，
∴m2﹣4m﹣45=0，
解得m1=9，m2=﹣5．
当m1=9时，方程为x2﹣22x+81=0，△=（﹣22）2﹣4×81=160＞0，符合题意；
当m1=﹣5时，方程为x2+6x+25=0，△=62﹣4×25=﹣64＜0，不符合题意；
故m的值为9；
（3）①当9为底边时，此时方程x2﹣2（m+2）x+m2=0有两个相等的实数根，
∴△=4（m+2）2﹣4m2=0，
解得：m=﹣1，
∴方程变为x2﹣2x+1=0，
解得：x1=x2=1，
∵1+1＜9，
∴不能构成三角形；
②当9为腰时，设x1=9，
代入方程得：81﹣18（m+2）+m2=0，
解得：m=15或3，
当m=15时方程变为x2﹣34x+225=0，
解得：x=9或25，
∵9+9＜25，不能组成三角形；
当m=3时方程变为x2﹣10x+9=0，
解得：x=1或9，
此时三角形的周长为
9+9+1=19．
2.（2015•肇庆二模）设x 1、x 2是方程2x 2
+4x ﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值：
（1）（x 1﹣x 2）2
；（2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫
++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭．
【思路点拨】欲求（x 1﹣x 2）2
与的值，先把此代数式变形为两根之积或两根
之和的形式，代入数值计算即可．
【答案与解析】解：根据根与系数的关系可得：x 1+x 2=﹣2，x 1•x 2=．
（1）（x 1﹣x 2）
2
=x 12+x 22
﹣2x 1x 2
=x 12+x 22
+2x 1x 2﹣4x 1x 2
=（x 1+x 2）2
﹣4x 1x 2
=
=10． （2）122111x x x x ⎛⎫⎛⎫
+
+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
=x 1x 2+1+1+
=
=．
【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
举一反三：
【：388522 根与系数的关系---例3】
【变式】不解方程，求方程2
2310x x +-=的两个根的（1）平方和；（2）倒数和．
【答案】（1）
13
4
； （2）
3．
类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用（2）
3.（2016秋•灌云县期末）已知关于x 的方程x 2
+ax ﹣2=0． （1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的一个根为2，求a 的值及该方程的另一根．
【思路点拨】（1）根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=a 2
+8≥8，由此即可证出不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将x=2代入原方程求出a 值，设方程的另一个根为m ，根据根与系数的关系即可得出2m=﹣2，解之即可得出结论．
【答案与解析】解：（1）在方程x 2
+ax ﹣2=0中，△=a 2
﹣4×1×（﹣2）=a 2
+8，
∵a 2
+8≥8，
∴不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）将x=2代入原方程，4+2a ﹣2=0，
解得：a=﹣1．
设方程的另一个根为m ， 由根与系数的关系得：2m=﹣2， 解得：m=﹣1．
∴a 的值为﹣1，方程的另一根为﹣1．
【总结升华】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握“当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根”是解题的关键．
4. 求作一个一元二次方程，使它的两根分别是方程2
5230x x +-=各根的负倒数． 【答案与解析】
设方程2
5230x x +-=的两根分别为x 1、x 2，由一元二次方程根与系数的关系， 得1225
x x +=-
，1235
x x =-．
设所求方程为2
0y py q ++=，它的两根为y 1、y 2， 由一元二次方程根与系数的关系得111y x =-
，22
1y x =-， 从而12121212122
11112
5()335
x x p y y x x x x x x -
⎛⎫+=-+=---=+=== ⎪⎝⎭-，
1
21212
11153q y y x x x x ⎛⎫⎛⎫==--==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
故所求作的方程为2
25
033
y y +
-=，即23250y y +-=． 【总结升华】所求作的方程中的未知数与已知方程中的未知数要用不同的字母加以区别．同时“以两个
数
为根的一元二次方程是
.”可以用这种语言形式记忆
“2
x -和x +积＝0”，或“减和加积”，此处的一次项系数最容易出现符号上的错误．。
