[精品]2017-2018年安徽省江南十校高一(上)数学期中试卷与答案

五校联盟2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学试卷 联考命题组一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知全集},2,1,0{},4,3,2,1,0{==M U }3,2{=N 则=⋂N M C U )(（ ）A ． {}2B ． {}3C ． {}432，，D ． {}0,1,2,3,4 2．集合M ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，集合N ＝{x |y ＝9－x 2，x ∈R }，则M ∩N 等于( )A ．{t |0≤t ≤3}B ．{t |－1≤t ≤3}C ．{(－2，1)，(2，1)}D ．∅ 3.设集合A ＝B ＝{(,),}x y x R y R ∈∈，从A 到B 的映射:(,)(2,2)f x y x y x y →+-， 则在映射f 下B 中的元素（1，1）对应的A 中元素为（）A.（1，3）B.（1，1） C .31(,)55D.11(,)224.下列四组函数，表示同一函数的是（） A. 22)(,)()(x x g x x f == B. x x g x x f lg 2)(,lg )(2==C. 4)(,22)(2-=-⋅+=x x g x x x f D. 33)(,)(x x g x x f ==5． 下列函数是偶函数的是（ ）.A ． 322-=x y B ． x y = C ． 21-=x y D ．]1,0[,2∈=x x y 6．已知函数，则A ．−2B ．4C ．2D ．−17.函数 f(x)=x 2-4x+5在区间 [0,m]上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ） A . ),2[+∞ B . [0,2] C .(]2,∞- D. [2,4]8．三个数3.0222,3.0log ,3.0===c b a 之间的大小关系是（ ）.A ．b c a <<．B ． c b a <<C ． c a b <<D ．a c b <<9．函数()x bf x a -=的图象如图所示，其中,a b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1>a ,0<b B ．1>a ,0>b C ．10<<a ,0>b D ．10<<a ,0<b10． 已知奇函数()f x 在0x ≥时的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集为（ ）.A ．(1,2)B ．(2,1)--C ．(2,1)(1,2)-- D ．(1,1)-11．已知函数()3,0,0xx a x f x a x -+≥⎧=⎨<⎩是(),-∞+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（） A ．()0,1 B ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．如果集合A ，B 同时满足：A ∪B={1，2，3，4}，A ∩B={1}，A ≠{1}，B ≠{1}，就称有序集对(A ，B)为“好集对”，这里有序集对(A ，B)意指：当A ≠B 时，(A ，B)和(B ，A)是不同的集对．那么“好集对”一共有（）A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数y ＝2+x a －2 (a>0， a ≠1)的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标为__________．14．设函数()()2,11,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，若()1f α=，则实数α的值为是 ． 15.若1052==ba , 则=+b a 11 . 16．已知函数(),y f x x R =∈，给出下列结论:（1）若对任意12,x x ，且12x x ≠，都有2121()()f x f x x x -<-，则()f x 为R 上的减函数；（2）若()f x 为R 上的偶函数，且在(,0)-∞内是减函数，f （-2）=0，则()f x >0解集为21y••（-2,2）；（3）若()f x 为R 上的奇函数，则()()y f x f x =•也是R 上的奇函数；（4）t 为常数，若对任意的x ,都有()(),f x t f x t -=+则()f x 关于x t =对称。

2024年“江南十校”高一阶段联考数学参考答案一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 B D C C A B AB二、选择题：本大题共3个题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分。

题号9 1011答案BC ABD ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．0四、解答题：本题共5小题，共77分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）【解析】（1）OA在OB方向上的投影向量为：21(1(2||OA OBOBOB⋅⋅==．…………5分（2）因为(1)OC OA OBλλ=-+，则()OC OA OB OAλ-=-，即AC ABλ=，又AC与AB有公共点，所以A B C、、三点共线；…………9分222222||(1)2(1)OC OC OA OB OA OBλλλλ==-++-⋅222214(1)44(1)4(1)4(32λλλλλλλ=-++-=-+=-+，当12λ=时，||OC13分16．（15分）【解析】（1）在平面ABCD内取点O，作OG AD⊥交AD于点G，作OH AC⊥交AC于点H，作OI BC⊥交BC于点I，因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE 平面ABCD AD=，所以OG⊥平面ADE，所以OG AE⊥，…………4分同理OH⊥平面ACFE，OI⊥平面BCF，所以OH AE⊥，OH CF⊥，OI CF⊥又OG OH O = ，所以AE ⊥平面ABCD ， 同理CF ⊥平面ABCD ，故//AE CF ．…………8分（2）连接,EC AF 交于点P ，则四棱锥-E ABCD 与-F ABCD 的公共部分为四棱锥-P ABCD ， 作PQ AC ⊥，则PQ ⊥平面ABCD ，因为2CP CF PE AE ==，所以23PQ CP AE CE ==， 即23PQ =，又四边形ABCD 的面积为1()32AB CD AD +⋅=，故-12333P ABCD V =⨯⨯=15分17．（15分） 【解析】（1）因为sin sin a cA C=，则2sin 2sin()1sin sin tan A B C a C C C +====+； …………6分（2）由sin sin b c B C =，得：1sin b C=，故111cos 1222tan sin sin tan 2C a b c C C C C +++=+++=++=++ …………10分因为ABC △为锐角三角形，所以π025ππ062C C ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，即ππ32C <<，所以ππ624C <<，tan 12C<<，所以周长的取值范围为(32++． …………15分18．（17分）【解析】（1）在圆1O 上取点1C 使11//CC BB ，则1CC ⊥圆1O ， 连接1C E ，因为CE MN ⊥，1CE CC C = ，所以MN ⊥平面1CC E ，则1MN C E ⊥， …………3分 因为1111112A C AC O A O C ====，所以1160EA C ∠=︒， 又13A E =，则1EC ==，2211cos A EC ∠==，…………5分取MN 中点F ，则1O F MN ⊥，111cos cos EO F A EC ∠=∠=所以111cos O F O E EO F =⋅∠=，则MN ==9分（2）取OA 中点G ，11O A 中点1G ，连接11CG CG GG 、、，则CG AB ⊥，111CG A B ⊥， 记平面11A CB 与平面ACB 的公共交线为l ，因为11//AB A B ，AB ⊄平面11A CB ，11A B ⊂平面11A CB ，所以//AB 平面11A CB ，则//AB l ，11//A B l ，所以1G CG ∠即平面11A CB 与平面ACB 的夹角，…14分 因为11CG GG ==，所以1tan G CG ∠=，130G CG ∠=︒，即平面11A CB 与平面ACB 的夹角为30︒．…………17分19．（17分） 【解析】（1）由2sin a R A =得1sin 2A =，因为ABC △为锐角三角形，所以30A =︒， 由题知1130B AC C AB ∠=∠=︒，故1190B AC ∠=︒， …………2分又111211A B C S C =△112B C =，且123AB =，同理1AC =， 由2221111AB AC B C +=得2212b c +=， 又2222cos306a b c bc =+-︒=，则bc =…………6分1111()()B C C B AC AB AB AC ⋅=-⋅-cos30cos60cos6001bc b =︒-︒-︒+==． …………9分（2）因为2221111112cos(60)B C AB AC AB AC A =+-⋅+︒，即222cos(60)12b c bc A +-+︒=， 又2222cos 6a b c bc A =+-=，所以22cos(60)6bc bc A -+︒=，则bc =，则13sin 12tan ABC S bc A A===△， …………13分由2sin a R A =得[3045]A ∈︒︒，，所以tan 1]A ∈， 所以ABC S ∈△. …………17分。

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项:1．本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟;2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效;3．考生作答时,请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。

一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1．下列关系中，正确的是（）A ．e R ∈B ．{}12φ∈，C ．{}01x x ∉>-D ．{}}{200x x x x ≤⊆>2．设命题,0)5)(1(,:>-+∈∀x x R x p 则“命题p 的否定”是（）A ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+->B ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+-<C ．,(1)(5)0x R x x ∀∈+-≤D ．,(1)(5)0x R x x ∃∈+-≤3．[]2"1,2,20"x x a ∀∈--≤恒成立的一个充分不必要条件是（）A ．0a ≤B ．1a ≤C ．3a ≥D ．2a ≥4．已知0,>>cb a ，下列不等式一定成立的是（）A ．-a c b>B ．c ca b >C ．a bc c >D ．a bc c>5．如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC 面积为2S ,若321=l l ,则=21S S（）A ．9B ．8C ．4D ．3．．C ．D ．7．已知12(1cos 60)a ︒=-，3log 2b =，bc a =，则（）A ．a b c<<B ．b a c<<C ．a c b<<D ．b c a<<8．已知函数x x f x -+=-)14(log )(12，则不等式)3()3(+<x f x f 的解集为（）A ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．33,42⎛⎫-⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．下列命题中正确的有（）A ．2()1m f x m m x =--（）是幂函数，且在），（∞+0单调递减，则1-=mB ．22()log 2f x x x =-（）的单调递增区间是），（∞+1C ．21()1f x ax ax =++的定义域为R ，则[]4,0∈aD ．()f x x =+的值域是(]5，∞-10．下列选项中，结果为正数的有（）A ．sin1cos1+B ．sin 2cos 2+C ．sin3cos3+D ．sin 4cos4+11．已知正数2,++=b a ab b a 满足,则（）A ．2a b ++的最小值为B ．1ab +的最小值为C ．111a b+D ．310a b +的最小值为12．高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。

安徽省江南十校2017-2018学年高一上学期期中考试英语试题本试卷共8页；全卷满分150分，考试时间120分钟。

第一部分听力（共两节，满分30分）做题时，先将答案标在试卷上。

录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。

第一节（共5小题;每小题1.5分，满分7. 5分）下面5段对话。

每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听完每段对话后，你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。

每段对话仅读—遍。

1. What is the man now?A. A guide.B. A secretary.C. A salesman.2. Where does the woman think the man left his book?A. At the hotel.B. At home.C. On the plane.3. How will the man go home next year according to the conversation?A. By motorcycle.B. By car.C. By train.4. Who wants to take the summer camp?A. The woman’s daughter.B. The woman’s soil.C. The woman’s sister.5. What is the woman trying to do?A. Finish some writing.B. Print an article.C. Find a newspaper.第二节（共15小题;每小题1.5分，满分22. 5分）听下面5段对话或独白.每段对话或独白后有几个小题，从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。

听每段对话或独白前，你将有时间阅读各个小题，每小题5秒钟；听完后，各小题将给出5秒钟的作答时间。

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学试卷（答案在最后）注意事项：1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置.第I 卷选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.1.下列关系中，正确的是（）A.e ∈RB.{}1,2∅∈C.{}01x x ∉>- D.{}{}200x x x x≤⊆>【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合、集合与集合之间关系直接判断即可.【详解】对于A ，e 为无理数，e ∴∈R ，A 正确；对于B ，{}1,2∅⊆，B 错误；对于C ，01>- ，{}01x x ∴∈>-，C 错误；对于D ，由20x >得：0x <或0x >，{}0x x ∴≤不是{}20x x >的子集，D 错误.故选：A.2.设命题p ：x ∀∈R ，()()150x x +->，则命题p 的否定是（）A.x ∃∈R ，()()150x x +->B.x ∃∈R ，()()150x x +-<C.x ∀∈R ，()()150x x +-≤D.x ∃∈R ，()()150x x +-≤【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可知：命题p 的否定是：x ∃∈R ，()()150x x +-≤.故选：D.3.“[]1,2x ∀∈-，220x a -≤”恒成立的一个充分不必要条件是（）A.0a ≤B.1a ≤C.3a ≥D.2a ≥【答案】C 【解析】【分析】根据恒成立求解2a ≥，即可根据集合间的关系求解.【详解】若对[]1,2x ∀∈-，220x a -≤恒成立,则()2max2xa ≤，故242a a ≥⇒≥，由于{}3a a ≥是{}2a a ≥的真子集，所以符合题意，选项AB 是既不充分也不必要条件，D 是充要条件，故选：C4.已知实数 a b >， 0c >，则下列不等式一定成立的是（）A. a c b ->B.c ca b > C.a bc c > D.a bc c>【答案】D 【解析】【分析】由不等式性质可知A 错误，利用特殊值代入可得BC 不一定成立，根据不等式性质可证明D 正确.【详解】由题意可知0a b ->，但a b c ->不一定成立，即a c b ->不一定成立，A 错误；不妨取1,2,2a b c =-=-=，此时14c c a b =<=，即c c a b >不一定成立，B 错误；当1c =时，显然a b c c =，此时a b c c >不一定成立，C 错误；由0c >可知10c >，又a b >，所以11a b c c ⋅>⋅，即a b c c>；即D 正确.故选：D5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD 长度是1l ，弧BC 长度是2l ，几何图形ABCD 面积为1S ，扇形BOC面积为2S ，若123l l =，则12S S =（）A.9B.8C.4D.3【答案】B 【解析】【分析】由弧长比可得半径比，结合扇形面积公式求解.【详解】设OB r =，OA R =，则123l Rl r==，则3R r =∴1212912OAD OBCl R S S l r ==扇扇，故128S S =.故选：B6.函数()344x xx f x -=-的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根据题意，利用函数奇偶性的定义，得到函数()f x 为偶函数，且()10f >，即可求解.【详解】由函数()344x x x f x -=-，可得()()33()4444x x x xx x f x f x ----===--，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，排除C 、D 项；又由()41015f =>，可排除B 项，所以A 符合题意.故选：A.7.已知()121cos60a =-︒，3log 2b =，b c a =，则（）A.a b c <<B.b a c <<C.a c b <<D.b<c<a【答案】B 【解析】【分析】利用特殊角的三角函数值，结合对数函数与指数函数的性质即可得解.【详解】因为()1122121cos60122a ⎛⎫=-︒==< ⎪⎝⎭，则322a =>，而33033log 2log 82b <==<，所以01b a <<<，所以1b c a a a =>=，故b a c <<.故选：B.8.已知函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+的解集为（）A.3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B.3,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭C.13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D.33,42⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】解法1：根据题意，利用对数的运算性质，把不等式化简为()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40x t =>，结合一元二次不等式的解法，即可求解；解法2：根据题意，得到()()21log 221xxf x -+=+-，设()()2log 221xx g x -=+-，得到()g x 为偶函数，求得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，把不等式转化为3131x x -<+-，即可求解.【详解】解法1：由函数()()12log 41x f x x -=+-，则不等式()()33f x f x <+，即为()()()31222log 413log 413x x x x -++-<+-+，可得()()31222log 41log 4123x x x -++<++-，即()3122341412x x x -+-+<+⋅，令40xt =>，则()3116148t t t +<+，即()()28210t t --<，解得82t <<，即482x<<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.解法2：由函数()()12log 41x f x x -=+-，可得()()()221log 411log 221xxxf x x -+=+--=+-，设()()2log 221xxg x -=+-，则()()()2log 221xx g x g x --=+-=，所以函数()g x 为偶函数，即()1y f x =+为偶函数，可得()y f x =关于1x =对称，且在[)1,+∞上单调递增，所以不等式()()33f x f x <+，即为3131x x -<+-，可得2296144x x x x -+<++，即281030x x --<，解得1342x -<<，所以不等式()()33f x f x <+的解集为13,42⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列命题中正确的有（）A.()()21mf x m m x =--是幂函数，且在()0,∞+单调递减，则1m =-B.()()22log 2f x x x =-的单调递增区间是()1,+∞C.()211f x ax ax =++的定义域为R ，则[]0,4a ∈D.()f x x =+的值域是(],5-∞【答案】AD 【解析】【分析】A 由幂函数及其单调性求参数；B 由复合函数的单调性和对数函数的性质求增区间；C 根据定义域及二次函数性质求参数范围；D 换元法及二次函数性质求值域.【详解】A ：()f x 是幂函数，则211m m --=，得2m =或1m =-，又()f x 在()0,∞+单减，故1m =-，对；B ：由复合函数单调性有220x x ->且1x ≥，所以单增区间是()2,+∞，错；C ：定义域为R ，则0a =或204Δ40a a a a ≠⎧⇒≤<⎨=-<⎩，错；D ：令0t =，则()22()24155f x y t t t ==-++=--+≤，对.故选：AD10.下列选项中，结果为正数的有（）A.sin1cos1+B.sin2cos2+C.sin3cos3+D.sin4cos4+【答案】AB 【解析】【分析】根据角的象限，分别求得其取值范围，结合正弦值与余弦的值关系，逐项判定，即可求解.【详解】由π012<<，可得sin10,cos10>>，所以sin1cos10+>，所以A 正确由π3π23π24<<<<，可得sin 20,sin 30,cos 20,cos30>><<且sin 2cos 2,sin 3cos3><，所以sin2cos20+>，sin3cos30+<，所以B 正确，C 错误；由3ππ42<<，可得sin40,cos40<<，所以sin4cos40+<，所以D 错误.故选：AB.11.已知正数a ，b 满足2ab a b =++，则（）A.a b +的最小值为2+B.ab 的最小值为1+C.11a b+1 D.3a b +的最小值为10【答案】ACD 【解析】【分析】利用基本不等式求解即可.【详解】因为,a b 为正数，A 项，()()2224802a b ab a b a b a b +⎛⎫=++≤⇒+-+-≥ ⎪⎝⎭2a b ⇒+≥+2a b +≤-，当1a b ==+时取等，故A 正确；B 项，22ab a b =++≥+⇒20ab -≥，1≥1≤-，即(21ab ≥+，当且仅当1a b ==+时取等，故B 错误；C 项，1122111a b ab a b ab ab ab +-+===-≥-=，当且仅当1a b ==+时取等，故C 正确；D 项，()()()()234211313392a b ab a b a b a b +-⎛⎫=++⇒--=⇒--=≤ ⎪⎝⎭，解得310a b +≥（负值舍去），当且仅当4a =，2b =时取等，故D 正确.故选：ACD .12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数[]y x =，[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3.53=，[]2.73-=-，则（）A.()[]f x x x =-的值域是[)0,1B.方程[][][]2023xy x y =+有无数组解C.()[]f x x x =是单调函数D.方程[]220x x --=有3个根【答案】ABD 【解析】【分析】根据高斯函数的定义，即可结合选项逐一求解.【详解】因为[]x 表示不超过x 的最大整数，设01t ≤<，则[]x x t =+，则()[][0f x x x t =-=∈,1)，即()f x 的值域为[0,1)，故A 正确．当2023x α=+，2023y β=+，01,01αβ<<<<且1αβ+=时,[]()()()22220232023202320232023202320232023,xy αβαβαβαβ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++=+++=++=+⎣⎦⎣⎦⎣⎦[][][][]2202320232023x y αβ=++=，所以[][][]2023xy x y =+，故B 正确；当()0,1x ∈时，此时()0f x =，故C 错误；[]22x x x -=≤22012x x x ⇒--≤⇒-≤≤，当[)[]1,0,1x x ∈-=-，则[]2211x x x -==-⇒=-，当[)[]0,1,0x x ∈=，则[]220x x x -==⇒=，当[)[]1,2,1x x ∈=，则[]221x x x -==⇒=，当2x =时，[]2222x x x -==⇒=，故D 正确，故选：ABD第II 卷非选择题部分（共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，则()21y f x =-的定义域是__________.【答案】5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】利用复合函数定义域求解.【详解】因为函数()2y f x =+的定义域是[]2,3，即23x ≤≤，所以425x ≤+≤，若求函数()21y f x =-的定义域，则有4215x ≤-≤，解得532x ≤≤，所以()21f x -的定义域为5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：5,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦.14.已知()12xf x +=，则()2log 2024f =______.【答案】1012【解析】【分析】根据题意，令21log 2024x +=，求得x ，代入计算，即可得到结果.【详解】令21log 2024x +=，则22log 20241log 1012x =-=，所以()2log 10122log 202421012f ==故答案为：101215.若21(0)x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则bk的最大值为______.【答案】1-【解析】【分析】构造函数，根据恒成立得到214k b ≤--，14b k k k ⎛⎫≤-+ ⎪⎝⎭，利用均值不等式计算最值得到答案.【详解】令()()210f x x kx b k =--->，()210x kx b k ≥++>对x ∈R 恒成立，则()2min1024k k f x f b ⎛⎫==---≥ ⎪⎝⎭，即得214k b ≤--，故21144k b k k k k +⎛⎫≤-=-+ ⎪⎝⎭，又0k >，故114k k +≥=（当且仅当2k =时取等），所以bk的最大值为1-.故答案为：1-.16.已知()21,0ln ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩若()()220f x af x -+=有六个根，则实数a 的取值范围是______.【答案】()【解析】【分析】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，列出不等式组，即可求解.【详解】令()f x t =，则()22g t t at =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，设函数()22g t t at =-+的零点分别为12,t t ，由图象知，要使得()()220f x af x -+=有六个根，转化为()0g t =在(]1,2上有两解，则满足()()()2Δ801302620122a g a g a a ⎧=-->⎪=->⎪⎪⎨=-≥⎪⎪<<⎪⎩，解得3a <<，所以实数a的取值范围是().故答案为：().四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知1tan 2α=-，且α为第二象限角（1）求sin α，cos α；（2）求()()sin 3ππsin cos π2ααα-⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.【答案】（1）cos 5α=-，sin 5α=（2）14-【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，由正切值求正弦值和余弦值；（2）利用诱导公式化简求值.【小问1详解】由sin 1tan cos 2ααα==-得1sin cos 2αα=-，代入22sin cos 1αα+=得24cos 5α=，又α为第二象限角，得25cos 5α==-，sin 5α=【小问2详解】由诱导公式，有()()sin 3πsin sin tan 1πcos cos 2cos 24sin cos π2ααααααααα-====-+⎛⎫--+ ⎪⎝⎭.18.已知集合{}24A x x =-≤≤，集合{}2132B x a x a =-≤≤+（1）若2a =，求A B ⋃和()R A B I ð；（2）若A B ⋂=∅，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}28A B x x ⋃=-≤≤，(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð（2）45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】（1）根据补集、交集、并集的定义进行求解即可；（2）根据集合交集的运算性质，结合分类讨论思想进行求解即可.【小问1详解】当2a =时，{}38B x x =≤≤，所以{}28A B x x ⋃=-≤≤，{|3B x x =<R ð或}8x >，所以(){}23A B x x ⋂=-≤<R ð.【小问2详解】当B =∅时，即2132a a ->+，即3a <-，满足A B ⋂=∅；当B ≠∅时，即3a ≥-，由A B ⋂=∅得2143a a ->⎧⎨≥-⎩或3223a a +<-⎧⎨≥-⎩，解得52a >或433a -≤<-；综上，45,,32a ⎛⎫⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .19.已知函数()()3,3x x n f x m n m+=∈+R 是R 上的奇函数（1）求m ，n 的值；（2）判断并证明()f x 在R 上的单调性.【答案】（1）1m =，1n =-（2）()f x 是R 上单调递增函数，证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，由奇函数的定义()()f x f x -=-，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，由函数单调性的定义证明即可.【小问1详解】由()f x 是R 上的奇函数，所以()00f =，得1n =-又()()3113133133x x xx x x f x f x m m m------===-=+++恒成立，所以1m =，即1m =，1n =-【小问2详解】()f x 是R 上的递增函数证明如下：由（1）知，()31213131x x x f x -==-++，在R 上任取1x ，2x ，不妨令12x x >，则()()121222113131x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()12212111332231313131x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭，因为12x x >，所以12330x x ->，所以()()120f x f x ->，所以()f x 是R 上单调递增函数20.某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量W （单位：千克）与施用肥料x （单位：千克）满足如下关系：()()243,0270,2521x x W x x x x ⎧+≤≤⎪=⎨<≤⎪+⎩，肥料成本投入为10x 元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）20x 元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为()f x （单位：元）（1）写出单株利润()f x （元）关于施用肥料x （千克）的关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）()()284330,02147030,2521x x x f x x x x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪+⎩（2）当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元【解析】【分析】（1）用销售额减去成本投入得出利润()f x 的解析式；（2）根据二次函数的单调性和基本不等式求出()f x 的最大值.【小问1详解】由题意可知，()()()284330,022*********,2521x x x f x W x x x x x x ⎧+-≤≤⎪=-=⎨-<≤⎪+⎩，【小问2详解】当02x ≤≤时，()()225698184330842828f x x x x ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，对称轴5x 28=，则()f x 在50,28⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,228⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()f x 的最大值为()2528f =，当25x <≤时，()()14707353075015212121x f x x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦750540≤-，当()735152121x x =++，即3x =时取等号，有最大值540元，因为528540<，所以当施肥量为3千克时，利润最大，最大利润是540元.21.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()2f x y f x f y +=++，（1）求()0f ，并证明()()2F x f x =+为奇函数；（2）若()f x 是R 上的单调递增函数，且()12f =，解不等式：()()2128f x x f x ++->.【答案】（1）()02f =-，证明见解析（2）()(),12,-∞-+∞ 【解析】【分析】（1）赋值法求出()02f =-，再由奇偶函数定义证明奇偶性即可；（2）根据抽象函数性质化简，再由单调性脱去“f ”，解一元二次不等式即可得解.【小问1详解】令0x y ==，得()02f =-，()()2F x f x =+定义域为R ，关于原点对称，令y x =-，得()()()02f f x f x =+-+，所以()()40f x f x +-+=,即()()0F x F x +-=，所以()()2F x f x =+是奇函数.【小问2详解】因为()()()221212f x x f x f x x ++-=-+-，所以原不等式等价于()2110f x x -+>，又()12f =，所以()26f =，()310f =，即()()213f x x f -+>，又()f x 是R 上的递增函数，所以213x x -+>，解得2x >或1x <-，原不等式的解集为()(),12,-∞-+∞ .22.若()221(0)f x x ax a =-+>在[],m n 上的值域是[],m n 的子集，则称函数()f x 在[],m n 上是封闭的.（1）若()f x 在[]0,2上是封闭的，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 在[]0,t 上是封闭的，求实数t 的最大值.【答案】（1）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）32【解析】【分析】（1）根据新的定义，即求二次函数在[]0,2上的值域，利用分类讨论思想可得结果；（2）根据新的定义，即求二次函数在[]0,t 上的值域，利用分类讨论思想建立不等关系可得结果.【小问1详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当02a <<时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,2f x f f =因为()f x 在[]0,2上是封闭的，则有()()()2012254210f f a f a a ⎧=<⎪=-≤⎨⎪=-+≥⎩，解得314a ≤≤；当2a ≥时，()f x 在[]0,2上为减函数，则有()()0122540f f a ⎧=≤⎪⎨=-≥⎪⎩，解得54a ≤，又2a ≥，故无解；综上，a 的取值范围是3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦【小问2详解】函数()f x 开口向上，对称轴是(),0x a a =>，当0a t <≤时，()()2min 1f x f a a ==-+，()()(){}max max 0,f x f f t =因为()f x 在[]0,t 上是封闭的，则有()()()22012110f t f t t at t f a a ⎧=≤⎪=-+≤⎨⎪=-+≥⎩，解得112101t a t t a ≥⎧⎪⎪+≥+⎨⎪<≤⎪⎩，依题意有112t t +-≤，解得3322t -≤≤，所以312t +≤≤，当a t >时，()f x 在[]0,t 上为减函数，则有()()20110f t f t t at ⎧=≤⎪⎨=-+≥⎪⎩，所以122t a tt<≤+，即11t tt<⇒<（舍去）综上，t的最大值是32 +.。

2017-2018学年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．3．“a=0”是“函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．6．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S10=50，则数列{a n+a n+1}的前10项和为（）A．100 B．110 C．120 D．1307．设D是△ABC所在平面内一点，=2，则（）A．=﹣B．=﹣C．=﹣D．=﹣8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）10．若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣，2]C．[﹣1，2] D．[﹣，1]11．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）A．4π+16+4B．5π+16+4C．4π+16+2D．5π+16+212．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2017-2018学年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若存在唯一的正整数n使得不等式a n2﹣ta n﹣2t2≤0成立，则实数t的取值范围为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．19．第31届夏季奥林匹克运动会将于2017-2018学年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．20．已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．21．已知函数f（x）=e x+ax2﹣2ax﹣1．（Ⅰ）当a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有﹣∞和+∞的区间）．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2017-2018学年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）≤0，解得：﹣≤x≤3，即A={x|﹣≤x≤3}，∵B={x∈Z|x≤2}={2，1，0，﹣1，…}，∴A∩B={0，1，2}，即有3个元素，故选：B．2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】z（1﹣i）=|1﹣i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z的实部为．故选：A．3．“a=0”是“函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据奇函数的定义判断出a=0时，为奇函数，再根据奇函数的定义判断当为奇函数时，a=0，故可以判断为充要条件．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称当a=0时，f（x）=sinx﹣，f（﹣x）=sin（﹣x）﹣（﹣）=﹣sinx+=﹣（sinx﹣）=﹣f（x），故f（z）为奇函数，当函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数时，f（﹣x）+f（x）=0又f（﹣x）+f（x）=sin（﹣x）﹣（﹣）+a+sinx﹣+a=2a，故a=0所以““a=0”是“函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数”的充要条件，故选C4．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．6．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S10=50，则数列{a n+a n+1}的前10项和为（）A．100 B．110 C．120 D．130【考点】数列的求和．【分析】由数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，可得此数列是等差数列，公差为2．数列{a n+a n+1}的前10项和=a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11=2S10+10d，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，∴此数列是等差数列，公差为2．数列{a n+a n+1}的前10项和为：a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11=2（a1+a2+…+a10）+a11﹣a1=2S10+10×2=120，故选：C．7．设D是△ABC所在平面内一点，=2，则（）A．=﹣B．=﹣C．=﹣D．=﹣【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据平面向量线性运算的几何意义用表示出．【解答】解：，，∴==．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足s＜t，输出n=6，故选：B．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意，利用周期公式可求．由f（x）≤f（）恒成立，结合范围|φ|＜，可求φ=，令=kπ（k∈Z），即可解得f（x）的对称中心，即可得解．【解答】解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，得．因为f（x）≤f（）恒成立，所以f（x），即+φ=+2kπ（k∈Z），由|φ|＜，得φ=，故f（x）=sin（）．令=kπ（k∈Z），得x=2kπ﹣，（k∈Z），故f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0）（k∈Z），当k=0时，f（x）的对称中心为（﹣，0），故选：A．10．若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣，2]C．[﹣1，2] D．[﹣，1]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=y﹣x为y=x+z，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=y﹣x为y=x+z，设l：y=x+z，故结合图象可知，当l过3x﹣y=0与x+y﹣4=0的交点（1，3）时，z取得最大值2；当l与抛物线y=x2相切时，z取得最小值，由，消去y得：x2﹣2x﹣2z=0，由△=4+8z=0，得z=﹣，故﹣≤z≤2，故选B．11．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）A．4π+16+4B．5π+16+4C．4π+16+2D．5π+16+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，两个底面面积之和为=2；半圆柱的侧面积为π×1×4=4π，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，则f（x）极小值设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2017-2018学年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为﹣40．【考点】二项式定理．【分析】T r+1=（2x）5﹣r（﹣y）r，令r=3，即可得出．【解答】解：T r+1=（2x）5﹣r（﹣y）r，令r=3，可得：x2y3的系数为×22×（﹣1）3=﹣40．故答案为：﹣40．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P在第一象限，由对称性可得|OP|==，推导出∠POA=60°，P（），由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|==，∵AP⊥PQ，在Rt△POA中，cos∠POA==，∴∠POA=60°，∴P（），代入椭圆方程得：=1，∴a2=5b2=5（a2﹣c2），整理得2a=c，∴离心率e==．故答案为：．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若存在唯一的正整数n使得不等式a n2﹣ta n﹣2t2≤0成立，则实数t的取值范围为﹣2＜t≤﹣1或≤t＜1．【考点】数列与不等式的综合．【分析】由题意求得数列{a n}的通项公式，将原不等式转化成n2﹣tn﹣2t2≤0，构造辅助函数f（x）=n2﹣tn﹣2t2，由题意可知f（1）≤0，f（2）＞0，即可求得t的取值范围．=﹣，【解答】解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1整理得=，又a1=1，故a n=n，不等式a n2﹣ta n﹣2t2≤0可化为：n2﹣tn﹣2t2≤0，设f（n）=n2﹣tn﹣2t2，由于f（0）=﹣2t2，由题意可得：，解得﹣2＜t≤﹣1或≤t＜1．故答案为：﹣2＜t≤﹣1或≤t＜1．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（I）在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；（II）代入三角形的面积公式计算．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：，即，解得BD=3．在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB===．∴∠ADB=45°．（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=，∴S△ACD=•CDsin∠ADC==．18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF，由EF∥BD，EF=BD，得EF∥OD．EF=OD，所以四边形EFOD为平行四边形，故ED∥OF，…又EF⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，所以DE∥平面ACF．…（Ⅱ）方法一：因为平面EFBD⊥平面ABCD，交线为BD，AO⊥BD，所以AO⊥平面EFBD，作OM⊥BF于M，连AM，∵AO⊥平面BDEF，∴AO⊥BF，又OM∩AO=O，∴BF⊥平面AOM，∴BF⊥AM，故∠AMO为二面角A﹣BF﹣D的平面角．…取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP⊥BD，因为=•OP=3，所以OP=．由PF=，得BF=OF==，因为，所以OM==，故AM==，…所以cos=，故二面角A﹣BF﹣D的余弦值为．…19．第31届夏季奥林匹克运动会将于2017-2018学年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）作出两国代表团获得的金牌数的茎叶图，通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．… （Ⅱ）由已知得X 的可能取值为0，1，2，3，设事件A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则P （X=0）=P （）P （）P （）=（1﹣）2（1﹣）=，P （X=1）==+（1﹣）2×=，P （X=2）==（）2（1﹣）+C（）（1﹣）（）=，P （X=3）=P （A ）P （B ）P （C ）=（）2（）=，EX==．…20．已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2，2），C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my +b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）先求出p 的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y 的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y 2=2px 经过点M （2，2），得22=4p ， 故p=1，c 的方程为y 2=2x …C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则′=，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2=（x﹣2），令y=0得x=﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x=my+b，令x=﹣2，得y=﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b …直线MA的斜率为==，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+=2×=1+，即=1+=1+，…整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2=2m，即b=2故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）…21．已知函数f（x）=e x+ax2﹣2ax﹣1．（Ⅰ）当a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有﹣∞和+∞的区间）．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求得当a=时的f（x）的导数，由导数的单调性，讨论x＞0，x＜0，即可得到所求单调性；（Ⅱ）由条件可得g（x）=2ax﹣2a，g′（x）=e x+2a，对a讨论：a=0，a＞0，分①1﹣2a＜0，即a＞时，②1﹣2a=0，即a=时，③1﹣2a＞0，即0＜a＜时，a＜0，分①ln（﹣2a）﹣2＜0，即﹣＜a＜0时，②ln（﹣2a）﹣2=0，即a=﹣时，③ln（﹣2a）﹣2＞0，即a＜﹣时，运用导数判断单调性以及函数零点存在定理，即可判断零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f′（x）=e x+x﹣1，易知f′（x）在R上单调递增，且f′（0）=0，因此，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）由条件可得g（x）=2ax﹣2a，g′（x）=e x+2a，（i）当a=0时，g（x）=e x＞0，g（x）无零点；（ii）当a＞0时，g′（x）＞0，g（x）在R上单调递增，g（0）=1﹣2a，g（1）=e＞0，①若1﹣2a＜0，即a＞时，g（0）=1﹣2a＜0，g（x）在（0，1）上有一个零点；②若1﹣2a=0，即a=时，g（0）=0，g（x）有一个零点0；③若1﹣2a＞0，即0＜a＜时，g（）=e﹣1＜0，g（x）在（，0）上有一个零点；（iii）当a＜0时，令g′（x）＞0，得x＞ln（﹣2a）；令g′（x）＜0，得x＜ln（﹣2a）．所以g（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）单调递增，g（x）min=g（ln（﹣2a））=2a[ln（﹣2a）﹣2]；①若ln（﹣2a）﹣2＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）＞0，g（x）无零点；②若ln（﹣2a）﹣2=0，即a=﹣时，g（2）=0，g（x）有一个零点2；③若ln（﹣2a）﹣2＞0，即a＜﹣时，g（1）=e＞0，g（ln（﹣2a））＜0，g（x）在（1，ln（﹣2a））有一个零点；设h（x）=e x﹣x2（x≥1），则h′（x）=e x﹣2x，设u（x）=e x﹣2x，则u′（x）=e x﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，所以u（x）=h′（x）在[1，+∞）单调递增，h′（x）≥h′（1）=e﹣2＞0，所以h（x）在[1，+∞）单调递增，h（x）≥h（1）=e﹣1，即x＞1时，e x＞x2，故g（x）＞x2+2ax﹣2a，设k（x）=lnx﹣x（x≥1），则k′（x）=﹣1=≤0，所以k（x）在[1，+∞）单调递减，k（x）≤k（1）=﹣1＜0，即x＞1时，lnx＜x，因为a＜﹣时，﹣2a＞e2＞1，所以ln（﹣2a）＜﹣2a，又g（﹣2a）＞（﹣2a）2+2a（﹣2a）﹣2a=﹣2a＞0，g（x）在（ln（﹣2a），﹣2a）上有一个零点，故g（x）有两个零点．综上，当a＜﹣时，g（x）在（1，ln（﹣2a））和（ln（﹣2a），﹣2a）上各有一个零点，共有两个零点；当a=﹣时，g（x）有一个零点2；当﹣＜a≤0时，g（x）无零点；当0＜a＜时，g（x）在（，0）上有一个零点；当a=时，g（x）有一个零点0；当a＞时，g（x）在（0，1）上有一个零点．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）作出辅助线，根据AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O为BC的中点，得E为BD的中点，即可证得结论；（Ⅱ）设AC=t（t＞0），由射影定理，根据三角形中的知识，即可求得比值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB、OE，∵EA、EB为圆O的切线，∴OE垂直平分AB，又∵BC为圆O的直径，∴AB⊥CD，∴OE∥CD，又O为BC的中点，故E为BD的中点，∴BE=ED …解：（Ⅱ）设AC=t（t＞0），则AD=3t，CD=4t，在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD2=DA•DC=12t2，∴BD=2t，在Rt△ABD中，AE=BD=t．∴AE：AC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【考点】不等关系与不等式．【分析】（I ）f （x ）=|x |﹣|2x ﹣1|=，由f （x ，由f （x ）＞﹣1，可得：或或，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a ＜2，可得：a 2﹣a +1﹣==g （a ）．对a 分类讨论：当0＜a ＜1时，当a=1时，当1＜a ＜2时，即可得出．【解答】解：（I ）f （x ）=|x |﹣|2x ﹣1|=，由f （x ）＞﹣1，可得：或或，解得0＜x ＜2，∴M=（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a ＜2，∵a 2﹣a +1﹣==g （a ）．当0＜a ＜1时，g （a ）＜0，∴a 2﹣a +1＜；当a=1时，g （a ）=0，∴a 2﹣a +1=；当1＜a ＜2时，g （a ）＞0，∴a 2﹣a +1＞；综上所述：当0＜a ＜1时，∴a 2﹣a +1＜；当a=1时，a 2﹣a +1=；当1＜a ＜2时，a 2﹣a +1＞．2017-2018学年8月23日。

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考数学答案一、单选题二、多选题9．AD 10．AB 11．ACD 12．ABD 详解1．A 略，2．D 略3．C []21,2,202x x a a ∀∈--≤⇒≥,则充分不必要条件选C 4．DA ．令a=2,b=1,c=1a-c=b,A 错误B ．令a=1,b=-2,c=2.B 错误C ．0<c<1时不符合D ．正确5．B11122212,,3,3r 9,812OAD OBCl RS l S ROB r OA R R l r S S l r =====∴===扇扇设则则，故6．Af （x ）=f （-x ）排除CD ，又f （1）>0，故选A 7．B12331,32,33log 2log 82222a a b ⎛⎫===>==< ⎪⎝⎭101,b b a a a a ∴<<<>=故选B8．法1()()()()()()()()()()()3122231231223223233log 413log 413log 41log 41234141240,1161821084821342x x x x x x x x f x f x x x x t t t t t t t t -+-+-+-<+⇒+-<+-+⇒+<++-⇒+<+=>+<+⇒--<⇒<<⇒-<<令则 法2．()()()[)()[)22221log 411log 2210,113131139614442x x x f x x y f x x x x x x x x x -+=+--=+-+∞∴==+∞-<+-⇒-+<++⇒-<<是偶函数，且在上单调递增，关于对称，且在，上单调递增，则 故选C二、多选题详解()()()()()22229.A. 11,21,01,B.201,2C.0004D.0,24155ADf x m m m m f x m x x x B R a a C t y t t t D --===-+∞∴=-->≥+∞=∆<⇒≤<=≥∴=-++=--+≤是幂函数，则得或又在，单减，且所以单增区间是，，故错误定义域为，则或，故错误令，故正确10.A. 01sin1cos10,2323sin 2cos 20,sin 3cos30,243D. 4,sin 4cos 40,2AB B C D ππππππ<<∴+><<<<∴+>+<<<∴+<Q 正确又故正确，错误故错误2211.2()()4()8022a b 1;22111122111,1,2(1)(1)3(1)(33)9ACDa b ab a b a b a b a b a b A ab a b B a b ab a b ab ab ab a b C ab a b a b a b +=++≤⇒+-+-≥⇒+≥++≤==+=++≥+⇒≥+≤-+-+===-≥-=-==+=++⇒--=⇒--=或当正确错误；当故正确；234(),2310,4,2a b a b a b D +-≤+≥==当时取等，故正确[][][])([][]2212.A 2023,2023,12023;0,1,()0;220121,0,1,2ABD x y xy x y B x f x C x x xx x x x x D αβαβ=+=++==+∈=-=≤⇒--≤⇒-≤≤∴-=-正确；当时故正确当时此时故错误可取，分别代入得故正确,也可画图。

安徽省江南十校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合且,则实数（）A. 0B. 0或3C. 3D. 1【答案】B【解析】集合且,所以或=0所以,经检验都符合题意故选B2. 函数图象恒过的定点构成的集合是（）A. {-1，-1}B. {（0,1）}C. {（-1,0）}D.【答案】C【解析】令x+1=0，解得x=-1，f（-1）=a0-1=0．∴f（x）恒过点（-1，0）．故选C3. 下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于A：因为>1,所以在整个定义域内单调递增；故A错；对于B：在上递减，如，时，有则不能说整个定义域内单调递减，故B错；对于C：在整个定义域内单调递减，故C对；对于D：在递减，在递增，故D错；故选C4. 若，则（）A. 9B. 17C. 2D. 3【答案】D【解析】，令则所以，则故选C5. 已知，且，函数的定义域为，的定义域为，那么（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的定义域为或故；的定义域为故则，故选B6. 对于函数的图象及性质的下列表述，正确的是（）A. 图像上的纵坐标不可能为1B. 图象关于点（1,1）成中心对称C. 图像与轴无交点D. 图像与垂直于轴的直线可能有两个交点【答案】A【解析】函数因为所以图像上的纵坐标不可能为1，故A对；图像关于（-1,1）中心对称，故B错；当x=-2时，则图像与轴有交点，故C错；是函数，所以对于任意一个值有唯一一个值对应，故D错，不可能一个x对应两个y 值；故选A7. 若，，则（）A. B. C. D.【答案】D故选D8. 已知二次函数是偶函数，若对任意实数都有，则图像可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】二次函数是偶函数则，图像关于y轴对称，所以排除A,D；对任意实数都有，所以函数为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a<0．即排除B，故选C9. 已知函数，记，则大小关系是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】所以函数R上单调递减；...............故选A10. 已知函数，则是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 非奇非偶函数【答案】A【解析】定义域为R，所以是奇函数故选A11. 下列命题中，正确的有（）个①对应：是映射，也是函数；②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；③幂函数与图像有且只有两个交点；④当时，方程恒有两个实根.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；对于②若函数的定义域是（1,2），则故函数的定义域为，故②对对于③幂函数的图像过，图像过所以两个图像有且只有两个交点；故③对；对于④当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；故选C点睛：本题是命题判断题，考查了映射，函数的定义，抽象函数的定义域，幂函数的图像特征，及含函数与方程的零点问题，掌握基础知识，基本题型的处理方法即可.12. 不等式对于任意的自然数恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. （-2,2） D.【答案】B【解析】为偶数时，>0,所以因为在上单调递增，所以当时，取得最小值2，故；为奇数时，<0,所以，因为在递减，所以当x=1时，取得最大值，所以故选B点睛：本题考查了不等式恒成立问题，常采用变量分离，要注意分析变量前的系数的正负，分离完以后转化为函数求最值，结合单调性即可.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 计算：__________．【答案】4【解析】原式故答案为414. 已知函数，则满足方程的值是__________．【答案】或【解析】，所以或解得或故答案为或15. 已知函数图像上任意两点连线都与轴不平行，则实数的取值范围是__________．【答案】或【解析】由题意可知函数在上是单调函数，所以轴或解得或故答案为或16. 已知函数图像关于直线对称，当时，是增函数，则不等式的解集为__________．【答案】【解析】由题意可知是偶函数，且在递增，所以得即解得，所以不等式的解集为.故答案为点睛：本题考查了函数的对称性，单调性的应用，由得到需要进行平移变换，注意方向即可,偶函数利用单调性来解决问题常转化为.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知为定义在上的奇函数，且是，.(1)求时，函数的解析式；(2)写出函数的单调区间（不需证明）.【答案】(1) ; (2) 的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是【解析】试题分析：（1）任取，则，，又为奇函数，即得解，（2）分析单调性可得的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是.试题解析：（1）任取，则，，又为奇函数，，所以时，函数；(2)的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是.18. 已知集合，集合，集合.(1)求集合；(2)若,求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）解出集合，根据交集并集的运算可得解（2）则限制集合B与C的左右端点的大小关系即得解，注意对应的端点是否能相等的问题试题解析：（1）由得，所以；（2）由知，所以.19. 已知函数.(1)若，求实数的取值范围；(2)解方程.【答案】(1) ;(2) 和【解析】试题分析：（1）因为，所以，解指数不等式即得解（2）原方程可化为令，则原方程化为，解得或，即或，解得x即可.试题解析：解：（1）因为，所以，即，所以；（2）原方程可化为令，则原方程化为：，解得或，当时，，，；当时，，，，所以方程的解为和.20. 若函数是定义在上的奇函数，是定义在上恒不为0的偶函数.记.(1)判断函数的奇偶性；(2)若，试求函数的值域.【答案】(1) 奇函数; (2)【解析】试题分析：（1）根据奇偶性的定义可得.所以可得是奇函数. （2）①，即②联立①②解得，，反解出得即得解.试题解析：（1）由函数是上的奇函数，是上的偶函数知：.所以所以是奇函数.（2）①，即②联立①②解得，，由，则，所以，即.点睛：本题考查了函数奇偶性的定义，构造方程组求函数解析式，利用反解法求值域，注意计算准确即可.21. 信息科技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少.某银行现有职员320人，平均每人每年可创利20万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.2万元，但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的，为使裁员后获得的经济效益最大，该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？【答案】8160万元【解析】试题分析：分析题意，设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，根据题目条件，又且，利用二次函数轴与区间的位置关系分析单调性即得的最小值.试题解析：设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，由题意：，又且，因为对称轴：，所以函数在[0,80]单调递增，所以时，即银行裁员人，所获得经济效益最大为8160万元，答：银行应裁员80人时，所获经济效益最大为8160万元.22. 已知定义域为，对任意都有，且当时，.(1)试判断的单调性，并证明；(2)若，①求的值；②求实数的取值范围，使得方程有负实数根.【答案】(1) 是上的减函数; （2）①; ②的取值范围【解析】试题分析：（1）利用定义证明：任取，且，，，下结论（2）①先赋值求得，再令可解得②方程可化为，又单调，所以只需有负实数根.对进行分类讨论，分与两种情况.试题解析：解：（1）任取，且，，，是上的减函数；（2）①，，又，因为，，②方程可化为，又单调，所以只需有负实数根.记，当时，，解得，满足条件；当时，函数图像是抛物线，且与轴的交点为（0，-1），方程有负实根包含两类情形：①两根异号，即，解得；②两个负实数根，即，解得.综上可得，实数的取值范围点睛：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键，考查学生的运算和转化能力．。

安徽省马鞍山市2017―2018学年度第一学期期中素质测试数学必修①考生注意：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共22小题，满分100分．请在答题卡上答题．第Ⅰ卷（选择题，共36分）一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分，每小题所给的四个选项中只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上用2B铅笔涂黑．1.已知，，等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可知，，故选D。

2.已知，则满足条件的集合的个数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意可知，，所以满足要求的集合有，故选C。

3.下列函数中与函数是同一函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】函数相等必须满足定义域相同和解析式相同，A、B解析式不同，C定义域不同，故选D。

4.函数，的图象如图所示，则函数的所有单调递减区间为（）A. B.C. D.【答案】C 【解析】有图可知，在和两个区间单调递减，故选C 。

5.下列函数为幂函数的是（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】由幂函数的定义可知，选A 。

6.函数的零点是（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】，解得或，故选C 。

7.化简（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】，故选A 。

8.已知，则的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】，，，所以，故选A。

9.已知，则（）A. B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】当，即时，得，故选B。

点睛：函数解析式中特别强调整体思想的应用，在本题中，将条件函数研究对象整体，得，再带入条件函数，就可以解得的值。

在函数的解析式相关题型中，整体思想的应用非常广泛，学会灵活应用。

10.某商场将彩电的售价先按进价提高，然后“八折优惠”，结果每台彩电利润为360元，那么彩电的进价是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设进价为元，得，解得，故选C。

11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，恒成立，设，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是偶函数，得关于对称，又由题意可知，在上单调递减，又，则，，故选D。

2017-2018学年 理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知复数31z i=+，则z 为（ ）A ．32 B C D 2.已知集合(){}{}22|log 11,|230A x x B x x x =-<=--<，则“x A ∈”是“x B ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3.将函数()2sin cos 1sin f x x x x =-+的图像经过恰当平移后得到一个偶函数的图像，则这个平移可以是（ ） A ．向左平移8π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移8π个单位 D ．向右平移4π个单位4.已知直线()200,0ax by a b -+=>>被圆222210x y x y ++-+=截得的弦长为2，则12a b+的最小值为（ ）A ．3B ．32+．2．3+5.某几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积为（ ）A ．32πB ．16πC ．64πD ．48π6.已知平行四边形ABCD 中，012,1,60,3AB AD BAD AM AB ==∠==，则M C M D 的值为（ ） A ．13-B ．49C ．23D ．19 7.执行如图所示的程序框图，如果输入的x 值是407，y 值是259，那么输出的x 值是（ ）A ．2849B ．37C ．74D ．778.已知实数,x y 满足044220x y x y x y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩，则142yx z ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．29.已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．221128x y -= B ．221168x y -= C ．2211612x y -= D ．22184x y -= 10.已知a 为第三象限角，4tan 23α=-，则sin α的值为（ ） A． B． C．．45-11.一纸盒中有牌面为6，8，10的扑克牌各一张，每次从中取出一个张，依次记下牌面上的数字后放回，当三种牌面的牌全部取到时停止取牌，若恰好取5次牌时停止，则不同取法的种数为（ ）A ．60B ．48C ．42D ．3612.设定义在()0,+∞上的单调函数()f x ，对任意的()0,x ∈+∞都有()2log 3f f x x -=⎡⎤⎣⎦．若方程()()f x f x a '+=有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．12,ln 2⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ C ．13,2ln 2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．()3,+∞ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知二项式()13nx -的展开式中，第3项和第5项的二项式系数相等，则这个展开式的第4项为___________．14.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角A B C 、、sin cos 20A a B a --=，则B ∠=__________．15.已知定义在R 上的函数()f x 的图像关于y 轴对称，且满足()()2f x f x +=-，若当[]0,1x ∈时，()13x f x -=，则13log 10f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为_________．16.一个平面图形由红、黄两种颜色填涂，开始时，红色区域的面积为32，黄色区域的面积为12．现对图形的颜色格局进行改变，每次改变都把原有红色区域的13改涂成黄色，原有黄色区域的13改涂成红色，其他不变，经过4次改变后，这个图形中红色区域的面积是___________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足()()2*111,1n n a na n a n n n N +==+++∈．（1）求证：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列；（2）若数列{}n b 满足121n n n n b a a ++=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 18.（本小题满分12分）如图，四边形ABEF 为矩形，四边形CEFD 为直角梯形，//,CE DF EF FD ⊥，平面ABEF ⊥平面,CEFD P 为AD 的中点，且12AB EC FD ==．（1）求证：CD ⊥平面ACF ；（2）若2BE AB =，求二面角B FC P --的余弦值． 19.（本小题满分12分）某市有中型水库1座，小型水库3座，当水库的水位超过警戒水位时就需要泄洪．气象部门预计，今年夏季雨水偏多，中型水库需要泄洪的概率为25，小弄水库需要泄洪的概率为12，假设每座水库是否泄洪相互独立． （1）求至少有一座水库需要泄洪的概率；（2）设1座中型水库泄洪造成的损失量为2个单位，1座小型水库泄洪造成的损失量为1个单位，设ξ表示这4座水库泄洪所造成的损失量之和，求ξ的分布列及数学期望． 20.（本小题满分12分）已知12F F 、分别是椭圆()222210x y C a b a b +=>>：的左、右焦点，离心率为3，点P 在椭圆C 上，且点P 在x 轴上的正投影恰为1F ，在y轴上的正投影为点⎛ ⎝⎭． （1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 交于A B 、两点，过点P 且平行于直线l 的直线交椭圆C 于另一点Q ，问：四边形PABQ 能否成为平行四边形？若能，请求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．21.（本小题满分12分）已知函数()24,0ln ,0x x t x f x x x x ⎧++<=⎨+>⎩其中t 是实数．设A B 、为该函数图像上的两点，横坐标分别为12,x x ，且12x x <．（1）若20x <，函数()f x 的图像在点A B 、处的切线互相垂直，求122x x -的最大值； （2）若函数()f x 的图像在点A B 、处的切线重合，求t 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 中，//,AB DC AC BD 、交于点3,5E AE AC =，ABD ∠的角平分线交AC 于点F ．（1）求CDAB的值； （2）若12AF FC =，求证：2BD DC AB +=．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C的参数方程为2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线 2C 的极坐标方程为cos sin 40ρθθ-=．（1）求曲线1C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上一点，Q 为曲线2C 上一点，求PQ 的最小值．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()211f x x x =-++． （1）解不等式()4f x <；（2）若存在实数0x ，使得()02log f x <t 的取值范围．参考答案一、选择题二、填空题 13. 3540x - 14. 23π 15. 1027 16. 163162三、解答题17.（1）证明：由已知得，111n n a a n n +=++，即111n n a an n+-=+，*n N ∈， 故数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分∴()()()2122222222111111211223111n n n n S b b b n n n n ⎡⎤+⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-=⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++⎢⎥⎣⎦．．．．．12分18.（1）证明：∵AF EF ⊥，平面ABEF ⊥平面CEFD ，平面ABEF 平面CEFD EF =，∴AF ⊥平面CEFD ，从而AF CD ⊥． 设Q 为DF 的中点，连接CQ ．∵四边形CEFD 为直角梯形，1,2EC FD FQ EC AB EF ====， ∴四边形CEFQ 为正方形，CQD ∆为等腰直角三角形． ∴090FCD ∠=，即CD FC ⊥．又AF CF F = ，∴CD ⊥平面ACF ．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）解：方法一（几何法）：连接EQ ，设EQ EC O = ，则FC EQ ⊥．∵//,//BE AF PQ AF ，∴BE ⊥平面,CEFD PQ ⊥平面CEFD ． ∴,BE FC PQ FC ⊥⊥， 又,BE CE E PQ OQ Q == ， ∴FC ⊥平面,BOE FC ⊥平面POQ ， ∴,FC OB FC OP ⊥⊥，故BOP ∠为二面角B FC P --的平面角．设1AB =，则2,1,22BE PQ OB BP =====∴222cos 23OB OP BP BOP OB OP +-∠==，即二面角B FC P --．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分 方法二（向量法）：以F 为坐标原点，FE FD FA 、、所在直线分别为,y,z x 轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设1AB =，则2,2BE FD ==．∴()()()()()()0,0,01,1,01,0,20,2,00,0,20,1,1F C B D A 、、、、、P ，故()()()1,1,01,0,20,1,1FC FB FP ===、、，设平面BFC 的一个法向量()1111,,n x y z =，则110,n 0n FC FB ==，∴1111020x y x z +=⎧⎨+=⎩，令11z =，则()12,2,1n =-．同理可得，平面FCP 的一个法向量()21,1,1n =-．∴121212cos ,n n n n n n === B FC P --为锐二面角，故其．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19．解：（1）至少有一座水库需要泄洪的概率是321371115240⎛⎫⎛⎫--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．3分（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，5．()()()32133223213011;52402119111;52240212111121115252240P P C P C ξξξ⎛⎫⎛⎫==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯-+-⨯⨯⨯-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()23132112193115225240P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+-⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； ()22321134152220P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； ()321155220P ξ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭． 故ξ的分布列为故()312301234540404040202010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）由题可得，P 点坐标为,3c ⎛-⎝⎭． ∴222413c a c a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得a b =．故椭圆的方程为22132x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）设直线l 的方程为()()111,,y k x A x y =+、()22,B x y ．由()221132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()2222236360k x k x k +++-=，故22121222636,,2323k k x x x x k k-+=-=++． ∴12x x -== 故)2122123k AB x x k+=-=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分∵1,,//3P PQ AB ⎛- ⎝⎭， ∴直线PQ 的方程为()1y k x =+．由()2213132y k x x y ⎧-=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，()222236360k x k k x k ⎛⎛+++-= ⎝⎭⎝⎭， ∵1P x =-，∴Q x =，∴P Q PQ x x =-=若四边形PABQ 能成为平行四边形，则AB PQ =，∴4=-，解得3k =． 故符合条件的直线l的方程为)1y x =+，即10x +=．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）当20x <时，10x <．由已知()()121f x f x ''=-，∴()()1224241x x ++=-， 故121248x x =--+．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ∴()()()122222112222224242x x x x x x ⎡⎤⎡⎤-=-++=-+++⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦，∵122424x x +<+，∴1224024x x +<<+，∴1222x x -≤224x =-时，等号成立， 故122x x -的最大值为2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由题意得，()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分∵12x x <，∴120,0x x <>．∴()222111221ln 41241x x x x t x x x x +-+++=+=-，解得()2111ln 23t x x =--+，令()()231ln 23,02g x x x x =--+-<<，则()2223g x x x '=-+．．．．．．．．．．8分 ∵0,230x x <+>，∴()0g x '<，故()g x 在3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减．．．．．．．．．．．10分 ∴当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()01ln3g x g >=--， ∴1ln 3t >--，即t 的取值范围为()1ln3,--+∞．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22．（1）解：∵35AE AC =，∴32AE EC =． ∵//AB DC ，∴CED AEB ∆∆ ， ∴23CD CE AB AE ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）证明：分别过点D C 、作BF 的平行线交AB 的延长线于G H 、两点，则,ABF BGD EBF BDG ∠=∠∠=∠．∵BF 平分ABD ∠，∴ABF EBF ∠=∠，∴BGD BDG ∠=∠，∴BD BG =． 又∵//,//DG CH DC GH ，∴四边形CDGH 是平行四边形，∴DC GH =． ∴BD DC BG GH BH +=+=．∵//BF CH ，∴12AB AF BH FC ==，∴2BH AB =，∴2BD DC AB +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23．解：（1）由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩消去参数θ得，曲线1C 的普通方程得22184x y +=．由cos sin 40ρθθ-=得，曲线2C 的直角坐标方程为40x -=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）设(),P θθ，则点P 到曲线2C 的距离为44cos d πθ⎛⎫-+ ⎪===．．．．．．．．．．．8分当cos 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d 有最小值0，所以PQ 的最小值为0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24．解：（1）()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，当1x <-时，由()4f x <，得413x -<<-； 当112x -≤<时，由()4f x <得，112x -≤<； 当12x ≥时，由()4f x <得，1423x ≤<． 综上所述，不等式()4f x <的解集为44|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由()f x 的图像可知，()min 1322f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．7分根据题意，有23log 2>>3t <-或3t >． 故实数t 的取值范围为()(),33,-∞-+∞ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。