下载文档原格式
§6平面向量数量积的坐标表示授课人：韦慧一、教学课题：北京师范大学出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修4第二章第六节“平面向量数量积的坐标表示”.二、设计要点：学生在前面已学过向量的坐标表示，研究过向量线性运算中坐标运算的推理过程，在引进平面向量数量积后，自然要考虑它的坐标表示问题.同时，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.因此，本节课主要以问题为载体，通过几个思考题的设置，让学生利用已学知识，思考探究有关向量的坐标表示.通过学生的参与和一个个问题的解决，让学生体验向量的数量积是向量关系和数量关系之间相互转化的一种重要渠道和方法.三、教学目标：1．知识与技能①理解掌握平面向量数量积的坐标表达式及相关运算.②理解掌握向量的模、夹角等公式，能根据公式解决夹角、垂直等问题.2．过程与方法①培养学生转化能力，以及利用代数方法研究几何问题的思想方法.②体会数形结合的思想方法.3．情感与态度经历根据平面向量数量积的意义探究其坐标表示的过程，体验向量这一数学工具在几何问题代数化中的重要应用.四、教学重点、难点：1.重点：探究发现平面向量数量积的坐标表示及相关表示.2.难点：应用平面向量数量积的坐标表示及相关表示解决几何问题。
五、教学方法与手段：1．教学方法：导学探究，教师引导学生探究新知，学生通过思考计算等方式得出一些重要结论，然后运用得到的结论解决简单的问题。
2.教学手段：多媒体辅助教学.六、核心素养：一方面应用向量数量积的坐标运算解决几何问题中的向量长度，两向量的夹角等问题，使得几何问题代数化，培养学生从直观想象到数学抽象的核心素养，另一方面在解决问题的过程中，培养学生数学运算的核心素养。
七、学法指导：1、根据本节课特点及学生的认知心理，把重点放在如何让学生“会学习”这一方面，学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与、生动活泼地获取知识、善于观察类比、掌握规律、主动发现、积极探索质疑，从而培养学生观察能力、想象能力、探索思维能力，设计转化、分析问题及解决问题的能力；2、紧紧围绕数形结合这条主线；3、注意前后知识的联系与区别,不断反思建构形成知识网络.八．教学基本流程：九．教学过程分析：第一种:选择恰当的实例；(一) 第二种:从复习向量加减法的坐标运算开始；第三种:开门见山直奔主题;第四种:种提供材料,让学生发现问题;(二)导学诱思、探索研究；教师通过学生已有经验，启发其思、疑、探，在讨论、设计中得到问提供材料 导学诱思 设置情景 复习思考 提出问题 类比化归 探索研究 建模应用 学法指导反思建构新课引入设置情景题的解答，培养其求异思维、创新能力的形成；(三) 建模应用；数学作为科学独立分支，其重要工具作用无处不在；关键是否体会数学本质，构建数学模型使问题得到解决；(四) 反思建构；学生在反思建构中，寻找知识、方法、能力、情感等方面的收获规律，有利于纳入知识系统，形成知识网络；(五)分层评价.充分发挥课堂教学评价的针对性、激励性、导向性、创新性；使评价更有利于学生的身心健康发展，更符合新课程改革理念.十、教学过程（一）、预习反馈（课前学生完成，课堂反馈）[基础·初探]一、教材整理平面向量数量积的坐标表示阅读教材P98～P99，完成下列问题．1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．(1)a·b＝；(2)a2＝，即|a|＝；(3)设向量a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝；(4)a⊥b⇔.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的．二、预习检测1、已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，1)，若a·b＝2、判断下列各对向量是否垂直：(1)(3,2),(4,6) (2)(7,1),(2,14)112(3)(,),(2,) (4)(3,5),(5,3)323a b a b a b a b =-===-====- 3、已知(1,2),a a ==4、已知(3,2),(1,1),a b ==-则向量a 和b 的夹角的余弦值5、直线l 1：3x ＋4y －12＝0的方向向量6、直线l 2：7x +y -28＝0的方向向量（二）、课堂测试（公式运用巩固）1、（14年学考13）已知向量(26)(3)a b a b λ=-=⊥，，，，且，则实数λ的值为 A .－9 B .－1 C .1 D .92、已知AB →＝(4,2)，AC →＝(k ，－2)，在△ABC 中A ∠为直角，则k 等于( ) A ．1 B ． 6 C ．1或6 D ．1或2或63、若向量(12)(11)-a b a b a b ==-+，，，，且2与的夹角等于 。
§6平面向量数量积的坐标表示知识点平面向量数量积的做坐标运算及方向向量[填一填]1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2), a与b的夹角为θ，则(1) a·b＝x1y2+x2y1；(2) |a|＝x21＋y21；(3)若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0；(4)cosθ＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．[答一答]如何判断a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线与垂直？提示：(1)判断共线有两种方法：第一种方法是向量共线的判定定理，b＝λa(a≠0)⇔a∥b.第二种方法是坐标共线的条件，a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)判断向量垂直的方法：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.1．对向量数量积的坐标运算与度量公式的两点说明(1)向量的坐标运算实现了向量运算的代数化，其将数与形紧密联系在一起，使向量的运算方式得到拓展．(2)向量的模的坐标运算的实质向量的模即为向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距离，如a ＝(x ，y )，则在平面直角坐标系中，一定存在点P (x ，y )，使得OP →＝a ＝(x ，y )，故|OP →|＝|a |＝x 2＋y 2，即|a |为点P 到原点的距离；同样若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，故|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，即平面直角坐标系中任意两点间的距离公式．由此可知向量的模的运算实质即为平面直角坐标系中两点间的距离的运算．2．在不同表示形式下求向量夹角的策略(1)当a ，b 是非坐标形式时，求a 与b 的夹角，需求出a ·b ，|a |和|b |或直接得出它们之间的关系．(2)若a ，b 是坐标形式，则可直接利用公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求解．类型一 平面向量数量积及夹角的坐标表示【例1】 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )． 【思路探究】 (1)利用平面向量数量积的坐标表示可直接求a ·b .(2)(a－b )·(2a ＋3b )可先展开，再求值，也可先求(a －b )及(2a ＋3b )的坐标，再求值．【解】 法1：∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2 ＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2×(12＋22)＋11－3×(32＋42)＝－54. 法2：∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11. 又∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)， 2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(11,16)，∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝(－2)×11＋(－2)×16＝－54. 规律方法 (1)涉及向量数量积的坐标表示一般利用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，其关键是确定向量a ，b 的坐标．(2)若题目中涉及图形的数量积运算，则要充分利用两点间的距离公式求出向量的坐标，再由向量的坐标求得数量积．(1)向量a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则(a ＋b )·(a －b )＝5.(2)已知平面向量a ，b 满足条件a ＋b ＝(0,1)，a －b ＝(－1,2)，则a ·b ＝－1.解析：(1)法1：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝[32＋(－1)2]－[12＋(－2)2]＝5； 法2：因为a ＋b ＝(4，－3)，a －b ＝(2,1)，所以(a ＋b )·(a －b )＝(4，－3)·(2,1)＝4×2－3×1＝5.(2)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)． 因为a ＋b ＝(0,1)，a －b ＝(－1,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝0，x 1－x 2＝－1，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝1，y 1－y 2＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－12，x 2＝12，⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝32，y 2＝－12.所以a ＝⎝⎛⎭⎪⎫－12，32，b ＝⎝⎛⎭⎪⎫12，－12，因此，a ·b ＝－12×12＋32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1.类型二 两向量垂直的坐标表示【例2】 已知在△ABC 中，A (2，－1)，B (3,2)，C (－3，－1)，BC 边上的高为AD ，如图，求D 点及AD →的坐标．【思路探究】 解决此题的关键是确定D 点的位置，可知AD →与BC →垂直，又B ，D ，C 三点共线，利用向量平行与垂直的坐标表示求解．【解】 设D (x ，y )，所以AD →＝(x －2，y ＋1)，又因为BC →＝(－6，－3)，且AD →⊥BC →，所以AD →·BC →＝0，所以－6(x －2)－3(y ＋1)＝0，即2x ＋y ＝3. ①又因为BD →与BC →为共线向量，BD →＝(x －3，y －2)，BC →＝(－6，－3)，所以－3(x －3)＋6(y －2)＝0，即x －2y ＝－1. ② 联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以D (1,1)，AD →＝(－1,2)．规律方法 利用向量数量积的坐标表示，可以使两个向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用．(1)已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，且(a ＋m b )⊥(a －b )，则实数m 为何值？ (2)在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值．解析：(1)a ＋m b ＝(3＋2m,4－m )，a －b ＝(1,5)， 因为(a ＋m b )⊥ (a －b )，所以(a ＋m b )·(a －b )＝0， 即(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0， 所以m ＝233.(2)当∠A ＝90°时，AB →·AC →＝0， 所以2×1＋3×k ＝0，所以k ＝－23； 当∠B ＝90°时，AB →·BC →＝0，BC →＝AC →－AB →＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)，所以2×(－1)＋3×(k －3)＝0，所以k ＝113；当∠C ＝90°时，AC →·BC →＝0，所以－1＋k (k －3)＝0， 所以k ＝3±132. 类型三 向量的模【例3】 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.【思路探究】 (1)将已知向量的坐标代入运算即可；(2)主要是利用a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求得c 的坐标，然后求模的大小．【解】 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)，∴|a－2b|＝72＋32＝58.(2)∵a·b＝－6＋5＝－1，∴c＝a＋b＝(1,6)，∴|c|＝12＋62＝37.规律方法本题是平面向量的数量积和模的基本运算，只要公式记忆熟练就不难求解．本例题中的条件不变，问题变为“若|2a＋k b|＝234，求k的值”，如何求解？解：由条件，知2a＋k b＝(6－2k,10＋k)．∵|2a＋k b|＝234，∴(2a＋k b)2＝(6－2k)2＋(10＋k)2＝5k2－4k＋136＝136，∴5k2－4k＝0，∴k＝0或k＝4 5.类型四坐标法的应用【例4】已知三点A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求证：AB⊥AD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度．【思路探究】【解】(1)证明：∵A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)． 则AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形， ∴AB →＝DC →.设点C 的坐标为(x ，y )，则DC →＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴点C 的坐标为(0,5)． AC →＝(－2,4)，|AC →|＝(－2)2＋42＝25，故点C 的坐标为(0,5)，矩形ABCD 的对角线的长度为2 5.规律方法 利用向量的坐标运算解决平面图形问题，常见的题型有： (1)求点的坐标：设出所求点的坐标，利用终点坐标与始点坐标的差得到向量的坐标，根据向量间的关系求解．(2)证明两线段垂直：证明两线段所对应的向量的数量积为零即可． (3)求线段的长度：求出线段所对应的向量的模即可．已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( B )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1解析：如图所示，以BC 为x 轴，BC 的垂直平分线OA 为y 轴，O 为原点建立直角坐标系．则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，所以P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，所以PB →＋PC →＝(－2x ，－2y )，P A →·(PB →＋PC →)＝2x 2－2y (3－y )＝2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫y －322－32≥－32，当P ⎝⎛⎭⎪⎫0，32时，所求的最小值为－32.——规范解答——与数量积的坐标运算相关的综合问题的解法【例5】 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取到最小值时的OC →. (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 【审题】审条件→三向量的坐标，C 在直线OP 上 ↓建联系→求解使CA →·CB →取到最小值时的向量OC →，需建立函数，求函数取得最值时的坐标↓找思路→根据坐标运算求得向量CA→，CB→，由数量积的坐标运算得函数，求坐标【解题】(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量OC→与OP→共线，设OC→＝tOP→，则OC→＝(2t，t)．CA→＝OA→－OC→＝(1－2t,7－t)，CB→＝OB→－OC→＝(5－2t,1－t)，CA→·CB→＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t)＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8，当t＝2时，CA→·CB→取得最小值，此时OC→＝(4,2)．(2)当OC→＝(4,2)时，CA→＝(－3,5)，CB→＝(1，－1)，所以|CA→|＝34，|CB→|＝2，CA→·CB→＝－8，cos∠ACB＝CA→·CB→|CA→||CB→|＝－41717.【小结】 1.隐含信息的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量OC→与OP→共线”．2．注意函数思想在解决最值中的应用涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问．AB→＝(6,1)，BC→＝(4，k)，CD→＝(2,1)．(1)若A，C，D三点共线，求k的值．(2)在(1)的条件下，求向量BC→与CD→的夹角的余弦值．解：(1)因为AC→＝AB→＋BC→＝(10，k＋1)，由题意A，C，D三点共线，所以AC→∥CD→，所以10×1－2(k＋1)＝0，即k＝4.(2)因为CD→＝(2,1)，设向量BC→与CD→的夹角为θ，则cos θ＝BC→·CD→|BC→||CD→|＝1242×5＝31010.一、选择题1．已知m∈R，向量a＝(m,1)，若|a|＝2，则m等于(D)A．1 B. 3C．±1 D．±3解析：∵a＝(m,1)且|a|＝2，∴m2＋12＝2，解得m＝±3，故选D.2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝(C)A．(－15,12) B．0C．－3 D．－11解析：本题考查平面向量加法及数量积运算．∵a＋2b＝(－5,6)，c＝(3,2)，∴(a＋2b)·c＝－5×3＋6×2＝－3.3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(B)A．－4 B．－3C．－2 D．－1解析：本题考查数量积的运算，向量垂直的条件．m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝－2λ－3－3＝0，∴λ＝－3.二、填空题4．在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD 的边AB ∥DC ，AD ∥BC ，已知点A (－2,0)，B (6,8)，C (8,6)，则D 点的坐标为(0，－2)．解析：考查向量相等的定义．∵AB ∥DC ，AD ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形．设D (x ，y )，∵AB →＝DC →，∴(8,8)＝(8－x,6－y )，∴x ＝0，y ＝－2，∴D (0，－2)．5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a与c 的夹角的大小为120°.解析：a ＋b ＝(－1，－2)，|a |＝5，设c ＝(x ，y )，∵(a ＋b )·c ＝52，∴x＋2y ＝－52.设a 与c 的夹角为θ，∵a ·c ＝x ＋2y ，∴cos θ＝a ·c |a |·|c |＝－525＝－12. 又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.三、解答题6．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1，1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC→＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！。
《§2.4.2（1） 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角》学案学习目标：1、学会用平面向量数量积的坐标表达式，会进行数量积的运算；2、了解向量的模、夹角等公式（坐标形式）；3、会用坐标形式判断两个向量平行或垂直。
学习重难点：平面向量数量积的坐标形式的应用。
学习过程【自主学习】1. 平面向量数量积（内积）的坐标表示：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则____________________a b ⋅=2. 引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量的模的坐标表示：若(,)a x y =，则__________________a =(2)平面上两点间的距离公式：向量a 的起点和终点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则______________a AB == 有_________________________a AB == (3)两向量的夹角公式：cos θ = _________________________3. 两个向量垂直的判定（坐标表示）:________________________________________________________________4. 两个向量平行的判定（坐标表示）:【重难点探究】探究一：已知两个非零向量a =(x 1,x 2)，b =(x 2,y 2)，怎样用a 与b 的坐标表示数量积a ·b 呢？a ·b =(x 1,y 1)·(x 2,y 2)=(x 1 i +y 1 j )·(x 2 i +y 2 j )=x 1x 2i 2+x 1y 2 i ·j +x 2y 1 i ·j +y 1y 2 j 2=x 1x 2+y 1y 2例1、已知向量a =(5,-7)，b =(-6,-4)，求数量积a ·b探究二：探索发现向量的模的坐标表达式1、若a =(x,y)，如何计算向量的模|a |呢？2、若A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，如何计算向量AB 的模，也就是两点A 、B 间的距离呢？例2、已知(4,3),(5,6)a b =-=，则23a 4a b=-⋅（ ）A. 23B. 57C. 63D. 83探究三：向量夹角、平行垂直的坐标表示设a ,b 都是非零向量，a =(x 1,y 1),b (x 2,y 2)，如何计算a 与b 的夹角<a ,b >或判定a ∥b 、a ⊥b 呢？1、 向量夹角的坐标表示例3、设a =(2,1),b =(1,3),求a ·b 及a 与b 的夹角θ.2、a ⊥b <=> <=> x 1 x 2 + y 1 y 2=03、a ∥b <=> x 1 y 2 - x 2 y 1=0 或 121212(0)x x y y y y =≠、 例4、已知(1,2),(3,2)a b ==-，当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？ （2）3ka b a b +-与平行？平行时它们是同向还是反向？【归纳总结】设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则6365（1）____________________a b ⋅=（2）__________________a =（3）cos θ = _________________________（4）a ∥b <=>______________________________________________（5）a ⊥b <=>______________________________________________【巩固提升】1.（福建文）若向量a=（1,1），b （-1,2），则a ·b 等于_____________.2. 已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ）A. B.3、a=(4,7);b=(5,2)-则a b=⋅_______ ()()a =_____ 2a 3b a+2b =-⋅_______4. 已知()()a=2,1,b=3a b λ⊥，且 则λ＝__________5. （全国二13）设向量(12)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ．6.（广东文）已知ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c ，0)．若0AB AC =，则 c 的值为____________7.（2009江西卷理）已知向量(3,1)a =，(1,3)b =，(,7)c k =，若()a c -∥b ，则k = ．【当堂检测】1. ()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅__________2.（2010重庆文数）若向量(3,)a m =，(2,1)b =-，0a b =，则实数m 的值为（ ）（A ）32-（B ）32 （C ）2 （D ）63.（2009辽宁卷理）平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=（A (B)4.（北京文）已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是5.（2009重庆卷文）已知向量(1,1),(2,),x ==a b 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．26.（北京文理）已知向量a =，1），b =（0，-1），c =（k ）。
平面向量数量积的坐标表示【学习目标、细解考纲】1.掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算。
2.掌握向量垂直的坐标表示及夹角的坐标表示及平面向量点间的距离公式。
【知识梳理、双基再现】1. 平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量()()1122a=x y ,b=x y ,a b=⋅⋅⋅ （坐标形式）。
这就是说：（文字语言）两个向量的数量积等于 。
如：设a (5,-7),b=(-6,-4),求a b 。
2.平面内两点间的距离公式（１）设a=(x,y),则2a =________________或a ________________。
（２）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为________________________________________________________________________________（平面内两点间的距离公式）3.向量垂直的判定设()()1122a=x ,y ,b=x ,y ,则a b ±⇔_________________如：已知A （1，2）, B(2,3), C(-2,5),求证ABC 是直角三角形。
4.两向量夹角的余弦（0≤θ≤π） cos θ＝__________________________________＝_______________________________如：已知A(1,0),B(3,1),C(-2,0),且,a BC b CA ==,则a 与b 的夹角为_________________。
【小试身手、轻松过关】1.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅（ ）6365125252-152m b=(1,)5--A.23 B.57 C.63 D.832.已知()()a 3,4,b=5,12-则a b 与夹角的余弦为（ ）A.C.3.()a=2,3,b=(2,4),-则()()a+b a-b =⋅__________。
平面向量数量积的坐标表示教学目标1、知识与能力目标1掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；2掌握平面向量的模的坐标公式以及平面内两点间的距离公式；3掌握两个平面向量的夹角的坐标公式，并且能用平面向量数量积的坐标公式判断两个平面向量的垂直关系；2、过程与方法目标通过平面向量数量积的数与形两种表示的相互转化，使学生进一步体会数形结合的思想。
3、情感态度与价值观目标引导学生探索归纳，感受、理解知识的产生和开展过程，激发学习数学的兴趣。
教学重点：平面向量数量积的坐标表示，以及有关的性质。
教学难点：平面向量数量积的坐标运算的综合应用。
教学方法：启发引导式，讲练结合。
教学过程一、复习旧知，引入新知1、平面向量数量积的定义非零向量a与b,它们的夹角为θ, a·b=|a| |b| coθ2、数量积的性质练习提问:通过公式计算的过程中,哪些是我们目前算不出来的我们怎么用平面向量的坐标表示数量积呢今天我们就一起来学习平面向量数量积的坐标表示。
二、知识新授探究1:向量内积的坐标运算单位向量i,分别与轴,轴方向相同i· i =__1___, ·=___1___, i·=___0___, · i =___0____两个非零向量怎样用a与b的坐标表示a·b∵a=1i1, b=2i2,∴a·b = 1i1·2i2= 12i212i·21i·122= 1212引导学生总结：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
让学生利用平面向量数量积的坐标公式自主求解上面遗留的小问题。
探究2用向量的坐标表示两个向量垂直的条件换用两向量的数量积坐标表示,即为:思考：判断b1,b2与 -b2,b1是否垂直判断 b1,b2与-b2,b1是否垂直探究3、向量的长度模设a=，,那么 |a|2=_______或|a|= _______平面内两点间的距离公式引导学生总结：向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根。
6 平面向量数量积的坐标表示[核心必知]1．向量数量积的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2．即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和．2．度量公式(1)长度公式：设a＝(x，y)，则|a|y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ(2)夹角公式：设a＝(x3．两向量垂直的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．4．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．[问题思考]1．由向量长度的坐标表示，你能否得出平面内两点间的距离公式？提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)，由向量长度的坐标表示可得|AB|＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12.2．坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别？提示：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0，即“相应坐标相乘和为0”；a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，即“坐标交叉相乘差为0”．3．直线l的方向向量唯一吗？提示：直线l的方向向量即是与l平行的向量，意指表示该向量的有向线段所在的直线与l 平行或重合，所以直线l的方向向量不唯一(有无数个)，但它们都是共线向量．讲一讲1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求：(1)(2a－3b)·(a＋2b)；(2)(a＋b)2.[尝试解答] 法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10，5)，a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)，∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200.(2)∵a＋b＝(10，－5)∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125.法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30(1)(2a－3b)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2＝2×20＋30－6×45＝－200.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示，运算时常有两条途径：(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算；(2)先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．练一练1．已知a ＝(2，1)，b ＝(－1，3)，向量c 满足a ·c ＝4，b ·c ＝－9. (1)求向量c 的坐标； (2)求(a ＋b )·c 的值． 解：(1)设c ＝(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧a ·c ＝4，b ·c ＝－9，得，⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝4，－x ＋3y ＝－9. 解得x ＝3，y ＝－2. ∴c ＝(3，－2)．(2)法一：∵a ＋b ＝(2，1)＋(－1，3)＝(1，4)， ∴(a ＋b )·c ＝(1，4)·(3，－2) ＝1×3＋4×(－2) ＝－5.法二：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c＝(2，1)·(3，－2)＋(－1，3)·(3，－2) ＝2×3＋1×(－2)＋(－1)×3＋3×(－2) ＝－5.讲一讲2．已知a ＝(1，2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝ 5. (1)求|a ＋2b |；(2)若(a ＋b )·c ＝52，求向量a 与c 的夹角．[尝试解答] (1)a ＋2b ＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6) ∴|a ＋2b |＝（－3）2＋（－6）2＝3 5. (2)∵b ＝(－2，－4)＝－2(1，2)＝－2a ∴a ＋b ＝－a ，∴(a ＋b )·c ＝－a ·c ＝52设a 与c 的夹角为θ，则cos θ＝a ·c |a ||c |＝－525×5＝－12∵0≤θ≤π，∴θ＝23π即a 与c 的夹角为23π.1．已知向量的坐标和向量的模(长度)时，可直接运用公式|a |＝x 2＋y 2进行计算． 2．求向量的夹角时通常利用数量积求解，一般步骤为： (1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积； (2)再求出两向量的模； (3)由公式cos θ＝a ·b|a ||b |计算cos θ的值； (4)在[0，π]内，由cos θ的值确定角θ. 练一练2．已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，e ＝(0，1)，若a ≠b ，|a －b |＝2，且a －b 与e 的夹角为π3，则x 1－x 2＝( )A ．2B ．± 3C ．± 2D ．±1 解析：选B a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．∴(a －b )·e ＝(x 1－x 2)×0＋(y 1－y 2)×1＝y 1－y 2. ∵|a －b |＝2，|e |＝1，a －b 与e 的夹角为π3，∴cos π3＝（a －b ）·e |a －b ||e |＝y 1－y 22＝12，∴y 1－y 2＝1，又由|a －b |＝2知，(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝4， ∴(x 1－x 2)2＝3.∴x 1－x 2＝± 3.讲一讲3．已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.(1)求证：a ⊥b ；(2)是否存在实数k ，使x ＝a －2b ，y ＝－k a ＋b ，且x ⊥y ，若存在，求k 的值；不存在，请说明理由．[尝试解答] (1)证明：∵a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0.∴a ⊥b .(2)∵x ＝(3，－1)－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝()3－1，－1－3，y ＝－k (3，－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3k ，k ＋32. 假设存在k 使x ⊥y ，∴x ·y ＝(3－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3k ＋(－1－3)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋32化简得：－4k －2＝0∴k ＝－12即存在k ＝－12，使x ⊥y .两向量互相垂直，则其数量积为零，反之也成立，因此： (1)判断两个向量是否垂直，只需考察其数量积是否为0；(2)若两向量垂直，则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程，进而求解． 练一练3．(安徽高考)设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________． 解析：a ＋c ＝(3，3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案： 2已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t ，1)．且向量a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围． [错解] 设向量a 与b 的夹角为θ，则θ为钝角， ∴cos θ＝a ·b|a |·|b |<0，∴a ·b <0.∴a ·b ＝(－2，－1)·(t ，1)＝－2t －1<0， 得t >－12.故t 的取值范围是(－12，＋∞)．[错因] 错解在于误认为θ为钝角等价于a ·b <0，实际上，a ·b <0包含两向量反向共线的情况，即θ＝π的情况，无疑扩大夹角的取值范围．[正解] 设向量a 与b 的夹角为θ， ∵θ为钝角∴π2<θ<π.∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0， ∴a ·b <0，即(－2，－1)·(t ，1)＝－2t －1<0. ∴t >－12.当a ∥b 时，－2×1－(－1)×t ＝0，得t ＝2， 这时b ＝(2，1)＝－a ，b 与a 反向． 即当t ＝2时，θ＝π，不合题意． 故t 的取值范围为(－12，2)∪(2，＋∞)．1．向量i ＝(1，0)，j ＝(0，1)，下列向量中与向是3i ＋j 垂直的是( ) A ．2i ＋23j B ．－i ＋3j C ．2i ＋3j D ．－i －3j解析：选B 可知3i ＋j ＝(3，1)，逐项考察知， (3i ＋j )·(－i ＋3j )＝(3，1)·(－1，3) ＝－3＋3＝0.∴－i ＋3j 与3i ＋j 垂直．2．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A ．－8 B ．－6C ．6D ．8解析：选D 法一：因为a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)， 所以a ＋b ＝(4，m －2)． 因为(a ＋b )⊥b ， 所以(a ＋b )·b ＝0，所以12－2(m －2)＝0，解得m ＝8.法二：因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即a ·b ＋b 2＝3－2m ＋32＋(－2)2＝16－2m ＝0，解得m ＝8.3．(重庆高考)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5 B ．210 C ．2 5 D ．10解析：选B 因为a ⊥c ，b ∥c ，所以有2x －4＝0且2x ＋4＝0，解得x ＝2，y ＝－2， 即a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)．所以a ＋b ＝(3，－1)，|a ＋b |＝10. 4．经过点A (1，0)且方向向量与d ＝(2，－1)垂直的直线方程为________． 解析：设直线的方向向量为m ＝(1，k )， 由m ⊥d 得2－k ＝0.∴直线的斜率k ＝2，故所求直线的方程为y ＝2(x －1)． 即2x －y －2＝0. 答案：2x －y －2＝05．设向量a ，b 的夹角为θ，且a ＝(5，5)，2b －a ＝(－1，1)，则cos θ＝________． 解析：∵a ＝(5，5)，∴2b ＝(5，5)＋(－1，1)＝(4，6)．即b ＝(2，3)． 又|a |＝52，|b |＝13，且a ·b ＝(5，5)·(2，3)＝25. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2552×13＝52626. 答案：526266．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－2)， (1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值；(3)求向量a 在b 方向上的射影．解：(1)∵c ＝4(1，2)＋(2，－2)＝(6，6)， ∴b ·c ＝(2，－2)·(6，6)＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)， (a ＋λb )⊥a∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0， 得λ＝52.(3)法一：设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝1×2＋2×（－2）12＋22×22＋（－2）2＝－1010. ∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝12＋22·(－1010)＝－22. 法二：∵a ·b ＝(1，2)·(2，－2)＝－2，|b |＝2 2. ∴向量a 在b 方向上的投影为 |a |cos θ＝a ·b |b |＝－222＝－22.一、选择题1．若向量a ＝(1，2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6C.π4 D.3π4解析：选C 因为2a ＋b ＝(2，4)＋(1，－1)＝(3，3)，a －b ＝(0，3)，所以|2a ＋b |＝32，|a －b |＝3.设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝（2a ＋b ）·（a －b ）|2a ＋b ||a －b |＝（3，3）·（0，3）32×3＝22，又θ∈[0，π]， 所以θ＝π4.2．已知向量a ＝(3，4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋x b 与－b 垂直，则x 的值为( ) A ．－25 B.233C.323D ．2 解析：选A ∵a ＋x b ＝(3，4)＋x (2，－1)＝(3＋2x ，4－x )， －b ＝(－2，1)，且(a ＋x b )⊥(－b )， ∴－2(3＋2x )＋(4－x )＝0，得x ＝－25.3．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25解析：选C 法一：设b ＝(x ，y )， 则a ·b ＝2x ＋y ＝10 ①，又a ＋b ＝(x ＋2，y ＋1)，|a ＋b |＝52， ∴(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝50 ②①与②联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝0. ∴|b |＝x 2＋y 2＝5.法二：由|a ＋b |＝52得a 2＋2a ·b ＋b 2＝50， 即5＋20＋b 2＝50 ∴b 2＝25|b |＝5.4．已知＝(4,2)，＝(k ，－2)，若△ABC 为直角三角形，则k 等于( ) A ．1 B ．6C ．1或6D ．1或2或6解析：选C 当A ＝90°时，⊥，则4k －4＝0，k ＝1；当B ＝90°时，AB ⊥，又BC ＝AC －AB ＝(k －4，－4) ∴4(k －4)＋2×(－4)＝0解得k ＝6；当C ＝90°时，AC ⊥，则k (k －4)＋(－2)×(－4)＝0 即k 2－4k ＋8＝0，无解． 故k ＝1或6. 二、填空题5．(安徽高考)设向量a ＝(1，2m )，b ＝(m ＋1，1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________． 解析：由题意知，a ＋c ＝(3，3m )，(a ＋c )·b ＝3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，即a ＝(1，－1)，|a |＝12＋（－1）2＝ 2. 答案： 26．(新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝t a ＋(1－t )b .若b ·c ＝0，则t ＝________．解析：本题考查平面向量的数量积运算，意在考查考生的运算求解能力．根据数量积b·c ＝0，把已知两向量的夹角转化到两向量数量积的运算中．因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12，由b·c ＝0得b ·[t a ＋(1－t )b ]＝0，即t a·b＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：27．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________． 解析：本题主要考查向量的基本知识及运算．由题意，将b ·c ＝[t a ＋(1－t )b ]·b 整理，得t a ·b ＋(1－t )＝0，又a ·b ＝12，所以t ＝2.答案：27．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________． 解析：设c ＝(x ，y )，则c ＋a ＝(x ＋1，y ＋2)． 又(c ＋a )∥b ，∴2(y ＋2)＋3(x ＋1)＝0.① 又c ⊥(a ＋b )，∴(x ，y )·(3，－1)＝3x －y ＝0.②解①②得x ＝－79，y ＝－73. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73 8．已知a ＝(1，3)，b ＝(1，1)，c ＝a ＋λb ，若a 和c 的夹角是锐角，则λ的取值范围是________．解析：由条件得，c ＝(1＋λ，3＋λ)，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ×c ＝1＋λ＋3（3＋λ）>0，1＋λ1≠3＋λ3， ⇒λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0∪(0，＋∞) 三、解答题9．已知向量a 是以点A (3，－1)为始点，且与向量b ＝(－3，4)垂直的单位向量，求a 的终点坐标．解：∵b 是直线y ＝－43x 的方向向量，且a ⊥b . ∴a 是直线y ＝34x 的方向向量． ∴可设a ＝λ(1，34)＝(λ，3λ4)． 由|a |＝1，得λ2＋916λ2＝1. 解得λ＝±45， ∴a ＝(45，35)或a ＝(－45，－35)． 设a 的终点坐标为(x ，y )则⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝45，y ＋1＝35，或⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－45，y ＋1＝－35.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝195，y ＝－25，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝115，y ＝－85.∴a 的终点坐标是(195，－25)或(115，－85)． 10．已知△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD .(1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标；(3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.∴5(x ＋1)＝5(y ＋2)，②由①②解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为(72，52)，。
§6 平面向量数量积的坐标表示内容要求 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算(重点).2.能运用向量数量积的坐标表达式表示两个向量的夹角，会判断两个向量的垂直关系(难点)．知识点1 平面向量的数量积、模、夹角、垂直的坐标表示 (1)数量积的坐标表示：设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模、夹角、垂直的坐标表示：【预习评价】1．已知向量a ＝(－4,7)，向量b ＝(5,2)，则a ·b 的值是( ) A ．34 B ．27 C ．－43D ．－6解析 a ·b ＝(－4,7)·(5,2)＝－4×5＋7×2＝－6. 答案 D2．设向量OA →＝(1,0)，OB →＝(1,1)，则向量OA →，OB →的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析 cos θ＝OA →·OB→|OA →||OB →|＝1×1＋0×11·12＋12＝12， ∵θ∈[0，π2]，∴θ＝π3.答案 C知识点2 直线的方向向量(1)定义：与直线l 共线的非零向量m 称为直线l 的方向向量．(2)性质：给定斜率为k 的直线l 的一个方向向量为m ＝(1，k )． 【预习评价】1．直线2x －3y ＋1＝0的一个方向向量是( ) A ．(2，－3) B ．(2,3) C ．(－3,2) D ．(3,2)答案 D2．过点A (－2,1)且与向量a ＝(3,1)平行的直线方程为________． 答案 x －3y ＋5＝0题型一 平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ)． ∵a ·b ＝10，∴5λ·5cos 0°＝10， 解得λ＝2.∴a ＝(2,4)．(2)(a ·c )·b ＝[(2×2＋4×(－1)]·b ＝0·b ＝0.规律方法 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积的坐标运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．【训练1】 已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2,5)，c ＝(2,1)．求：(1)a ·b ；(2)(a ＋b )·(2a －b )；(3)(a ·b )·c ，a ·(b ·c )．解 (1)a ·b ＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17. (2)∵a ＋b ＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，2a －b ＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)， ∴(a ＋b )·(2a －b )＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8. (3)(a ·b )·c ＝17c ＝17(2,1)＝(34,17)，a ·(b ·c )＝a ·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．题型二 平面向量的夹角问题【例2】 已知OP →＝(2,1)，OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA →·CB →取得最小值时的OC →； (2)对(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 解 (1)∵点C 是直线OP 上的一点， ∴向量OC →与OP →共线， 设OC →＝tOP →(t ∈R )， 则OC →＝t (2,1)＝(2t ，t )， ∴CA →＝OA →－OC →＝(1－2t,7－t )， CB →＝OB →－OC →＝(5－2t,1－t )，∴CA →·CB →＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.∴当t ＝2时，CA →·CB →取得最小值，此时OC →＝(4,2)． (2)由(1)知OC →＝(4,2)， ∴CA →＝(－3,5)，CB →＝(1，－1)，∴|CA →|＝34，|CB →|＝2，CA →·CB →＝－3－5＝－8. ∴cos ∠ACB ＝CA →·CB →|CA →||CB →|＝－41717.规律方法 利用数量积求两向量夹角的步骤【训练2】 已知向量a ＝e 1－e 2，b ＝4e 1＋3e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)． (1)试计算a ·b 及|a ＋b |的值； (2)求向量a 与b 夹角的余弦值．解(1)a＝e1－e2＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，b＝4e1＋3e2＝4(1,0)＋3(0,1)＝(4,3)，∴a·b＝4×1＋3×(－1)＝1，|a＋b|＝4＋12＋3－12＝25＋4＝29.(2)由a·b＝|a||b|cos θ，∴cos θ＝a·b|a||b|＝12×5＝210.【例3】设平面向量a＝(1,1)，b＝(0,2)．求a－2b的坐标和模的大小．解∵a＝(1,1)，b＝(0,2)，∴a－2b＝(1,1)－2(0,2)＝(1，－3)，∴|a－2b|＝12＋－32＝10.【迁移1】若c＝3a－(a·b)b，求|c|.解a·b＝x1x2＋y1y2＝2，∴c＝3(1,1)－2(0,2)＝(3，－1)，∴|c|＝32＋－12＝10.【迁移2】若k a－b与a＋b共线，求k的值．解∵a＝(1,1)，b＝(0，－2)，k a－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2)．a＋b＝(1,1)＋(0，－2)＝(1，－1)．∵k a－b与a＋b共线，∴k＋2－(－k)＝0.∴k＝－1.【迁移3】若k a－b的模等于10.求k的值．解∵k a－b＝k(1,1)－(0，－2)＝(k，k＋2) ∵k a－b的模等于10.∴k2＋k＋22＝10，化简得k2＋2k－3＝0，解得k＝1或k＝－3.即当k＝1或k＝－3时满足条件．规律方法 1.已知向量a ＝(x ，y )求其模，主要利用公式|a |＝x 2＋y 2求解．2．形如(m a ＋n b )·(k a ＋e b )(m ，n ，k ，e ∈R )的坐标运算，有两条途径：其一，展开转化为a 2，a ·b ，b 2的坐标运算；其二，先求m a ＋n b 与k a ＋e b 的坐标，再运算.课堂达标1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角θ为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5. ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝510×5＝22. 又∵θ∈[0，π]，∴a 与b 的夹角为π4.答案 B2．已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________． 解析 由题意，得－2×3＋3m ＝0，∴m ＝2. 答案 23．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的射影是________． 解析 a ·b ＝13，|b |＝65， |a |cos θ＝a ·b |b |＝1365＝136565. 答案6554．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________. 解析 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c ＝a －6b ，∴c 2＝a 2－12a ·b ＋36b 2＝20－12×6＋36×5＝128. ∴|c |＝8 2.答案 8 25．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)． (1)求a 与b 的夹角θ的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值． 解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2， |a |＝42＋32＝5，|b |＝－12＋22＝5，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)， 又(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0， ∴λ＝529.课堂小结1．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.应用该条件要注意：由a ⊥b 可得x 1x 2＋y 1y 2＝0；反过来，由x 1x 2＋y 1y 2＝0可得a ⊥b . 2．向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此可利用向量的坐标求出向量的长度、平面内两点间的距离、两个向量的夹角，可判断两向量是否垂直.基础过关1．已知向量a ＝(－5,6)，b ＝(6,5)，则a 与b ( ) A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向D ．平行且反向解析 a·b ＝－5×6＋6×5＝0， ∴a ⊥b . 答案 A2．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．－17B.17C ．－16 D.16解析 由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)． 又(λa ＋b )·(a －2b )＝0， ∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17.答案 A3．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) A. 3 B ．2 3 C ．4D ．12解析 a ＝(2,0)，|b |＝1，∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1. ∴|a ＋2b |＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝2 3. 答案 B4．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________. 解析 a －2b ＝(1，3)， (a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1. 答案 15．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________. 解析 由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0， 则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4， ∴b ＝－4a ＝(－4,8)． 答案 (－4,8)6．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )(x ∈R )． (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |. 解 (1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即1×(2x ＋3)＋x ×(－x )＝0， 解得x ＝－1或x ＝3.(2)∵a ∥b ，∴1×(－x )－x (2x ＋3)＝0， 解得x ＝0或x ＝－2.又|a －b |＝a －b2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2， ∴|a －b |＝2或2 5.7．已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得： (1)a 与b 的夹角为直角； (2)a 与b 的夹角为钝角； (3)a 与b 的夹角为锐角． 解 设a 与b 的夹角为θ，a ·b ＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.(1)因为a 与b 的夹角为直角，所以cos θ＝0， 所以a ·b ＝0，即1＋2λ＝0，所以λ＝－12.(2)因为a 与b 的夹角为钝角， 所以cos θ＜0且cos θ≠－1， 所以a ·b ＜0，且a 与b 不反向． 由a ·b ＜0，得1＋2λ＜0，故λ＜－12，由a 与b 共线得λ＝2，故a 与b 不可能反向． 所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. (3)因为a 与b 的夹角为锐角， 所以cos θ＞0，且cos θ≠1， 所以a ·b ＞0且a ，b 不同向．由a ·b ＞0，得λ＞－12，由a 与b 同向得λ＝2.所以λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 能力提升8.如图所示，矩形ABCD 中，AB ＝4，点E 为AB 的中点，若DE →⊥AC →，则|DE →|＝( )A.52 B ．2 3 C ．3D ．2 2解析 以A 为坐标原点，建立坐标系．则A (0,0)，E (2,0)，C (4，x )，D (0，x )(x ＞0)． ∴DE →＝(2，－x )，AC →＝(4，x )． ∵DE →⊥AC →，∴2×4＋(－x )·x ＝0，x ＝2 2. ∴DE →＝(2，－22)，|DE →|＝22＋－222＝2 3.答案 B9．已知OA →＝(－3,1)，OB →＝(0,5)，且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫－3，－294 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，294C.⎝⎛⎭⎪⎫3，294D.⎝⎛⎭⎪⎫3，－294 解析 设C 的坐标为(x ，y )，则 AC →＝(x ＋3，y －1)，AB →＝(3,4)，BC →＝(x ，y －5)．由AC →∥OB →，BC →⊥AB →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3×5－0×y －1＝0，3x ＋4y －5＝0，解得x ＝－3，y ＝294.答案 B10．已知点A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB →在向量CD →上的投影为________． 解析 由题意知AB →＝(2,2)，CD →＝(－1,3)，设AB →和CD →的夹角为α，则向量AB →在向量CD →上的投影为|AB →|cos α＝AB →·CD →|CD →|＝－2＋610＝2105.答案210511．设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角θ为钝角，则x 的取值范围是____________________．解析 ∵θ为钝角，∴cos θ＝a ·b|a ||b |<0，即a ·b ＝－8＋5x <0，∴x <85.∵a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，∴a 与b 反向，即θ＝π. 故a 与b 的夹角为钝角时，x <85且x ≠－52.答案 x <85且x ≠－5212．在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值． 解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0， ∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.13．(选做题)设向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝1，且a 与b 具有关系|k a ＋b |＝3|a －k b |(k ＞0)．(1)a 与b 能垂直吗？(2)若a 与b 夹角为60°，求k 的值．解 (1)因为|k a ＋b |＝3|a －k b |，所以(k a ＋b )2＝3(a －k b )2，因为|a |＝|b |＝1.所以k 2＋1＋2k a ·b ＝3(1＋k 2－2k a ·b )， 所以a ·b ＝k 2＋14k.因为k 2＋1≠0，所以a ·b ≠0，即a 与b 不垂直． (2)因为a 与b 夹角为60°，且|a |＝|b |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝12.所以k 2＋14k ＝12.所以k ＝1.。
2.6平面向量数量积的坐标表示（1课时）一.教学目标：1.知识与技能（1）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.（2）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. （3）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理解析几何问题是一种有效手段，通过应用帮助学生掌握几个公式的等价形式，然后和同学一起总结方法，最后巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用坐标来研究向量的数量积有了一个崭新的认识；提高学生迁移知识的能力.二.教学重、难点重点: 平面向量数量积的坐标表示以及推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示.难点: 用坐标法处理长度、角度、垂直问题.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想【创设情境】[展示投影]引入：请同学们回忆一下实数与向量的乘积的坐标表示以及两向量共线的坐标表示：【探究新知】平面两向量数量积的坐标又如何表示呢？1. 推导坐标公式：设a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，x轴上单位向量i，y轴上单位向量j，则：i•i = 1，j•j = 1，i•j = j•i = 0.∵a = x1i + y1j, b = x2i + y2j∴a•b = (x1i + y1j )(x2i + y2j) = x1x2i2 + x1y1i•j + x2y1i•j + y1y2j2= x1x2 + y1y2从而获得公式：a•b = x1x2 + y1y22.长度、角度、垂直的坐标表示①a = (x, y) ⇒ |a|2 = x2 + y2 ⇒ |a| =2 2y x+②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则−→−AB=221221)()(yyxx-+-③cosθ =||||baba••222221212121yxyxyyxx+++=④∵a⊥b ⇔ a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0（注意与向量共线的坐标表示）【巩固深化，发展思维】1.设a = (5, -7)，b = (-6, -4)，求a•b2.已知A(1, 2)，B(2, 3)，C(-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形.3.教材P114练习1、2题.4.已知a = (3, -1)，b = (1, 2)，求满足x•a = 9与x•b = -4的向量x. [展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例1. 教材P113例1.例2. 教材P113例2.[展示投影]思考1.什么是方向向量？2.怎样把一个已知向量转化为单位向量？[展示投影]例题讲评（学生先做，学生讲，教师提示或适当补充）例3. 教材P114例3.【巩固深化，发展思维】教材P115习题A第1、2、3、4、5、6题.[学习小结]①a = (x, y) ⇒ |a|2 = x2 + y2 ⇒ |a| =2 2y x+②若A = (x1, y1)，B = (x2, y2)，则|−→−AB|=221221)()(yyxx-+-③cosθ =||||baba••222221212121yxyxyyxx+++=④∵a⊥b ⇔ a•b = 0 即x1x2 + y1y2 = 0五、评价设计1．作业：习题2.6 B组第1,2,3，4题．2．（备选题）：①如图，以原点和A(5, 2)为顶点作等腰直角△OAB，使∠B = 90︒，求点B和向量AB的坐标。
平面向量数量积的坐标表示教案1教学目标1．正确理解掌握两个向量数量积的坐标表示方法，能通过两个向量的坐标求出这两个向量的数量积．2．掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用这一条件去判断两个向量垂直．3．能运用两个向量的数量积的坐标表示去解决处理有关长度、角度、垂直等问题．重点：两个向量数量积的坐标表示，向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件．难点：对向量的长度公式，两个向量垂直的充要条件的灵活运用．教学过程设计(一)学生复习思考，教师指导．1．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)．＝________ ＝________2．A点坐标(x1，y1)，B点坐标(x2，y2)＝________3．向量的数量积满足那些运算律？(二)教师讲述新课．前面我们已经学过了两个向量的数量积，如果已知两个向量的坐标，如何用这些坐标来表示两个向量的数量积，这是一个很有价值的问题．设两个非零向量为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．为x轴上的单位向量，为y轴上的单位向量，则＝x1＋y1，＝x2＋y2这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．引入向量的数量积的坐标表示，我们得到下面一些重要结论：(1)向量模的坐标表示：(2)平面上两点间的距离公式：向量的起点和终点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，=(3)两向量的夹角公式设＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，＝θ．4．两向量垂直的充要条件的坐标表示＝(x1，y1)，＝(x2，y2)．即两向量垂直的充要条件是它们对应坐标乘积的和为零．(三)学生练习，教师指导．练习1：课本练习1．已知a(－3，4)， (5，2)．练习2：课本练习2．已知＝(2，3)，＝(－2，4)，＝(－1，－2)．·＝2×(－2)＋3×4＝8，(＋)·(－)＝－7．·(＋)＝0，(a＋b)2＝(0，7)·(0，7)＝49．练习3：已知A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)．求证：△ABC是直角三角形．证：∵＝(1，1)，＝(－3，3)，＝(－4，2)．经检验，·＝1×(－3)＋1×3＝0．∴⊥，△ABC是直角三角形．(四)师生共同研究例题．例1：已知向量＝(3，4)，＝(2，－1)．(1)求与的夹角θ，(2)若＋x与－垂直，求实数x的值．解：(1)＝(3，4)，＝(2，－1)．(2)＋x与－垂直，(＋x)·(－)＝0，＋x＝(3，4)＋x(2，－1)＝(2x ＋3，4－x)－＝(3，4)－(2，－1)＝(1，5)．例2：求证：三角形的三条高线交于一点．证：设△ABC的BC、AC边上的高交于P点，现分别以BC、PA所在直线为x轴、y轴，建立直角坐标系，设有关各点的坐标为B(x1，0)，C(x2，0)，A(0，y1)，P(0，y)．∵⊥，＝(－x1，y)，＝(－x2，y1)．(－x1)×(－x2)＋y×y1＝0．即 x1x2＋yy1＝0．又＝(－x2，y)，＝(－x1，y1)．·＝(－x1)×(－x2)＋y×y1＝x1x2＋yy1＝0．∴⊥，CP是AB边上的高．故三角形的三条高线交于一点．(五)作业．习题5．7 1，2，3，4，5．。
§6平面向量数量积的坐标表示Q 情景引入ing jing yin ru数字化是当前社会的最大特色，任何一件事物都被数字化了，当然这里的数字化强调的是数码，向量的数量积的几何运算为我们展示的是一幅美丽的画卷，它解决了几何中与度量相关的角度、长度(距离)等问题，向量的坐标运算又是如何展示这些问题的呢？X 新知导学in zhi dao xue1．平面向量数量积的坐标运算设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝__x1x2＋y1y2__；(2)|a|＝__x21＋y21__；(3)若a⊥b，则__x1x2＋y1y2＝0__；(4)cos θ＝__x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22__.2．直线的方向向量给定斜率为k的直线l，则向量m＝(1，k)与直线l共线，我们把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量．[知识点拨]1.公式a·b＝|a||b|cos <a，b>与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos <a，b>求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．2．已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b与a⊥b的坐标表示如下：a∥b⇔x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b⇔x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相等，横横纵纵积相反．Y 预习自测u xi zi ce1．已知平面向量a＝(3,1)，b＝(x，－3)，且a⊥b，则x等于(B) A．3B．1C ．－1D ．－3[解析] ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，即3x ＋1×(－3)＝0.解得x ＝1.故选B ． 2．(2019·全国卷Ⅱ)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(3,2)，则|a －b |＝( A ) A ．2 B ．2 C ．52D ．50[解析] ∵a －b ＝(2,3)－(3,2)＝(－1,1)， ∴|a －b |＝(－1)2＋12＝ 2.故选A ．3．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则向a 与b 的夹角为( B ) A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2[解析] 设a ，b 的夹角为θ， 则cos θ＝3×1＋(－1)×(－2)32＋(－1)2×12＋(－2)2＝22， ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝π4.4．已知a ＝(2,3)，b ＝(－1,4)，c ＝(5,6)，那么(a ·b )·c ＝__(50,60)__，a ·(b ·c )＝__(38,57)__. [解析] ∵a ·b ＝(2,3)·(－1,4)＝－2＋12＝10， ∴(a ·b )·c ＝10(5,6)＝(50,60)． ∵b ·c ＝(－1,4)·(5,6)＝－5＋24＝19， ∴a ·(b ·c )＝(2,3)·19＝(38,57)．H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨数量积的坐标表示典例1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．[解析] 解法一：因为a ·b ＝2×3＋(－1)×(－2)＝8，a 2＝22＋(－1)2＝5，b 2＝32＋(－2)2＝13，所以(3a －b )·(a －2b )＝3a 2－7a ·b ＋2b 2＝3×5－7×8＋2×13＝－15. 解法二：∵a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)， ∴3a －b ＝(6，－3)－(3，－2)＝(3，－1)， a －2b ＝(2，－1)－(6，－4)＝(－4,3)． ∴(3a －b )·(a －2b )＝3×(－4)＋(－1)×3 ＝－15.『规律总结』 进行向量的数量积运算时，需要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算．〔跟踪练习1〕向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( C ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，∴(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1. 命题方向2 ⇨利用数量积的坐标表示求模与夹角典例2 如图所示，在平面直角坐标系中，已知点A (16,12)，B (－5,15)．求：(1)|OA →|，|AB →|； (2)∠OAB .[思路分析] (1)①设a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2，即向量的模等于它的坐标平方和的算术平方根．②若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，所以|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.所以|AB →|的实质是A ，B 两点间的距离，即线段AB 的长度，这是向量模的几何意义．(2)求角的问题，可转化为利用向量的夹角运算公式求解． [解析] (1)由OA →＝(16,12)， AB →＝(－5－16,15－12)＝(－21,3)得|OA →|＝162＋122＝20， |AB →|＝(－21)2＋32＝15 2.(2)设AO →与AB →所成角为θ， 则cos ∠OAB ＝cos θ＝AO →·AB→|AO →||AB →|.其中AO →·AB →＝－OA →·AB →＝－(16,12)·(－21,3) ＝－[16×(－21)＋12×3]＝300. 故cos ∠OAB ＝30020×152＝22，所以∠OAB ＝45°.『规律总结』 求向量a 与b 的夹角θ的步骤： ①计算a ·b ，|a |，|b |； ②利用夹角公式计算cos θ；③根据范围[0，π]确定夹角θ的大小．〔跟踪练习2〕设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，求实数t 的值． [解析] a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)． (a ＋t b )·b ＝(4＋2t ，t －3)·(2,1)＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20.由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去， ∴t ＝1.命题方向3 ⇨直线的方向向量及应用典例3 已知两条直线l 1：y ＝x ，l 2：ax －y ＝0，其中a 为实数，当这两条直线的夹角为π4时，试求实数a 的值．[思路分析] 给出直线，由直线的方向向量与直线平行，两条直线的夹角问题即转化为两向量夹角问题．[解析] 由题意，设直线l 1的方向向量为m ＝(1,1)，直线l 2的方向向量为n ＝(1，a )． 设两直线的夹角为θ，则cos θ＝1＋a 2·1＋a 2，由于两直线的夹角为π4，故|1＋a 2·1＋a 2|＝22，解得a ＝0. 『规律总结』 通过直线的方向向量研究直线的夹角，但直线的夹角与其方向向量的夹角并不一定是相同的．这是由于向量的夹角范围是[0，π]，而直线的夹角范围是[0，π2]．在本题的求解中，不要将|1＋a2·1＋a 2|＝22中的绝对值符号漏掉，否则容易引起结果错误． 〔跟踪练习3〕已知直线l 1：7x ＋y －1＝0和直线l 2：3x ＋4y －6＝0，求直线l 1和l 2的夹角．[解析] 任取直线l 1和l 2的方向向量 m ＝(1，－7)和n ＝⎝⎛⎭⎫1，－34 设向量m 与n 的夹角为θ， ∵m ·n ＝|m |·|n |cos θ， 从而cos θ＝1×1＋(－7)×⎝⎛⎭⎫－3412＋(－7)2·12＋⎝⎛⎭⎫－342＝22. ∴θ＝45°，即直线l 1和l 2的夹角为45°. X 学科核心素养ue ke he xin su yang利用垂直条件求参数典例4 在△ABC 中，设AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，且△ABC 是直角三角形，求k 的值．[思路分析] △ABC 是直角三角形，故可以用a ⊥b ⇔a ·b ＝0，但题中未明确哪个角是直角，故要分类讨论．[解析] 若∠A ＝90°，则AB →⊥AC →，于是2×1＋3×k ＝0，得k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →⊥BC →.又BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)， 故2×(－1)＋3(k －3)＝0，得k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →⊥BC →，故1×(－1)＋k (k －3)＝0，得k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.『规律总结』 充分利用公式：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，利用向量数量积的坐标表示，使两向量垂直的条件更加代数化，因而其判定方法也更加简捷，在以后解题中要注意应用．〔跟踪练习4〕已知三个点A 、B 、C 的坐标分别为(3，－4)、(6，－3)、(5－m ，－3－m )，若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] 由已知，得AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )． ∵△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角， ∴AB →⊥AC →.∴AB →·AC →＝3(2－m )＋(1－m )＝0， 解得m ＝74.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi典例5 已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角是锐角，求λ的取值范围．[错解] 因为a ，b 的夹角是锐角，故cos θ>0，即a·b|a |·|b |>0，即a·b >0，又a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，则1－2λ>0，λ<12，所以λ的取值范围是λ<12.[辨析] 当a·b >0，即cos θ>0时，0°≤θ<90°.事实上当λ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(1，－2)，它们间的夹角是0°，不是锐角，故λ≠－2.[正解] 因为a ，b 的夹角是锐角，所以0<cos θ<1，又a ＝(1，－2)，b ＝(1，λ)，所以a·b >0且a ≠m ·b (m >0)，则1－2λ>0且(1，－2)≠m (1，λ)，即λ<12且λ≠－2，所以λ 的取值范围是λ<12且λ≠－2.『规律总结』 对于非零向量a 与b ，设其夹角为θ，则θ为锐角⇔cos θ>0，且cos θ≠1⇔a ·b >0，且a ≠m b (m <0)；θ为钝角⇔cos θ<0，且cos θ≠－1⇔a ·b <0，且a ≠m b (m <0)；θ为直角⇔cos θ＝0⇔a ·b ＝0.〔跟踪练习5〕设a ＝(2，x )，b ＝(－4,5)，若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围． [解析] 由cos θ<0得x <85，因为a ∥b 时有－4x －10＝0，即x ＝－52，当x ＝－52时，a ＝(2，－52)＝－12b ，所以a 与b 反向，θ＝π，故x <85且x ≠－52.K 课堂达标验收e tan g da biao yan shou1．已知点A (1,2)，B (2,3)，C (－2,5)，则AB →·AC →等于( B ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．2[解析] ∵AB →＝(2,3)－(1,2)＝(1,1)，AC →＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴AB →·AC →＝1×(－3)＋1×3＝0.2．已知a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )．若2a －b 与b 垂直，则|a |＝( C ) A ．1 B ．2 C ．2D ．4[解析] 由2a －b 与b 垂直，得(2a －b )·b ＝0， 即2a ·b －b 2＝0.故2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝0，解得n 2＝3. 所以，|a |＝1＋n 2＝1＋3＝2.3．(2019·全国卷Ⅱ)已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC →＝( C ) A ．－3 B ．－2 C ．2D ．3[解析] ∵BC →＝AC →－AB →＝(3，t )－(2,3)＝(1，t －3)，|BC →|＝1， ∴12＋(t －3)2＝1，∴t ＝3，∴BC →＝(1,0)，∴AB →·BC →＝2×1＋3×0＝2.故选C ．4．若a ＝(3，－1)，b ＝(x ，－2)，且〈a ，b 〉＝π4，则x ＝__1__.[解析] cos π4＝3x ＋210×x 2＋4，解得x ＝1或x ＝－4(舍)．。
