整式的除法单项式除以单项式

15.3．2整式的除法 （一）------单项式除以单项式一、教学分析(一)教学目标：1.掌握单项式除以单项式运算法则，能熟练进行单项式与单项式的除法运算；2.理解单项式除以单项式是在同底数幂的除法基础上进行的.(二)重点难点1．教学重点：单项式除以单项式的运算法则的探索过程及其应用．2．教学难点：法则的探索过程以及能够灵活地运用法则进行计算和化简二、指导自学（一）复习回顾，巩固旧知1.单项式乘以单项式的法则:2.同底数幂的除法法则:（二）创设情境，总结法则问题1：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．•你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？分析:这是除法运算，木星的质量约为地球质量的（1.90×1024）÷（5.98×1021）倍．（1.90×1024）÷（5.98×1021）=242421211.9010 1.90105.9810 5.9810⨯=⨯⨯=29995×310≈0．318×310 问题2:（1）回顾计算()()21241098.51090.1⨯÷⨯的过程,说说你计算的根据是什么？ 答：这是根据除法的意义得到的（1.90×1024）÷（5.98×1021）把系数相除的结果1.905.98≈0．318作为结果的一个因子；同底数幂相除得24211010＝310作为另一个因子. (2)仿照(1)的计算方法，计算下列各式：a a 283÷分析: a a 283÷就是()()a a 283÷的意思, 解:363x y xy ÷分析: 363x y xy ÷ 就是()()363x y xy ÷的意思 解:2323312ab x b a ÷分析: 2323312ab x b a ÷就是()()2323312ab x b a ÷的意思 解:（3）讨论（2）中的三个式子是什么样的运算．答:这三个式子都是单项式除以单项式的运算．问题3同学们你能根据上面的计算，尝试总结一下单项式除以单项式的运算法则吗？ （提示:从系数、相同字母、只在被除式中出现的字母三个方面总结）得到结论：单项式相除，（1）系数相除，作为商的系数；（2）同底数幂相除，作为商的因式；（3）只在被除式中出现的字母,则连同它的指数作为商的一个因式.问题4：上面问题2中的几个运算是仿照问题1计算出来的，下面同学们思考一下可不可以再用自己现有的知识和数学方法解决问题2的计算呢？并观察结果是否一样？提示：还可以从乘法与除法互为逆运算的角度考虑答：计算2323312ab x b a ÷，就是要求一个单项式，使它与23ab 的乘积等于32312x b a ∵ 3ab 2·（4a 2x 3）=12a 3b 2x 3 2323312ab x b a ÷=324x a上述两种算法有理有据，所以结果正确问题5：由问题2和问题4尝试总结出一般的单项式除以单项式的法则吗？单项式除以单项式的法则:单项式相除，把系数和同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.三、应用提高（一）巩固应用例1. （1）28x 4y 2÷7x 3y（2）-5a 5b 3c ÷15a 4b（3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y3 （4）5（2a +b ）4÷（2a +b ）2解：（1）28x 4y 2÷7x 3y=（28÷7）·x 4-3·y2-1 =4xy ．（2）-5a 5b 3c ÷15a 4b=（-5÷15）a 5-4b 3-1c =-13ab 2c ． （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y3 =8x 6y 3·（-7xy 2）÷14x 4y3 =[8×（-7）]·x 6+1y 3+2÷14x 4y3 =（-56÷14）·x 7-4·y5-3 =-4x 3y 2．（4）5（2a +b ）4÷（2a +b ）2=（5÷1）（2a +b ）4-2 =5（2a +b ）2 =5（4a 2+4ab +b 2）=20a 2+20ab +5b2 解题心得：（1）、（2）直接运用单项式除法的运算法则；（3）要注意运算顺序：先乘方，•再乘除，再加减；（4）鼓励学生悟出：将（2a +b ）视为一个整体来进行单项式除以单项式的运算．四、落实训练（一）当堂训练1.计算：（1）()ab ab 5103-÷ （2）23268ab b a ÷-（3）()3242321yx y x -÷- （4）()()56103106⨯÷⨯2.把图中左边括号里的每一个式子分别除以y x 22，然后把商式写在右边括号里. ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−→−⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--÷x y x yz x y x y x y x 221161242222343 （三）回顾提升教师：通过这节课的学习你有哪些收获？学生回顾交流，教师补充完善：1．掌握了单项式的除法法则．2．理解了单项式除法法则是在同底数幂的除法基础上进行的五、检测反馈(1)()xy y x 6242-÷ (2)()42255r r ÷-(3)()222747m p m m ÷(4)()232642112⎪⎭⎫ ⎝⎛÷-t s t s2.一颗人造卫星的速度是72.8810⨯米/时，一驾喷气飞机的速度是61.810⨯米/时，这颗人造地球卫星的速度是这驾喷气式飞机的速度的多少倍？3.已知1米＝910纳米，某种病毒的直径为100纳米，多少个这种病毒能排成1毫米长？。

鸡西市第四中学2012-2013年度上学期初三数学导学案第二十一章第三节整式的除法编制人：孟珊珊复核人：使用日期：2012.12.3 编号：34 【学习目标】单项式除以单项式的运算法则及其应用和它们的运算算理。

【学习重点】单项式除以单项式的运算法则及其应用。

【学习难点】探索单项式与单项式相除的运算法则的过程【思维导航】1、单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．2、多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。

【引入新知】问题：木星的质量约是1．90×1024吨．地球的质量约是5.08×1021吨．•你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗？列式为: .【探索新知】知识点一单项式除以单项式1、根据单项式乘以单项法则及除法与乘法两种运算互逆计算：（)▪2a=8a3；8a3÷2a=( )3xy▪( )=5x3y ；5x3y÷3xy=( )( )▪3ab2=12a3b2x312a3b2x3÷3ab2=( )2、归纳法则：单项式相除，（1）系数相除，作为；（2）同底数幂相除，作为商的；（3）对于只在被除式里含有的字母，连同它的作为。

【运用新知】例1 计算：（1）28x4y2÷7x3y （2）-5a5b3c÷15a4b（3）（2x2y)3·（-7xy2）÷14x4y3（4）5（2a+b)4÷（2a+b)2【探索新知】知识点二多项式除以单项式1、根据多项式乘以单项法则及除法与乘法两种运算互逆计算：m▪（）= am+bm ；(am+bm)÷m=（）（）▪a= a2+ab ； (a2+ab)÷a=（）2xy▪（）=4x2y+2xy2 (4x2y+2xy2)÷2xy=( )．2、归纳法则：多项式除以多项式，先把这个多项式的，再把所得的商。

整式的除法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式除以单项式的计算．2. 会进行多项式除以单项式的计算． 【要点梳理】要点一、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点二、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【典型例题】类型一、单项式除以单项式1、计算：（1）342222(4)(2)x y x y ÷； （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭；（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-； （4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++．【思路点拨】（1）先乘方，再进行除法计算．（2）、（3）三个单项式连除按顺序计算．（3）、（4）中多项式因式当做一个整体参与计算． 【答案与解析】解：（1）342222684424(4)(2)1644x y x y x y x y x y ÷=÷=． （2）2137323m n m m n xy z x y x y z +⎛⎫÷÷- ⎪⎝⎭21373211()()()3m m m n n x x x y y y z z +⎡⎤⎛⎫=÷÷-÷÷÷÷÷ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦21432n xy z -=-．（3）22[()()]()()x y x y x y x y +-÷+÷-222()()()()x y x y x y x y =+-÷+÷- 2()()x y x y x y =-÷-=-．（4）2[12()()][4()()]a b b c a b b c ++÷++2(124)[()()][()()]a b a b b c b c =÷+÷++÷+3()33a b a b =+=+．【总结升华】（1）单项式的除法的顺序为：①系数相除；②相同字母相除；③被除式中单独有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．（2）注意书写规范：系数不能用带分数表示，必须写成假分数． 举一反三： 【变式】计算：（1）3153a b ab ÷； （2）532253x y z x y -÷；（3）2221126a b c ab ⎛⎫⎛⎫-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （4）63(1010)(210)⨯÷⨯． 【答案】解：（1）33202153(153)()()55a b ab a a b b a b a ÷=÷÷÷==． （2）532252323553(53)()()3x y z x y x x y y z x yz -÷=-÷÷÷=-． （3）22222201111()()332626a b c ab a a b b c ab c ac ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-=-÷-÷÷== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． （4）63633(1010)(210)(102)(1010)510⨯÷⨯=÷÷=⨯．2、（泾阳县校级月考）金星是太阳系九大行星中距离地球最近的行星，也是人在地球上看到的天空中最漂亮的一颗星．金星离地球的距离为4.2×107千米，从金星射出的光到达地球需要多少时间？（光速为3.0×105千米/秒）【答案与解析】 解：t=秒，答：从金星射出的光到达地球需要1.4×102秒．【总结升华】本题考查了同底数幂的除法法则，关键是利用时间=路程÷速度这一公式，此题比较简单，易于掌握． 类型二、多项式除以单项式3、计算（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ；（2）()()32271833x x x x -+÷-.【思路点拨】直接利用多项式除以单项式，先把多项式的每一项都分别除以这个单项式，然后再把所得的商相加计算．【答案与解析】解：（1）254311222x x x x ⎛⎫⎛⎫++÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭54325242323211224111124424482x x x x x x x x x x x x x⎛⎫=++÷ ⎪⎝⎭=÷+÷+÷=++（2）()()32271833x x x x -+÷-()()()32227318333961x x x x x x x x =÷--÷-+÷-=-+-【总结升华】本题考查多项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．4、计算：（1）324(67)x y x y xy -÷； （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-； （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-； （4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭． 【答案与解析】解：（1）32432423(67)(6)(7)67x y x y xy x y xy x y xy x y x -÷=÷+-÷=-． （2）42(342)(2)x x x x -+-÷-42[(3)(2)][4(2)][(2)(2)]x x x x x x =-÷-+÷-+-÷-33212x x =-+． （3）22222(1284)(4)x y xy y y -+÷-222222212(4)(8)(4)4(4)x y y xy y y y =÷-+-÷-+÷-2321x x =-+-（4）232432110.3(0.5)36a b a b a b a b ⎛⎫--÷- ⎪⎝⎭22322432110.3(0.5)(0.5)(0.5)36a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=÷-+-÷-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22321533ab a b =-++．【总结升华】（1）多项式除以单项式是转化为单项式除以单项式来解决的．（2）利用法则计算时，不能漏项．特别是多项式中与除式相同的项，相除结果为1．（3）运算时要注意符号的变化． 举一反三：【高清课堂399108 整式的除法 例5】 【变式1】计算：（1）23233421(3)2(3)92xy x x xy y x y ⎡⎤--÷⎢⎥⎣⎦； （2）2[(2)(2)4()]6x y x y x y x +-+-÷． 【答案】解： （1）原式223239421922792x yx x x y y x y ⎛⎫=-÷ ⎪⎝⎭52510428(927)93x y x y x y x xy =-÷=-． （2）原式2222[44(2)]6x y x xy y x =-+-+÷2222(4484)6x y x xy y x =-+-+÷ 2(58)6x xy x =-÷5463x y =-． 【变式2】（滕州市校级月考）计算：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a． 解：[（3a+b ）2﹣b 2]÷3a，=（9a 2+6ab+b 2﹣b 2）÷3a，=（9a 2+6ab ）÷3a， =3a+2b 【巩固练习】一.选择题1. 下列计算结果正确的是（ ）A ．2334222x y xy x y -⋅=- B ．222352x y xy x y -=-C ．4232874x y x y xy ÷= D ．()()2323294a a a ---=-2. 423287a b a b ÷的结果是 ( ) A.24abB.44a bC. 224a bD. 4ab3.（下城区二模）下列运算正确的是（ ） A ．（a 3﹣a ）÷a=a 2 B ．（a 3）2=a 5 C ．a 3+a 2=a 5 D ．a 3÷a 3=14. 如果□×3ab ＝23a b ，则□内应填的代数式是（ ）A.abB.3abC.aD.3a5．下列计算正确的是( )． A.()13n n x y z +-÷()13n n x y z +- ＝0B.()()221510532x y xy xy x y -÷-=- C.x xy xy y x 216)63(2=÷- D.231123931)3(x x x x xn n n +=÷+-++ 6. 太阳的质量约为2.1×2710t ，地球的质量约为6×2110t ，则太阳的质量约是地球质量的（ ）A.3.5×610倍 B.2.9×510倍 C.3.5×510倍 D.2.9×610-倍 二.填空题7. 计算：()()22963a b ab ab -÷＝_______. 8. 2xy •（______）＝26x yz -． 9. 计算()()34432322396332x y x y x y x y x y xy -+÷=-+-.10．直接写出结果：(1)()()35aa -÷-＝_______；(2)()24a a -÷-＝_______；(3)1042x x x ÷÷＝_______； (4)10n ÷210n -＝_______；(5)()3mm aa ÷＝_______；(6)()()21nn y x x y --÷-＝_______．11．（成都校级月考）（﹣a 6b 7）÷= ．12．学校图书馆藏书约3.6×410册，学校现有师生约1.8×310人，每个教师或学生假期平均最多可以借阅______册图书. 三.解答题13.（陇西县期末）（1）计算：（）2÷（﹣）2（2）计算：（x 2y ﹣xy 2﹣y 3）（﹣4xy 2）．14. 先化简，再求值：()()()23242622532a a a a a ⎡⎤⋅-÷÷-⎢⎥⎣⎦，其中a ＝－5． 15．天文学上常用太阳和地球的平均距离 1.4960×810千米作为一个天文单位，已知月亮和地球的平均距离约为384401千米，合多少天文单位?(用小数表示，精确到0.0001)【答案与解析】 一.选择题1. 【答案】C ；【解析】A 、2334224x y xy x y -⋅=-，所以A 选项错误；B 、两个整式不是同类项，不能合并，所以B 选项错误；D 、()()2323294a a a ---=-+，所以，D 选项错误.2. 【答案】D ；3. 【答案】D ；【解析】解：A 、（a 3﹣a ）÷a=a 2﹣1，错误；B 、（a 3）2=a 6，错误；C 、a 3与a 2表示同类项，不能合并，错误；D 、a 3÷a 3=1，正确； 故选D ．4. 【答案】C ；5. 【答案】D ； 【解析】()13n n xy z +-÷()13n n xy z +- ＝1；()()221510532x y xy xy x y-÷-=-+；21(36)612x y xy xy x -÷=-. 6. 【答案】C ；【解析】（2.1×2710）÷（6×2110）＝0.35×610＝3.5×510. 二.填空题7. 【答案】32a b -； 8. 【答案】3xz -；【解析】26x yz -÷2xy ＝3xz -. 9. 【答案】23xy -；10. 【答案】(1)2a ；(2)－2a ；(3)4x ；(4)100；(5) 2ma ；(6) ()1n x y +- ；【解析】（6）()()()()21211nn n n n y x x y x y x y --++-÷-=-=-.11．【答案】﹣3a 2b 5； 【解析】解：（﹣a 6b 7）÷=，故答案为：﹣3a 2b 5. 12．【答案】20册；【解析】3.6×410÷（1.8×310）＝20. 三.解答题 13.【解析】 解：（1）（）2÷（﹣）2=×=；（2）（x 2y ﹣xy 2﹣y 3）（﹣4xy 2）=﹣3x 3y 3+2x 2y 4+xy 5.14. 【解析】解：原式＝()61264594a a a a -÷÷ ＝6444a a -÷ ＝2a -当a ＝－5时，原式＝－25. 15.【解析】解：由题意得：384401÷1.4960×810≈0.0026（个天文单位） 答：月亮和地球的平均距离约为0.0026个天文单位.。

整式的除法法则整式的除法包括同底数幂的除法、单项式除以单项式、多项式队以单项式三部分，本单元知识是学习因式分解、分式、根式、函数等知识的基础，也是初中数学的重点之一．知识点1：同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．一般地设是正整数，，，注意：①运用法则的前提是底数相同；②底数可以是数、字母、也可以是单项式或多项式．误区点击：分析：错误原因是没有正确理解同底数幂的除法法则，应注意同底数幂相除，底数不变，指数相减，而不是相除．正确答案为说明：同底数幂的除法是整式除法的基础，它是根据除法与乘法的逆运算，归纳总结出来的，与前三个幂的运算性质所不同的是，这里a不能为零，否则为零，除法就失去了意义．知识点2：单项式除以单项式法则：两个单项式相除，把系数，同底数幂分别相除，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式分三步：①系数相除，特别注意系数包括前面的符号；②同底数幂相除③被除式中单独出现的字母连同它的指数作为商的一个因式．误区点击：分析：错误原因是没有掌握运算顺序，有括号先算括号里的，有乘方先算乘方，同级运算一定要先左后右．正确答案为说明：两个单项式相除，同样也是根据乘、除的互逆关系总结的，它是幂的运算性质的继续，也是学好多项式除以单项式的关键．在具体运算时要注意系数相除与同底数幂相除的区别和混合运算的运算顺序．知识点3：多项式除以单项式法则：多项式除以单项式就是把多项式的每一个项分别除以这个单项式，再把所得的商相加．即：多项式除以单项式，要把握两个要点：①用多项式的每一个项分别去除以这个单项式，也就是单项式相除；②单项式相除的商相加，作为结果的商．其实质就是把多项式除以单项式转化为单项式相除．注意：①多项式除以单项式所得的商的项数与这个多项式的项数相同；②多项式的每一个项除以单项式时，商中的符号由多项式中的每项的符号与单项式的符号共同确定．说明：多项式除以单项式的法则是通过计算（am＋bm＋c）÷m导出的，将多项式除以单项式“转化”为单项式的除法，这里只讲整除情况，所以商也一定是一个多项式，要注意运算中商的各项符号．。