第九章 第一节

( x, y)
( x, y)
( x0 , y0 )
( x, y)
( x, y)
( x0 , y0 )
( x, y)
O
x
O
x
15
(2) 动点 动点P(x,y)与定点 0(x0,y0)之间的距离 与定点P 之间的距离 ρ = ( x x0 )2 + ( y y0 )2 = PP0 P ( x , y ) → P0 ( x0 , y0 ), ρ → 0 定义2 定义2 (ε δ )
解 将分母有理化, 分母有理化, xy( 2 + xy + 4 ) xy lim = lim x →0 2 →0 xy + 4 x→0 xy y→0 y
多 元 函 数 的 基 本 概 念
= lim( 2 + xy + 4 ) = 4
x→0 y →0
23
有界闭区域上连续的多元函数的性质 有界闭区域上连续的多元函数的性质
2
2
多 元 函 数 的 基 本 概 念
y
有界半开半闭区域
O
1
x
12
用联立不等式表示下列平面闭区域 D .
y
1
多
O
D
1 1
x
元 函 数 的 基 本 概 念
圆弧
直线
x2 + y2 ≤ 1 1≤ y ≤ 0 ≤ ( 2) (1) y 0 2 1 y ≤ x ≤ y +1 x y ≤1 0≤ x≤1 1≤ x ≤ 0 及 ( 3) 2 1 x ≤ y ≤ 0 x 1 ≤ y ≤ 0
y
多 元 函
数 的 基 本 概 念
{( x , y ) x + y > 0} x + y = 0
O
x+ y>0
x
7
闭区域： 闭区域： 开区域连同其边界。有界区域和无界区域。 开区域连同其边界。有界区域和无界区域。 {( x , y ) 1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4}, {( x , y ) x + y ≥ 0} 例 y y
多 元 函 数 的 基 本 概 念
数xk ---点的第 个坐标。 ---点的第 个坐标。 点的第k个坐标
PQ 两点距离： 两点距离： = ( x1 y1 ) + ( x2 y2 ) ++ ( xn yn )
2 2 2
邻域： n 维空间中点 P 的δ邻域： 0
U( P , δ) = {P PP < δ, P ∈ R }. 0 0
y = kx
其值随k的不同而变化 极限不存在． 其值随 的不同而变化. 极限不存在． 的不同而变化
19
x2 y kx 3 解 取 y = kx, lim 4 = lim 4 2 x →0 x →0 x + k 2 x 2 x +y y = kx y = kx kx 0 = lim 2 2 = x →0 x + k y = kx 2 x y kx 4 2 lim lim 取 y = kx , x→0 4 = x→0 4 x→ + y 2 x→ 2 x + k 2 x 4 2 x y = kx y = kx k = 2 所以，极限不存在！ 所以，极限不存在！ 1+ k
21
sin( x 2 y ) sin( x 2 y ) x2 y 例4 求极限 lim 2 2 2 = lim 2 2, x →0 x + y x →0 x y x +y y→0
sin( x y ) u = x y sin u lim lim = 1, 2 u→ 0 x →0 u x y y →0
n
9
二、多元函数的概念
1. 二元函数的定义 (1) 定义 z = f ( x , y ), ( x , y ) ∈ D 自变量, 因变量, 定义域, 值域. 自变量, 因变量, 定义域, 值域. 多元函数. 多元函数. (2) 多元函数定义域
多 元 函 数 的 基 本 概 念
10
例1 求函数的定义域
13
2. 二元函数的几何意义 ----曲面 z = f ( x, y) 曲面
z
M
z = f ( x, y)
多 元
z= R x y
2 2
y
2
函 数 的 基 本 概 念
z = xy
y
O
x
x
P
D
14
三、多元函数的极限
即P ( x , y ) → P0 ( x0 , y0 )时的极限 .
讨论二元函数 z = f ( x , y ), 当x → x0 , y → y0 ,
第八章 多元函数微分法 及其应用
z
M
z = f ( x, y)
y
O
y
P D
x
x
1
function of many variables
多元函数的基本概念 第一节 多元函数的基本概念
预备知识 多元函数的概念 多元函数的极限 多元函数的连续性
2
第八章 多元函数微分法及其应用
一、预备知识
1. 平面点集 n 维空间
2 2
多 元 函 数 的 基 本 概 念
ε > 0,δ > 0, 当 < ( x x0 ) + ( y y0 ) < δ , 0 f (P) A = f ( x, y) A < ε lim f ( x , y ) = A, 或f ( x , y ) → A ( ρ → 0) ( x , y )→( x , y )
多 元 函 数 的 基 本 概 念
怎样描述呢? 回忆 一元函数的极限 回忆: 怎样描述呢 趋向于P 趋向于 的 方向有任意多个, 注 (1) P(x, y)趋向于 0(x0, y0)的 方向有任意多个 路径又是多种多样的. 路径又是多种多样的 y ( x, y) ( x, y) y ( x, y) ( x, y)
几何表示： 几何表示： 注
y
2
多 元 函 数 的 基 本 概 念
. P0 δ
O x
① 去心邻域 U ( P0 , δ ) 去心邻域. ② 矩形邻域 矩形邻域. 邻域
4
点 P ∈ R 2 与点集 E R 2 (1) 内点 点P ∈ E , 若存在 δ > 0, 使U ( P ) E , (2) 外点 存在 U (P ), 使U(P) ∩ E = , (3) 边界点与边界。 边界点与边界。
P 3
P 1
多 元 函 数 的 基 本 概 念
E
P 2
5
聚点 δ > 0, U ( P , δ )内总有E中的点。 内总有 中的点。 中的点 2 2 例如, 例如 设 E = {( x , y ) 1 ≤ x + y < 2}, 内点; 点P ( x0 , y0 ) ∈ R , 若 1 < x + y < 2, 内点 2 2 2 2 边界点和聚点。 若 x0 + y0 = 1 或 x0 + y0 = 2, 边界点和聚点。
P → P0
lim f ( P ) = A,
0

0
f ( P ) → A ( P → P0 ).
的方式是任意的。 说明 P → P0 的方式是任意的。
16
1 例2 试证 lim f ( x , y ) = lim( x + y ) sin 2 2 = 0 x →0 x →0 x +y y →2 0 y →0 ( x2 + y ≠ 0) 1 1 2 2 2 2 0 = x + y sin 2 证 ∵ ( x + y ) sin 2 2 x + y2 x +y 2 2 2 2 2 ≤ x + y = ( x 0) + ( y 0) = ρ < ε ρ< ε δ ε > 0, 取 δ = ε 当 0 < ( x 0)2 + ( y 0)2 < δ 1 2 2 有 ( x + y )sin 2 0 证毕. 证毕 2 <ε x +y 多元函数极限与一元函数极限异同？ 多元函数极限与一元函数极限异同？
多 元
1
一元函数
函 数 的 基 本 概 念
R
平面点集 R2 Rn n 维空间 (1) 平面点集 坐标面 R 2 = R × R = {( x , y ) x , y ∈ R} 平面点集: 平面点集 E = {( x , y ) ( x , y )具有性质 P }.
3
R 点P的δ邻域 U(P ). 0 0 U ( P0 , δ ) = {( x , y ) ( x x0 )2 + ( y y0 )2 < δ }
2 2
多 元 函 数 的 基 本 概 念
17
确定极限 不存在 的方法 (1) 令P ( x , y ) 沿直线 y = kx 趋向于 P0 ( x0 , y0 ), 有关, 则极限不存在; 若极限值与 k 有关 则极限不存在 (2) 找两种不同趋近方式 使 lim f ( x , y ) 存在 找两种不同趋近方式, 存在, 但不相等, 则极限不存在. 但不相等 则极限不存在
2
2
2
→
y→0
多 元 函 数 的 基 本 概 念
x 2 y | x | x →0 x y ≤ = → 0, 2 2 2 xy x +y 2 sin( x 2 y ) ∴ lim 2 = 0. 2 x →0 x + y y →0
22
xy . 例5 求极限 lim x →0 2 xy + 4 y→0
(1) 最大值和最小值定理 (2) 介值定理
多 元 函 数 的 基 本 概 念
多元函数的极限的基本问题