第2章 线性时不变连续系统的时域分析 内容

第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况；（7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。

； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。

2.3 本章的知识结构线性时不变系统时域经典法系统微分方程的求解系统微分方程的建立特解齐次解卷积法零状态零输入法零输入响应状态零状态响应输入单位冲激响应意义与求解卷积的求解性质与计算线性线性2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di Lt v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv Ct i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i Ct v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解齐次解和特解。

齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=---当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y at at h sin cos )(21+= 当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++=bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++特解的函数形式与激励函数的形式有关。

激励函数)(t x响应函数)(t y 的特解E (常数) Bp t 1121+-++++p p p p B t B t B t Bat eat Bet ωcos t ωsin t B t B ωωsin cos 21+)cos(t e t atp ωte D t D t D t e B t B t B atp p pat p p p ωωsin )(cos )(1111+++++++++)sin(t e t at p ω注:(1)表中B 、D 是待定系数。

(2)若)(t x 由几种激励组合而成，则特解也为其相应的组合。

(3)若表中所列特解与齐次解重复，则应在特解中增加一项：t 倍乘表中特解。

假如这种重复形式有k 次（特征为k 次），则依次增加倍乘t ，2t ，…，kt 诸项。

2.4.3起始点的跳变-从-0到+0状态的转换在系统分析中，定义响应区间为确定激励信号)(t x 加入后系统的状态变化区间。

一般激励)(t x 都是从0=t 时刻加入，此时系统的响应区间定义为∞≤≤+t 0。

当系统用微分方程表示时，系统从-0到+0状态有没有跳变取决于微分方程右端自由项是否包含)(t δ及其各阶导数项。

如果包含有)(t δ及其各阶导数项，说明相应的-0到+0状态发生了跳变，即)0()0(-+≠y y 或)0()0(''-+≠y y 等等。

这时为确定)0(+y 、)0('+y 等状态，可以用冲激函数匹配法。

2.4.4系统的零输入响应与零状态响应 （1）零输入响应系统的零输入响应是当系统没有外加激励信号时的响应。

零输入响应)(t y zi 是满足0)()()()(0)1(1)1(1)(=++⋅⋅⋅++--t y a t y a t y a t y a n n n n及起始状态)0()(-k y)110(-⋅⋅⋅=，n ，，k 的解,它是齐次解的一部分 ∑==nk t zik zi k e c t y 1)(α由于没有外界激励作用，因而系统的状态不会发生跳变，)0()0()()(+-=k k y y，所以)(t y zi 中的常数zik c 可由)0()(-k y 确定。

（2）零状态响应所谓零状态，是指系统没有初始储能，系统的起始状态为零，即0)0()0()0()1()1(===-=----n y y y这时仅由系统的外加激励所产生的响应称为零状态响应)(t y zs 。

零状态响应)(t y zs 由起始状态为零时的方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-⋅⋅⋅==++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++------1100)0()()()()()()()()()(011101111，n ，，k y t x b t x b dt t x d b dt t x d b t y a dt t dy a dt t y d a dt t y d a k m m m m n n n n n n 所确定。

系统的零状态响应)(t y zs 为)()()(t y t y t y zsp zsh zs +=其中)(t y zsh 和)(t y zsp 分别为齐次解和特解。

系统的线性：条件1 系统响应可以分解为零输入响应与零状态响应之和。

条件2 零输入线性，即零输入响应与初始状态)0(-x 或)0(+x 之间满足线性特性。

条件3 零状态线性，即零状态响应与激励之间满足线性特性。

2.2.5连续时间系统的冲激响应与阶跃响应 （1）冲激响应系统在单位冲激信号)(t δ作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，用)(t h 表示。

亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号)(t δ时系统的零状态响应。

在时域中，子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积。

因果系统的冲激响应为0)(=t h 0<t（2）阶跃响应一线性时不变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用)(t g 表示。

阶跃响应是激励为单位阶跃函数)(t u 时，系统的零状态响应阶跃响应)(t g 与冲激响应)(t h 之间的关系为ττd h t g t⎰∞-=)()( 或 )()(t g dtdt h =2.2.6 卷积积分（1）卷积积分的概念一般情况下，如有两个信号)(1t f 和)(2t f 做运算τττd )()()(21⎰∞∞--=t f f t y此运算定义为)(1t f 和)(2t f 的卷积(Convolution)，简记为)()()(21t f t f t y *= 或 )()()(21t f t f t y ⊗=（2）卷积积分的图解法用图解法能直观地说明卷积积分的计算过程，而且便于理解卷积的概念。

两个信号)(1t f 和)(2t f 的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出)(1t f 和)(2t f 波形，将波形图中的t 轴改换成τ轴，分别得到)(1τf 和)(2τf 的波形。

第二步，将)(2τf )波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到)(2τ-f 波形。

第三步，给定一个t 值，将)(2τ-f 波形沿τ轴平移t 。

在0<t 时，波形往左移，在0>t时，波形往右移，这样就得到了)(2τ-t f 的波形。

第四步，将)(1τf 和)(2τ-t f 相乘，得到卷积积分式中的被积函数)()(21ττ-t f f 。

第五步，计算乘积信号)()(21ττ-t f f 波形与τ轴之间包含的净面积。

第六步，令变量t 在),(+∞-∞范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号)()(21t f t f *。

（3）卷积运算的性质性质1 乘法运算中的交换律、结合律和结合律适应于卷积运算交换律 )()()()(1221t f t f t f t f *=*结合律)()]()([)]()([)(321321t f t f t f t f t f t f **=** 分配律)()()()()]()([)(3121321t f t f t f t f t f t f t f *+*=+* 性质2信号与冲激信号的卷积等于信号本身，即)()()(t f t t f =*δ)()()(00t t f t t t f -=-*δ信号)(t f 与冲激偶)('t δ的卷积等于)(t f 的导函数，即)()()(''t f t t f =*δ信号)(t f 与阶跃信号)(t u 的卷积等于信号)(t f 的积分,即ττd f t u t f t⎰∞-==*)()()(性质3 卷积的微分与积分如果)()()(21t f t f t y *=，则有)()()()()(2'1'21't f t f t f t f t y *=*= 如果)()()(21t f t f t y *=，则⎰⎰⎰∞-∞-∞-*=*=tt td f t f d f t f d y λλλλλλ)()()()()(1221。

设)()()(21t f t f t y *=，则有)()()()(2)(1)(t f t f t y j i j i -*= 2.2.7 用卷积积分法求系统的零状态响应对于任一时刻t 系统的零状态响应为⎰-=tzs d t h x t y 0)()()(τττ2.2.8 相关如果)(1t f 和)(2t f 是两个能量有限的信号，且均为实函数，则它们之间的相关函数（又称为互相关函数）定义为121212()()()()()d R f t f t dt f t f t t τττ+∞∞-∞-∞=-=+⎰⎰和212112()()()()()R f t f t dt f t f t dt τττ+∞+∞-∞-∞=-=+⎰⎰互相关性质：)()(2112ττ-=R R 。

当)(1t f 和)(2t f 是同一个信号时，即)()()(21t f t f t f ==，则它们之间的相关函数（又称为自相关函数）定义为()()()()()R f t f t dt f t f t dt τττ+∞+∞-∞-∞=-=+⎰⎰自相关函数性质： （1）)()(ττ-=R R（2）0=t 时，相关性最强，()0R 最大。